92
BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI
8.1. Integral dengan Substitusi Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang akan mengubahnya ke dalam bentuk baku. Jika substitusi pertama yang anda coba tidak berhasil, cobalah yang lain. Keterampilan dalam hal ini akan terlatih bila anda banyak latihan. Contoh 1: Carilah
∫ cos
x dx (x 2 )
2
Jawab: Perhatikan integral tersebut sejenak, karena
1 = sec 2 ( x) maka anda 2 cos ( x)
diingatkan pada bentuk baku ∫ sec 2 (u) du . Andaikan u = x2 maka du = 2x dx
∫ cos
x 1 1 1 dx = ∫ sec 2 (u) du = tan(u ) + C = tan( x 2 ) + C 2 2 2 2 (x )
2
Dengan Derive:
Int_subst(y(x), x, u(x)) adalah integrasi substitusi y = f(x) dengan mensubstitusikan x oleh u(x).. Tulislah: Int_subst(
x , x, x2 ) enter, sama dengan. cos ( x 2 ) 2
Klik f4, lalu tulis: + C enter.
93
Contoh 2: Carilah
∫
3 5 − 9x 2
dx
Jawab: Ingatlah bentuk
∫
du
du
a − u2 2
Andaikan u = 3x maka du = 3 dx
∫
3 5 − 9x 2
dx = ∫
du 5 − u2
= sin −1 (
u 5
) + C = sin −1 (
3x 5
)+C
Dengan Derive: Tulislah: Int_subst(
3 5 − 9x 2
Klik f4, lalu tulis: +C enter
, x,3 x ) enter, sama dengan.
94
Contoh 3: 5
Hitunglah ∫ t t 2 − 4 dt 2
Jawab: Andaikan u = t2-4 maka du = t dt Perhatikan untuk t = 2 maka u = 0 dan t = 5 maka u = 21 5
2 ∫ t t − 4 dt = 2
21
21 1 1 2 1 u du = [ ( u 3 / 2 ) ] = (21) 3 / 2 = 32,08 ∫ 0 20 2 3 3
Dengan Derve: Tulislah: t t 2 − 4 enter,
95
Klik icon integral, aktifkan definite, masukkan lower limitnya 2 dan upper limitnya 5, lalu klik OK.
Soal-Soal Latihan Hitunglah integral yang ditunjukkan. 1.
∫ ( x + 2)
2.
∫ x( x
3.
∫x
4.
∫ 6z
4 + z 2 dz
5.
∫
y
2
5
dx
+ 1) 5 dx
dx +4
2
16 − 9 y 4
dx
96
e 3t
6.
∫
7.
sec 3 ( x) + e sin( x ) dx ∫ sec( x)
8.
∫ cos
9.
∫
10.
3x 2 + 2 x ∫ x + 1 dx
dt
4 − e 6t
tan( z ) dx 2 ( z)
sin( t )
dt
t
sin(ln(4 x 2 )) 11. ∫ dx x 12.
∫
6e x 1 − e2x
3/ 4
13.
dx
cos( x) dx 2 ( x)
∫ 1 + sin 0
1
14. ∫ t.3t 2 dt 0
π /6
15.
∫2
cos( x )
dx
0
π /2
16.
0
2
( x)
e 2 x − e −2 x ∫0 e 2 x + e −2 x dx 1
17.
sin( x)
∫ 16 + cos
dx
97
8.2. Beberapa Intergral Trigonometri Bila kita mengkombinasikan metode substitusi dengan pemakaian esamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri. Tinjaulah jenis integral berikut. 1.
∫ sin
n
( x) dx
2.
∫ sin
m
( x) sin n ( x) dx
3.
∫ sin(mx) cos(nx) dx, ∫ sin(mx) sin(nx) dx,
dan
∫ cos
n
( x) dx
dan
∫ cos(mx) cos(nx) dx
Contoh 4: Carilah ∫ sin 5 ( x) dx Jawab:
∫ sin
5
( x) dx = ∫ sin 4 ( x) sin( x) dx = ∫ (1 − cos 2 ( x)) 2 sin( x) dx = ∫ (1 − 2 cos 2 ( x) + cos 4 ( x)) sin( x) dx
Misalkan u = cos(x) maka du = -sin(x) dx
∫ sin
5
( x) dx = ∫ (1 − 2 cos 2 ( x) + cos 4 ( x)) sin( x) dx = − ∫ (1 − 2u 2 + u 4 ) du 2 1 2 1 = − u + u 3 − u 5 + C = − cos( x) + cos 3 ( x) − cos 5 ( x) + C 3 5 3 5
Dengan Derive: Int_subst(sin5(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
98
Contoh 5: Carilah ∫ sin 4 ( x) dx Jawab: 2
1 1 − cos(2 x) 2 ∫ sin ( x) dx = ∫ 2 dx = 4 ∫ (1 + 2 cos(2 x) + cos (2 x)) dx 4
=
1 1 1 dx + ∫ 2 cos(2 x) dx + ∫ (1 + cos(4 x)) dx ∫ 4 4 8
=
3 1 1 dx + ∫ 2 cos(2 x) dx + ∫ 4 cos(4 x)) dx ∫ 8 4 32
=
3 1 1 x + sin(2 x) + sin(4 x) + C 8 4 32
Dengan Derive: Int_subst(sin4(x), x, cos(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.
99
Contoh 6: Carilah ∫ sin 2 ( x) cos 4 ( x) dx Jawab:
∫ sin
2
( x) cos 4 ( x) dx = 2
2
1 1 − cos(2 x) 1 + cos(2 x) 2 3 ∫ 2 + 2 dx = 8 ∫ (1 + cos(2 x) − cos (2 x) − cos (2 x)) dx =
1 1 (1 + 2 cos(2 x) − (1 + cos(4 x)) − (1 − sin 2 (2 x)) cos(2 x)) dx ∫ 8 2
=
1 1 1 − cos(4 x) + sin 2 (2 x) cos(2 x)) dx ∫ 8 2 2
=
1 1 1 1 x − sin(4 x) + sin 3 (2 x) + C 8 2 8 6
100
Dengan Derive:Int(sin2(x)cos4(x), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.
Tunjukkan bahwa
2 sin 2 ( x) 1 2 1 cos 5 ( x) 1. − cos( x) + cos 3 ( x) − cos 5 ( x) = − − cos( x) + 3 5 5 3 3 2.
3 1 1 sin( x) cos 3 ( x) 3 sin( x) cos( x) 3 x x + sin(2 x) + sin(4 x) = + + 8 4 32 4 8 8
3.
1 1 1 1 3 x − sin( 4 x ) + sin (2 x) = 8 2 8 6 sin( x) cos 5 ( x) sin( x) cos 3 ( x) sin( x) cos( x) x − + + + 6 24 16 16
101
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-8, hitunglah integral yang ditunjukkan. 1.
∫ sin
2
( x) dx
2.
∫ sin
3
( x) dx
π /2
3.
∫ cos(θ )
dθ
0
3πx
10
4.
2πx
∫ sin( 10 ) sin( 10 )
dx
−10
5.
∫ sin
6.
∫ cos
7.
∫ sin(4 y) cos(5 y )
8.
∫ sin
5
(4 x) cos 2 (4 x) dx
3
4
(3θ ) sin −2 (3θ ) dθ dy
w w ( ) cos 2 ( ) dw 2 2
Dalam soal-soal 9-10, Carilah volume benda putar bila, 9. y = x + sin(x), y = 0, x = π diputar mengelilingi sumbu-x 10. y = sin2(x2), y = 0, x =
π 2
diputar menglilingi sumbu-y
102
8.3. Substitusi yang Merasionalkan Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya, seringkali substitusi yang tepat akan merasionalka integran tersebut.
Integral yang Melibatkan
n
ax + b
Contoh 7: Carilah
dx
∫x−
x
Jawab: Misalkan u = √x maka u2 = x dan 2u du = dx dx
∫x−
x
=
∫u
2u du = 2ln(u-1) + C = 2ln(√x + 1) + C −u
2
Dengan Derive: Int(
1 x− x
, x, c ) enter, lalu klik tanda sama dengan.
103
Integral yang melibatkan
a2 − x2 ,
a 2 + x 2 , dan
x2 − a2
1. jika bentuknya
a 2 − x 2 maka substitusi x = a sin(t)
2. jika bentuknya
a 2 + x 2 maka substitusi x = a tan(x)
3. jika bentuknya
x 2 − a 2 maka substitusi x = a sec(t)
Contoh 8: 2
∫
Carilah
2 − x 2 dx
− 2
Jawab: Misalkan x = √2 sin(t) maka dx = √2 cos(t) dt 2
∫
2
2− x
2
∫
dx =
− 2
2
2 − 2 sin (t ) . 2 cos(t ) dt = 2 ∫ cos 2 (t ) dt 2
− 2
− 2
2
=
1
∫ (1 + cos(2t ) dt = [t + 2 sin(2t )]
2 − 2
= [t + sin(t ) cos(t )]− 2 2
− 2
x
Dari pemisalan dipeoleh t = sin-1(
cos(t) = cos(sin-1(
x 2
x
)) = 1 − (
) sehingga
2
2
1
)2 =
2
2 − x2
Jadi: 2
∫
− 2
2 − x 2 dx = [sin −1 (
x 2
)+
x 2
.
= sin-1(1) - sin-1(-1) =
1 2
π 2
2 − x 2 ] − 2 2 = [sin −1 (
+
π 2
=π
x 2
)+
x 2 − x 2 ]− 2 2 2
104
Dengan Derive: Int( 2 − x 2 , x, √-2, √2) enter, lalu klik tanda sama dengan. Untuk gambar: Plotint( 2 − x 2 , x, √-2, √2)
Contoh 9: Carilah
∫
dx 9 + x2
Jawab: Misalkan x = 3 tan(t) maka dx = 3 sec2(t) dt sec 2 ( x) ∫ sec(t ) dt =
∫
3 sec 2 ( x) 9 + 9 tan 2 (t )
dt =
= ln(sec(t) + tan(t)) + C
sec 2 ( x) ∫ sec(t ) dt = ∫ sec(t ) dt
105
Dari pemisalan dipeoleh tan(t) =x/3 sehingga sec(t) =
9 + x2 3
Jadi,
9 + x2 x sec 2 ( x) 2 ∫ sec(t ) dt = ln ( 3 + 3 ) + C = ln ( 9 + x + x ) - ln(3) + C = ln ( 9 + x 2 + x ) + K Dengan Derive: Int(
1 9 + x2
, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan.
106
Contoh 10: 4
Carilah
∫ 2
x2 − 4 dx x
Jawab: Misalkan x = 2sec(t) maka dx = 2sec(t)tan(t) dt Untuk x = 2 maka t = 0 dan untuk x = 4 maka t = π/3 4
∫ 2
x2 − 4 dx = x
π /3
∫ 0
π /3
π /3
2 tan(t ) .2 sec(t ) tan(t ) dx = 2 ∫ tan 2 (t ) dx = 2 ∫ tan 2 (t ) dx 2 sec(t ) 0 0
π /3
= 2 ∫ sec 2 (t ) − 1 dx = 2[tan(t ) − t ]π0 / 3 = 2√3 0
2π ≈ 1,37 3
Dengan Derive: Dengan Derive: Int(
x2 − 4 , x, 2, 4) enter, lalu klik tanda sama dengan. x
Untuk gambar: Plotint(
x2 − 4 , x, 2, 4) x
107
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-10, hitunglah integral tak-tentu yang ditunjukkan. 1.
∫x
x + 1 dx
2.
∫
t
3.
∫
4.
∫ t (3t + 2)
dt t +4
∫
6.
∫ (x
∫
8.
∫
9.
∫
10.
∫
3/ 2
dx
4 − x2 dx x
5.
7.
dt
3t + 4
dt + 4) 3 / 2
2
t 2 −1 dt t3 2z − 3 1− z2
dz
x2
dx
16 − x 2
t 1− t2
dt
Dalam soal-soal 11 -15, hitunglah integral tentu yang ditunjukkan. 2
11.
∫ 1
dt t +4
108
1
12.
t
∫ t +1
dt
0
3
13.
∫t 2
−3
14.
∫
−2
π
15.
∫ 0
dt 2
t 2 −1 t 2 −1 dt t3
πx − 1 x2 + π 2
dx
109
8.4. Integrasi Parsial Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, dimungkinkan menggunakan substitusi ganda, yang disebut dengan integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi rumus untuk turunan hasilkali dua fungsi. Andaikan u = u(x) dan v = v(x), maka Dx[u(x).v(x)] = u(x).v’(x) + u’(x).v(x), atau u(x)v’(x) = Dx[u(x).v(x)] - u’(x).v(x) dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan diperoleh:
∫ u( x).v' ( x)
dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x) dx
Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, maka dapat ditulis,
∫u
dv = u.v − ∫ v du (integral tak tentu)
b
b
b
∫ u dv = [u.v ] − ∫ v du (integral tertentu) a
a
a
Contoh 1: Carilah
∫ x cos( x)
dx
Jawab:
Misalkan,
u = x, maka du = dx dv = cos(x) dx, maka v = sin(x)
sehingga,
∫ x cos( x)
dx = x.sin(x) - ∫ sin( x) dx = x.sin(x) + cos(x) +C
110
Dengan Derive:
Int_parts(u(x), v(x), x) adalah integrasi parsial u = u(x) dan v = v(x) yang mengandung variabel x. 1. Tulislah: Int_parts(x, cos(x), x) enter, sama dengan. 2. Klik F4, tulis + c enter.
Jadi,
∫ x cos( x)
dx = cos(x) + x.sin(x) + C
Contoh 2: Carilah
∫x
2
sin( x) dx
Jawab: Misalkan,
u = x2, maka du = 2x dx dv = sin(x) dx, maka v = -cos(x)
111
sehingga,
∫x
2
sin( x) dx = -x2.cos(x) - 2 ∫ x cos dx
= -x2.cos(x) – 2(x.sin(x) +cos(x) +C) = -x2.cos(x) – 2x.sin(x) + 2cos(x) + K Pengerjaan dengan Derive: 1. Tulislah: Int_parts(x2, sin(x), x) enter, sama dengan. 2. Klik F4, tulis + c enter.
Jadi,
∫x
2
sin( x) dx = (2 -x2).cos(x) – 2x.sin(x) + K
112
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-5, Gunakan integrasi parsial untuk menentukan integral berikut. 1.
∫ xe
2.
∫ x cos( x)
3.
∫t
4.
∫ arctan( x)
5.
∫
x
dx dx
t + 1 dt dx
ln( x) dx x2
Dalam soal-soal 6-8, Hitunglah integral tentu berikut. e
6.
∫
t ln(t ) dt
1
π /2
7.
∫ x cos ec π
2
( x) dx
/6
π /4
8.
∫ x sec π
2
( x) dx
/6
Dalam soal-soal 9-12, Gunakanlah integrasi parsial dua kali untuk menghitung integral berikut. 9.
∫x
2
e x dx
10. ∫ e t cos(t ) dt 11. ∫ sin(ln( x)) xe x dx 12. ∫ (ln( x)) 3 dx
113
DAFTAR PUSTAKA
Dudley, U. (1993). Reading for Calculus: Resources for Calculus collection volume 5. USA: MAA Freese, S.F; Stegenga, D.A (1999). Calculus Concepts Using Derive for Windows. University of HawaiiL R & D Publishing. Kutzler, B. (2003). Introduction for Derive 6.0. Texas USA: Texas Instruments. Sanchis, G.R. (2004). A Calculus Laboratory Manual Using Derve. Eric Digest Schiavone, P. (1997. Calculus Solutions. Scarborough, Ontario: Prentice Canada Inc. Schoenfeld, A.H. (1995). Student Assessment in Calculus: A Report of the NSF orking Group on Assessment in Calculus. USA: MAA Thomas, G.B. (1985). Calculus and Analytic Geometri (terjemahan oleh Akhmad Sundjaya). Bandung: M2S. Varberg, D; Purcell, E,J; Rigdon, S.E. (2003). Calculus 8th Edition (Terjemahan oleh I Nyoman Susila). Erlangga Bandung.
