Sub-sub Bab Turunan Fungsi 1.
2.
3.
Perilaku Laju Perubahan - Laju Perubahan Rata-rata. - Garis Singgung pada Sebuah Kurva. - Laju Perubahan Sesaat Turunan Fungsi (Derivatif). - Turunan Fungsi Suku Banyak. - Turunan Hasil Kali atau Hasil Bagi Fungsi-fungsi. - Turunan Pangkat Rasional suatu Fungsi. - Turunan Fungsi Balikan. - Turunan Berordo Tinggi. - Turunan Fungsi Implisit. - Turunan Fungsi Majemuk (Komposit)/Kaidah Rantai. Diferensial. ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
0
TURUNAN FUNGSI ILUSTRASI TERAPAN MASALAH ♣ Pada tanaman gandum yang tingginya 60 cm diberikan hormon pertumbuhan. Selama minggu pertama percobaan ini, tanaman tersebut tumbuh dengan laju rata-rata 0.10 cm per hari; pada minggu kedua percobaan ini laju rata-rata pertumbuhannya menjadi 0.04 m per hari; dan pada minggu ketiga percobaan tersebut, laju rata-rata pertumbuhannya menjadi 20 cm per hari. Tentukanlah tinggi tanaman gandum pada akhir minggu ketiga ! Berapakah laju rata-rata pertumbuhannya selama periode waktu tiga minggu itu ? ♣ Andaikan protein diuraikan menjadi asam-asam amino menurut rumus di bawah ini: M = 24/(t + 1) sedangkan M merupakan massa protein dalam satuan gram dan t adalah waktu dalam satuan jam. Tentukanlah laju rata-rata reaksi penguraian tersebut dari t = 0 sampai dengan t = 2. ♣ Parasit ádalah hewan atau organisma yang hidup pada atau di dalam organisma lainnya yang disebut inang. Parasit itu ada yang bermanfaat dan ada pula yang berbahaya bagi inangnya. Binatang memamah biak seperti domba sangat tergantung pada sejenis parasit untuk melakukan pencernaan makanannya. Parasit sering juga digunakan sebagai pemberantas hama secara biologis. Salah satu jenis parasit terakhir ini dapat menghancurkan telur labah-labah. Jika banyaknya labah-labah pada suatu daerah ialah H dan banyaknya relatif parasit itu ialah P, maka anggaplah hubungan antara H dengan P merupakan fungsi berbentuk : H(P) = M(5 – P3), Sedangkan M ialah maksimum banyaknya populasi inang. Akan tetapi, parasit itu hanya dapat berkembang biak pada suhu yang berkisar di antara 21oC sampai dengan 30 oC. Oleh karena itu banyaknya relatif parasit merupakan fungsi dari suhu t dan anggaplah : P(t) = (t – 21)(30 – t)/15 Dengan demikian banyaknya populasi labah-labah H dipengaruhi oleh suhu, meskipun populasi labahlabah tidak peka terhadap suhu. Keadaan demikian itu dapat dirumuskan sebagai fungsi majemuk : H(t) = (H . P)(t) = H(P(t)), untuk 21≤ t ≤ 30. Tentukanlah laju perubahan populasi labah-labah ini pada suhu 25 oC. Apakah populasi labah-labah ini akan bertambah atau berkurang ? Apakah anda mengetahui bagaimana memecahkan persoalan-persoalan di atas ? Ungkapan-ungkapan seperti tingkat atau laju pertumbuhan dan yang sejenisnya dalam masalah-masalah pertanian, ekonomi dan bisnis, kehidupan, perilaku ataupun laju reaksi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak, atau kepekatan massa dalam masalah-masalah pengetahuan alam dan keteknikan sesungguhnya merupakan istilah untuk menyatakan laju perubahan sesaat dari suatu fenomena yang kontinyu. Kajian perilaku laju tersebut dapat dilakukan melalui model matematikanya yang berbentuk fungsi kontinyu. Pada hakikatnya istilah-istilah
1
semacam ini mempunyai satu konsep dasar matematika yang dikenal sebagai turunan fungsi, yang merupakan tahapan awal studi tentang kalkulus diferensial. Jadi kasus-kasus di atas dapat anda selesaikan melalui turunan fungsi. Pertanyaannya sekarang, apakah yang dimaksud dengan turunan fungsi ? Apa konsepnya ? Mengapa anda dapat menerapkan turunan pada kasus-kasus di atas ? Lalu bagaimana menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut jika menggunakan turunan fungsi ? Mempelajari turunan fungsi sebenarnya tidaklah terlalu sulit. Apalagi jika anda mengetahui trik-trik khusus pada turunan suatu fungsi ini, maka mungkin anda akan lebih menyukai dan tertantang ketika menghadapi permasalahan yang berkaitan dengan turunan fungsi. Faktor terpenting adalah ketelitian dalam membaca soal atau masalah serta khususnya dalam hal ini, menghafalkan formula-formula atau rumus-rumus yang ada, untuk kemudian menggunakannya dengan tepat. Hal ini disebabkan pada turunan fungsi, formula atau rumus yang digunakan cukup banyak, sehingga anda harus memiliki cara yang kreatif untuk dapat mengingat formula-formula tersebut dengan lebih cepat. Dalam bab ini diungkapkan pengertian turunan dan sifat-sifat serta penerapannya dalam menentukan laju perubahan per satuan waktu dari peubah-peubah kontinyu yang saling terpaut, rumus-rumus dasar pendiferensialan, penggunaan berbagai jenis derivatif, turunan berordo tinggi serta pendiferensialan implisit.
MATERI BAHASAN Perkembangan kalkulus diferensial dalam abad ketujuh belas untuk sebagian besar dipengaruhi oleh dua masalah, yaitu : ♦ Menemukan tanjakan (kemiringan) garis singgung di sebuah titik pada suatu kurva yang diketahui. ♦ Menentukan kecepatan sesaat sebuah partikel yang bergerak sepanjang garis lurus dengan laju yang berubah. Perilaku Laju Perubahan - Laju Perubahan Rata-rata. Laju perubahan rata-rata fungsi y = f (x) dalam selang tertutup [x1,x2] ialah : ∆y f (x2) – f (x1) = ∆x x2 – x1 - Garis Singgung pada Sebuah Kurva. Andaikan y = f(x) sebuah fungsi dan P; (c, f(c)) suatu titik pada grafik f (x). Tanjakan (kemiringan) garis singgung grafik f di P; (c, f(c)) adalah : ∆y lim ∆x→0
∆x
f(c + ∆ x) – f (c) =
lim ∆x→0
∆x
, asalkan limitnya ada.
Persamaan garis singgung ini ialah : y – f(c) = {f ‘(c)}. (x – c). - Laju Perubahan Sesaat. Misalkan fungsi y = f (x) didefinisikan di sekitar x = c. Yang dimaksud dengan laju perubahan sesaat pada x = c ialah : ∆y lim ∆x→0
f(c + ∆x) – f (c) =
∆x
lim ∆x→0
, asalkan limitnya ada. ∆x
Limit pada definisi ini dapat dituliskan dalam bentuk yang lain. Misalkan x = c + ∆x, yang berarti pula
2
bahwa ∆x = x – c. Dengan demikian jika ∆x 0, maka x ∆y lim ∆x→0
∆x
c. Oleh karena itu :
f (x) – f (c) = lim ∆x→0
x–c
Turunan Fungsi (Derivatif). Misalkan fungsi y = f(x), turunan fungsi f adalah fungsi f ‘ yang nilainya di titik c dalam daerah asal f adalah : ∆y f ’(c) =
lim ∆x→0
f(c + ∆ x) – f (c) =
∆x
lim ∆x→0
, asalkan limitnya ada. ∆x
Jika limit ini ada, maka f dinamakan terdiferensialkan (terturunkan) di c. Daerah asal f ‘ adalah himpunan bagian daerah asal f. Menentukan sebuah fungsi dinamakan pendiferensialan (penurunan). Lambang lain untuk f ‘ adalah Dxf (baca “turunan f menurut x”); dalam hal ini x adalah peubah bebas f. Jika diandaikan y = f (x), lambang lain untuk turunan f adalah dy/dx dan Dxy (baca “turunan y menurut x”). Jadi turunan fungsi f(x) pada titik x = c ialah : f(c + ∆ x) – f (c) f ’(c) =
lim ∆x→0
∆x
Turunan sebuah fungsi adalah suatu limit. Juga, bahwa jika limit tersebut ada, maka fungsi yang bersangkutan kontinyu. Dengan demikian fungsi, limit dan kekontinyuan hubungannya erat sekali dengan konsep derivatif. - Turunan Fungsi Suku Banyak. Teorema 1. Jika k konstanta dan f (x) = k maka Dxf = 0 atau Dxk = 0. Teorema 2. Andaikan f fungsi identitas yang didefinisikan sebagai f (x) = x. Maka Dxx = 1. Teorema 3. Andaikan f fungsi yang didefinisikan sebagai f (x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka Dxxn = nxn-1. Teorema 4. Andaikan f fungsi yang dapat diturunkan dan k sebuah konstanta, maka D x[k . f (x)] = k . Dxf (x). Teorema 5. Derivatif jumlah aljabar dua fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah aljabar derivatif fungsi-fungsi. Dengan rumus : D x(f ± g) = Dxf ± Dxg. Teorema 6. Teorema akibat. Derivatif jumlah fungsi-fungsi yang terhingga banyaknya dan yang dapat diturunkan sama dengan jumlah turunannya.
3
- Turunan Hasil Kali atau Hasil Bagi Fungsi-fungsi. Teorema 1. Turunan produk dua fungsi yang dapat diturunkan sama dengan fungsi pertama dikalikan turunan fungsi kedua ditambah dengan fungsi kedua dikalikan dengan turunan fungsi yang pertama. Dengan rumus : D x(u . v) = u . Dxv + v . Dxu. Teorema 2. Jika v dapat diturunkan, maka Dx(1/ v) = - (Dxv) / v2. Teorema 3. Derivatif hasil bagi dua fungsi yang dapat diturunkan sama dengan penyebut kali turunan pembilang dikurangi dengan pembilang kali turunan penyebut dibagi seluruhnya oleh kuadrat penyebut : v . Dxu – u . Dxv Dx(u / v) = asal v (x) ≠ 0 v2 - Turunan Pangkat Rasional suatu Fungsi. Teorema 1. Andaikan n bilangan rasional. Maka Dxxn = nxn –1, dengan x bilangan real yang membuat xn –1 real. Misalnya : 3x - ¼ 3/4 ¾ -1 Dxx = (¾)x = ; 4 dan Dxx-7 = – 7(x-7-1) = – 7x-8. Teorema 2. Apabila n bilangan rasional dan u fungsi dari x yang dapat diturunkan maka Dxun = nun – 1 . Dxu, Untuk nilai x yang membuat [u (x)]n – 1 real. Misalnya u(x) = 2x3 – 7x + 9 dan n = 1/5, maka D x(2x3 – 7x + 9)1/5 = 1/5(2x3 – 7x + 9)1/5 –1 . Dx(2x3 – 7x + 9) = 1/5(2x3 – 7x + 9)-4/5 (6x2 – 7). - Turunan Fungsi Balikan. Andaikan y = f (x) dan x = f -1 (y) balikannya yang dapat didiferensialkan. Maka turunan-turunannya adalah saling kebalikan. Yaitu dx/dy = 1/(dy/dx). Sebagai contoh, jika y = f (x) = x3 dan x = f -1(y) = y1/3 maka dy/dx = 3x2 dan dx/dy = 1/3 y –2/3 = 1/3(x3)-2/3 = 1/(3x2). Teorema. Andaikan y = f (x) mendefinisikan sebuah fungsi f yang dapat didiferensialkan pada sebuah selang I. Andaikan x1 ∈ I dengan f ’(x1) ≠ 0. Andaikan f –1 balikan f yang kontinyu pada selang terbuka f yang memuat titik y1 = f (x1). Maka x = f -1(y) dapat diturunkan di y1 dan nilai dx/dy di y1’ adalah : 1 dx/dy = . dy dx - Turunan Berordo Tinggi. Derivatif sebuah fungsi yang juga merupakan fungsi dapat diturunkan lagi. Andaikan f fungsi dari f ‘ turunan f. Turunan pertama f ‘ adalah turunan kedua f jika ada dan dilambangkan dengan f ‘’(baca : “f dua aksen”). Begitu pula turunan ketiga f adalah turunan pertama f ‘’ dan ditulis sebagai f ‘’’(baca : “f tiga aksen”). Misalnya : Andaikan f fungsi yang didefinisikan sebagai f (x) = 2x3 + x – 5 ; maka turunan pertama f adalah f ’ dengan f ‘(x) = 6x2 + 1, sedangkan turunan kedua f adalah f “ dengan f ” (x) = 12x dan turunan ketiga f adalah f ”’ dengan f ’’’ (x) = 12.
4
Apabila n bilangan positif bulat lebih dari 2, maka turunan ke n fungsi f adalah turunan pertama dari turunan ke (n – 1) fungsi f. Lambang-lambang untuk turunan ke-n fungsi f adalah : dnf n f(n), D x f, dan , dxn Adakalanya berguna untuk melambangkan f sebagai f(0). - Turunan Fungsi Implisit. Sebuah persamaan seperti x2 + y2 = 1, juga menentukan sebuah fungsi dari x jika di batasi pada ketentuan bahwa pada tiap bilangan x1 dalam selang tertutup [-1, 1] ada bilangan y1 = √ 1 – x12 . Dikatakan 2 2 bahwa persamaan x + y = 1 mendefinisikan secara implisit sebuah fungsi dari x atau mendefinisikan suatu fungsi implisit dari x. Sebagai cara untuk menentukan turunan sebuah fungsi implisit yang dapat didiferensialkan akan diterangkan dalam contoh soal pemecahan masalah. Dalam melakukan hal ini tidak perlu dinyatakan peubah tak bebas dengan peubah bebas yang terdapat dalam persamaan dengan dua peubah yang diketahui. Cara demikian dinamakan pendifrensialan implisit. - Turunan Fungsi Majemuk (Komposit)/Kaidah Rantai. Teorema Kaidah Rantai. Andaikan y = f (u) dan u = g(x) dengan f dan g fungsi-fungsi. Jika g dapat diturunkan di x dan f dapat diturunkan di u = g(x) maka fungsi komposit y = f (g(x)) dapat diturunkan di x dan berlakulah : dy dy du = . atau dx du dx Dxf (g(x)) = f ‘(u) . g ‘(x) atau f ’(x) = (f . g)’(x) = f ’ (g(x)) . g’(x), yang ekivalen. Diferensial. Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada nilai x1 peubah bebas x dan andaikan y = f (x). Maka : Diferensial dx dari peubah bebas x adalah perubahan sembarang x; jadi dx = ∆x. Diferensial dy dari peubah tak bebas y [atau d f(x), yaitu diferensial fungsi] di x1 adalah : dy = f ’(x1)dx. Rumus-rumus untuk diferensial-diferensial dapat dijabarkan dari rumus-rumus bersangkutan untuk turunanturunan dengan jalan mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan diferensial peubah bebas. Sebagai contoh, andaikan u dan v fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan maka : 1. 2.
d(uv)
dv = u
dx
du + v
dx
. dx
Jika ruas kiri dan ruas kanan persamaan tersebut dikalikan dengan diferensial dx, dan bentuk-bentuk d(uv)/dx, du/dx, dan dv/dx dianggap sebagai hasil bagi diferensial, maka diperoleh : d(uv) = u dv + v du. Jadi diferensial hasil kali dua fungsi yang dapat diturunkan sama dengan fungsi pertama dikalikan dengan diferensial fungsi kedua ditambah dengan fungsi kedua dikalikan dengan diferensial fungsi pertama. Di bawah ini terdapat daftar yang jalur pertamanya memuat rumus-rumus untuk turunan-turunan yang ditulis dengan notasi Leibniz, sedangkan jalur kedua memuat rumus-rumus yang sesuai dengan bentuk diferensial.
5
1.
dc
1’. dc = 0 = 0
dx 2.
d(cu)
du
2’. d(cu) = c du
= c dx 3.
dx
d(u + v)
du =
4.
dx d(uv)
dx dv = u
dx du
dx
d(u/v)
3’. d(u + v) = du + dv 4’. d(uv) = u dv + v du
+ v
dx
5.
dv =
dx
v(du/dx) - u(dv/dx)
5’.
= v2
dx 6.
u d(
d(un)
v du - u dv ) = v2
v 6’. d(un) = nun-1 du
du n-1
= nu dx
dx
Teorema Akibat. Andaikan y = f (x). Maka dy = f ’(x)dx walaupun x bukan peubah bebas atau walaupun x fungsi peubah lain. CONTOH SOAL PEMECAHAN MASALAH 1. Andaikan sebuah mobil memerlukan waktu 3 jam untuk perjalanan dari Bandung ke Jakarta. Berdasarkan anggapan jarak Bandung-Jakarta adalah 180 km, dikatakan bahwa kecepatan (laju) rata-rata mobil itu selama periode waktu 3 jam tersebut ialah : ∆S ∆t
perubahan jarak =
180 =
perubahan waktu
= 60 km/jam. 3
2. Dalam sistem biologi, laju perubahan suatu faktor kadang-kadang diketahui, meskipun bentuk fungsi dari faktor tersebut tidak diketahui. Pada keadaan seperti ini nilai fungsi itu dapat diaproksimasi dengan menggunakan laju perubahan; misalnya volume air yang diserap tanaman. Volume air sebenarnya yang diserap atau dikeluarkan daun atau tangkainya sangat sukar diukur secara langsung. Akan tetapi, perubahan air yang ada (laju aliran) dapat diukur dalam selang waktu yang singkat dengan menggunakan suatu alat tertentu. Andaikanlah laju aliran rata-rata dalam anak selang dari selang waktu [0, 1.5] diberikan pada tabel berikut : Anak Selang Laju aliran rata-rata
[0, 0.25] 0.80
[0.25, 0.50] 1.20
[0.50, 1.00] -1
[1.00, 1.50] 0.20
Misalkan V(t) menyatakan volume H 2O pada saat t, dan anggaplah V(0) = 14. Laju aliran rata-rata volume H2O, V(t), selama selang waktu [a,b] adalah :
6
∆V
V(b) – V(a) =
; Oleh karena itu
∆t
b–a
V(b) = V(a) + (b – a) . (∆V/∆t). Formula ini dapat digunakan untuk menghitung volume H 2O pada t = 1.5 melalui proses beruntun seperti tercantum pada tabel berikut : Langkah 1. 2. 3. 4.
Selang [a,b] [0, 0.25] [0.25, 0.50] [0.50, 1.00] [1.00, 1.50]
V(b) V(0.25) V(0.50) V(1.00) V(1.50)
= = = = =
V(a) 14.00 14.20 14.50 14.00
+ + + + +
(b – a) (∆V/∆t) (0.25 – 0) (0.80) (0.50 – 0.25)(1.20) (1.00 – 0.50)(-1) (1.50 – 1.00)(0.20)
= = = =
14.20 14.50 14.00 14.10
Seandainya laju aliran tersebut dianggap konstan pada setiap anak selang selama pengukuran berlangsung, maka volume H2O terhadap waktu merupakan garis lurus pada setiap anak selang. 3. Suatu tumor, t hari setelah ditemukan, diduga mempunyai massa total : M(t) = (7)(10-4)t2 gram Berapakah laju pertumbuhan tumor itu pada hari yang kelima ? Jawab : Laju pertumbuhan tumor (LPT) pada hari yang kelima ialah : (7)(10 -4)t2 – (7)(10-4)(52)
M(t) – M(5) LPT = lim
t →5
= lim t–5
t →5
t–5
(7)(10 -4)(t2 – 52) = lim (7)(10-4) (t + 5) = 0.007 gram/hari.
LPT = lim
t →5
t–5
t →5
4. Misalkan suatu benda bergerak sepanjang suatu rel dan jarak yang ditempuh benda itu setelah t satuan waktu sejak berangkat dari titik acuan dilambangkan oleh fungsi S(t). Dalam hal ini, kecepatan benda pada saat t0 didefinisikan sebagai laju perubahan sesaat dari fungsi S(t) pada t = t0. Oleh karena itu kecepatan pada saat t ialah : S(t + ∆t) – S(t) V(t) = lim ∆t→0 ∆t Kecepatan ini dapat bernilai positif atau negatif, tergantung pada orientasi terhadap titik acuan. Laju (speed) benda ini adalah nilai mutlak dari kecepatan : Laju = V(t)
7
Percepatan benda ini didefinisikan sebagai laju perubahan sesaat dari kecepatan dan dilambangkan sebagai a(t), V(t + ∆t) – V(t) a(t) = lim , ∆t→0 ∆t Pada hakekatnya bentuk limit pada Laju Perubahan Sesaat : ∆y lim
∆t→0
∆x
f(c + ∆x) – f(c) = lim
∆x→0
∆x
,
Merupakan konsep matematika. Untuk sembarang fungsi f dan titik x 0 kita dapat menghitung limit tersebut jika nilainya ada. Untuk memberikan nama matematika bagi limit tersebut di atas, yang tidak terpaut pada bentuk modelnya atau masalahnya, diperkenalkanlah pengertian turunan. 5. Tentukanlah persamaan garis singgung terhadap kurva fungsi f(x) = x3 – 1 pada titik (1,0) ! Jawab : f(x) – f(1) (x 3 – 1) – 0 f ’(1) = lim = lim , ∆x→1 ∆x→1 x–1 x–1 = lim (x 2 + x + 1) = 3 ∆x→1
Jadi persamaan garis singgung terhadap kurva y = f(x) pada titik (1,0) ialah : y – 0 = 3(x – 1) atau y = 3x – 3. 6. Andaikan f sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = 13x – 6. Tentukan f ’(4), yaitu nilai f ’ di titik x = 4. Jawab : Menurut Ketentuan f(4 + ∆x) – f(4) f ‘(4) = lim
∆x →0
∆x
[13(4 + ∆x) – 6] – [13(4) – 6] = lim
∆x →0
∆x
13(∆x) = lim
∆x →0
∆x
Oleh karena pembilang dan penyebut pecahan 13(∆x)/∆x memiliki limit nol apabila ∆x→0, kita tak dapat menentukan limit tersebut dengan cara substitusi. Akan tetapi : 13(∆x)/∆x = 13. untuk semua ∆x ≠ 0. Sehingga kita peroleh : 13(∆x) lim = lim 13 = 13 ∆x →0 ∆x →0 ∆x Jadi nilai derivatif f di x = 4 adalah 13. 7. Hitunglah turunan fungsi f(x) = 5x6 – 2x3 + x2 – 1 ! Jawab : Dxf = D x(5x6) – Dx(2x3) + Dx(x2) – Dx(1) = 30x5 – 6x2 + 2x.
8
8. Hitunglah turunan fungsi y = f(x) = (1 – 2x3)17. Jawab : Misalkanlah u = 1 – 2x3, maka : Dxy = Dxu17 = 17u16.Dxu = 17(1 – 2x3)16. Dx(1 – 2x3) = 17(1 – 2x3)16. (-6x2) = -102x2(1 – 2x3)16. 9. Hitunglah turunan fungsi y = f(x) = (1 – x3)6/(x2 + 1) ! Jawab : Dengan menggunakan teorema turunan hasil bagi dua fungsi diperoleh : (x2 + 1) Dx(1 – x3)6 – (1 – x3)6 Dx(x2 + 1) Dxy =
(x2 + 1) 6(1 – x3)5Dx(1 – x3) – (1 – x3)6 (2x) =
x2 + 1
x2 + 1
6(x2 + 1) (1 – x3)5. (-3x2) – 2x(1 – x3)6 Dxy =
2x(1 – x3)5{- 9(x2 + 1)x – (1 – x3)} =
x2 + 1
x2 + 1
2x(1 – x3)5 (- 9x3 – 9 x – 1 + x3) Dxy =
- 2x(1 – x3)5 (8x3 + 9 x + 1) =
x2 + 1
x2 + 1
10. Jika f (x) = 2x2 + 1 dan g(x) = 1/x, tentukanlah turunan fungsi majemuk h(x) = (f . g)(x) dan F(x) = (g . f)(x). Jawab : Ada tiga cara untuk menyelesaikannya, yaitu : Cara 1 : Dari f (x) = 2x2 + 1, diperoleh f ’(x) = 4x dan f ‘ (g(x)) = f ‘(1/x) = 4/x. Karena g(x) = 1/x, maka g’(x) = -1/x2 dan g’(f (x)) = g’(2x2 + 1) = -1/(2x2 + 1)2. Oleh karena itu dengan menggunakan kaidah rantai diperoleh : h’(x) = (f . g)’(x) = f ’(g(x)) g’(x) = 4/x . [-1/x2] . -4/x3; dan F’(x) = (g . f)’(x) = g’(f (x))f ’(x) = -1/(2x2 + 1)2 . 4x = -4x/(2x2 + 1)2. Cara 2 : Misalkan y = f (u) = 2u2 + 1 dan u = g(x) = 1/x. Oleh karena itu dy/dx = 4u = 4/x dan du/dx = -1/x2. Dengan demikian : h’(x) = dy/dx = du/dy . du/dx = 4/x . [-1/x2] = -4/x3. Misalkan pula y = g(u) = 1/u dan u = f (x) = 2x2 + 1.
9
Maka diperoleh dy/du = -1/u2 = -1/(2x2 + 1)2 dan du/dx = 4x. Dengan demikian : F’(x) = dy/dx = dy/du . du/dx = -1/(2x2 + 1)2 . 4x = -4x/(2x2 + 1)2. Cara 3 : Susunlah dahulu bentuk fungsi majemuknya : h(x) = (f . g)(x) = f (g(x)) = f(1/x) = 2/x2 + 1 dan F(x) = (g . f)(x) = g(f(x)) = g(2x2 +1) = 1/(2x2 + 1) Jadi h’(x) = d/dx [2/x2 + 1] = -4/x3 dan F’(x) = d/dx[1/2x2 + 1] = -1/(2x2 +1)2 [d/dx(2x2 + 1)] = -4x/(2x2 + 1)2. 11. Jika fungsi f(x) = x 2, untuk x > 0, maka turunan fungsi kebalikannya pada titik x = 4, yaitu f-1(4) dapat ditentukan dengan cara seperti berikut : (1) Karena titik x = 4 pada fungsi f-1 berpadanan dengan titik x =2 pada fungsi f, maka kita hitung dahulu f’(2). Dalam hal ini f’(x) = 2x, sehingga f ‘(2) = 4. (2) Dengan rumus di atas diperoleh f-1(4) = 1/f’(2) = ¼.
12. Andaikan x2 + 5y2 = 1 menentukan secara implisit sebuah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan. Tentukanlah D xy. Jawab : Turunkan tiap suku persamaan yang diketahui terhadap x. Maka : Dx(x2) + 5Dx(y2) = Dx(1). Oleh karena diandaikan bahwa y adalah fungsi dari x maka dalam suku kedua ruas kiri yaitu 5Dx(y2), turunkan y terhadap x dengan menggunakan aturan rantai. Artinya y2 kita turunkan terlebih dahulu menurut y kemudian kita kalikan hasilnya dengan turunan y menurut x. Maka dari Dx(x2) + 5Dx(y2) = Dx(1) diperoleh : -2x -x 2x + 5(2y)Dx y = 0 sehingga D xy = = , y ≠ 0. 10y 5y 13. Andaikan x3 + x 2y - 10y4 menentukan secara implisit sebuah fungsi dari x yang dapat diturunkan. Tentukan Dxy. Jawab : Turunkan persamaan yang diketahui suku demi suku. Maka diperoleh : Dx(x3) + Dx(x2y) – Dx(10y4) = D x(0). Sehingga 3x2 + [x2 . Dxy + y . D x(x2)] - 10(4y3 . Dxy) = 0 atau 3x2 + x 2 . Dxy + 2xy - 4 0 y3 . Dxy = 0 Akhirnya 3x2 + 2xy
10
Dxy =
, 40 y3 – x2
40 y3 - x2 ≠ 0.
14. Jika f(x) = 3x4 + 2x3 – 5x2 + 4x + 3, maka : Dx(f(x)) = f(1)(x) = 12x3 + 6x2 – 10x + 4, Dx2(f(x)) = f(2)(x) = 36x2 + 12x – 10, Dx3(f(x)) = f(3)(x) = 72x + 12, Dx4(f(x)) = f(4)(x) = 72, dan Dxn(f(x)) = 0 untuk n ≥ 5. 15. Kecepatan suatu partikel yang bergerak sepanjang suatu lintasan didefinisikan sebagai V(t) = Dtf(t), sedangkan f(t) menyatakan jarak yang ditempuh partikel itu dari suatu titik tertentu pada saat t. Percepatan partikel itu didefinisikan sebagai laju perubahan dari kecepatan, yaitu a(t) = Dt(V(t)). Akibatnya percepatan merupakan turunan kedua dari fungsi f : a(t) = D2t(f(t)). 16. Parasit ádalah hewan atau organisma yang hidup pada atau di dalam organisma lainnya yang disebut inang. Parasit itu ada yang bermanfaat dan ada pula yang berbahaya bagi inangnya. Binatang memamah biak seperti domba sangat tergantung pada sejenis parasit untuk melakukan pencernaan makanannya. Parasit sering juga digunakan sebagai pemberantas hama secara biologis. Salah satu jenis parasit terakhir ini dapat menghancurkan telur labah-labah. Jika banyaknya labah-labah pada suatu daerah ialah H dan banyaknya relatif parasit itu ialah P, maka anggaplah hubungan antara H dengan P merupakan fungsi berbentuk H(P) = M(5 – P3), Sedangkan M ialah maksimum banyaknya populasi inang. Akan tetapi, parasit itu hanya dapat berkembang biak pada suhu yang berkisar di antara 21oC sampai dengan 30 oC. Oleh karena itu banyaknya relatif parasit merupakan fungsi dari suhu t dan anggaplah : P(t) = (t – 21)(30 – t)/15 Dengan demikian banyaknya populasi labah-labah H dipengaruhi oleh suhu, meskipun populasi labah-labah tidak peka terhadap suhu. Keadaan demikian itu dapat dirumuskan sebagai fungsi majemuk : H(t) = (H . P)(t) = H(P(t)), untuk 21≤ t ≤ 30. Tentukanlah laju perubahan populasi labah-labah ini pada suhu 25 oC. Apakah populasi labah-labah ini akan bertambah atau berkurang ?
11
Jawab : Perhatikan bahwa : -3M(t – 21)(30 – t)2
dP = -3MP dt
2
t = 25
= t = 25
3M =-
225
t = 25
16 (400) = -
225
M. 3
dan dP
-2t + 51
1
= dt t = 25 oleh karena itu : dH h’(25) = dt -16M 1 =
= 15
15
. 15
dH
dP
= t = 25
. dP
t = 25
dt
t = 25
-16 =
3
t = 25
M.
Jadi laju perubahan populasi labah-labah itu pada suhu 25 oC ialah :
45 h‘ (25) = -16 M/45
Karena h’(25) < 0, maka populasi labah-labah itu akan berkurang.
PROYEK TERAPAN MASALAH (Project Base Learning) – Praktikum Latihan Pemecahan Masalah. 1. Misalkanlah kadar polusi pada suatu danau setelah t tahun dapat dirumuskan oleh : K(t) = ((8t + 1)1/4)3. a. b. c.
Tentukanlah laju perubahan sesaat kadar polusi itu ! Tentukanlah laju perubahan rata-rata kadar polusi itu dalam selang [1,2] Dengan laju berapa kadar polusi itu berubah pada tahun ke-10.
2. Hubungan antara massa suatu sel dengan garis tengahnya, d, diberikan oleh persamaan : M = ρ π (d/3)2 Konstanta ρ menyatakan kerapatan (density) spesifik sel itu dan nilainya biasanya hampir sama dengan satu. Apabila garis tengah sel itu, d = 0.25 cm, tentukanlah laju perubahan massa sel itu sewaktu diameter (garis tengah) itu bertambah besar. 3. Banyaknya kebakaran hutan pada suatu daerah tertentu dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu (satuan hari) x sejak pengukuran curah hujan yang terakhir. Kebakaran itu dapat berasal dari halilintar atau dari ulah manusia. Misalkanlah banyaknya kebakaran yang disebabkan oleh halilintar diberikan oleh fungsi : N(x) = 0.1 (2x – 7), dan banyaknya kebakaran yang disebabkan oleh ulah manusia diberikan oleh fungsi :
12
M(x) = (0.5)x2 Oleh karena itu total banyaknya kebakaran dapat dirumuskan oleh fungsi F(x) = N(x) + M(x). Dengan demikian proporsi kebakaran yang disebabkan oleh manusia ialah : M(x) R(x) = F(x) Tentukanlah laju perubahan kebakaran relatif yang disebabkan oleh ulah manusia ! Tentukanlah f ’(x) dari nomor 4 – 14 di bawah ini : 1.
f(x) = (2x – 7) (3x2 + 4x – 1).
2.
f(x) = (x2 – 5x + 3) (4x + 5).
3.
f(x) = (5x2 – 7) (2x2 + 6x – 7).
4.
f(x) = (x3 + 2x – 3) (4x2 + x + 2).
5.
f(x) = (x2 – 5x + 1) (x2 – 5x + 1).
6.
f(x) = (2x3 + x2 – 4)2.
7.
f(x) =
1 . 3x2 + 2 1 8.
f(x) =
. 5x8 1
9.
f(x) =
. 4x4 + 3x3 + 2 4x4 – 2x3 – 6x
10. f(x) =
. 4x 2x3 – x + 4
11. y =
. x2 + 3x – 5 3x3 – 4x + 10
12. y =
. x2 + 2x – 11 2t2 + 9t – 3
13. G(t) = t3 + 6t2 – t + 2 6t3 14. G(t) = (2t2 – 3)2
13
15. Andaikan u dan v fungsi-fungsi yang dapat diturunkan. Jika u(0) = 4, u’ (0) = -1, v(0) = -3 dan v’(0) = 5, tentukan di x = 0, nilai dari : a. D x(u . v) b. D x(u / v) 16. Andaikan f dan g dapat diturunkan. Andaikan f(3) = 7, f’ (3) = 2, g(3) = 6 dan g’(3) = -10, tentukan di x = 3, nilai dari : a. (f . g)’ b. (f / g)’ ψψψψψψψψψψ
14
GUGUS
I
LUSTRASI TERAPAN
Dalam biologi dikenal istilah ordo, family, genus, spesies untuk mengelompokkan koleksi hewan atau tumbuh-tumbuhan berdasarkan cirri-cirinya yang serupa. Manusia yang hidup di dunia ini dapat dikelompokkan menurut golongan darah, jenis kelamin, atau suku bangsanya. Sistem penyimpanan buku-buku diperpustakaan dikelompokkan berdasarkan disiplin ilmunya. Masyarakat terkelompokkan ke dalam berbagai himpunan, fraksi, atau organisasi social politik yang terbentuk berdasarkan kesamaan wawasan, gagasan, ideologi, atau tujuannya. Semua ilustrasi ini mengungkapkan bahwa istilah-istilah seperti famili, kelas, ordo, himpunan, kategori, kelompok, golongan mempunyai makna yang identik dalam pengertian adanya ciri penentu yang dapat membedakan apakah suatu obyek sembarang termasuk atau tidak di dalamnya. Tujuan pengelompokkan ini tidak lain adalah untuk menyusun suatu kelompok himpunan menjadi lebih sistematik dan sederhana. Kelompok-kelompok inilah yang kemudian dikenal dengan istilah GUGUS. Dalam ekosistem, misalkan L adalah gugus yang anggota-anggotanya adalah semua factor lingkungan (habitat), dan S menyatakan gugus yang anggota-anggotanya adalah semua jenis sumberdaya. Maka cahaya (sinar matahari) adalah anggota gugus L dan S, karena ia merupakan stimulus kegiatan dan juga sumberdaya dalam proses sintesis bahan kimia. Jika cahaya dilambangkan sebagai c, maka uraian di atas secara singkat dapat ditulis sebagai c ε L ∩ S. Di dalam bab ini akan dibahas konsep dasar teori gugus yang dapat dimanfaatkan pada berbagai situasi seperti yang dijumpai dalam ilmu-ilmu kehidupan, perilaku, pertanian, bahkan computer, serta keteknikan.
M
ATERI BAHASAN
PENGERTIAN GUGUS Gugus adalah sekumpulan obyek, baik abstrak maupun konkret, yang terdefinisi dengan baik. Dalam pengertian ini tersirat makna adanya cirri yang jelas untuk menentukan apakah suatu obyek sembarang termasuk atau tidak termasuk dalam gugus tersebut. Obyek-obyek yang membentuk gugus disebut anggota-anggota atau unsur-unsur gugus tersebut. Istilah ini mula-mula diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman bernama George
Cantor
(1845-1918)
dengan
nama “Menge”.
Beliau
adalah
perintis
dalam
mengembangkan teori-teori tentang gugus dengan berbagai macam symbol yang memenuhi kaidah sistematik dan memanfaatkannya sebagai bahasa untuk mengungkapkan gagasangagasan matematika yang rumit dalam bentuk sederhana. Contoh 1 : Semua tumbuhan yang menghasilkan oksigen, menyusun suatu gugus, karena dapat dibedakan dengan jelas tumbuhan mana yang berklorofil dan mana yang tidak. Akan tetapi semua koleksi tumbuh-tumbuhan yang berdaun lebar tidak memeuhi syarat untuk disebut sebagai suatu gugus. Mengapa? Karena ungkapan “berdaun lebar” bersifat subyektif. ISTILAH-ISTILAH GUGUS Gugus Kosong, yaitu gugus yang tidak mempunyai satu pun anggota. Contoh : himpunan astronot Indonesia yang mendarat di bulan Gugus terhingga, yaitu gugus yang banyak anggotanya terhingga Contoh : himpunan bilangan genap kurang dari 10 Gugus tak terhingga, yaitu gugus yang anggotanya tak terhingga Contoh : himpunan bilangan yang digunakan untuk mencacah Gugus Semesta, yaitu gugus yang mencakup semua anggota yang menjadi acuan atau ruang lingkup pembahasan. LAMBANG GUGUS Gugus biasanya dilambangkan dengan huruf capital seperti A, B, C,… Sedangkan gugus kosong dilambangkan dengan ø atau { }, dan gugus semesta dilambangkan dengan huruf U. Anggota-anggota suatu gugus dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c…,x, y dan
seterusnya. Untuk melambangkan suatu unsure x dalam gugus A digunakan bentuk x є A yang artinya x adalah anggota gugus A. Ingkaran pernyataan tersebut, yaitu x bukan anggota gugus A. Lambang keanggotaan gugus ini pertama kali diusulkan oleh matematikawan Italia bernama Giuseppe Peano (1858-1932). Contoh : A = {a, b, c, d,…} B = {1, b, 2, d,…} PENYAJIAN GUGUS Gugus dapat disajikan dalam 3 (tiga) cara, yaitu : 1. Cara Daftar, yaitu menyajikan semua anggota dalan tanda kurawal “{ }” dan setiap anggota dengan anggota lainnya dipisahkan dengan koma Contoh : G = { 2,4,6,8} 2. Cara Notasi, yaitu mendefinisikan anggota dalam tanda kurawal “{ }” Contoh : G = {x I x = bilangan genap positif < 10 } 3. Cara Deskriptif, menggambarkan atau menyebutkan karakteristik dari anggota himpunan diantara tanda kurawal “{ }” Contoh : G = {bilangan yang dapat dibagi 2 kurang dari sepuluh} PENULISAN ELEMEN GUGUS Penulisan urutan anggota gugus dapat saling dipertukarkan tanpa merubah arti maupun nilai dari gugus tersebut. Contoh : G = { 2,4,6,8} atau G = { 4,2,6,8}, dsb. HUBUNGAN ANTAR GUGUS A. GUGUS/HIMPUNAN SPESIFIK Ada dua gugus yang spesifik : Gugus Kosong/Hampa, adalah gugus yang tidak mempunyai anggota. Diberi lambang { } atau Ø. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
Gugus semesta/Asal adalah gugus yang anggotanya merupakan seluruh benda yang dibicarakan dalam kasus yang bersangkutan. Diberi lambing “U” artinya universal atau “S” artinya semesta. Contoh :
A = { } atau A = Ø U = {bilangan real} S = {mahasiswa Unpad}
B. GUGUS/HIMPUNAN SAMA Gugus dikatakan sama dengan gugus lain jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Gugus yang sama dinyatakan dengan lambing “ = ” sedangkan gugus yang tidak sama dinyatakan dengan lambang “ ≠ ”. Contoh : Jika A = {a,i,u,e,o}, B = {1,2,3,4,5}, C = {5,4,3,2,1}, dan D = {o,e,u,i,a} Maka A = D dan B = C A ≠ C dan B ≠ D C. GUGUS/HIMPUNAN BAGIAN Gugus A dikatakan bagian dari Gugus B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Untuk menyatakan himpunan bagian digunakan lambang “
“ (proper subset).
Contoh : A = {1, 5, 7} dan B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Maka A merupakan bagian dari B atau ditulis A DENAH VENN Hubungan antar Gugus dapat digambarkan pada diagram Venn, diperkenalkan oleh matematikawan Inggris bernama John Venn (1834-1923). Diagram Venn digambarkan dalam bidang datar berbentuk segi empat atau lingkaran. Diagram Venn dapat menunjukkan hubungan antara beberapa gugus berbeda yang tergabung dalam gugus semesta. Contoh : Diagram Venn untuk A
B
S
S B A
Diagram Venn untuk A ≠ B ≠ S
S B A
PENGOLAHAN GUGUS A. GABUNGAN (UNION) DIBERI SIMBOL “ U ” Gabungan gugus A dan gugus B adalah suatu gugus yang anggota-anggotanya adalah anggota gugus A atau B. Ditulis A U B atau B U A. Notasi A U B = {x I x є A atau x є B} S A
B
A U B
B. IRISAN (INTERSECTION) DIBERI SIMBOL “ ∩ “ Irisan gugus A dan gugus B adalah suatu gugus yang anggota-anggotanya adalah anggota gugus A dan B. Ditulis A ∩ B atau B ∩ A. Notasi A ∩ B = {x I x є A atau x є B} S A
B
A ∩ B
Dua gugus B dan C yang irisannya merupakan himpunan kosong atau Ø disebut himpunan yang saling pisah “disjoint” atau saling asing. Notasi B ∩ C = Ø S B
C
C. KOMPLEMENTER DIBERI SIMBOL “ AC “ Komplementer gugus A adalah suatu gugus yang anggota-anggotanya merupakan anggota gugus semesta (U atau S) tetapi bukan anggota gugus A. Ditulis AC Notasi Ac = {x I x Є S dan x Є A} S
A Ac
D. SELISIH (DIFFERENCE) DIBERI SIMBOL “ - “ Selisih gugus A dan gugus B adalah suatu gugus yang anggota-anggotanya merupakan anggota gugus A tetapi bukan merupakan anggota gugus B. Ditulis A – B. Notasi A – B = {x I x Є A dan x Є B} S A
B
A-B
E. HASIL KALI (CARTESIAN) DIBERI SIMBOL “ x “ Hasil kali Cartesian dari dua gugus A dan B adalah himpunan dari semua pasangan terurut (a, b) dimana a Є A dan b Є B. Ditulis A x B. A x B = {(a,b) I a Є A dan b Є B} F. POWER SET DIBERI SIMBOL P (…) Power Set dari gugus A adalah gugus dari semua himpunan bagian (subset) dari A. Ditulis P(A). Jumlah himpunan bagian dari power set = 2n dimana adalah jumlah elemen dari gugus. G. KARDINALITAS (CARDINALITY) DIBERI SIMBOL “ I….I atau n(…) “ Kardinalitas gugus A adalah jumlah anggota dalam gugus A, jika A merupakan himpunan finitif ditulis IAI atau n(A). Contoh :
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, maka n(A) = 6 B = {a, i, u, e, o}, maka IBI = 5
H. INKLUSI (INCLUSION) DIBERI SIMBOL “ I…U...I “ Inklusi gugus A dan gugus B adalah jumlah anggota gabungan yang merupakan jumlah anggota gugus A ditambah anggota gugus B dikurangi jumlah anggota irisan gugus A dan B. A inklusi B dapat ditulis I A U B I. Notasi I A U B I = I A I + I B I – I A ∩ B I
Diagram eksklusi S A
B
Diagram Inklusi
I.
KAIDAH PENGOLAHAN GUGUS a. Komutatif A U B = B U A A∩ B=B∩A b. Asossiatif A U (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C c. Distributif A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) d. De Morgan (A U B)c = Ac U Bc (A ∩ B)c = Ac ∩ Bc Jika A – B = A ∩ Bc, Ac = U – A A = B, maka A – B = B – A = Ø A U B = Ø, maka A – B = A dan B – A = B
U
JI KOMPETENSI
Kerjakan soal-soal berikut secara berkelompok!
Jika: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B ={1, 3, 5, 7, 9}, dan C = {3, 4, 5, 6, 7, 8} Dan S = {x I x bilangan bulat positif ≤ 10}
Tentukan : a. A U B b. A U C c. A ∩ C d. B ∩ C e. Ac f.
Cc
g. A – C h. B – C i.
IAI
j.
ICI
Jika: A = {1, 2}, B ={a, b, c}, dan C = {1, 2, 3, 4}
Tentukan : a. A x B b. B x A c. P (C)
Jika: A = {2, 4, 6, 8, 10}, B ={1, 3, 5, 7, 9 }, dan C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Tentukan : a. IA U CI b. IB U CI
