BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU

BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam menyelesaikan masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara keseluruhan. Tahapan penyelesaian masalah ini biasa dikenal dengan nama masalah permodelan dan suatu tahapan penyelesaian dengan memakai teori matematika mulai digunakan disebut model matematika. Berbagai model matematika yang mempunyai bentuk persamaan diferensial biasa tingkat satu yang disajikan dalam tulisan ini di antaranya adalah L masalah laju perubahan sederhana, masalah benda jatuh bebas, masalah rangkaian listrik, masalah tabungan pendapatan, investasi, dan masalah hutang Domar. Kata Kunci: model matematika, persamaan diferensial memahami

Pendahuluan Dalam berbagai disiplin ilmu, penggunaan matematika telah demikian luasnya. Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dan memberi sumbangan yang besar bagi perkembangan

ilmu

pengeta-huan

dan teknologi. Penyebabnya adalah matematika mempunyai logika yang konsisten,

sistimatika

dan

konstruksinya dapat dijadikan alat. Juga

memberi

gagasan

untuk

keadaan

nyata

dan

mengungkap rahasia alam. Berbagai masalah nyata dalam disiplin ilmu lain proses penyelesaiannya memerlukan

matematika

yang

disertai

dengan berbagai metode dan tekniknya. Untuk

mengetahui

seberapa

peranan matematika dalam penyelesaian masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara menyeluruh. Tahapan penyelesaian masalah nyata disebut sebagai masalah permodel-

Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu

11

an. Suatu tahapan penyelesaian di

Maksudnya,

mana teori matematika mulai digu-

symbol

nakan disebut model matematika.

tika,sehingga

Pada umumnya, masalah per-

menuliskannya

dan

dalam

lambang

matema-

diperoleh

beberapa

persamaan matematika atau bentuk

modelan muncul di dunia nyata

lainnya.

sebagai

pengamatan.

berubah menjadi model matematika,

Pengamatan itu dapat dilakukan di

dan yang perlu diperhatikan pada

laboratorium atau di alam bebas,

model

sampai pada gejala yang nampak

terbaik. Pemilihan model matema-

setiap hari. Penyelesaian masalah

tika yang terbaik mempunyai hara-pan

nyata,

dapat memberikan penyelesaian yang

hasil

suatu

pembentukan

modelnya

Selanjutnya

matematika

model

dipilih

yang

melalui beberapa tahap. Tahap yang

mendekati

pertama adalah membuat pengama-

Tahap ke-5 adalah menyele-saikan

tan intuitif dan memeriksa kesa-

model matematika, yaitu menentukan

maannya dengan sistim lain yang

penyelesaian matema-tikanya. Tahap

telah diketahui sampai memperoleh

ke-6 adalah mem-buat kesimpulan

berbagai

dan

dugaan.

Tahap

kedua,

keadaan

real

dugaan

sebenar-nya.

dari

analisis

mencoba merumuskan masalahnya

matematikanya. Tahap ke-6 adalah

sampai pada konsep yang akan

membuat tafsiran atas penye-lesaian

digunakannya. Tahap yang ke-3,

baru tentang masalah nyata. Tahap

mengumpulkan informasi sebanyak-

yang

banyaknya yang berhubungan deng-

bandingkan hasil penafsiran yang

an masalahnya. Dari sini kemudian

didapat dengan keadaan nyata dan

dipilih beberapa yang penting untuk

menjelaskan

menyederhanakan masalah. Tahap

penyimpangan yang terjadi.

yang ke-4 adalah menyatakan model real

dalam bahasa matema-tika.

terakhir

Jika

adalah

perbedaan terjadi

mem-

ataupun

penyimpangan

yang besar, harus diadakan pengu-

12 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu

langan kembali proses permodel-

biasa dapat ditentukan tingkat persa-

annya dengan meninjau setiap lang-

maannya. Jika penyelesaian umum

kah yang telah dilaksanakan. Kemu-

diketahui, maka dengan mengelimi-

dian pembentukan model real dan

nasi parameternya melalui operasi

model

turunan biasa, kita dapat menentukan

matematikanya

diperbaiki.

Setelah proses perbaikan ini dilaksa-

persamaan diferesial.

nakan, diperhatikan lagi penyimpangannya. Dalam hal terjadi penyimpangan

yang

perlu

Metode pemisahan peubah

dianalisis faktor penyebabnya se-

dipakai untuk mencari penyele-

hingga

saian persamaan diferensial bi-

dari

kecil,

a. Model Pemisahan Peubah

hasil

ini

didapat

informasi yang berguna.

asa.

Bentuk

persamaan

biasa

linier tingkat satu adalah : Persamaan

Diferensial

Biasa

Tingkat Satu Persamaan diferensial adalah

dy = f ( x , y) atau y 1 = f ( x , y) dx atau F (x,y,y1)= 0

suatu persamaan yang melibatkan suatu

fungsi

beserta

turunannya.

atau F (x,y,

dy )=0 dx

Untuk fungsi dengan sebuah peu-bah

Jika persamaan diferen-sial

real, turunan yang terlibat adalah

biasanya ditulis dalam ben-tuk y1

turunan

= f (x.y) dengan mani-pulasi

biasa,

sehingga

dise-but

persamaan diferensial biasa.

aljabar dapat ditulis dalam bentuk

Penyelesaian persamaan dife-

:

rensial biasa terdiri dari penye-lesaian

P(x) + q(y) dy = 0

umum,

atau

penyeleaian

khusus

dan

penyelesaian singular (jika ada). Dari banyaknya

parameter

p(x) dx + q (y) dy = 0

pada

penyelesaian persamaan diferensial Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu

13

Dalam kasus p(x) dan q(y) fungsi elementer, maka penyelesaiannya

diperoleh

mengintegralkan

c. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu

dengan

Persamaan diferensial lini-er

ruas

tingkat satu mempunyai bentuk

kedua

umum :

persamaan itu, didapat :  p(x) dx + q(y) dy = C

A(x) y1 + B(x)y = C(x).A(x)  0

Penyelesaian umum persamaan

dengan A,B dan C kontinu pada

diferensialnya adalah:

irisan

ketiga

daerah

definisi

fungsi tersebut. Persamaan dife-

P(x) + Q(y) = C

rensial itu juga dapat ditulis dalam

dengan P(x) =  p(x) dx dan

bentuk :

Q(y) =  q (y) dy

y1 + p (r) y = q (x) dengan p dan q kontinu pada

b. Persamaan Diferensial

irisan kedua daerah deferensial.

Homogen Bertingkat Satu Persamaan

yang

mempu-

nyai bentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut

persamaan

diferensial

homogen tingkat satu jika M dan N adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk : M (tx, ty) t n M (x, y) F(x,y)== N (tx, ty) t n N (x, y)

= fl (x,y) = t° f (x,y)

Cara penyelesaiannya deng-an menggunakan Substitusi

=

y atau y = x  x Penyelesaian persamaan itu adalah dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan deferensialnya dengan faktor  p (x)dx didapat :  p (x)dx => y1 =  p (x)dx p(x)y =  p (x)dx . q(x)


Ruas kiri bentuk di atas yaitu 

saian persamaan diferensial ek-

p (x)dx.q(x) dapat ditulis sebagai

sak adalah suatu fungsi dengan

d (  p (x)dx y), ini berakibat : dx

sebuah parameter yang berben-tuk F (x,y) = C.

d ( p(x)dx.y) =  p(x)dx.q(x) dx Penyelesaian rensialnya

persamaan diperoleh

mengintegralkan

difedengan

kedua

pada persamaan deferensialnya menghasilkan bentuk yang da-pat disebut

faktor

laju

perubahan

yang

sebanding

dengan besarnya populasi pada saat itu. masalah seperti itu biasa disebut masalah laju perubahan yang sederhana.

integrasi. d. Persamaan Diferensial Eksak Persamaan deferensial yang M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut eksak jika terdapat fungsi

tersebut, dimisalkan besarnya popuP = P (t), P>0 Besarnya laju perubahan populasi pada saat t dapat dinyatakan

z = F (x,y) sehingga

sebagai :

dz = d F (x,y) = M (x,y) dx + N (x,y) dy persamaan

Untuk menyelesaikan masalah lasi pada saat t adalah :

mempunyai bentuk:

diferensial

eksak diberikan oleh teorema berikut : Misalkan fungsi dua peubah M, N,

Diketahui suatu populasi yang setiap saat besarnya berubah dengan

Faktor yang setelah dikalikan

Ciri

hana

ruas

bentuk itu.

diselesaikan

Masalah Laju Perubahan Seder-

dN dM dan . Jadi penyeledy dx

dP d (Pt ) = dt dt Disebabkan bahwa laju perubahan populasi setiap saat itu sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu, maka terdapatlah konstan k = 0 sehingga:


15

P=

Masalah Benda Jatuh Bebas

dP = kP . k = 0 dt

Apabila suatu benda dengan

Pada masalah ini, k > 0, jika P

massa m jatuh bebas, maka selain

bertambah dan k < 0 jika k ber-

gaya berat benda W = mg, benda itu

kurang. Selanjutnya kita selesaikan

juga mengalami hambatan udara yang

persamaan diferensial yang terakhir

menurut

dengan menggunakan metode pemi-

berbanding lurus dengan kuadrat

sahan peubah :

kecepatannya.

Apabila

besarnya kecepatan

dP = k.dt p

benda tersebut pada saat t adalah v

dP =  k.dt p

adalah b, maka besarnya hambatan



dan

terdapat gaya lain yang mempe-

P = Ckt.CC1

ngaruhi gerakan benda, maka me-

kt

P = C e .C > 0 besarnya

nurut Hukum Kedua Newton, massa populasi

pada saat t berbentuk fungsi eksponensial P = P (t) = C e kt.C > 0 memperhatikan

perbandingannya

Dengan mengandalkan bahwa tidak

P = e kt+c1

Ternyata

konstanta

udara adalah U, maka U = bv².

ln P = kt + C1

Dengan

penelitian

bentuk

kali percepatan sama dengan gaya diperoleh persamaan diferensial. m=

fungsi itu, kita mengatakan bahwa populasinya terbentuk secara eksponential. Selanjutnya, jika diketa-

dv = mg – bv² dt dan

V (o) = Vo Kita

selesaikan

persamaan

hui dua data untuk besarnya P pada

diferensial itu dengan peubah bebas t

saat yang berbeda, maka kita dapat

dan peubah tidak bebasnya v. Akan

menentukan besarnya konstan C dan

diperoleh informasi tentang sifat v

k.

sebagai fungsi dari t, yaitu besarnya kecepatan pada setiap saat. Dari 16 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu

bentuk ini kita dapat mem-berikan

oleh

bahwa

tafsiran fisisnya.

sepanjang induktor berbanding lurus dengan

Masalah Listrik

besarnya

laju

daya

perubahan

EL

arus

I,

dinyatakan dengan notasi matema-

Kita mempunyai suatu rang-

tika sebagai :

kaian listrik yang terdiri dari daya EL = L.

gerak listrik. E (t) vol, tahanan

dl dt

(resistansi) R ohm dan induktansi L

dengan konstanta perbandingan L

Henry

disebut induktansi.

seperti

ditunjukkan

pada

gambar berikut :

Menurut R

jumlah

aljabar

hukum dari

Kirchoff, daya

yang

dihasilkan sepanjang suatu tahanan tertutup adalah nol, atau besarnya E(t)

S

daya yang diberikan pada suatu rangkaian

tertutup

sama

dengan

jumlah sisa daya pada rangkaian S = saklar L Apabila saklar pada rangkaian

tersebut.

Diperoleh

matematika:

ditutup maka terjadi aliran arus litrik

EL + ER = E (t)

pada rangkaian tersebut. Menurut

yang

hukum Ohm, besarnya daya ER

deferensial

sepanjang resistor berbanding lurus dengan arus sesaat I. Dinyatakan dengan notasi matematika sebagai : ER = R.I Dengan konstanta perbanding-

hubungan

memberikan

L

persamaan

dl + RI = E (t) dt Atau

dl R I + I= E (t) dt L L

an R disebut tahanan (resistansi).

Model matematika rangkaian

Dari eksperimen (percobaan) diper-

listrik ini berbentuk persamaan dife-


17

rensial linear dengan peubah bebas t dan I sebagai peubah tidak bebas-nya. Penyelesaian persamaan dife-rensial

langsung marginal

tersebut I = I (t), yang menyatakan

dengan

dy , dinyatakan dengan: dt

I (t) = g.

besarnya arus listrik pada setiap saat.

penda-patan

dy ....................... (2) dt

Konstanta g diharapkan lebih besar Masalah Tabungan

dari pada nol dan merupakan nilai

Masalah tabungan S, penda-

banding pertambahan modal terha-

patan y, dan investasi I model

dap pendapatannya, dinyatakan se-

matematikanya dibuat oleh Domar

bagai:

dan

Harrod.

Dengan

persamaan

g=

differensial, maka model ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Tabungan S suatu masyarakat

Idt dK = dy dy

dengan dK = I ; dt = pendapatan modal K.

pada waktu t adalah fraksi tertentu s

Menurut definisi maka tabung-

dari pendapatannya y pada waktu itu,

an yang terealisasi masyarakat ada-

dinyatakan sebagai :

lah

pertambahan

kekayaannya.

Besarnya sama dengan pendapatan S (t) = s . y (t) … (1) dengan anggapan bahwa tabungan yang diinginkan dan tabungan yang terealisasi sama adanya. Fraksi s letaknya antara nol dan satu merupakan kecenderungan marginal atau rerata untuk menabung. para

harus sama, sehingga S ter-realisasi = I

terealisasi.

Pada

umum-nya

tabungan yang diinginkan tidak perlu sama dengan tabungan teren-cana sehingga: S terrealisasi = S terencana

Investasi I yang diinginkan atau direncanakan

dikurangi konsumsi, maka kedua-nya

entrepreneur

masyarakat pada waktu t ber-banding

= I terrealisasi. Investasi terealisasi yang sama dengan tabungan terealisasi itu dapat


dihitung dengan rumus (1) dan

menyatakan pengaruh belanja defi-sit

investasi terencana dapat dihitung

atas pendapatan nasional.

dengan rumus (2).

Dimisalkan

Para entrepreneur masyarakat

untuk

mencegah

pengangguran diambil kebijaksana-an

investasi

belanja defisit. Defisit dD dalam

terencana = investasi terrealisasi. Ini

jangka waktu dt berbanding lang-

dinyatakan sebagai :

sung dengan dt dan dengan panda-

menginginkan

agar

S (t) = I (t) …................. (3)

patan nasional y, sehingga hubung-an

yang dengan persamaan (1) dan (2)

ini

menjadi

persamaan.

g=

dapat

dy = S. y (t) dt persamaan

dalam

dD = k y dt

dD = ky … (1) dt

Persamaan yang terakhir ini merupakan

dinyatakan

deferensial

Defisit dD ditutup dengan

tingkat satu yang peubahnya dapat

pinjaman,

dipisahkan menjadi :

merupakan hutang nasional. Persa-

dy S = dt y g

maan (1) menyatakan bahwa laju naik

demikian

D

hutang nasional berbanding langsung

Penyelesaian umumnya adalah : S g = t = lnC y

y = Ce

dengan

dengan tetapan

pendapatan k

nasi-onal

adalah

y.

persentase

pendapatan nasional yang dipinjam

S t y

negara. Dalam model matematika itu

Masalah Hutang Model

matematika

perlu masalah

hutang ini biasa disebut sebagai model hutang domar. Model ini

dimisalkan

lagi

bagaimana

pendapatan nasional y berubah dengan waktu t, maka diandaikan : Y = at + yo …. (2)


19

Dengan a = konstanta, dan yo

bahan sederhana, masalah benda

= pendapatan pada waktu t = a.

jatuh, masalah rangkaian listrik,

substitusi

masalah tabungan pendapatan dan

(2)

dalam

(1)

meng-

investasi, masalah hutang dan lain-

hasilkan persamaan deferensial.

lain.

dD = k at + k yo dt

Daftar Pustaka

Penyelesaian umumnya adalah : D = ½ k at² + ky ot + C Penutup Persamaan diferensial ada-lah salah satu cabang matematika yang banyak

digunakan

untuk

men-

jelaskan masalah-masalah yang dapat dimodelkan. Alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat masalah-masalah yang ditinjau digunakan persamaan deferensial. Persamaan deferensial yang paling sederhana adalah persamaan deferensial tingkat satu. Persamaan ini dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah laju peru-

Ayres. F. 1952. Theory and Problem Of Differential Equation. New York : Schaum’s Out Line Series. Mc Graw Hill. Johannes H, Budiomo Sri Handoko. 1981.Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta : LP3ES. Martono. K. 1990. Kalkulus Persamaan Diferensial Biasa. Bandung : ITB. Nababan. 1987. Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta. Karunika. Simmons. G.T. 1979. Differential Equations With Applica- tions and Historical Notes. Tata Mc.Graw: Hill Publishing.


BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU

Recommend Documents