Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :



F x, y' , y' ' , y' ' ' ,.............., y

n 

 0

Yang menyatakan hubungan antara x, fungsi y (x) dan turunannya y' , y' ' , y' ' ' ,........ sampai turunan orde n. Misalnya :

y' '3 y'2 y  6e x  0

(i)

 y' ' '2  2 y' y' ' y' '2  0

( ii )

Persamaan ( i ) berorde dua tetapi derajad satu, sedangkan persamaan ( ii ) berorde tiga dan berderajad dua, karena tampilnya turunan ketiga dalam pangkat dua. Persamaan diferensial tersebut biasa atau Ordinary karena tidak adanya turunan parsial. Persamaan diferensial yang memiliki turunan parsial tersebut persamaan diferensial parsial, misalnya :

M c  ab t x 2 2 V V V a 2 b  cV  d 2 t x t Sejumlah besar masalah fisika dan teknik harus ditangani dengan persamaan diferensial parsial. Dalam bab ini hanya akan kita tinjau persamaan – persamaan yang dapat diselesaikan untuk turunan tertinggi dan ditulis dalam bentuk :



y n  F x, y, y' , y' ' ,...............y n1



PENYELESAIAN Dengan penyelesaian khusu diartikan sebuah fungsi y  f x , a  x  b yang memiliki turunan sampai orde n dalam interval tersebut, sehinga persamaan (24 – 1 ) terpenuhi jika y dan turunannya disubstusikan dalam persamaan tersebut. Maka y = ex merupakan penyelesaian khusus dari persamaan ( i ) sedangkan y = x adalah penyelesaian khusus persamaan ( ii ). Untuk

kebanyakan

persamaan

difrensial

ditemukan

penyelesaian khusus dapat dicakup dalam satu bentuk

bahwa

semua

y  f x, c1 , c2 ............cn 

dengan c1 , c2 , ………………………cn adalah sebarang konstanta

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

1

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan

diferensial yang ditinjau memiliki penyelesaian khusus yang dapat

dicakup dalam bentuk :

y  f x, c1 , c2 ............cn  Dengan c1, c2, …………………cn adalah sebarang konstanta. Misalnya semua penyelesaian dari persamaan ( i) diberikan oleh 2

y  c1e  x  c2 x  e x Penyelesaian y = ex diperoleh jika c1 = 0 dan c2 = 0. Jika

diperoleh

bentuk

(24.3) yang mencakup

semua penyelesaian disebut

Penyelesaian Umum. Untuk persamaan yang dibahas ini diketemukan bahwa jumlah konstanta sama dengan orde n. Tampilnya sebarang konstanta tidak mengejutkan karena konstanta senatiasa muncul karena integrasi suatu persamaan diferensial yang paling sederhana : y '  F ( x) menghasilk an y   F x  dx  C

Setelah integrasi, timbul satu konstanta sebarang c1 = C. Secara umum hal ini berlaku untuk persamaan dengan orde tinggi.

y' '  20 x 3 menghasilk an y  x5  c1 x  c2 Setelah dua kali integrasi. Maka jelas bahwa integrasi turunan kedua memberikan dua konstanta.

PERSAMAAN ORDE SATU DERAJAD SATU Persamaan diferensial orde satu dan derajad satu umunya diberikan dalam bentuk : dy  F x, y  atau dx

dy  F x, y dx

Jika dikalikan dengan g (x,y) dapat dituliskan dalam bentuk M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 yang disebut Persamaan Diferensial Eksak Jika dipenuhi

M N  maka (24-4) adalah diferensial dari suatu fungsi z = f (x,y). y x

Ini berarti (24-4) sama dengan persamaan dz = 0 yang mempunyai penyelesaian umum z = c atau f (x,y) = c. Uraian ini kita buktikan dengan menemukan fungsi c = f (x,y).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

2

Dengan mengingat ketentuan bahwa M adan N diberikan dan memenuhi

M N  y x

dapat diambil langkah : (i)

Integrasikan M terhadap x dengan y tetap. Hasilnya : z   M dx  Q y  x

Dengan Q (y) adalah fungsi sebarang dari y saja. (ii)

Nyatakan A sebagai beda A  N 

M N 2   x x x y



 y

 M dx x



 M dx

N 2 xM dx  x  y x

x

Urutan diferensial dapat

ditukar . Tetapi

 2 M dx  M sehingga x x y x

Akibatnya

 M dx  My x

A N M    0 dan A bebas dari x x x y

Sekarang akan kita tentukan Q (y) sehingga Q '  y   A  N   y

Setelah ini dilakukan, diperoleh : N  Diperoleh :

z z   M , dan   x y y

Sehingga M dx  N dy  (iii)

 y

 M dx x

 M dx Q'  y  x

 M dx Q'  y   N x

z z dx  dy  dz Tinggal menentukan Q ( y ) x y

untuk mencari Q (y), integrasikan Q '  y  terhadap y.

   Q y     N   M dx  dy x y   Memasukan persamaan ini dalam (24-5) memberikan

   z   M dx    N   M dx  dy  c x x y   CONTOH : Tunjukan bahwa cos y dx + (2y – x sin y) dy = 0 adalah eksak. Jawab : M = cos y dan N = 2y – x sin y M N M N   sin y dan  sin y. Jelas  y x y x

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

3



x

M dx   cos y dx  x cos y,

  M dx  x cos y    x sin y  y x y

. z  x cos y   2 y  x sin y  x sin y  dy

z  x cos y  y 2 c adalah penyelesaian umum. PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL – VARIABEL TERPISAH Jika persamaan eksak M dx + N dy = 0 mempunyai sifat bahwa M fungsi x saja dan N fungsi y saja, maka

M N   0 . Ini adalah bentuk paling sederhana dari y x

persamaan diferensial eksak, dan dikatakan bahwa variable – variabelnya terpisah. Penyelesaian umum dapat ditulis :

 M dx N dy  c CONTOH dy (1)

Selesaikan y' y / k Jawab :

dy y dy dx  atau  0 dx x y x



dy dx   0 dan In y  In x  c1 y x dy y In  c1 ,  e c1  c dan y  c x y x

Penyelesaian berlaku untuk semua (x,y) kecuali x = 0. (2)

dy 1 y3  2 0 dx xy (1  x 2 )

Selesaikan Jawab :

y 2 dy 1  dx  0 dan variab el - variabeln ya terpisah. maka 3 1 y x 1 x2





2

y dy dx x dx 1    0  In 1  y3  In 3 2 x 1 x 3 1 y



2 In 1  y 3  6 In x  3 In 1  x 2 In



x6 1 y3

1  y 









1 x  In 1  y 2  c1 2

 6c1  c 2

2

2 3

 ec2  c

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN Fungsi f (x,y) disebut homogen dengan derajad n dalam variable – variabelnya jika

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

4

f x y   n , f x, y  . Persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut homogen jika M (x,y) dan (x,y) hohogen dengan derajad sama. Untuk persamaan homogen dilakukan substitusi y  vx  dy  v dx  x dv . Dengan substitusi ini persamaan homogen dibah menjadi bentuk variable – variable terpisah x dan v. (3)

Selesaikan y ' 

x2  y2 xy

y 1   v, substitusi y  vx x v 1  dy    v dx  x dv  v dx v  dx 1 v dv   0  v 2  In x  c1 x 2 2 2 2 y  x In x  cx 2 untuk y  0

Jawab : y ' 

(4)

x 0

dan

Selesaikan 2 xy dy = (x 2 – y2 ) dx Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = xv





2 x vx v dx  x dv  x 2  v 2 x 2 dx





2v dv dx 1 d 1  3v 2 dx    2 2 x 3 1  3v x 1  3v 1  In 1  3v 2  In x  In c , dan 3 In 1  3v 2  3 In x  In c  0 atau c x 3 1  3v 2



 1

memberikan c (x 3  3x y 2 ) 1 (5)

y  y dx  x dy  y cos y x dy  y dx  0 x y Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx

Selesaikan

x sin

x sin v (vx dx + x 2 dv + vx dx) + vx cos v (x 2 dv + vx dx – vx dx ) = 0 sin v ( 2 v dx + x dv ) + xv cos v dv = 0 sin v  cos v dx dv  2 0 v sin v x

Maka In v sin v  2 In x  In c dan x2 (v sin v ) = C menghasilkan xy sin

(6)



y C x



Selesaikan x2  2 y 2 dy  2 xy dx  0 Jawab : Persamaan ini homogen derajat dua. Subsitusi y = vx

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

5

1  2v 2 dx 1  2v v dx  x dv  2vdx  0  dv  0 2 x v 3  2v dv 4v dv dx   0 2 3v 3 3  2v x



2











In v  In 3  2v 2  3In x  3In c' In v  In 3  2v 2  3In x  3In c'



 dx  y

Maka vx 3 3  2v 2  C dan y (3x 2  2 y 2 )  C (7)



Selesaikan x 2  y

3



 x dy  0

Jawab : Persamaan dapat ditulis

x 2 dx + (y dx + x dy ) + y3 dy = 0 1 3 1 x  xy  y 4  C 3 4

(8)









Selesaikan x  e  x sin y dx  y  e  x cos y dy  0





Jawab : Integrasi dari x dx  y dy  e  x cos y dy  e  x sin y dx  0 Memberikan : (9)

1 2 1 2 x  y  e  x sin y  C 2 2

Selesaikan x xy + y dx = 2 x 2 y dx Jawab : Bentuk x dy – y dx memberikan segesti pada bentuk 1  y  x dy  y dx d  Persamaan di atas dikalikan 2 2 x x x 3 x dy  y dx 2 x dx  y   d    2 x dx 2 2 x x x y  x 2  C atau y  x 3  cx x

(10)

Selesaikan x dy + y dx = 2 x 2 y dx Jawab : Kombinasi x dy + y dx memberikan sugesti pada bentuk

x dy  y dx 1 Persamaan di atas dikalikan xy xy x dy  y dx memberikan 2 x dx dan In xy  x 2  C xy d In xy  

(11)





Selesaikan x dy + 3 y  e x dx  0 Jawab : Dikalikan dengan x2 diperloeh x 3 dy + 3x 2 y dx = x2 ex dx

 

d x 3 y  x 2 e x dx dan x 3 y   x 2 e x dx  x 2 e x  2 x e x  2e x  C

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

6

d dy   y dx  x dy x dy  y dx  y d   x2  x y x dy  y dx  d  arc tan  x x2  y2 





1 d log x 2  y 2 2



 

x dx  y dy x2  y 2



d x 2  y 2  2 x dx  2 y dy 2 x dx  2 y dy df   d In f 2 2 x  y f x2  x2  y2

1 1  y 1 f   1   x  

2

 y   f   x 

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE SATU Persamaan diferensial dengan bentuk

dy  py  Q dx

Dengan P dan Q adalah fungsi x saja, disebut persamaan diferensial linear orde satu. Perlu diperhatikan bahwa turunan dan variable tidak bebas y hanya tampil dalam derajat satu. Persamaan ini memiliki factor integrasi S (x) = e 

P dx

Berarti ruas kiri

dan kanan harus dikalikan S (x) kemudian di integrasikan . CONTOH (1)

Selesaikan y' xy  x Jawab : Px   xdan S  e  x dx  e1 / 2 x 2 Persamaan dikalikan S memberikan e1 / 2 x y ' | xy e1 / 2 x  xe1 / 2 x 2



2

2



2 d 1/ 2 x2 e  xe1 / 2 x dx

e1 / 2 x y  xe1 / 2 x dx  C  e1 / 2 x  C 2

2

Maka y  1  ce1 / 2 x

2

2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

7

(2)

Selesaikan

dy  y cot x  cos cx dx

Jawab : P ( x)  cot x dan  p dx cot x dx  In sin x

S ( x)  e

In sin x

 sin x

 dy  sin x   y cot x   sin x cos e x  dx  sin x dy  cos x dx  dx dan y sin x  x  C PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial yang tidak linear mungkin dapat disusutkan dalam bentuk linear dengan mengadakan substitusi yang sesuai. Suatu persamaan yang cukup penting ialah persamaan Bernoulli, berbentuk :

dy  y P x   y n Q x  dx

Dengan P dan Q ialah fungsi dari x saja dan n sebarang bilangan bukan nol. Tranformasi dilakukan dengan substitusi : z  y  n 1 dan y  n

dy 1 dz  dx 1  n dx

Yang menghasilkan persamaan linear . CONTOH (1)

Selesaikan

dy  y  xy 2 dx

Jawab : Persamaan ini berbentuk

dy  Py  xy n , dengan P( x)  1 dx  y 1 2 y 1

dan n  2. Substitusi  z  y 1 n dz dy memberikan   y 2 dan persamaaan di atas setelah dikalikan dengan dx dx y 2 menghasilkan

 

 

dy dz  y  2 y  y  2 xy 2 memberikan  zx dx dx dz Ditulis kembali  z   x, berarti p  1 dx y 2

S  e



p dx

 e   dx  e  x. Maka e  x dz  z e  x dx   x e  x dx



dan d z e  x   x e  x dx atau z e  x    xe  xdx z e  x  x e  x  e  x  C karena z  y 1 Akhirnya diperoleh

1 1  x 1 c ex  y  y x 1 c ex

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB

Ir. Bambang Hutomo, Bc. TT.

MATEMATIKA IV

8