PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x. Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut. Contoh: = PD order satu
− −
= PD order dua
−
= PD order tiga
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Contoh:
−
A, B =konstanta sembarang
− − −
=
−
PD order 2)
Contoh: Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi Solusi: −
−
− −
dari persamaan diatas
1
−
−
=
−
−
−
−
= PD order 1
− Contoh:
−
Bentuklah persamaan direfensial untuk
−
Solusi: − − − Substitusi
=
−
=
− −
− − − Catatan: Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial Penyelesaian Persamaan Diferensial
manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh
turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.
2
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana Catatan
selanjutnya
ditulis y ’ ditulis y “
Contoh: − −
−
− Contoh: − −
=
−
− Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan −
−
Masukkan nilai −
−
=
−
− −
=
=
−
−
− Metode 2: Dengan pemisahan variabel Bila persamaan yang diberikan berbentuk − variabel di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung. Contoh:
−
=
−
3
−
− Contoh: − −
−
=
−
Contoh:
=
−
−
−
=
−
−
=
−
− − −
Contoh:
=
−
− − −
Contoh: −
= =
− −
4
−
Contoh: −
=
−
−
PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI
−
−
Contoh:
Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu − si , dimana v adalah fungsi dari x. −
Bila
didefinisikan, maka
−
=
−
Sehingga −
− −
→ =
−
−
=
−
−
−
−
− −
Catatan:
−
Substitusi
−
−
=
=
−
− →
=
−
5
−
−
−
− −
= =
−
−
−
−
=
=
−
−
− −
Catatan:
→
−
Substitusi
=
−
−
−
−
=
−
− −
−
=
−
−
−
− Karena −
= −
Contoh: −
− =
− − −
6
−
−
=
−
−
−
− −
=
−
−
=
−
−
= −
− −
−
−
=
−
=
=
−
−
Keujudan dan Ketunggalan Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu ujud? Sebagai contoh PD, − tidak mempunyai penyelesaikan real, karena ruas kiri selalu positif, Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah − Bila kita ketahui nilai
pada saat
, atau
− Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.
7
Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL (MNA) atau Initial Value Problem.
PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi −
Tinjau persamaan
Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini. = kalikan kedua sisi dengan −
−
Merupakan turunan dari −
=
−
−
− Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear orde pertama.
−
persamaan ini disebut
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi yang selalu berbentuk kali.
. Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil
−
Dari contoh sebelumnya −
P=5
= faktor integrasinya adalah −
Contoh:
=
− =
Factor integrasi
(P=-1; Q=x)
−
−
Jadi factor integrasi =
Kalikan kedua sisi dengan =
−
−
=
.
−
8
Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian. − −
−
− −
Tinjau
Faktor integral −
; dimana P&Q fungsi dari x − −
Turunan dari
= diintegralkan terhadap x
− −
−
−
Definisi Dasar Logaritma −
−
−
− −
− −
Contoh:
Solusi: bagi kedua sisi dengan x − −
−
=
−
−
Gunakan rumus
−
9
− −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
Contoh:
Selesaikan persamaan diferensial tersebut − −
=
−
−
−
−
−
−
−
= −
−
− =
−
−
Contoh: Selesaikan PD berikut − Solusi: Bagi kedua sisi dengan − −
− −
= −
−
−
=
−
−
−
−
− Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut
10
− Solusi: −
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
−
Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem −
− −
Solusi: −
=
−
−
−
−
− −
−
−
= −
−
=
−
−
=
− Contoh: selesaikan PD berikut: − Solusi: kita bagi kedua sisi
11
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
− −
Contoh: selesaikan persamaan untuk − −
Solusi:
bagi kedua sisi
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
− −
−
− −
−
=
−
=
−
−
PERSAMAAN BERNOULLI Persamaan Bernoulli: −
P & Q fungsi dari x
Bagi kedua sisi dengan
12
jika diketahui
−
− Masukkan −
=
−
Jika persamaan (1) dikalikan dengan
menjadi
− −
;
dimana
adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat
diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi. Contoh: −
Selesaikan
Solusi: bagi kedua sisi dengan Bila −
−
−
=
−
didapat
− −
−
− Maka persamaan (*) menjadi −
=
− −
=
−
−
→
→
−
−
=
−
= −
−
−
= −
− →
−
−
−
Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal
13
−
=
→
−
−
−
−
−
−
− −
= sesuai dengan soal
Contoh: selesaikan persamaan berikut − Solusi: = solusi dasar
−
Bagi kedua sisi dengan
−
menghasilkan
Bagi kedua sisi dengan − Misal −
−
=
−
−
Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka −
=
−
Selesaikan persamaan dengan metode −
−
−
− − Karena −
=
−
−
−
− maka
−
14
−
−
−
=
−
− −
Contoh: selesaikan Solusi: bagi kedua sisi dengan −
−
merupakan bentuk dasar
Bagi kedua sisi dengan − −
−
−
−
Kalikan
=
dengan −
=
Selesaikan dengan factor integral; −
− −
−
−
−
−
−
=
−
karena −
−
=
− − −
−
−
15
Aplikasi PDB Order Satu 3.1 Masalah Dalam Mekanik 4x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda waktu 4t maka kecepatan rata-rata didenisikan x = xB ; xA : vr = 4 4t tB ; tA Misal
bergerak selama
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
4x v = 4! lim0 vr = 4lim t!0 4t v = dx dt (m=dt): v = dv (m=dt2) dt
Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I) Hukum ini juga disebut hukum Kelembaman Newton yang berbunyi' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang bekerja pada benda itu'.
16
Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II) Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Secara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F = ma dimana F adalah gaya dan m suatu massa. Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W = mg: F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a = g, sehingga bisa kita tulis mg = W ma m dv dt dv dx m dx dt dv mv dx
= F = F = F = F
adalah model dari PDB order satu.
Contoh 3.1.1 Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v, dan kecepatan gravitasi bumi adalah g = 10m=dt2, serta gaya gesek udara adalah
;2v. Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.
17
Penyelesaian 3.1.1 Hukum newton mengatakan F = ma atau P F = ma. Dalam hal ini f1 = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F2 =gaya gesek udara
= ;2v (gaya keatas) sehingga
m dv dt = F1 + F2 8 dv = 8 ; 2v 10 dt 1 dv = 10 dt 8 ; 2v 8 Karena benda berawal dari keadaan diam maka v(0) = 0, sehingga model PDB sekarang adalah 1 dv = 10 dt 8 ; 2v 8 v(0) = 0 Integralkan kedua ruasnya didapat
; 21 ln(8 ; 2v) + c0 ln(8 ; 2v) (8 ; 2v)
= 10 8 t + c1 = ; 5 t + c2 2 = e; 52 t+c2
2v =
v =
;Ce; t + 8 1 (8 ; Ce; t ) 2 5 2
5 2
Dengan memasukkan nilai awal v(0) = 0 maka c = 4 sehingga ekspresi kecepatan adalah
v(t) = 4 ; 2e; 25 t: Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah v(t) kedalam v =
18
dx dt
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx = 4 ; 2e; 25 t dt x(0) = 0 Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu adalah
x(t) = 4t ; 45 e 52 t + 45
3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t, maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang disimbulkan dengan
dQ dt
berbanding lurus dengan kuantitas Q, dengan kata lain
dQ = rQ pertumbuhan dt dQ = ;rQ peluruhan dt
3.2.1 Pertumbuhan Populasi Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionalitas atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy = ky dt y(t0 ) = y0
19
Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat
dipilih h(y) = r ; ay maka model pertumbuhan menjadi
dy dt
= (r ; ay)y
dy = r(1 ; y )y dimana K = r dt K a y(t0) = y0 PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik. Solusi kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
1.5 x 1
-3
-2
0.5 0
-1
2
1
-1
-0.5
y(x)
3
Asymptotic solution
2
2.5
3.1.
Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi.
Contoh 3.2.1 Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut dx = 1 x ; 1 x2 dt 100 (10)8 Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka 1. berapa besar populasi tahaun 2000 2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2 tahun 1980 3. berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980
20
Penyelesaian 3.2.1 Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan x(1980) = 100 000 sehingga model PDB sekarang adalah dx = 1 x ; 1 x2 dt 100 (10)8 x(t0) = x0 Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah 1
dx = dt (10);2x ; (10);8x2 Integralkan kedua ruasnya Z
1
dx (10);2x(1 ; (10);6x) Z ;6 100 1 + (10) ;6 dx x 1 ; (10) x ; 100 ln x ; ln(1 ; (10);6x) + c0 x ln 1 ; (10);6x x 1 ; (10);6x x 1 ; (10);6x
= =
Z
dt
Z
dt
= t + c1 = t + c2 100 = e 100 +c2 t
= ce 100 t
ce 100 x = 1 + (10);6ce 100 t
t
Terapkan nilai awal x(1980) = 100 000 didapat c = 9(10) e19 8 sehingga 6
:
6 x(t) = 1 + 9e10 19:8;t=100
(3.1)
Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut 1. jumlah populasi tahun 2000 artinya t = 2000. Substitusikan nilai t ini kedalam persamaan 3.1 didapat x = 119 495. Dengan demikian jumlah populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.
21
2. jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti x = 200 000. Substitusikan nilai
x ini kedalam persamaan 3.1 didapat t = 2061. Dengan demikian jumlah populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061. 3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas (t ! 1) berarti 106 x = tlim !1 1 + 9e19:8;t=100 106 x = tlim !1 1 + 9e19:8et=100
x = 106 = 1 000 000
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu juta orang.
3.2.2 Peluruhan Radioaktif Contoh 3.2.2 Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg dalam satu minggu, maka 1. tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu 2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari jumlah semula.
Penyelesaian 3.2.2 Gunakan rumus peluruhan. Misal Q jumlah isotop Thorium234 maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah
dQ = ;rQ dt Q(0) = 100
22
Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Q(t) = 100e;rt Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop menjadi 82.04 mg artinya Q(7) = 82:04 mg akan didapat nilai r, sedemikian hingga ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah
Q(t) = 100e;0:02828t: Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaanpertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)
3.3 Hukun Pendinginan Newton Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan
dx = k(x ; x ) k > 0 s dt dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan.
Contoh 3.3.1 Suatu benda dengan suhu 80oC diletakkan diruangan yang bersuhu 50oC pada saat t = 0. Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi 70oC , maka 1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu 2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir
23
3. kapan suhu menjadi 60o C
Penyelesaian 3.3.1 Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses pendinginan dapat ditulis sebagai
dx = k(x ; 50) dt x(0) = 80 dan x(5) = 70 Solusi dari persamaan itu adalah ln(x ; 50) + c0 = kt + c1 (x ; 50) = cekt
x = 50 + cekt Masukkan nilai awal maka nilai c = 30 sehingga persamaan menjadi
x = 50 + 30ekt Dan masukkan kondisi kedua didapat ; 1 ek = 23 5
sehingga ekspresi terakhir menjadi ; x(t) = 50 + 30 32 5 Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini. t
3.4 Campuran Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campuran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada
24
saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQ dt . Kemudian bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ = IN ; OUT dt v =r liter/min k =s gram/liter
v =r liter/min
K= L liter Q(0) = Q_0 gram
Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki. Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN = kv = sr gram=liter Q v = Qr gram=liter OUT = K L
Contoh 3.4.1 Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam. Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, kemudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju 4 liter/menit. 1. Formulasikan masalah nilai awal tersebut
25
2. Tentukan jumlah garam Q setiap saat.
Penyelesaian 3.4.1 Formula campuran adalah dQ = IN ; OUT: dt Diketahui s = 1 gram=liter r = 4 liter=menit L = 200 liter dan Q(0) = 100 didapat
IN = kv = s gram=liter r liter=menit = 4 gram=liter Q v = Q gram=liter r liter=menit = 4Q gram=liter OUT = K K 200 Sehingga 1. Model PDBnya adalah
dQ = 4 ; 4Q = 4 ; Q dt 200 50 Q(0) = 100 2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat
Q(t) = 200 ; 100e;t=50
26
