BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

Derivatif (Turunan)

  BAB I  DERIVATIF (TURUNAN)    Pada  bab  ini  akan  dipaparkan  pengertian  derivatif  suatu  fungsi,  beberapa  sifat  aljabar  derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers.     A. Pengertian Derivatif  Pengertian derivatif fungsi f : [a, b] → R di titik c ∈ [a, b] ⊆ R  dapat dijelaskan dalam definisi  berikut.    Definisi 1.1  Diberikan  interval  [a,  b]  ⊆  R,  fungsi  f  :  [a,  b]  →  R,  dan  c  ∈  [a,  b].  Bilangan  real  L  disebut  derivatif fungsi f di titik c, jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 terdapat bilangan  δ > 0 sehingga  untuk setiap x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < | x – c| < δ berlaku     . Dalam hal ini fungsi f dikatakan terdiferensial (diferensiabel) di titik c dan ditulis  kata lain, derivatif fungsi f di titik c dapat dinyatakan sebagai limit: 

 = L. Dengan 

 

  lim

jika limitnya ada.    Catatan:  Secara  umum  konsep  derivatif  dikenakan  pada  suatu  fungsi  yang  terdefinisi  pada  suatu  interval.    .  Jika derivatif fungsi f : [a, b] → R ada di titik c ∈ [a, b], maka nilainya dinotasikan dengan  Dalam kasus fungsi  , sudah terbiasa untuk memandang   sebagai fungsi dari x. perhatikan  contoh berikut.    Diberikan fungsi bernilai real f  yang didefinisikan dengan   ,   Untuk sembarang c ∈ R, diperoleh   

  lim   lim

 

  lim

 

 2     Jadi dalam kasus ini, fungsi   terdefinisi pada R dan  .  2 ,   Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa keterdiferensialan fungsi f di titik c mengakibatkan  fungsi tersebut kontinu di titik c, hal tersebut diberikan pada teorema berikut.    1                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

Teorema 1.2  Diberikan interval [a, b] ⊆ R. Jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial (mempunyai derivatif) di  titik c ∈ [a, b], maka fungsi f kontinu di titik c.    Bukti:  Ambil sembarang x ∈ [a, b], dengan x ≠ c. Perhatikan bahwa . 

  Berdasarkan hipotesis bahwa fungsi f terdiferensial atau sifat aljabar limit fungsi diperoleh   lim

lim lim

lim

ada, maka dengan menerapkan operator dan

 lim

 

  lim

lim . 0 

  lim

 

 

  Oleh karena lim  maka terbukti f kontinu di c.    Kekontinuan fungsi f : [a, b] → R di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di  titik tersebut. Contoh berikut memberikan penjelasan tentang hal ini.   Diberikan fungsi bernilai real f  yang didefinisikan dengan   | |,   Tunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu di 0. Selanjutnya tunjukkan bahwa  0  tidak ada.  Jadi kekontinuan fungsi di suatu titik tidaklah menjadi syarat cukup eksistensi derivatif fungsi di  titik tersebut.    Selanjutnya diberikan sifat‐sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam kalkulasi  derivatif dari beberapa kombinasi fungsi‐fungsi terdiferensial.    B. Sifat­sifat Aljabar Derivatif Fungsi  Teorema 1.3  Diberikan interval [a, b] ⊆ R,  c ∈ [a, b],  serta fungsi f : [a, b] → R dan fungsi  g : [a, b] → R  keduanya terdiferensial di titik c.        a. Untuk setiap α ∈ R, fungsi α f terdiferensial di titik c, dan    b. Fungsi  f + g terdiferensial di titik c, dan      c. Fungsi  f g terdiferensial di titik c, dan    d. Jika g(c) ≠ 0 maka fungsi     terdiferensial di titik c, dan        Bukti:  Pada buku ini dibuktikan bagian a, c, dan d. Sedangkan bagian b yang cukup mudah buktinya  diserahkan kepada pembaca.  2                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

Ambil sembarang interval [a, b] ⊆ R, dan c ∈ [a, b]. Diketahui fungsi f : [a, b] → R dan fungsi     g : [a, b] → R keduanya terdiferensial di titik c.  a.  Misalkan h = α f,  maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh     lim

lim  

   

 lim  

 

 

  .  Karena h = αf,  maka diperoleh        c.  Misalkan h = fg,  maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh     

 

 

 

 

 

lim

lim

  lim

lim

   

lim

lim

lim

lim

  

  

  Karena h = fg,  maka diperoleh    d.  Misalkan   

 

  

   dan g ≠ 0, maka untuk setiap x ∈ [a, b] dengan x ≠ c diperoleh   

 

 

      3                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

1

lim

lim

lim 1

Karena   

1

 

 

 

  ,  maka diperoleh     

    Dengan  menggunakan  induksi  matematika,  pembaca  dapat  memperluas  aturan‐aturan  pendiferensialan yang secara ringkas diberikan pada akibat berikut.    Akibat 1.4  Jika  , , , … ,  masing­masing fungsi dari [a, b] ⊆ R  ke R  dan terdiferensial di c ∈[a, b],   maka    … a.  fungsi     terdiferensial di titik c, dan    …  …     b.  fungsi  

 …

  terdiferensial di titik c, dan   …   … …

…

  …

  Jika  pada  (1.1)  fungsi‐fungsinya  sama,  yaitu    berlaku  

       (1.1)    maka  pada  (1.1) 

                                                        (1.2)    Catatan:  Jika [a, b] ⊆ R  suatu interval dan f : [a, b] → R fungsi, maka terdapat notasi lain yang sering  digunakan  untuk  menyatakan  derivatif  fungsi  f,  sebagai  contoh  Df  atau 

atau 

  (jika  x  variabel 

bebas  atau f bukan fungsi implisit). Demikian halnya pada Teorema 1.3 bagian b dan c dapat pula  ditulis sebagai D(f + g) = Df + Dg dan D(f g) = (Df)g + f(Dg).     C. Aturan Rantai (Chain Rule)  Pada  bagian  ini  diberikan  suatu  aturan  pendiferensialan  fungsi‐fungsi  komposisi  yang  dikenal  dengan  aturan  rantai  (chain  rule).  Aturan  rantai  memberikan  suatu  cara  untuk  mencari  derivatif dari fungsi komposisi g o f. Jika fungsi f terdiferensial di titik c dan fungsi g terdiferensial di  f(c), maka derivatif dari fungsi g o f  di titik c adalah      o  atau    o 

o 

. 

  4                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

Teorema 1.5 (Aturan Rantai)  Diberikan interval [a, b] dan[c, d] keduanya interval di dalam R,   g : [c, d] → R dan   f : [a, b] → R keduanya fungsi dengan sifat f([a, b]) ⊆ [c, d] dan c* ∈ [a, b]. Jika fungsi f terdiferensial  di titik c* dan fungsi g terdiferensial di f(c*), maka fungsi komposisi g o f terdiferensial di titik c*, dan   .   o    Bukti:  Misalkan  e  =  f(c*),  oleh  karena  g  terdiferensial  di  f(c*)  maka  didefiniskan fungsi bernilai real G yang well­defined pada [c, d] dengan  

  ada.  Selanjutnya 

,   ,   Oleh karena fungsi g terdiferensial di e = f(c*), maka  lim

lim

. 

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi G kontinu di e = f(c*).  Selanjutnya  karena  fungsi  G  kontinu  di  e  =  f(c*),  fungsi  f  kontinu  di  c*  dan  f([a,  b])  ⊆  [c,  d],  maka berdasarkan teorema kekontinuan komposisi fungsi‐fungsi kontinu, diperoleh G  o f  kontinu  di c*, sehingga     lim lim  o    Dari definisi fungsi G, dapat ditulis  , , Oleh karenanya, jika x ∈ [a, b] dengan x ≠ c , dan f(x) = y, diperoleh   o   o               o   o    o   o 

 

*

 

     

  Selanjutnya untuk x ≠ c* dan dengan menerapkan operator limit, diperoleh    o   o  lim  o  lim   lim . 

 o 

Dengan demikian bukti telah lengkap.    Sering kita jumpai dalam kuliah kalkulus integral, notasi Df =  . Oleh karenanya aturan rantai    

 o  dapat pula ditulis    o 

  o 

. 

5                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

  Contoh 1.6  1. Diberikan interval [a, b] ⊆ R, jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial pada [a, b] dan g(y) = yn   ∀y ∈ R, n ∈ N  . 

 o  Oleh karenanya berdasarkan Teorema 1.5 diperoleh  ,

 o 

,

 

                                                                            (1.3)  Dapat  dimengerti  bahwa,  jika  g(y)  =  yn    maka  diperoleh     

,  oleh  karenanya  dari  (1.3)  . 

2 Misalkan f(x) = 2x, maka  . Dipersilakan pembaca untuk memberikan  2 2 contoh lain.    2. Diberikan interval [a, b] ⊆ R, jika fungsi f : [a, b] → R terdiferensial pada [a, b] dengan sifat  0  dan 

0  untuk  setiap 

bahwa 

 ,

,

.  Jika 

 ,

0,  dapat  dimengerti 

0. Oleh karenanya diperoleh 

1

  o 

 . 

  3. Tugas bagi pembaca untuk menunjukkan  sin  ,  maka  cos    untuk setiap x ∈ R dan   Jika  jika  cos  , maka  sin   untuk setiap x ∈ R.    Dengan  menggunakan  sifat  aljabar  derivatif,  yaitu  aturan  pembagian  untuk  setiap  x  ∈  R  dengan 

 untuk k bilangan bulat, selanjutnya diperoleh   sin cos

tan  

Jadi   cos  cos

tan tan

cos

sin cos

sin   sin   cos 1 sec .  cos

  Demikian halnya untuk setiap x ∈ R dengan  sec

1 cos

0. cos cot

1. cos cos sin

sin   1 sin   . cos cos cos sin   sin cos  cos   sin   sin cos   sin 1 csc   sin

sin  

   

 untuk k bilangan bulat, diperoleh  sec tan  

6                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

csc

1 sin

0. sin

cos   sin

1. cos sin

1 cos . sin sin

csc cot  

  4. Diberikan suatu fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut.  1 sin , 0   0 , 0 Jika  digunakan  sifat  aljabar  derivatif,  yaitu  aturan  perkalian  titik  (dot  product)  pada  Teorema 1.3 bagian c dan aturan rantai (Teorema 1.5) diperoleh  1 1 cos , 0.   2 sin Jika     0  tak  satu  pun  dari  aturan  kalkulasi  dapat  digunakan.  Konsekuensinya  untuk  mencari derivatif di titik 0 digunakan definisi, sehingga diperoleh  0   0 lim 0 1 sin   lim    

1 lim sin  

  0  Jadi derivatif f,  yaitu   ada di mana‐mana. Namun fungsi   tidak punya limit di x = 0, oleh  karenanya    diskontinu  di  titik  0.  Dengan  demikian,  suatu  fungsi  yang  terdiferensial  di  mana‐mana, tidaklah selalu mempunyai fungsi turunan yang kontinu.      C.  Derivatif Fungsi Invers  Pada bagian ini dipaparkan hubungan derivatif suatu fungsi dengan derivatif inversnya, jika  fungsi  yang  bersangkutan  mempunyai  invers.  Pada  bagian  ini  pembahasan  hanya  dibatasi  pada  fungsi kontinu yang monoton tegas.    Teorema 1.7  Diberikan interval [a, b] ⊆ R,  dan f : [a, b] → R fungsi monoton tegas (stricly monotone) dan  kontinu pada [a, b]. Diberikan [c, d] = f([a, b]) dan g : [c, d] → R invers fungsi f yang monoton tegas  0, maka fungsi g terdiferensial  dan kontinu. Jika fungsi f terdiferensial di titik   ∈ [a, b] dan  , lebih lanjut   di titik e =  1 1     Bukti:  Ambil  sembarang  y  ∈  [c,  d]  dengan  y  ≠  e,  selanjutnya  didedifiniskan  fungsi  H  :  [c,  d]  →  R  dengan   

7                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

Diketahui  g  monoton  tegas,  selanjutnya  mudah  dimengerti  bahwa  untuk  setiap  y  ∈  [c,  d]  dengan       y  ≠  e,  maka  ,  dengan  kata  lain  H  :  [c,  d]  →  R    well­define.  Demikian  halnya  jika   dan   maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh   .  Mudah  dimengerti  bahwa  untuk  setiap  y  ∈  [c,  d]  dengan  y  ≠  e,  maka  H(y)  ≠  0.    Selanjutnya  dibuktikan bahwa   lim .  Diberikan bilangan ε > 0 dan jika f terdiferensial di   = g(e), maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga  untuk setiap x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < | x –  | < δ  berlaku     . Diketahui g kontinu di titik e =  , artinya untuk setiap bilangan  δ > 0 terdapat bilangan  η > 0  sehingga untuk setiap y ∈ [c, d] dengan 0 < | y – e| < η  maka berlaku   | |   . (1.4)   Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif.  g injektif dan   , maka dari pembahasan sebelumnya dan berdasarkan (1.4), diperoleh; jika 0 < | y – e| < η    | | maka |   |    untuk setiap  y ∈ [c, d] . Oleh karenanya untuk setiap y ∈ [c, d] dengan 0 < | y – e| < η   berakibat   | untuk sembarang ε > 0. Jadi  lim

|

    .   ≠ 0, sehingga diperoleh 

Perhatikan bahwa karena y ≠ e maka 

Dapat disimpulkan, untuk setiap y ∈ [c, d] dengan y ≠ e, berlaku   1 1 lim lim lim

1

 . 

. 

Terbukti   1

1

. 

Catatan:  0  pada  Teorema  1.7  sangat  penting  .  Faktanya,  apabila      Persyaratan    0  . Artinya, jika g terdiferensial di titik e =    maka fungsi invers g tidak terdiferensial di e =  dan  jika  f  invers  fungsi  g,  maka  dapat  diterapkan  Teorema  1.7  pada  fungsi  g  untuk  dapat   dan diperoleh   menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik  1 1 0.  Nampak terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik e =    Perhatikan contoh berikut.    Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan  ,  

.  

8                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

,

Dapat dimengerti bahwa 

Ambil titik   = 0, diperoleh e = 

,  

 = 0 dan  

3

, dan  

.  3 0. Dengan demikian  1

0. 

,  tak terdiferensial di 0.  Terjadi kontradiksi, sehingga dapat disimpulkan bahwa    Teorema 1.8  Diberikan interval [a, b] ⊆ R,  dan f : [a, b] → R fungsi monoton tegas (stricly monotone) pada  [a, b].  Diberikan [c, d]  = f([a, b]) dan  g : [c, d] →  R invers fungsi f.  Jika fungsi f terdiferensial pada       [a, b] dan  0 untuk setiap  x ∈ [a, b] , maka fungsi g terdiferensial pada [c, d], lebih lanjut   1 , .   o    Bukti teorema diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.    Contoh 1.9  1.  Diberikan    dengan n genap, I = [0, ∞) dan fungsi bernilai real f : I → R yang didefinisikan  dengan  , ,  dapat  dibuktikan  bahwa  fungsi  f  naik  tegas  dan  kontinu  pada  I.  Sehingga  fungsi  inversnya  ada  pada  I,  sehingga  fungsi  inversnya  ada,  yaitu  0, ∞ . Fungsi g naik tegas dan kontinu pada [0, ∞). Lebih lanjut diperoleh  Oleh karenanya jika y > 0, maka  1  o 

  ada, dan  1

1

, ,

.  

. 

Dengan kata lain   1

1

 

untuk y > 0, akan tetapi g tak terdiferensial di titik 0.    2.  Diberikan    , n ganjil dengan sifat n ≠ 1, dan dua fungsi bernilai real F dan G berturut‐turut  didefinisikan dengan   ,   dan  ,   Dapat dipahami bahwa G merupakan fungsi invers F. Berdasarkan nomor 1 telah ditemukan   1 1   untuk y ≠ 0 dan G tak terdiferensial di titik 0, akan tetapi terdiferensial di titik‐titik lain.    3.  Diberikan 

  bilangan  rasional  positif,  diberikan  I  =  [0,  ∞)dan  fungsi  bernilai  real  h 

didefinisikan  dengan  h(x)  = 

 ,

.  Fungsi  h  dapat  dinyatakan  sebagai  komposisi  fungsi‐

  dan  g(x) =   , . Dapat dimengerti bahwa h(x) = (f o g)(x)    .  fungsi f(x) =   , Dengan  mengaplikasikan  aturan  rantai  (Teorema  1.5)  dan  berdasrakan  hasil  nomor  1  atau  nomor 2, diperoleh  9                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

1                                                                                               

 

 

                                                                                              

 

  

                                                                                              

   

 

                                                                                                 4.    Diberikan  fungsi  sinus, 

 

 

 untuk setiap x > 0 

sin   yang  dibatasi  pada  pada  domain  I  =  sin

tegas pada I.  Pembaca tahu bahwa  sin

1  dan  sin

,

.  Jelas  f  naik 

1. Selanjutnya diberikan 

J = [–1, 1], perhatikan bahwa f : I → J merupakan fungsi bijektif, akibatnya f mempunyai invers  yaitu 

,

arcsin . Dengan demikian, jika diberikan I =  sin

 dan J = [–1, 1], maka  

arcsin . 

Dapat dimengerti bahwa fungsi sinus terdiferensial pada I dengan  sin   cos , .  ,

Selanjutnya untuk setiap 

  nilai cos arcsin

 

0, maka berdasarkan Teorema 1.7 diperoleh  1 sin

1   cos

1

 

cos 1 1

sin

 

1

  1 untuk setiap 

1, 1  

 

Perlu dicatat bahwa 

 tidak ada di titik –1 dan 1.  

    LATIHAN 1  1.     Gunakan definisi derivatif fungsi untuk mencari derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut  a.     , b.  

,

c.  

√ ,

0, ∞  

,

0, ∞  

d.  

√

0 

2.     Buktikan bahwa 

 ,  

 tak terdiferensial di titik x = 0 

3.     Buktikan Teorema 1.1 bagian b.    10                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II   

Derivatif (Turunan)

4.     Diberikan fungsi  f : R → R didefinisikan dengan  ,   rasional   0 ,   irrasional Buktikan bahwa f terdiferensial di titik x = 0 dan tentukan  0 .    5.     Menggunakan aturan rantai, tentukan derivatif beberapa fungsi bernilai real berikut  a.  

,

  ,

b.  

√5

2

c.  

sin

,

d.  

tan

, | |

   

,  

6.     Diberikan 

 dan fungsi f : R → R didefinisikan dengan  , 0   0 , 0  Tentukan nilai n agar   kontinu di titik 0 dan   terdiferensial di titik 0. 

7.    Andaikan  f  :  R  →  R  terdiferensial  di  titik    dan  | | terdiferensial di titik c jika dan hanya jika 

0.  Buktikan  bahwa  fungsi              0. 

8.     Diberikan fungsi g : R → R didefinisikan dengan  sin , 0   0 , 0     Tunjukkan bahwa g terdiferensial pada R dan tunjukkan bahwa   tak terbatas pada [–1, 1].  9.     Jika 

0 suatu bilangan rasional, fungsi f : R → R didefinisikan dengan  sin

,

0

,

0

  0 

     Tentukan nilai r agar   ada.     

11                                                             Thobirin – Herawan, Analisis Real II