64
BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.1. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. Dx(x3/3) = x2 Dx(x2/2) = x1 Dx(x) = 1 = x0 Dx(???) = x-1 Dx(-x-1) = x-2 Dx(-x-2/3) = x-3 Definisi: Fungsi logaritma asli Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai x
ln (x) =
1
∫t
dt ,
x>0
1
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif
y =1/t
Gambar 1. Jika x > 1, ln (x) = luas dari R
65
x
1 1 dt = D x ln( x) = , t x 1
Turunan fungsi logaritma asli adalah Dx ∫
selanjutnya
1
∫u
du = ln u + C , u ≠ 0
Contoh 1: Tentukanlah Dx ln(√x) Jawab: Misalkan u = √x = x1/2 Dx ln(√x) =
1 x
1/ 2
1 1 . x −1 / 2 = 2 2x
Dengan Derive: Dif(ln(√x), x) enter, lalu lkilk tanda sama dengan
x > 0,
66
Contoh 2: Carilah
5
∫ 2 x + 7 dx
Jawab: Misalkan u = 2x + 7 maka du = 2 dx 5
∫ 2 x + 7 dx
=
5 du 2∫ u
=
5 5 ln u + C = ln 2 x + 7 + C 2 2
Dengan Derive: Int(
5 , x) enter, lalu klik tanda sama dengan. 2x + 7
67
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-4, Carilah turunan yang ditunjukkan . 1. Dx ln(x2 + 3x + π) 2. Dx ln(x – 4)2 3. dy/dx jika y = 3ln(x) 4. dz/dx jika z = x2 ln(x2) + (ln (x))3 5. g’(x) jika g(x) = ln( x + x 2 + 1 ) Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang ditunjukkan. 1
6.
∫ 2 x + 1 dx
7.
∫ 3v
8.
∫
6v + 9 dv 2 + 9v
2 ln( z) dz z
3
x4 dx 9. ∫ 5 0 2x + π 1
10.
∫ 2t 0
2
t +1 dt + 4t + 3
11. Andaikan f(x) = ln(1,5 + sin(x)) a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3π] b. Carilah titik balik pada selang [0, 3π] c. Hitunglah ∫ ln(1,5 + sin( x)) dx 12. Gambarlah grafik f(x) = x ln(1/x) dan g(x) = x2 ln(1/x) pada [0, 1] a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, 1] b. Carilah nilai maksimum f ( x) − g ( x) pada selang (0, 1]
68
7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya 7.2.1. Fungsi Balikan Polinom Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan x pada D yang dinyatakan dengan f-1. Misalkan y = f(x) = 2x dibalik menjadi x = f-1(x) =
1 y 2 y = 2x
f-1 f
Gambar 2. Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y = f(x) = x2 untuk nilai y tertentu terdapat dua nilai x yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai invers bila D dibatasi [0, ∞] atau [-∞, 0].
69
y = x2
Gambar 3. Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan. Contoh 3: Perlihatkan bahwa f(x) = x5 + 2x +1 memiliki balikan. Jawab: F’(x) = 5x4 + 2x > 0, untuk semua x. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f memiliki balikan. Jika f memiliki balikan f-1 maka f-1 memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan
f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi: 1.
Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y.
2.
Gunakan f-1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
3.
Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus f-1(x)
70
Contoh 4: Carilah f-1(x) jika f(x) =
x dan tunjukkan bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y 1− x
Jawab: Langkah 1:
y=
x ⇒ y(1- x) = x ⇒ y - yx = x ⇒ y = x + yx 1− x
⇒ y = x(1 + y) ⇒ x =
Langkah 2:
f −1 ( y ) =
y 1+ y
Langkah 3:
f −1 ( x) =
x 1+ x
x f-1(f(x)) = f-1( )= 1− x
y 1+ y
x x 1− x = = x dan x 1− x + x 1+ 1− x
y y y 1− y f(f-1(y)) = f-1( )= =y = y 1− y 1− y + y 1+ 1− y Dengan Derive: Inverse(x/(1-x)) enter, lalu klik tanda sama dengan
71
Tugas Kelompok: Misalkan f(x) = x3 + 1. 1. Bagaimanakah domain f(x) agar mempunyai invers? 2. Carilah invers dari f(x), apa domainnya?. 3. Gambarlah hasil 1 dan 2 dalam satu layar, apa yang anda simpulkan? 4. Carilah turunan f(x) dan inversnya. 5. Gambarlah fungsi turunan f(x) dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda simpulkan? 6. Isilah tabel berikut
72
Fungsi
x
y
(f-1)’(y)
f’(x)
1/2 ^3
f(x) = x + 1
1 2
apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f-1)’(y) dan f’(x)? 7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh 1, carilah (f-1)(4).
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-3, diperlihatkan grafik y = f(x), dalam setiap kasus apakah f mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f-1(2).
1.
2.
73
3.
Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan bahwa f monoton murni. 4. f(x) = -x5 – 3x3 5.
f (θ ) = cos(θ ),
6.
f ( z ) = ( z − 1) 2 ,
0 ≤θ ≤π
z ≥1
Dalam soal-soal 7-10, Carilah rumus untuk f-1(x), kemudian periksalah kebenarannya bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(x)) = x. 7. f(x) = x + 1
8.
f ( x) = −
1 x−3
9. f(x) = (x – 1)3
10. f ( x) =
x3 + 2 x3 + 1
74
7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan balikannya Definisi: Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh exp. Jadi x = exp y ⇔ y = ln x
Turunan dari ex adalah Dx ex = ex Contoh 5: Tentukanlah Dx e√x Jawab: Misalkan u = √x = x1/2 Dx e√x = e√x.
1 −1 / 2 e x x = 2 2 x
Dengan Derive: Dif(e√x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
75
Selanjutnya ∫ e u du = e u + C Contoh 6: Tentukanlah ∫ e −4 x dx Jawab: Misalkan u = -4x maka du = -4 dx atau -1/4 du = dx Sehingga,
∫e
−4 x
dx = − 1 / 4 ∫ e u du =
− 1 −4 x e +C 4
Dengan Derive: Int(e-4x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
76
Tugas Kelompok: Gambarlah f(x) = x ex/2 dan turunannya menggunakan derive Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah.
77
Soal-Soal Latihan Dalan soal-soal 1-5, carilah Dx 1.
y = e 3 ln( x )
2.
y=e
3.
y = x 2e x
4.
y = ex + e
5.
e xy + xy = 2 ( gunakan diferensial implisit )
x+2
2
x2
Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f , f’, dan f” dalam satu jendela, berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah? 6. 7.
f(x) = xex
f ( x) = e − ( x − 2)
2
Dalam soal-soal 8-10, Carilah integral-integral berikut. 8.
∫e
9.
∫ ( x + 3)e
3 x +1
dx x 2 +6 x
dx
e −1 / x 10. ∫ 2 dx x 11. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh y = ex, y = 0, x = 0, dan x = ln(3) diputar mengelilingi sumbu-x. 12. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e-x dan garis yang melalui titik-titik (0, 1) dan (1, 1/e).
78
7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum Definisi: Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x. ax = ex ln a
Dx ax = ax ln a, dan
∫a
x
dx =
1 x a +C ln(a )
Contoh 7: Carilah Dx (3√x) Jawab: Misalkan u = √x Dx (3√x) = 3√x ln 3.
1 −1 / 2 3 x ln 3 x = 2 2 x
Dengan Derive: Dif(3√x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
79
Contoh 8: Carilah ∫ 2 x x 2 dx 3
Jawab: Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx atau 1/3 du = x2 dx Sehingga, x 2 u ∫ 2 x dx = 1/3 ∫ 2 du = 3
3
2x3 +C 3 ln 2
Dengan Derive: Int( 2 x x 2 , x ) enter, lalu klik tanda sama dengan.
80
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-5, Carilah turunan yang dibeikan 1. Dx(62x) 2. D x (3 2 x
2
−3 x
)
2
3.
y = 10 x + ( x 2 )10
4.
y = ( x 2 + 1) ln( x )
5. f(x) = xsin(x) Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan. 6.
∫ x.2
7.
∫ 10
5 x −1
4
x
8.
∫
5
x2
x
1
dx dx
dx
1
9.
∫ 10
3x
+ 10 −3 x dx
x
4π
10.
∫x 0
sin( x )
dx
81
7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f-1 diperoleh dengan mencerminkan f terhadap garis y = x maka pada fungsi trigonometri diperoleh balikan sin(x), cos(x), tan(x), dan sec(x) adalah sebagai berikut.
−π π y = sin(x); [ , ] 2 2
y = sin-1(x); [-1, 1]
Gambar 4. Sin(x) dan Inversnya
y = cos(x); [ 0,
π 2
]
Gambar 5. Cos(x) dan Inversnya
y = cos-1(x); [-1, 1]
82
y = tan(x); [
−π π , ] 2 2
y = tan-1(x); [R]
Gambar. 6. Tan(x) dan Inversnya
y = sec-1(x); [R]
Gambar 7. Sec(x) dan Inversnya
83
Tugas Kelompok: 1. Buatlah definisi balikan dari sin(x), cos(x), tan(x), dan sekan(x). 2. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya? 3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi inversnya? Turunan dari fungsi balikan trigonometri: 1. Dx sin-1(x) =
2. Dx cos-1(x) =
1 1− x2 1 1− x2
3. Dx tan-1(x) =
1 1+ x2
4. Dx sec-1(x) =
1
; −1 < x < 1
; −1 < x < 1
x x2 −1
; x >1
Selanjutnya,
1
1.
∫
2.
∫
3.
∫1+ x
4.
∫x
1− x
2
−1 1− x 1
2
2
dx = sin −1 ( x) + C
dx = cos −1 ( x) + C
dx = tan −1 ( x) + C
1 x −1 2
dx = sec −1 ( x) + C
84
Contoh 9: Carilah Dx sin-1(3x-1) Jawab: Dx sin-1(3x-1) =
=
1 1 − (3 x − 1) 2
3 − 9x + 6x 2
.D x (3 x − 1)
=
3 2 x − 3x 2
Dengan Derive: dif(Asin(3x-1),x) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya adalah sebagai berikut.
85
Contoh 10: 1/ 2
Hitunglah
∫ 0
dx 1− x2
Jawab: 1/ 2
∫ 0
dx 1− x2
1/ 2
= [ sin −1 ( x) ]
0
=
π 6
Dengan Derive: Int(1/√(1-x2), x , 0, 1/2 ) enter, lalu klik tanda sama dengan.
86
Soal-Soal latihan Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx 1. y = ln(sec(x) + tan(x)) 2. y = sin-1(2x2) 3. y = x3tan-1(ex) 4. y = (tan-1(x))3 5. f(x) = (1+ sin-1(x))3 Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan. 6.
∫ sin(2 x) cos(2 x) dx
7.
∫e
8.
∫ 1 + 4x
2x
cos(e 2 x ) dx 1
2 2
9.
∫ 0
1
10.
1 1− x2 1
∫1+ x
−1
dx
2
2
dx
dx
87
7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikan Definisi: Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya didefinisikan oleh:
e x − e −x sinh( x) = , 2
e x + e −x cosh( x) = 2
tanh( x) =
sinh( x) , cosh( x)
coth( x) =
cosh( x) sinh( x)
sec h( x) =
1 , cosh( x)
csc h( x) =
1 sinh( x)
Turunan fungsi-fungsi hiperbolik: D x sinh( x) = cosh( x),
D x cosh( x) = sinh( x)
D x tanh( x) = sec h 2 ( x),
D x coth( x) = − csc h 2 ( x)
D x sec h( x) = − sec h( x). tanh( x),
D x csc h( x) = − csc h( x). coth( x)
Contoh 11: Tentukanlah Dx tanh(sin(x)) Jawab: Dx tanh(sin(x)) = sec h 2 (sin( x)).D x (sin( x)) = cos( x). sec h 2 (sin( x)) Atau Misal u = sin(x) maka Dxsin(x) = cos(x)
88
Dx tanh(u)
= sec h 2 (u ).D x (sin( x)) =
=
=
=
1 . cos( x) cosh 2 (u )
1 4 . sin( x) = 2u . cos( x) −u e +e 2 e + e −2u + 2 ] [ 2 u
e
4u
4.e 2u 4.e 2u . sin( x ) = . cos( x) , + 1 + 2.e 2u (e 2u + 1) 2
(dikalikan e2u)
4.e 2. sin( x ) . cos( x) (e 2. sin( x ) + 1) 2
Dengan Derive: Dif(tanh(sinx), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
89
Contoh 12: Tentukanlah
∫ tanh( x)
dx
Jawab: Misalkan u = cosh(x) maka du = sinh dx
∫ tanh( x)
dx = ∫
sinh( x) 1 dx = ∫ .du cosh( x) u
= ln u + C = ln cosh( x) + C = ln(cosh( x)) + C
Definisi: Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh: x = sinh −1 ( y ) ⇔ y = sinh( x) x = cosh −1 ( y ) ⇔ y = cosh( x), dan x ≥ 0 x = tanh −1 ( y ) ⇔ y = tanh( x) x = sec h −1 ( y ) ⇔ y = sec h( x), dan x ≥ 0
Cara mencari fungsi balikan y = cosh(x), untuk x ≥ 0 adalah: e x + e−x y= 2
⇒ 2 y = e x + e−x ⇒ 2 ye x = (e x ) 2 + 1 , ⇒ (e x ) 2 − 2 ye x + 1 = 0 ,
(dikalikan dengan ex)
90
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam ex yang memenuhi untuk x ≥ 0 adalah: ex =
2 y + (2 y ) 2 − 4 = y + y2 −1 2
ln(e x ) = ln( y + y 2 − 1) ,
(kedua ruas ditarik ln-nya)
x = ln( y + y 2 − 1) cosh −1 ( x) = ln( x + x 2 − 1) Dengan Derive: Inverse(cosh(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
91
Tugas Kelompok: Tunjukkan bahwa: 1. cosh −1 ( x) = ln( x + x 2 − 1) 2. sinh −1 ( x) = ln( x + x 2 + 1) 3. tanh −1 ( x) =
1 1+ x ln( ) 2 1− x
1+ 1− x2 4. sec h −1 ( x) = ln( ) x 5. Carilah Dx dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut
Soal-Soal Latihan: Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx 1. y = sinh2(x) 2. y = cosh(3x +1) 3. y = ln(sinh(x)) 4. y = tanh(x)sinh(2x) 5. y = tanh(cot(x)) Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan. 6.
∫ sinh(3x + 2) dx
7.
∫ x cosh(πx
2
sinh(2 z 1 / 4
+ 5) dx
8.
∫
9.
∫ cosh( x) sinh(sin( x))
10.
∫ tan( x) ln(sinh( x
4
z3
dx
2
dx
)) dx
