INTEGRAL TAK TENTU 1
Rumus umum integral b
f (x) dx F(x) a
=lambang integral
f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral F = hasil integral dari f(x)
2
Perbedaan integral tentu dan tak tentu b
Integral tentu f(x) dx bilangan a
b
Integral tak tentu f(x) dx a
fungsi
3
Penerapan Integral dalam Ilmu Sains Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t. t2
V' (t) dt V(t 2 ) V(t1 )
t1
perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2 4
Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt t2
t1
d[C] dt [C](t2)-[C](t1) dt
perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2 Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x) b
ρ(x) dx m(b) m(a)
a
massa dari ruas batang yg terletak diantara x=a dan x=b
5
Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka t2
t1
dn dt n(t2 ) n(t1 ) dt
pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2
Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga t2
a(t) dt v(t2 ) v(t1 )
t1
perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2
6
RUMUS DASAR & SIFAT 1. 2. 3. 4.
d x n n x n 1 dx d 1 lnx dx x d x x e e dx d kx kx e ke dx
n 1 x n x dx n 1 n 1 1 xdx lnx C x x e dx e C kx e kx e dx k C x a x a dx ln a C
(kf )(x)dx k f (x)dx f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
7
Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka
g(x)
r
dx
Contoh :
g(x)
r 1
C
r 1
x4 dx = ????
g(x) = x r = 4
g(x)
r
dx
g(x)
r 1
C
r 1 x4+1 x5 C= C 4 1 5 8
Teknik pengintegralan
INTEGRAL SUBSTITUSI Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan
Aturan substitusi Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx u
du
9
1. Hitunglah 2x 1 dx
10
1. Hitunglah 2x 1 dx u=2x+1 du=2 dx dx=1/2 du
2x 1 dx
u
du 1 1/2 u du 2 2
1 u 3/2 1 C u 3/2 C 2 3/2 3 1 (2x 1)3/2 C 3 11
INTEGRAL PARSIAL Bila integral substitusi GAGAL integral parsial Integral parsial : suatu metode yg didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsi Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh
u(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x) dx 12
atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dx krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu
u dv = u v - v du Pengintegralan Parsial Tentu b
b
b
a
a
a
u(x) v' (x) dx u(x) v(x) v(x) u' (x) dx b
b
b
a
a
a
u dv u v v du 13
Gambar diagram u dv=uv-vdu
14
1. Tentukan lnx dx
15
1. Tentukan
lnx dx
u = ln x du = 1/x dx
dv = dx v=x
1 ln x dx x lnx x xdx x ln x
dx
x ln x x C 16
INTEGRAL TRIGONOMETRI
sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C sec x dx = tan x + C co sec x dx = -cotan x + C tan x sec x dx = sec x + C cotan x cosec x dx = -cosec x + C 2
2
17
INTEGRAL TRIGONOMETRI Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx 1. Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1), simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinus sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx = sinmx (1-sin2x )k cos x dx
kemudian substitusikan u=sinx du=cosx dx
18
2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinus sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx
= (1-cos2x)k cosnx sin x dx kemudian substitusikan u = cosx
du= -sin x dx NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2) 19
3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudutparuh sin2x = ½ (1-cos 2x) cos2x = ½ (1+cos2x) sinx cosx = ½ sin 2x
20
1. Tentukan cos3x dx
21
1. Tentukan cos3x dx untuk mempermudah dijabarkan menjadi:
cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x cos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx misal : u = sin x du= cos x dx
cos3x = (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C 22
Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx 1. Jika pangkat secan bil.genap (n=2k), simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx = tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx kemudian substitusikan u = tan x
du=sec2 x dx 23
2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx = (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx
kemudian substitusikan u = sec x du=tan x sec x dx
24
Hitunglah tan6 x sec4 x dx
25
Hitunglah tan6 x sec4 x dx
ingat, sec2x = 1 + tan2x 6 4 6 2 2 tan x sec x dx tan x sec x sec x dx
tan6 x (1 tan2 x) sec2 x dx
misal u=tan x du = sec2x dx
6 4 6 2 tan x sec x dx u (1 u ) du
u 6 u 8 du 7 1 u 9du 1 u 7 9 7 1 tan9 x C 1 tan x 7 9 26
