11. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ] Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x=Ax+b,x(0)=x0,x~%"
(1)
dengan A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan vektor konstan b E W , maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x(0) =no. Sistem ini disebut homogen jika b = 0 , dan non homogen jika b # 0. [Tu 19941 Definisi 2 [ Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear ] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x =f(t,x)
(2)
dengan X = ["?';&nf(t,x) x,, ( t )
J;(t,xl>x,,...>x,,) =[ ]fhgsi tak linear pada ~.-....,xn. ~,(~>x,,x,,...,x")
Sistem ini disebut sebagai sistem persamaan diferensial tak linear. [Braun 19831 Defiisi 3 [ Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ] Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut : x = f(x), X E % ~
(3)
dengan f merupakan fungsi kontinu bemilai real dari x dan mempunyai tumnan parsial kontinu. Persamaan ini disebut sebagai persamaan diferensial mandiri (autonomous), jika tidak memuat t secara eksplisit di dalarnnya. [Tu 19941
Definisi 4 [ Sistem Persamaan Diferensial Delay (DDE) ] Persamaan diferensial delay dapat ditulis sebagai berikut : dN(t) - f (N(t),N(t - z)), dengan z > 0 . dt
(4)
P-
N(t) adalah total populasi pada waktu t, z adalah delay/ tunda danN(t-z)
merupakan total populasi pada periode exposed. [ Murray 1989 ] 2.2 Titik Tetap
Defiiisi 5 1Titik Tetap ] Diberikan SPD
Titik x' disebut titik tetap jika f (x*)= 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau kesetimbangan. [Tu 19941 Definisi 6 [ Titik Tetap Stabil] Misalkan
x
adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi
dengan kondisi awal x(0) =xo, dimana xo z2. Titik
x
dikatakan titik tetap
stabil, jika untuk setiap E > 0, terdapat r z 0, sedemikian sehingga Ino
-XI
maka lx(t)-xi < E untuk t > 0. [ Vershult 19901
Definisi 7 [ Analisis Kestabilan Titik Tetap ] Analisis kestabilan titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yaitu : 1 Sistem x = Ax adalah stabil asimtotik global jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif. 2
Sistem x = Ax adalah stabil netral jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A mempunyai bagian real yang tidak positif dan sekurangkurangnya satu nilai eigen mempunyai bagian real nol.
3
Sistem .t = Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari A bagian realnya bernilai positif. [Borrelli dan Coleman 19981
Definisi 8 [ Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routll-Hurvvitz ] Suatu model populasi dengank spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :
atau dapat ditulis dalam notasi vektor
denganX = (x, ,x, ,...,x,),
f
= (f;, f,,...,f,) fungsi tak linear pada x, ,x2 ,..., x,
Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut : 1 Menentukan titik tetap ( x ) yang memenuhi f ( x ) = 0 2
Pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu : J = -af ( x )ax
3
atau
Menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikandet ( 2 1 - J) = 0 . Nilai eigen(2) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut : 2" +alln-I+a,/Z"-, +...+ak = O .
Selanjutnya untuk melihat kestabilan .&em kriteria Routh-Hunvitz berikut :
dapat dilakukan menggunakan
Kriteria Routh-Hurwitz Diberikan persamaan karakteristik :
A"
+ a,An-' + a2AnM2 + ...+ ak
=;
0.
Selanjutnya didefmisikan matriks sebagai berikut :
HI = (a,), H, =
i
i
'21-m
Misalkan H, = (h,) dengan h, = 1 0 Titik tetap
untuk 0 < 21 - m 5 k, untuk 21 = 7n, untuk 21 < Tn atau 21 > k + m.
x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Routh-
Hurwitz bernilai positif, yaitu : det H, > 0 Catatan : Kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap
;stabii jika
dan hanya jika :
k = 2,3,4 k=2, k=3,
a, >O, a, >O a,>O, a 3 > 0 , a,a,>a3
k =4,
2 2 a, >0, a, >O , a, >O , a,a2a3> a, +a, a,
pdelstein-Keshet 19881 Detinisi 9 [ Fungsi Eksponensial Negatif ] Suatu peubah acak kontinu x disebut fungsi eksponensial negatif dengan parameter A > 0, jika fungsi kepekatannya diberikan sebagai berikut :
f ( t ) = F '(t)=
Ae-*, t > 0 0 ,t
2.3 Definisi 10 ( Bilangan Reproduksi Dasar ( Ro)) Bilangan reproduksi dasar ditulis R,, adalah nilai harapan dmi kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/ menular. Kondisi yang akan timbul adalah : 1 Jika R, < 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi
kurang dari satu individu ham, dan penyakit tidak akan berkembangl punah.
2 r i a & > 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu bam, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. [Driessche clan Watmou&2005]
