2013 Matematika Teknik 1
BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12)
PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi (aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional. Manfaat Materi yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yang dibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagai metode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi, materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II. Relevansi Integral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentu ini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukan titik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral ini juga sangat diperlukan, Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentu ini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain.
s. johanes, dtm sv ugm
73
2013 Matematika Teknik 1
PENYAJIAN Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jika yakni jika untuk semua x dalam interval I. maka:
pada interval I,
Tanda integral (notasi dari Leibniz) integrant Gambar 6-1 Contoh: carilah suatu anti turunan dari fungsi
pada selang (- , ) ?
Penyelesaian: dicari suatu fungsi F yang memenuhi
, untuk semua x riil.
y
x
Gambar 6-2 Fungsi F yang memenuhi adalah: dinyatakan:
,
,
. Secara umum
, dengan c = konstanta.
Famili tersebut di atas disebut anti turunan. Teorema : kelinieran dari Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka: i. ii.
s. johanes, dtm sv ugm
74
2013 Matematika Teknik 1 Contoh, carilah integral berikut:
6.1. Rumus-rumus interal tak tentu.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
s. johanes, dtm sv ugm
75
2013 Matematika Teknik 1
Carilah integral tak tentu berikut: 1.
2. 3.
4.
? subtitusikan
, maka
, substitusikan
5.
,
,
, substitusikan
6.
, substitusikan
7.
, substitusikan
, atau
, maka:
,
,
,
&
, maka:
,
, atau
maka:
, A & B dicari dulu
8.
s. johanes, dtm sv ugm
, dicari hasil baginya terlebih dahulu, sebagai berikut:
76
2013 Matematika Teknik 1
, maka:
9.
, substitusikan
,
, atau
10.
11.
s. johanes, dtm sv ugm
77
2013 Matematika Teknik 1
12.
, komponen penyebut ditulis menjadi bentuk lain sebagai berikut:
, maka: , substitusikan
13.
,
, atau
, maka:
, jika akar dari penyebut integran diturunkan maka , selanjutnya pembilang dari integran, ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka; , atau
, sehingga Contoh 12
14.
15.
, substitusikan
,
, atau
, maka:
, jika penyebut integran diturunkan maka: , selanjutnya pembilang dari integran, ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka: atau
s. johanes, dtm sv ugm
, sehingga
78
2013 Matematika Teknik 1
16.
, substitusikan
,
, atau
, maka:
6.2. Integrasi parsial Jika
diturunkan, maka :
, atau
Persamaan di atas diintegralkan, maka menjadi: , atau menjadi
Persamaan Integral parsial :
Contoh 1. Penyelesaian: jika
diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut , atau
Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :
Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka
s. johanes, dtm sv ugm
79
2013 Matematika Teknik 1
2. Penyelesaian: jika
diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut , atau
Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :
Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka
Jika
diturunkan
,
Dengan mensubtitusikan lagi
, maka
ke persamaan terakhir, maka:
kemudian diterapkan lagi Persamaan Integral parsial, maka: , atau
Suku terakhir dibawa ke ruas kiri, maka: , atau , atau
6.3. Metode Integrasi A.
Integrasi Fungsi Trigonometri
1.
Bentuk
, dengan m dan n bulat positif.
a. m = ganjil dan n = genap
s. johanes, dtm sv ugm
80
2013 Matematika Teknik 1
Contoh:
b. m = genap dan n = ganjil
Contoh:
c. m = genap dan n = genap Contoh:
s. johanes, dtm sv ugm
81
2013 Matematika Teknik 1
2.
Bentuk
atau
Sifat:
a. m = ganjil, n = ganjil, sama bila m = ganjil, n = genap
Maka:
b. m = genap, n = genap
Maka:
c. m = genap, n = ganjil
Maka:
s. johanes, dtm sv ugm
82
2013 Matematika Teknik 1 Contoh: 1.
2.
3.
3.
Bentuk : a) b) c)
Contoh:
A.
Integral dengan menggunakan substitusi 1. Substitusi Fungsi Aljabar
s. johanes, dtm sv ugm
83
2013 Matematika Teknik 1 a. Bila inttegran memuat bentuk (a+bx) dengan pangkat pecahan:
, maka
menggunakan substitusi: Contoh: 1.
2.
, substitusi:
, subst.:
→
b. Bila inttegran memuat bentuk
→
→
→
→
, mengunakan substitusi:
Contoh: , subst:
→
→
→
, maka:
s. johanes, dtm sv ugm
84
2013 Matematika Teknik 1
2. Substitusi Fungsi Trigonometri Bila integran memuat bentuk: a.
, dengan substitusi
b.
, dengan substitusi
c.
, dengan substitusi
Contoh: 1.
, substitusi:
→
5 u5
4x
Gambar 6-3
2.
3.
s. johanes, dtm sv ugm
, substitusi:
, substitusi:
→
→
85
2013 Matematika Teknik 1
X+3
2
Gambar 6-4 B.
Integral Fungsi Pecah Rasional 1. Fungsi Aljabar , dimana f(x) dan g(x) berbentuk polinomial , n = bulat positif a. Bila f(x) berpangkat lebih tinggi daripada pangkat g(x) Maka: Contoh:
, berarti
dan
b. Bila f(x) berpangkat lebih rendah daripada pangkat g(x) Andaikan Dengan
dan A1, A2, A3, . . . .An harus dicari. Contoh:
Mengambil harga-harga untuk x: x = 1 → 9 = -2A → A = 9/2 x = 2 → 11 = -B → B = -11 x = 3 → 13 = 2C → C = 13/2 Identitas Koefisien x2: A + B + C = 0
s. johanes, dtm sv ugm
86
2013 Matematika Teknik 1 Koefisien x1: -5A – 4B – 3C = 2 Koefisien x0: 6A + 3B + 2C = 7
Bila g(x) memuat faktor linier berulang
A, B1, B2, ….,, Bp, C1, C2, C3, ... ., Cq dicari. Contoh:
x = -2 → 75 = 25 A → A = 3 x = 3 → -20 = 5 B → B = -4 A+C=3 → C=0 Bila g(x) memuat faktor kuadratis
Contoh:
s. johanes, dtm sv ugm
87
2013 Matematika Teknik 1
1=A+C
A=0
1=B+D
B=1
1 = 2A + C
C=1
2 = 2B + D
D=0
2. Fungsi Pecah Rasional Menggunakan substitusi:
→
→
u x/2 1
Gambar 6-5
Contoh: substitusi:
→
→ ,
s. johanes, dtm sv ugm
88
2013 Matematika Teknik 1
C.
Integral Fungsi Irasional 1. Bentuk
, substitusi:
Contoh: , Misal:
→
→ →
2. Bentuk
, menggunakan substitusi:
Contoh: , misal:
s. johanes, dtm sv ugm
→
→
89
2013 Matematika Teknik 1 3. Bentuk
, menggunakan substitusi: atau
Bentuk:
→ menggunakan trigonometri
Contoh: , menggunakan substitusi: → →
s. johanes, dtm sv ugm
90
2013 Matematika Teknik 1
Tugas pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut. 1. 2.
Latihan untuk pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut. 1. 2.
Petunjuk. 1. Untuk menjawab soal
, misalkan
, maka
dan
.
jawabnya: 2. Untuk menjawab soal
, gunakan rumus integrasi parsiil. Jawabnya:
Soal-soal Cari integral tak tentu berikut : 1. 2. 3.
12. 13. 14.
4.
15.
5.
16.
6.
17. 18.
7.
19.
8.
20.
9.
21.
10.
22.
11.
23.
s. johanes, dtm sv ugm
91
2013 Matematika Teknik 1 24.
28.
25.
29.
26.
30.
27.
PENUTUP Tes formatif dan kunci tes formatif Tentukan integral berikut: 1.
, kunci jawaban:
2.
, kunci jawaban:
3.
, kunci jawaban:
4.
, kunci jawaban:
Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan nilai . Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutnya diuji lagi.
s. johanes, dtm sv ugm
92
