INTERGRAL Operasi balikan dari diferensial adalah anti diferensial atau integral. Suatu fungsi F dikatakan sebagai anti diferensial dari fungsi f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain F. Jika F didefinisikan sebagai f(x) = 4x3 + x2 + 5 dan F’(x) = 12x2 + 2x, maka fungsi F’(x) = 12x2 + 2x adalah turunan dari f, sedangkan f disebut integral dari F. Notasi untuk Anti Diferensial Notasi untuk operasi anti diferensial dari f(x) adalah .Notasi “ʃ” disebut tanda integral dan notasi “ ” mengingatkan terhadap variabel integrasi. Adapun disebut tetapan integrasi dan disebut integral (fungsi yang ditarik integralnya). INTEGRAL TAK TENTU a) Menentukan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Dari rumus untuk turunan fungsi yang diperoleh pada pembahasan bab sebelumnya dapat diturunkan beberapa rumus integral tak tentu sebagai berikut.
Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu sebagai berikut.
b) Menentukan Integral Tak TentuFungsi Trigonometri Untuk mencari integral fungsi trigonometri dengan mengetahui turunan dari fungsi trigonometri. Karena maka
dan
Rumus tersebut dapat untuk
dan dan
. Karena , maka
INTEGRAL TERTENTU 1. Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah Luas adalah suatu konsep yang digunakan pada bidang geometri. Misalnya pada luas persegi, persegi panjang, segitiga, dan lingkaran. Luas daerah tersebut dapat dihitung dengan menggunakan suatu formula tertentu. Menghitung luas daerah dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan x = b . Luas daerah dapat ditentukan dengan cara mencari limit jumlah dari luas daerah tersebut.
( jumlah bilangan kuadrat)
( jumlah n bilangan asli)
2. Pengertian Integral Tertentu Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk a ≤ x ≤ b. Interval [a, b] dibagi menjadi n bagian yang sama dengan lebar dengan
. Maka dapat dinyatakan
yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai b.d.
Teorema Dasar Integral Kalkulus Pada kurva f(x) kontinu dalam integral tertutup [a, b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = (x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b ditentukan dengan rumus
dengan F(x) adalah anti diferensial dari f(x) yang bersifat F’(x) = f(x). Teorema dasar integral kalkulus dapat ditulis dengan notasi kerung sikku sebagai berikut.
Sifat-Sifat Integral Tertentu
Pengintegralan dengan Subtitusi 1. Pengintegralan dengan Bentuk Diketahui bahwa jika F(x) = f(g(x)), maka F’(x) = f’(g(x)) . g’(x) sehingga
atau du = g’(x). Dengan mensubtitusikan
Misalkan u= g(x), maka u = g(x), diperoleh
a) Pengintegralan Fungsi Aljabar
, n bilangan rasional dan
b) Pengintegralan Fungsi Trigonometri
2. Pengintegralan yang Memuat Bentuk-Bentuk
,
,
Pengintegralan dengan Rumus Integral Parsial Misalkan u = u(x) dan fungsi v = v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka pengintegralan ditentukan oleh hubungan:
Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Luas Daerah Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b ditentukan oleh:
Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Daerah Diputar pada Sumbu X Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x =b diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
Diputar pada Sumbu Y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu Y, garis y = a, dan garis y =b diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu Y, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
Daerah Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu X Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x =b diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu X, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
Dengan catatan
dalam interval tertutup
.
Daerah Dua Kurva yang Diputar terhadap Sumbu Y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=f(y), kurva x = g(y), sumbu Y, garis y = c, dan garis y =d diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu Y, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
Dengan catatan
dalam interval tertutup
.
Aplikasi Integral dalam Teknologi Industri Pertanian
Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan panjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, mengukur dalam perencanaan pembuatan gedung.
Penggunaan integral dalam keteknikan adalah sebagai berikut : a) Solusi masalah transport polutan dalam medium anisotropik Persamaan integral b) Penyelesaian pada sistem elektronik Pada arus DC
c) Untuk menghitung volume
Penggunaan integral dalam ekonomi adalah sebagai berikut . a) Dari fungsi marginal ke fungsi total
b) Investasi dan pembentikan modal Persediaan modal K dan investasi netto l dihubungkan dengan dua persamaan berikut
dan
DAFTAR PUSTAKA
Chiang, Alpha C. Wainwright, Kevin. 2005. FUNDAMENTAL METHODS OG MATHEMATICAL ECONOMICS, 4TH ED. London : McGraw-Hill, Inc. Fujiastuti, Wulandari. 2008. Matematika Kejuruan. Bandung: Grafindo Media Pratama Kurnianingsih, Sri.2006. Matematika SMA Kelas XII. Jakarta: Esis Sahari, Agusman. 2011. Metode Elemen Batas Untuk Masalah Transport. JIMT, Vol.8 , No.1 Wirodikromo, Drs. Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga
