Materi ke - 6. Penggunaan Integral Tak Tentu. 30 Maret 2015

Materi ke - 6 Penggunaan Integral Tak Tentu 30 Maret 2015

Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Persamaan Diferensial dan Penggunaannya Persamaan diferensial  mengaitkan suatu fungsi dengan turunannya (diferensial ) Contoh

x y'   2y

'

y  2x y ' ' y '2 y  2 x Industrial Engineering – UNS

2

[email protected]

Persamaan Diferensial dan Penggunaannya Dengan proses integral tak tentu persamaan diferensial y '  2 x mempunyai solusi y  x 2  C

Solusi umum  keluarga kurva yg memenuhi persamaan Solusi khusus satu kurva yg memenuhi syarat tertentu Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah Digunakan untuk persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk p( x)  q( y ) y '  0 atau p ( x)dx  q ( y )dy  0 Solusi diperoleh dengan integral tak tentu

 p( x)dx   q( y)dy  C Jika P( x)   p ( x)dx dan Q( x)   q ( y )dy Maka solusinya adalah P( x)  Q( x)  C Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah Contoh 1 Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (2,-1) jika diketahui gradien garis singgung disetiap titik  perbandingan absis dan ordinat Jawab 1 Gradien garis singgung pada kurva f ( x, y )  k adalah y '. Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah karena gradien garis singgung ( y' ) sama dengan perbandingan absis (x) dan ordinat (y) dan kurva yang melalui titik (2,-1) , maka persamaan diferensialnya adalah x y '  , y (1)  2 y


[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah Selesaikan dengan metoda pemisahan dy x   ydy  xdx   ydy   xdx dx y Solusi diperoleh dengan integral tak tentu 1 2 1 2 y  x  C  y2  x2  C 2 2 Karena y (1)  2 maka 4  1  C sehingga C  3 Maka solusinya adalah y 2  x 2  3 Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah Contoh 2 Tentukan y fungsi x yang memenuhi persamaan y '  x  2 xy Jawab 2 dy dy   x(2 y  1)    xdx dx (2 y  1) dy 2   xdx  ln 2 y  1   x  c1  (2 y  1)  Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Metoda Pemisahan Peubah

2 y 1  e

 x 2  c1

2 y  1  c3e

 x2

 2 y  1  c2 e

 x2

, c2  0

, c3  0

1 x2 y   Ce 2


[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial • Seorang penerjun , terjun dari ketinggian tertentu dan parasut terbuka pada saat t=0 , pada saat itu kecepatannya v(0)=10 m/det. Berat penerjun 712 N. • Jika hambatan udara sebanding dengan kuadrat kecepatannya dengan konstanta perbandingan b = 30 N / (m2/det2) dan g=9,8 m/det2 , tentukan fungsi kecepatan penerjun setiap saat ? • Apakah kecepatan bertambah untuk t yang semakin besar ? Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial

STOP Untuk menyelesaikan masalah diatas kita HARUS mengerti sistem tersebut ( dalam hal ini FISIKA )


[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial Berdasarkan hukum Newton yang kedua F=ma diperoleh

dv mg  bv  m , v(0)  10 dt Dari sini diperoleh pers diferensial dv b 2  g  v , v(0)  10 dt m 2


[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial dv b  2 mg  dv b 2 mg 2 2   v    v  k ,k   dt m b  dt m b dv b dv b   dt   2    dt 2 2 2 v k m v k m 1 vk b vk 2kb ln   t  c1  ln  t  c2 2k v  k m vk m vk 2kb  pt  Ce , p  vk m














[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial v  k  Ce v  k  Sehingga fungsi kec penerjun setiap saat  pt

 pt

1  Ce v(t )  k  pt 1  Ce mg 2kb 2 dimana k  dan p  b m Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial 2

2

Dari W  mg  712 N dan b  30 N / (m /det ) mg 712 maka k    4,87 m/det b 30 vk  pt dari  Ce dengan v(0)  10 m/det vk diperoleh C  0,345


[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial Dari m  72,7 kg , k  4,87 m/det 2

2

dan b  30 N / (m /det ) 2kb maka p   4,02 / det m Jadi kecepatan penerjun setiap saat  4 , 02 t

1  0,345e v(t )  4,78  4 , 02 t 1  0,345e Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Penggunaan Persamaan Diferensial Selidiki apakah t semakin besar kec bertambah ? untuk t   , v(t )  4,87 Artinya untuk t semakin besar kec hampir konstan yaitu mendekati 4,87 m/det


[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu mempunyai bentuk umum y ' p( x) y  q( x) Untuk menyelesaikan , kalikan ruasnya dng faktor e P ( x ) , P(x)   p(x)dx Maka diperoleh e

P( x)

y 'e

P( x)


p( x) y  e

P( x)

q( x) [email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Bentuk diatas dapat ditulis d P( x) e y  e P ( x ) q( x)  d e P ( x ) y  e P ( x ) q ( x)dx dx Integralkan kedua ruas



e

P( x)



y  e



P( x)

q( x)dx, e

P( x)



 Faktor Integrasi (f.i)

Teorema 1 Solusi umum dari y ' p ( x) y  q ( x) adalah p ( x ) dx   f .i  y   (f.i)q( x)dx  C , (f.i)  e Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Contoh 4 Tentukan Solusi Umum y '2 xy  x Jawab 4 Dengan menggunakan Teorema 1 p ( x )dx 2 xdx x2   Faktor Integrasi (f.i)  e e e 1 x2 1 x2 x2 x2  x2 e y   e x)dx  e y  e  C  y   Ce 2 2


[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Contoh 5 Tentukan Solusi Umum ( y-2 )dx  ( 2 x  y)dy  0 Jawab 5 Tulis dlm bentuk dx dx ( y-2 )  ( 2 x  y)  0  ( y-2 )  2 x  y dy dy dx 2x y 2x y    x'  dy ( y-2 ) ( y-2 ) ( y-2 ) ( y-2 ) Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Faktor Integrasi (f.i)  e



2 dy y 2

e

ln( y  2 ) 2

 ( y  2) 2

y ( y  2) x   ( y  2) . dy ( y-2 ) 1 3 2 ( y  2) x  y  y 2  C atau dapat ditulis 3 1 3 y  y2  C x 3 ( y  2) 2 2


2

[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Perhatikan gambar dibawah ( Persoalan Rangkaian Listrik ) R

E(t)

S L


[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Rangkaian Listrik terdiri dari daya E(t)=100sin40t volt , R=10 Ohm , L=0.5 Henry dan Saklar ( S ). Jika S ditutup I(0)=0 , tentukan arus listrik pada setiap T Sekali lagi …. Kita Harus memahami sistem sebelum meng-aplikasikan persamaan diferensial


[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya Berdasarkan hukum Ohm  E R  RI  ER  10 I Besar EL sepanjang induktor berbanding lurus dI dI dengan laju perubahan arus I  E L  L  EL  0.5 dt dt Hukum Kirchoff  E (t )  ER  EL dI 0.5  10 I  100 sin 40t , I (0)  0 atau dt I '20 I  200 sin 40t , I (0)  0


[email protected]

Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dan Penggunaannya 20 dt  f .i  e  e 20t  e 20t .I   e 20t .200 sin 40tdt  C  20 t

I  2(sin 40t  2 cos 40t )  Ce Syarat I (0)  0  C  4  Maka solusi khusus I  2(sin 40t  2 cos 40t )  4e

 20 t

atau

1 I  2 5 (sin 40t   )  4e ,   cos 5  1.11 5 Fungsi I setiap saat I  2 5 (sin 40t  1.11)  4e  20t  20 t


1

[email protected]

Inspirasi Hari Ini Ancaman TERBESAR bagi KEBERHASILAN bukan pada CITA-CITA yang setinggi langit hingga tak mampu mencapainya secara penuh ; Namun berasal dari pematokan cita-cita yang terlalu DATAR hingga mudah mencapainya Industrial Engineering – UNS

[email protected]

Materi ke - 6. Penggunaan Integral Tak Tentu. 30 Maret 2015

Recommend Documents