Nuria Rahmatin 125100300111036
INTEGRAL
TIP L
1. Macam-macam Integral A. Integral Tak Tentu
Integral adalah bentuk invers dari turunan. Secara umum jika sebuah fungsi diintegralkan terhadap variable tertentu dapat disajikan dalam bentuk :
f ( x)dx F ( x) C
Untuk menentukan integral dari suatu fungsi, secara umum dapat ditentukan dengan aturan : n ax dx
a n 1
x n1 C; n 1
Contoh : Tentukan 2 x 5 dx !
2x
Jawab :
5
2 51 x C 5 1
1 6 x C 3
Sifat – sifat integral tak tentu -
kf ( x)dx k f ( x)dx
-
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
-
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
Integral tak tentu trigonometri Untuk memahami integral tak tentu trigonometri , maka siswa harus dapat mengingat kembali turunan dari beberapa fungsi trigonometri Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x Jika f(x) = cos x maka f’(x) = –sin x Dari definisi turunan fungsi trigonometri tersebut dapat kita tentukan integral setiap fungsi trigonometri.
sin xdx cos x C cos xdx sin x C Untuk fungsi trigonometri yang lain mengikuti aturan sebagai berikut :
sec x tan xdx sec x C cos ecx cot anxdx cos ecx C sec
2
xdx tan x C
cos ec
2
xdx cot anx C
B. Integral Tentu
Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : b
b
f ( x)dx [ F ( x)] a F (b) F (a) dengan
Jika f kontinu pada [a,b], maka
a
sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.
Contoh : 2
Tentukan (4 x 3)dx 1 2
Jawab :
(4 x 3)dx 2 x
2
3x
2 1
1
{2(2) 2 3(2)} {2(1) 2 3(1)}
= 14 – 5 = 9 Sifat – sifat inegral tentu a
► f ( x)dx 0 a b
b
b
a
a
a
► [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx b
a
a
b
► f ( x)dx f ( x)dx c
b
c
a
a
b
► f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, a b c b
► kdx k (b a) a b
b
a
a
► f ( x) g ( x), jikaf ( x) g ( x) b
b
a
a
► kf ( x)dx k f ( x)dx b
► f ( x) 0, jikaf ( x) 0 a
F antiturunan
Contoh 1: Tentukan integral berikut !
( x 3)
a.
2
b. Tentukan f(x) apabila diketahui f’(x) = 6x2 – 6x + 7 dan
dx
f(1) = 2 Jawaban :
( x 3)
a.
2
1 dx = ( x 3) 3 C 3
b. f(x) = (6 x 2 6 x 7)dx = 2x3 – 3x2 + 7x + C f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x + C f(1) = 2(1)3 – 3(1)2 + 7(1) + C = 2 f(1) = 2 – 3 + 7 + C = 2 C=2–6=–4 f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x – 4
Contoh 2 3
3
b. sec 2 xdx
(2 x 6)dx
b.
0
1
Jawaban : 3
a. (2 x 6)dx = (x2 + 6x) 1
3 = { (3)2 + 6(3) } – { (1)2 + 6(1) } = 27 – 7 = 20 1
3
b. sec 2 xdx = tan x 0
3
0
= tan
– tan 0 = 3 – 0 = 3 3
2. Aplikasi Integral Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan.
1. Menghitung Luas Kurva
>>>Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) dengan sumbu-x Langkah-langkah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dan sumbu-z adalah sebagai berikut. a. Buatlah sketsa daerah yang akan dihitung luasnya. b. Jika
x
(a,b), gunakan rumus luas
c. Jika
d.
untuk
Kombinasi
, gunakan rumus luas
antara
dengan
gunakan
rumus
>>>Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva
2. Menghitung Panjang Kurva
Panjang sebuah kurva persamaan
sepanjang selang [a,b] dapat dihitung dengan menggunakan
Panjang sebuah kurva w (y) sepanjang selang [c,d] dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Sedangkan
bila
persamaan
dinyatakan
dengan
persamaan
parameter,
maka panjang kurva
atau
3. Menentukan volume Benda Putar a. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis V=A.h perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang-penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a, b] dengan titiktitik bagi a = x0 < x1< x2< ... < xn = b. Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu lempengan ini dapat dianggap
Vi A x xi sebagai volume tabung, yaitu xi 1 xi xi , dengan . n
Kita dapatkanV A x x i i
kemudian akan menjadi
t 1
b
V Ax dx a
A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai b
V f x dx 2
a
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah
V f x dx 2
1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x
f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x =
b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V. b
V f y dy a
Grafik Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
4. Aplikasi Integral Pada Sistem Elektronik
Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:
5. Pembuatan Pilar-pilar Jembatan Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
6. Pembuatan Bohlam Lampu Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal.
7. Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu 8. Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu
Daftar Pustaka : Indriani, Gina. 2006. Think Smart Matematika. Jakarta: PT Grafindo Media Pratama Lenon, Steven J. 2009. Aljabar Linier & Aplikasinya. Jakarta: Erlangga Spiegel, Murray. .2005. So. Kalkulus Lanjut Ed. 2. Jakarta: Erlangga
