Integral Tak Tentu
AntiTurunan (Antiderivative) AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl sebuah fungsi F sedemikian hingga F′ = f
∫ f ( x)dx
Pernyataan:
dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,” Artinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f.
Ex. AntiTurunan dari f ( x) = 6 x adl F ( x) = 3 x 2 + 2 krn F ′( x ) = f ( x ).
∫ f ( x)dx Tanda Integral
Konstanta dari Integrasi
∫
6 xdx = 3x 2 + C
Integrand
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian I
Setiap antiturunan F dari f harus dalam bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl sebuah konstanta. Perhatikan
x disebut peubah integrasi
Ex.
∫
x n dx =
∫
x3dx =
x n+1 + C if n ≠ −1 n +1
x4 +C 4
Mewakili semua antiturunan yang mungkin dari 6x.
1
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian II
∫
1 x dx = dx = ln x + C x −1
∫
Integral TakTentu dari ex dan bx
2
3
2
2
Aturan Perkalian dengan Konstan
Ex.
∫
∫
2 x3dx = 2 x3dx = 2
(k constant)
x4 x4 +C = +C 4 2
Posisi, Kecepatan, Percepatan
Ex. Dapatkan integral tak tentu dari: u 7 2 3e − + 2u − 6 du u
∫
∫
Ex.
x
Contoh:
= 3 eu du −7
∫ ( f ± g ) dx = ∫ fdx ± ∫ gdx x x ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = 3 + 2 + C
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
∫ e dx = e x+ C b x ∫ b dx = ln b + C x
Aturan Jumlah dan Kurang
1
∫ u du + 2∫ u du − ∫ 6du 2
2 = 3eu − 7 ln u = u 3 − 6u + C 3
Jika s = s(t) adl fungsi posisi dari sebuah obyek pada saat waktu t, maka ds dv Kecepatan = v = Percepatan = a = dt dt
Bentuk Integral s (t ) = ∫ v(t )dt
v(t ) = ∫ a (t )dt
2
Integrasi dengan Substitusi
Integrasi dengan Substitusi
Metode integrasi yang berhubungan dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi dalam x, maka kita bisa mengunakan formula/persamaan
u 9 du
Subtitusi
∫
∫
∫
Tentukan u, dptkan du Substitusi
1 u = +C 10 ( 3 / 2 )
(5x =
2
−7 15
Integralkan
)
Integralkan
3/ 2
+C
Substitusi
)
9
− 5 dx
3
+5
)
10
10
+C
Substitusi ulang
dx
∫ x ( ln x )
3
Let u = ln x then xdu = dx dx
∫ x ( ln x ) = ∫ u 3
3/ 2
(x =
u10 = +C 10
Ex. Dapatkan
du Let u = 5 x 2 − 7 then = dx 10 x 1 1/ 2 x 5 x 2 − 7 dx = u du 10
3
du = dx 3x2
∫
Ex. Dapatkan x 5 x 2 − 7 dx
2
Ambil u = x 3 + 5, maka du = 3x 2 dx
f
∫ fdx = ∫ du / dx du
∫ 3x ( x
Ex. Dapatkan integral:
=
−3
du
u −2 +C −2
( ln x ) = −2
−2
+C
3
∫
Ex. Dapatkan
Ekspresi Integral yang mengandung ax + b
e3t dt e3t + 2
Let u = e +2 then 3t
∫
3t
du = dt 3e3t
e dt 1 1 du = e3t + 2 3 u
∫
= =
(
3
∫ ( ax + b )
n
∫ ( ax + b )
ln u
+C 3 ln e3t + 2
Aturan
) +C
dx =
−1
( ax + b )
dx =
n +1
a (n + 1)
+C
( n ≠ −1)
1 ln ax + b + C a
∫e
ax + b
dx =
1 ax +b e +C a
∫c
ax + b
dx =
1 ax +b c +C a ln c
Jumlahan Riemann
Integral Tentu Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka jumlahan Riemann dari n bagian yang sama untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan sbg: n −1
∑ f (x k =0
k
)∆x
= f ( x0 ) ∆x + f ( x1 ) ∆x + ... + f ( xn −1 )∆x
= [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + ... + f ( xn−1 )] ∆x dimana a = x0 < x1 < K < xn = b adl bagian
Jika f adl fungsi yg kontinu, integral tentu f dari a ke b didefinisikan sbg b
∫ a
f ( x ) dx = lim
n →∞
n −1
∑ f (x
k
k =0
)∆x
fungsi f disebut integrand, angka a dan b disebut limits dari integrasi, dan peubah x disebut peubah dari integration.
∆x = (b − a ) / n
4
Pendekatan Integral Tentu
Integral Tentu b
∫a f ( x)dx
Ex. Hitung jumlahan Riemann utk 2
∫
2
integral x dx menggunakan n = 10. n −1
∑ k =0
dibaca “integral dari a ke b dari f(x)dx.”
0
9
1 f ( xk )∆x = xk 2 5 k =0
∑
= (1/ 5) 2 + (2 / 5) 2 + ... + (9 / 5) 2 (1/ 5)
Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa saja, contoh b b
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt a
= 2.28
Integral Tentu Sebagai Total Jika r(x) adl tingkat perubahan dari quantity Q (dalam units Q per unit x), maka total atau akumulasi perubahan dari quantity saat x berubah dari a ke b diberikan oleh b
∫
Total change in quantity Q = r ( x )dx a
a
Integral Tentu Sebagai Total Ex. Jika pada saat t menit anda berpergian dengan laju per-meter per-menit sebesar v(t), maka jarak total yang ditempuh dari menit ke-2 sampai menit ke-10 diberikan oleh 10 Total change in distance = v (t ) dt
∫ 2
5
Memperkirakan Area
Area dibawah Kurva y = f ( x)
b−a Lebar: ∆x = n (n persegi panjang.)
f ( x ) = 2 x 2 on [ 0, 2]
Perkirakan area dibawah kurva Menggunakan n = 4.
A ≈ ∆x [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 )] a
b
Ide: Mendapatkan area sebenarnya (tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi.
A≈
1 1 3 f ( 0 ) + f + f (1) + f 2 2 2
Metode: Menggunakan tak hingga persegipanjang dgn lebar yg sama dan menghitung area dgn limit.
A≈
1 1 9 7 0+ +2+ = 2 2 2 2
Interpretasi Geometric (Semua Fungsi)
Area Dibawah Kurva y = f ( x)
y = f ( x) R1
a b f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl Area = lim
n →∞
=
b
∫a
n −1
∑ f (x
k
k =0
f ( x) dx
)∆x
a
R3 R2
b
b
∫a f ( x)dx = Area R – AreaR + Area R 1
2
3
6
Area Menggunakan Geometry Ex. Gunakan geometry untuk menghitung integral 5 ∫ ( x − 1) dx −1
Area =4 Area = 2
5
∫ ( x − 1) dx = 4 − 2 = 2
Teorema Dasar Kalkulus Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b]. x
1. If A( x) = ∫ f (t ) dt , then A′( x) = f ( x). a
2. Jika F adl sebarang antiturunan yang kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada [a, b], maka b
∫a f ( x)dx = F (b) − F (a)
−1
Teorema Dasar Kalkulus
Mengevaluasi Integral Tentu Ex. Hitung
x
Ex. If A( x) = ∫ 3 t 4 + 5tdt , find A′( x). a
A′( x) = 3 x 4 + 5 x
∫
5
1
∫
5
1
1 2 x − + 1 dx x
5 1 2 2 x − + 1 dx = x − ln x + x 1 x = 52 − ln 5 + 5 − 12 − ln1 + 1
( (
) (
)
= 28 − ln 5 ≈ 26.39056
7
Substitusi untuk Integral Tentu
∫ 2x ( x 1
Ex. Hitung
2
0
+3
)
1/ 2
dx
let u = x + 3x du then = dx 2x
Ex. Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x, garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva y = 2 x 2 .
2
∫ 2x ( x 1
0
2
+ 3x
)
1/ 2
Menghitung Area
Perhatikan bhw limit integrasi berubah
∫
2
0
4
dx = ∫ u1/ 2 du 0
4
16 2 = u 3/ 2 = 3 3 0
∫
2
0
2x3dx 2
2 x3dx =
2x3 adl tak negatif pada [0, 2].
( ) ( )
1 4 1 1 x = 24 − 04 2 0 2 2
Antiturunan
=8
Teorema Dasar Kalkulus
8
