BAB 2. TURUNAN PARSIAL 1.1 PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dipelajari perluasan konsep turunan fungsi satu peubah ke turunan fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, anda akan dapat: - Menentukan turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih - Menentukan diferensial total fungsi dua peubah atau lebih - Menemukan hampiran linier, persamaaan garis normal dan bidang singgung kurva - Menemukan turunan berarah - Menggunakan jacobian untuk menentukan turunan fungsi.
2.2 TURUNAN Pada kalkulus 1, bila dipunyai f sebagai fungsi dari satu variabel x , maka turunan pertama fungsi f hanya terhadap x , dinotasikan sebagai:
f ' = f ' (x ) =
∂f ∂x
Bila kita mempunyai fungsi f dari dua variabel, maka turunan pertama fungsi f dapat kita cari untuk kedua variabel tersebut. Masing-masing disebut sebagai turunan parsial. Definisi 2.1 : Jika f fungsi dua peubah, x dan y, maka: (i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan
∂f ( x, y ) atau fx(x,y), ∂x
didefinisikan sebagai
15
∂f ( x, y ) f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) = lim ∆x → 0 ∂x ∆x (ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan
∂f ( x, y ) atau fy(x,y), ∂y
didefinisikan sebagai f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = lim ∆y → 0 ∂y ∆y
Contoh 2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y + x + y + 1. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) Penyelesaian: ∂f ( x, y ) f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) = lim ∆x → 0 ∂x ∆x ( x + ∆x) 2 y + ( x + ∆x) + y + 1 − ( x 2 y + x + y + 1) = lim ∆x → 0 ∆x
x 2 y + 2 x.∆x. y + (∆x) 2 y + x + ∆x + y + 1 − ( x 2 y + x + y + 1) ∆x → 0 ∆x
= lim
2 x.∆x. y + (∆x) 2 y + ∆x = lim ∆x → 0 ∆x = 2xy + 1
∂f ( x, y ) f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) = lim ∆y → 0 ∂y ∆y x 2 ( y + ∆y ) + x + y + ∆y + 1 − ( x 2 y + x + y + 1) ∆y → 0 ∆y
= lim
16
x 2∆y + ∆y = lim ∆y →0 ∆y = x2 + 1
Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (1,2) adalah ∂f (1,2) = 2(1)(2) + 1 = 5 . ∂x dan turunan parsial f terhadap y di titik (1,2) adalah ∂f (1,2) = 22 +1= 5. ∂y Untuk selanjutnya, dalam menentukan turunan parsial dari fungsi dua peubah f(x,y)maka dapat dilakukan hal berikut. - Jika f diturunkan terhadap peubah x maka y dianggap tetap/konstanta - Jika f diturunkan terhadap peubah y maka x dianggap tetap/konstanta.
Contoh 2.2: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y. Penyelesaian: ∂f ( x, y ) = 12x3y2 + y2 ∂x ∂f ( x, y ) = 6x4y + 2xy + 4. ∂y
17
Turunan Parsial tingkat tinggi
Turunan fungsi biasanya masih berupa fungsi yang dapat diturunkan lagi. Jadi dari suatu fungsi kita dapat mencari turunan tingkat satu, turunan tingkat dua dan seterusnya.
Turunan tingkat dua dinotasikan sebagai berikut:
∂f ∂ ∂f ∂2 f f x = f xx = ( ) = 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂2 f ∂ ∂ ∂f f x = f xy = ( ) = ∂y ∂y ∂x ∂y∂x ∂2 f ∂ ∂ ∂f f y = f yx = ( ) = ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂ ∂ ∂f ∂2 f f y = f yy = ( ) = 2 . ∂y ∂y ∂y ∂y
Contoh 2.3: Tentukan semua turunan parsial order dua dari w = x3 y 2 − x y 5. Penyelesaian: ∂w ∂w = 3 x2 y2 − y5, = 2 x3 y − 5 x y 4 , ∂x ∂y
∂2 w ∂ ∂w = = 6 x y2, 2 ∂x ∂x ∂x ∂2 w ∂ ∂w = = 2 x3 − 20 x y 3 , 2 ∂y ∂y ∂y
18
∂2 w ∂ ∂w = = 6 x2 y − 5 y 4 , ∂x ∂y ∂x ∂y
∂2 w ∂ ∂w = = 6 x2 y − 5 y 4. ∂y ∂x ∂y ∂x
Contoh 2.4: Diketahui fungsi f ( x, y) = x2 + 2 xy2 − y3 . Carilah ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f , , , , , ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x Penyelesaian: ∂f = 2x + 2 y 2 ∂x
,
∂f = 4 xy − 3 y 2 , ∂y
∂2 f ∂x 2
= 2,
∂2 f = 4y ∂y∂x
∂2 f
∂2 f = 4y − 6y , = f yx = 4 y ∂x∂y ∂2 y
LATIHAN 2.2 :
Tentukan turunan parsial pertama dari 1. f(x,y) = 2x2y3 – x3y - y 2. f(x,y) = 3x2 – xy + cos (x2 + y2) 3. f(x,y) = 2xy2 – e2xy + ln (x2 + 2y) 4. f ( x, y ) = sin
x , 1+ y
( )
5. f ( x, t ) = arctan x t ,
19
6. w = ln( x + 2 y + 3z), Tentukan semua turunan kedua dari 7. f ( x, y ) = x3 + x 2 y 3 − 2 y 2 . 8. z = x cos y – y cos x. 9. u = log (ax + by)
2.3 ATURAN RANTAI Aturan rantai pada fungsi dua peubah merupakan peluasan dari aturan rantai pada fungsi satu peubah. Misalkan z = f (u,v), dimana u = g ( x,y ) dan v = h(x,y ) maka
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
Contoh 2.5: Jika z = f(u,v) =3u2 – v2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy Carilah
∂z ∂z dan ∂x ∂y
Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua peubah u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
20
∂F ∂F ∂u ∂F ∂v ∂F ∂w ∂F ∂F ∂u ∂F ∂v ∂F ∂w = + + dan = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
Contoh 2.6 : Jika u = f (x, y) dan x = r cos θ , y = r sin θ, tunjukkan bahwa ∂u ∂x
2
2
∂u + ∂y
2
∂u = ∂r
1 ∂u + 2 r ∂
2
.
Penyelesaian x = r cos θ, y = r sin θ ∂x ∂x ∂y ∂y = cos , = − r sin , = sin , = r cos . ∂r ∂ ∂r ∂
diperoleh ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u = + = cos ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x
= cos
∂u + sin ∂x
+
∂u sin ∂y
∂u ∂t
Secara sama,
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u = + = ( − r sin ) + (r cos ) ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂x ∂y = − r sin
∂u + r cos ∂x
∂u ∂y
Dengan demikian terbukti bahwa ∂u ∂r
2
1 ∂u + 2 r ∂
2
∂u = ∂x
2
∂u + ∂y
2
21
Latihan 2.3
1. Jika G(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y, ∂G ∂G Carilah dan . ∂x ∂y 2.
Jika z = x 2 y + 3 xy 4 , dengan x = sin 2t dan y = cos t , Tentukan
dz dt
ketika t = 0. 1 dz 3. Jika z = cos( x + 4 y) x = 5t 4 , dan y = , Tentukan . t dt 4. Jika w = xy + yz 2 , x = et , y = et sin t , dan z = et cos t , Tentukan
dw . dt
5. Jika u = x 4 y + y 2 z 3 , dengan x = rset , y = rs 2e − t , dan z = r 2 s sin t , ∂u Tentukan ketika r = 2, s = 1, dan t = 0. ∂s 6. Jika g ( s, t ) = f ( s 2 − t 2 , t 2 − s 2 ) , dan f terdiferensial, tunjukkan bahwa
t
∂g ∂g +s = 0. ∂s ∂t
7. Jika u = r 2 + s 2 dengan r = y + x cos t dan s = x + y sin t , Tentukan ∂u ∂u , , ∂x ∂y dan
∂u . ∂t
8. Jika u = f ( x, y ) dan r =
x
x y z , s = , t = , tunjukkan bahwa y z x
∂u ∂u ∂u +y +z = 0. ∂x ∂y ∂z
22
9. Jika v = f
x y , , tunjukkan z z x
∂v ∂v ∂v +y +z =0 ∂x ∂y ∂z
2.4. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Selain fungsi eksplisit, kita juga mengenal bentuk fungsi implisit. Fungsi implisit dua variabel, dilambangkan dengan F ( x, y, z ) . Dalam mencari turunan parsial terhadap x ataupun terhadap y dari fungsi implicit ini, dikenal dua metode, yaitu:
a. Cara langsung Turunan parsial terhadap x ,
∂z . ∂x
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap x dan z , dengan mengganggap variabel y sebagai konstanta. Khusus ketika ∂z diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan . ∂x Turunan parsial terhadap y ,
∂z ∂y
Persamaan yang ada berturut-turut diturunkan terhadap y dan z , dengan mengganggap variabel x sebagai konstanta. Khusus ketika ∂z diturunkan terhadap z , hasilnya selalu dikalikan dengan . ∂y
23
b. Cara tidak langsung Dalam cara tidak langsung, pertama-tama persamaan diturunkan ∂F ∂F terhadap x diperoleh , kemudian diturunkan terhadap y diperoleh , ∂y ∂x ∂F dan terakhir diturunkan terhadap z diperoleh . ∂z Selanjutnya dihitung:
∂F ∂F ∂z ∂z ∂y = − ∂x dan =− ∂F ∂F ∂x ∂y ∂z ∂z Contoh 2.7: Misal dipunyai fungsi implisit xyz = sin(xz ) . Carilah turunan parsial pertama terhadap x dan y Penyelesaian:
a. Cara langsung Untuk fungsi diatas, diperoleh:
yz + xy xy
∂z ∂z = z cos( xz ) + x cos( xz ) ∂x ∂x
∂z ∂z − x cos( xz ) = z cos( xz ) − yz ∂x ∂x
∂z z cos( xz ) − yz = ∂x xy − x cos( xz ) Dengan cara yang sama diperoleh: xyz = sin(xz )
xz + xy
∂z ∂z = x cos( xz ) . ∂y ∂y
24
xy
∂z ∂z − x cos( xz ) = − xz . ∂y ∂y
∂z xz =− ∂y xy − x cos( xz )
a. Cara Tidak Langsung
∂F ∂F ∂F = yz − z cos( xz ) , = xy − x cos xz . Diperoleh: = xz , dan ∂x ∂z ∂y ∂F ∂F ∂z ∂z yz − z cos( xz ) xz ∂y = − ∂x = − dan =− =− ∂F ∂F ∂x ∂y xy − x cos( xz ) xy − x cos(xz ) ∂z ∂z LATIHAN 2.4 :
Carilah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini: 1. x2 − 3xy + 2 y 2 − xz + 4 z 2 − 4 yz − 10 = 0 2. xyz − 2 xz + 3 yz − 4 xy = 0 3. xyz = cos( yz ) 4. yz = x y 5. xyz2 = sin(xz) + cos( yz) 6. xz = y x 7. sin( xyz ) = x + 2 y + 3z.
2.5 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN LINIER
25
Bidang Singgung
Misalkan suatu permukaan mempunyai persamaan z = f ( x, y) dan f mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu, maka persamaan bidang singung pada permukaan z = f ( x, y) di titik P( x 0 , y0 , z0 ) dinyatakan oleh: z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) . Persamaan bidang singgung ini adalah linierisasi dari sautu permukaan.
Contoh 2.8 : Tentukan persamaan bidang singgung terhadap paraboloid eliptik z = 2 x 2 + y 2 di titik (1,1,3). Penyelesaian : Dalam hal ini f (x,y) = z = 2 x 2 + y 2 , sehingga
f x ( x,y) = 4 x ; f x (1,1) = 4 f y ( x,y ) = 2 y ;
f y (1,1) = 2
Maka persamaan bidang singgung di titik ( 1,1,3) adalah z − 3 = 4( x − 1) + 2( y − 1) atau z = 4 x + 2 y − 3.
Hampiran Linier
Perhatikan bahwa pesamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik dinyatakan oleh z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) Dengan memperhatikan bahwa
diperoleh
26
yang merupakan linierisasai permukaan di titik Fungsi di ruas kanan persamaan ini merupakan linierisasi dari titik , dan biasa ditulis dengan
Dalam hal ini fungsi f merupakan fungsi yang terdiferensial di yaitu fungsi yang turunan parsialnya, dan ada di sekitar kontinu di .
. di
, dan
Contoh 2.9 : Tunjukkan bahwa fungsi terdiferensial di titik (1,4) dan carilah hampiran liniernya di titik tersebut, kemudian gunakan hasilnya untuk mendekati nilai . Penyelesaian: Turunan parsialnya adalah
Jelas bahwa dan ada di sekitar f terdiferensial di (1,4). Linierisasinya adalah
Jadi
dan kontinu di
, jadi
, sehingga
Bandingkan ini dengan nilai sebenarnya,
27
Untuk fungsi tiga peubah P( x0 , y0 , z0 ) dinyatakan dengan:
, maka pendekatan linier di titik
L( x, y, z ) = f ( x0 , y0 , z0 ) + f x ( x0 , y0 , z0 ) ( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 , z0 ) ( y − y0 ) + f z ( x0 , y0 , z0 ) ( z − z0 )
Diferensial
Ingat kembali untuk fungsi satu peubah, y = f ( x), differensial dari y didefinisikan dengan dy = f '( x) dx . Perbedaan antara dy dan y dapat dilihat pada ilustrasi gambar berikut.
Selanjutnya perhatikan fungsi dua peubah z = f ( x, y). Diferensial dari z, ditulis dz , didefinisikan dengan dz =
∂z ∂z dx + dy . ∂x ∂y
Diferensial dari z sering dinotasikan dengan df , sering disebut juga dengan Diferensial Total.
28
Contoh 2.10: Jika z = xy , tentukan diferensial dz dan gunakan untuk memperkirakan perubahan z jika ( x, y) berubah dari (2,3) ke (2.05,2.96). Bandingkan dz dengan z. Penyelesaian : dz =
∂z ∂z dx + dy = y x + x y ∂x ∂y = 3 . (0,05) + 2.(-0,04) = 0.07 Disisi lain
z = (x +
=x
x) ( y +
y+y
y) − x y
x+
x
y
= 2 (-0,04) + 3 (0,05) + (0,05)(-0,04) = 0,068. Perhatikan bahwa perubahan z adalah 0,068. Sedangkan perkiraannya perubahan tersebut menggunakan diferensial adalah 0,07. Dengan
29
demikian terdapat kesalahan (error) sebesar .
z − dz =
x
y = −0,002
Contoh 2.11 : Gunakan diferensial untuk memperkirakan nilai
27 3 1021 .
Penyelesaian: Yang kita tahu adalah
25 = 5,
3
1000 = 10.
Kita bentuk fungsi f (x, y) = x1/ 2 y1/ 3 Akan dilihat kenaikan jika terjadi perubahn dari x = 25, y = 1000 ke x = 27, y = 1021. Diferensial f adalah df =
diperoleh
∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y
df =
1 −1/ 2 1/ 3 1 x y dx + x1/ 2 y − 2 / 3 dy 2 3
dengan memasukkan x = 25, y = 1000, dx = 2, dy = 21, maka df =
1 1 (25) −1/ 2 (1000)1/ 3 (2) + (25)1/ 2 (1000) − 2 / 3 (21) = 2,35 2 3
Dengan demikian diperoleh
27 3 1000 ≈ 25 3 1000 + 2.35 = 52.35.
30
LATIHAN 2.5
1. Tunjukkan bahwa terdiferensial di dan temukan pendekatan linier di titik tersebut. Selanjutnya gunakan untuk mendekati nilai . 2. Tentukan pendekatan linier dari di (3,4,2) , kemudian gunakan untuk mendekati nilai . ! ! " 3. Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai 125 4 15. 4. Tentukan perubahan volume yang terjadi jika ukuran tinggi tabung berubah dari 12 cm menjadi 12.1 cm dan jari-jarinya turun dari 6 cm menjadi 5.8 cm.
2.6. TURUNAN BERARAH (The Directional Derivative)
Ingat kembali bahwa f x ( a, b) =
∂z = Laju perubahan f ( x, y ) di titik (a, b) dalam arah x ∂x ( a ,b )
f y ( a, b) =
∂z = Laju perubahan f ( x, y ) di titik (a, b) dalam arah y ∂y ( a ,b )
Selanjutnya sembarang
akan
ditentukan
laju perubahan dalam arah
Misalkan u = < a, b > adalah vektor satuan (unit vektor , yaitu vektor dengan panjang satu) pada bidang x-y, yang menunjukkan arah perubahan. Maka didefinisikan turunan berarah: Definisi : Turunan berarah
Turunan berarah dari fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan a, b >, dinyatakan dengan Du f ( x, y) , didefinisikan sebagai berikut:
u=<
31
Du f ( x, y ) = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b
z = f ( x, y )
( x0 , y 0 , z 0 )
f y ( x0 , y 0 ) = Laju perubahan dalam arah y
f x ( x0 , y0 ) = Laju perubahan dalam D ( x , y ) = Laju perubahan u 0 0 arah x dalam arah u
θ
x0
y0 ( x0 , y 0 ,0) u =< a, b >
Dalam definisi ini : 1. Secara Geometri, turunan berarah digunakan untuk menghitung gradient dari permukaan z = f (x, y), yaitu untuk menghitung gradient permukaan di titik ( x 0 , y 0 , z 0 ) , dengan z0 = f ( x0 , y0 ) , Dengan demikian : Gradien dari permukaan di titik ( x0 , y0 , z0 ) dalam arah vektor satuan # $ % & ' adalah Du f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )a + f y ( x0 , y0 )b 2. Vektor u = < a, b > harus merupakan vektor satuan. Jika akan ditentukan turunan berarah dari suatu fungsi dalam arah vektor v dan v bukan vektor satuan, maka dicari vektor satuan yang searah dengan vektor v, yaitu
32
u=
v 1 v. = |v| |v|
3. Arah vektor satuan u dapat dinyatakan dalam bentuk sudut θ , sudut antaravektor u dan sumbu x. Dalam hal ini, u =< cos ,sin > ( perhatikan bahwa u adalah vektor satuan, karena
|u| = cos2 + sin 2 = 1 = 1 ) dan turunan berarah dapat dinyatakan dengan Du f ( x, y ) = f x ( x, y ) cosθ + f y ( x, y ) sin θ . 4. Turunan berarah menyatakan laju perubahan fungsi f dalam arah vektor satuan u.
Contoh 2.12: Tentukan turunan berarah dari f ( x, y ) = 3 y − 4 xy + 6 x di titik (1, 2) dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut θ =
π 3
.
Penyelesaian:
Contoh 2.13: Tentukan turunan berarah dari fungsi f ( x, y ) = 3 y − 4 xy + 6 x di titik (-3, -4) dalam arah vektor v = −2i + 3 j . Penyelesaian: Turunan parsial f adalah
f x ( x, y) = −4 y + 6 ; f y ( x, y ) = 3 − 4 x Vektor v bukan vektor satuan dan vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah u =
1 v= |v|
1 1 (-2i + 3 j ) = (-2i + 3 j ) 4+9 13
Jadi turunan berarah f dalam arah vektor satuan u adalah
33
f u ( x, y ) = (−4 y + 6)(
−2 13
) + (3 − 4 x)(
3 13
)
Turunan berarah di titik ( -3, - 4) adalah fu (−3,−4) = (−4(−4) + 6)(
−2 3 1 ) + (3 − 4(−3))( )= . 13 13 13
Gradien Fungsi
Diberikan fungsi dua peubah z = f (x, y), vektor gradien, dinyatakan dengan ∇f ( x, y ) , adalah vektor di bidang x-y yang dinyatakan dengan
∇f ( x, y ) = f x ( x, y ) i + f y ( x, y ) j Catatan
1. Turunan berarah fungsi z = f (x, y) dalam arah vektor satuan u = < a, b > dapat dituliskan dalam bentuk dot product, yaitu,
Du f ( x, y ) = ∇f ( x, y ) ⋅ u = ( f x ( x, y ) i + f y ( x, y ) j) ⋅ (ai + bj) =< f x ( x, y ), f y ( x, y ) > ⋅ < a, b > = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b 2. Vektor gradien ∇f ( x, y ) menunjukkan arah perubahan maksimum dari permukaan z = f (x, y). Panjang vektor gradien adalah nilai maksimum dari turunan berarah, yaitu laju perubahan maksimum dari f. Jadi Nilai maksimum turunan berarah f adalah | ∇f ( x, y ) | 3. Sedangkan − ∇f ( x, y ) adalah nilai minimum turunan berarah f
Contoh 2.14: Diberikan fungsi f ( x, y ) = y cos( x − y ) . a. Tentukan gradient f
34
π
b. Tentukan gradien di titik P ( ,0) . 3 c. Gunakan gradient untuk menentukan turunan berarah f dalam arah vektor 3 4 u =< − , > , kemudian tentukan laju perubahan f di P dalam arah 5 5 vektor u. d. Tentukan laju perubahan maksimumnya di P dan dalam arah manakah saat perubahan itu terjadi.
Turunan berarah dan gradien untuk fungsi 3 peubah
Turunan berarah fungsi 3 peubah f (x, y, z) dalam arah vektor satuan u = < a, b, c >, dinyatakan dengan Du f ( x, y, z) , didefinisikan dengan: Du f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )a + f y ( x, y, z )b + f z ( x, y, z )c Vektor gradient, ∇f ( x, y, z ) , dinyatakan sebagai ∇f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) i + f y ( x , y , z ) j + f z ( x , y , z ) k
Contoh 2.15: Tentukan gradien dan turunan berarah dari f ( x, y, z ) = 5 x 2 − 3xy + xyz di P(1, 2, 4) dalam arah dari titik P ke titik Q(3, 1, 2). Penyelesaian: Terlebih dahulu dicari turunan parsial terhadap x, y, and z, yaitu
f x ( x, y, z) = 10x − 3 y(1) + yz(1) = 10x − 3 y + yz f y ( x, y, z ) = 0 − 3 x(1) + xz (1) = −3 x + xz
f z ( x, y, z ) = 0 − 0 + xy(1) = xy . Diperoleh gradien:
35
∇f ( x , y , z ) = f x ( x , y , z ) i + f y ( x , y , z ) j + f z ( x , y , z ) k = (10 x − 3 y + yz ) i + (−3x + xz ) j + xy k Sehingga gradient di titik P(1, 2, 4) adalah ∇f (1,2,4) = (10(1) − 3(2) + ( 2)(4)) i + (−3(1) + (1)(4)) j + (1)(2) k = 12 i + j + 2 k =< 12 ,1, 2 >
Selanjutnya untuk mencari turunan berarah, pertama ditentukan vektor satuan u , yang searah dengan vektor dari titik P(1, 2, 4) ke titik Q(-3, 1, 2). →
Perhatikan bahwa vektor v = PQ =< −3 − 1,1 − 2,2 − 4 >=< −4,−1,−2 > dan v bukan vektor satuan. Vektor satuan yang searah dengan vektor v adalah (
1
=
2
2
(−4) + (−1) + (−2) =
) *+*
1 21
2
< −4 , − 1, − 2 >=< −
< −4 , − 1, − 2 > 4 21
,−
1 21
−
2 21
>
Dengan demikian diperoleh turunan berarah di titik P(1,2,4) yang searah dengan vektor sataun u
Du f (1,2,4) = ∇f (1,2,4) ⋅ u 4 1 2 ,− ,− > 21 21 21 4 1 2 = (12)(− ) + (1)(− ) + 2(− ) 21 21 21 48 1 4 =− − − 21 21 21 53 =− 21 =< 12, 1, 2 > ⋅ < −
36
Contoh 2.16: Tentukan laju perubahan maksimum dari fungsi f ( x, y, z ) = 5 x 2 − 3xy + xyz di titik (1, 2, 4) dan arah saat perubahan itu terjadi.
Garis Normal terhadap Permukaan
Perhatikan kembali bahwa grafik fungsi z = f (x, y) akan berupa luasan permukaan di ruang 3D . Selanjutnya persamaan dapat kita tulis dalam bentuk F ( x, y, z ) = f ( x, y ) − z = 0. Selanjutnya, misalkan titik ( x0 , y 0 , z 0 ) pada permukaan, maka gradien F di titik tersebut, yaitu ∇F ( x0 , y0 , z0 ) = Fx ( x0 , y0 , z0 ) i + Fy ( x0 , y0 , z0 ) j + Fz ( x0 , y0 , z0 ) k merupakan vektor orthogonal (normal) terhadap permukaan z = f ( x, y ) .
∇F ( x 0 , y 0 , z 0 )
z = f ( x, y )
( x0 , y 0 , z 0 )
37
Contoh 2.17 : Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan x 2 y + 2 x z = 4 di titik (2, − 2, 3). Penyelesaian : Permukaan x2 y + 2 x z = 4 dapat dinyatakan sebagai
F ( x, y, z) = x2 y + 2 x z − 4 = 0 . Maka vektor normal terhadap permukaan tersebut adalah ∇F = i
∂ 2 ∂ ∂f (x y+ 2x z − 4) + j (x2 y+ 2x z − 4) + k (x2 y+ 2x z − 4) ∂x ∂y ∂z
= (2 x y + 2 z ) i + x 2 j + 2 x k Di (2, − 2, 3), ∇F
(2, − 2, 3)
= − 2i + 4 j + 4k
| ∇F |( 2, − 2, 3) = 4 + 16 + 16 = 6 Jadi vektor normal satuan terhadap permukaan F adalah =
1 1 2 2 (− 2i + 4 j + 4k) = − i + j + k. 6 3 3 3
38
Bidang Singgung
Menggunakan gradien, kita dapat menemukan persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan permukaan.
∇F ( x 0 , y 0 , z 0 )
z = f ( x, y )
( x0 , y 0 , z 0 )
Untuk memperoleh persamaan bidang, diperlukan titik pada bidang tersebut dan sebuah vektor normal. Karena
∇F ( x0 , y0 , z0 ) =< Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) > menyatakan vektor normal terhadap permukaan (dan bidang singgung), Komponen-komponennya dapat digunakan dalam menentukan persamaan bidang singgung di titik ( x0 , y0 , z0 ) . Persamaan bidang singgung dinyatakan dalam:
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 .
39
Persamaan parameter untuk garis normal di titik ( x0 , y0 , z0 ) dinyatakan dengan
x = x0 + Fx ( x0 , y0 , z0 )t , y = y0 + Fy ( x0 , y0 , z0 )t , z = z0 + Fz ( x0 , y0 , z0 )t atau
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Contoh 2.18: Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal 2 2 1 terhadap permukaan f ( x, y ) = e− x − y di titik (0,1, ) . e Penyelesaian: Perhatikan bahwa f ( x, y ) = e− x
2
− y2
dapat ditulis sebagai z = e − x
2
− y2
atau F ( x, y , z ) = f ( x , y ) − z = e − x
2
− y2
− z.
1 Selanjutnya akan dicari vektor gradient di titik (0,1, ) . e Dengan mengingat vektor gradient di titik ( x 0 , y 0 , z 0 ) ,
∇F ( x0 , y0 , z0 ) = Fx ( x0 , y0 , z0 ) i + Fy ( x0 , y0 , z0 ) j + Fz ( x0 , y0 , z0 ) k , pertama kita cari turunan parsialnya, yaitu
Fx ( x, y, z ) = −2 xe− x
2
− y2
− 0 = −2 xe− x
2
− y2
Fy ( x, y, z ) = −2 ye− x
2
− y2
− 0 = −2 ye− x
2
− y2
Fz ( x, y, z ) = 0 − 1 = −1 1 di titik ( x0 , y0 , z0 ) = (0,1, ) diperoleh e
40
2 2 1 Fx ( x0 , y0 , z0 ) = Fx (0,1, ) = −2(0)e − ( 0) − (1) = 0 , e 2 2 1 2 Fy ( x0 , y0 , z0 ) = Fy (0,1, ) = −2(1)e− ( 0) − (1) = −2e−1 = − , dan e e
1 Fz ( x0 , y0 , z0 ) = F (0,1, ) = −1, e 1 Sehingga vektor gradien F di titik (0,1, ) adalah e 1 1 1 ∇F (0,1, ) = 0 i + (1) j + k = j + k e e e
Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 1 Di titik ( x0 , y0 , z0 ) = (0,1, ) , diperoleh e 1 1 1 1 Fx (0,1, )( x − 0) + Fy (0,1, )( y − 1) + Fz (0,1, )( z − ) = 0 e e e e atau 2 1 (0)( x − 0) + (− )( y − 1) + (−1)( z − ) = 0 e e atau 2 1 − ( y − 1) − ( z − ) = 0 e e atau −
2 2 1 y+ −z+ =0 e e e 41
Atau −
2 3 y − z + = 0 . (ini adalah bidang siggung) e e
Sedangkan persamaan garis normalnya
x = x0 + Fx ( x0 , y0 , z0 )t , y = y0 + Fy ( x0 , y0 , z0 )t , z = z0 + Fz ( x0 , y0 , z0 )t 1 dengan ( x0 , y0 , z0 ) = (0,1, ) , diperoleh e 1 1 2 Fx ( x0 , y0 , z0 ) = Fx (0,1, ) = 0 , Fy ( x0 , y0 , z0 ) = Fy (0,1, ) = − , dan e e e 1 Fz ( x0 , y0 , z0 ) = F (0,1, ) = −1. e Jadi persamaan garis normalnya adalah 1 2 x = 0 + (0)t , y = 1 + (− )t , z = + (−1)t e e atau 2 1 x = 0 , y = 1− t , z = − t e e Dengan menyelesaikan untuk t diperoleh persamaan garis normal
y − 1 z − 1/ e = . − 2/e −1
LATIHAN 2.6 1. Tentukan turunan berarah dari f ( x, y ) = x 2 y 3 − 4 y di titik (2, 1) dalam arah vector v= < 2,5 >
42
2. Jika f ( x, y ) = xe y , tentukan laju perubahan f di titik P(2,0) dalam 1 arah dari P ke titik Q , 2 . 2 3. Misalkan suhu di titik ( x, y, z) dalam ruang diberikan oleh 80 , dengan T diukur dalam derajar T ( x, y , z ) = 2 1 + x + 2 y 2 + 3z 2 Celsius dan x, y, z dalam meter. Dalam arah manakah suhu naik tercepat di titik (1, −1,2)? Tentukan laju perubahan maksimumnya! 4. Tentukan vektor normal satuan terhadap permukaan x 2 + y 2 + z 2 = 9 di titik (2, 1, 2) 5. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x − z = 4arctan( yz) di titik (1 + π , 1, 1). 6. Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x 2 + y 2 + z 2 = 9 di titik (2, 1, 2).
2.7. JACOBIANS
Pada bagian ini akan dibahas tentang Jacobian. Jacobian nantinya akan sangat bermanfaat ketika kita berbicara mengenai integral lipat, khususnya dalam penggantian variable Jika x = g ( u , v) dan y = h ( u, v) terdiferensial, maka Jacobian x dan y yang bersesuaian dengan (terhadap) u dan v, dinyatakan dengan ∂ ( x, y ) , didefinisikan sebagai ∂ (u, v)
43
∂x ∂ ( x, y ) ∂u = ∂y ∂ (u, v) ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
Jika terdiferensial,maka x = g (u, v, w) , y = h (u, v, w) , z = j (u, v, w) Jacobian yang diperoleh dari transformasi dari daerah U di ruang u v w ke daerah W dalam ruang x y z, didefinisikan sebagai
∂x ∂u ∂y ∂ (x, y, z) = ∂ (u, v, w) ∂u ∂z ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
∂x ∂w ∂y , ∂w ∂z ∂w
x, y, z ∂ ( x, y, z ) sering ditulis dengan J . u, v, w ∂ (u, v, w) Sifat :
Jika
J=
∂ ( u, v ) ∂ ( x, y) dan J ∗ = , ∂ ( x, y) ∂ ( u, v )
Maka JJ ∗ = 1.
Bukti : MIsalkan u = ( x, y ) dan v = ( x, y ) . Selanjutnya kita dapat menyelesaikan x , y dalam u dan v sehingga diperoleh u = 1 (u, v) dan y = 1 (u, v). diperoleh
dan
du =
∂u ∂u dx + dy ∂x ∂y
dv =
∂v ∂v dx + dy . ∂x ∂y
44
Dengan demikian didapatkan
∂u ∂u ∂v ∂v = 1, = 0, = 1 dan =0 ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y =1= + ∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂u
sehingga
∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y =0= + ∂ x ∂v ∂ y ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ x ∂v ∂ y =1= + ∂v ∂ x ∂v ∂ y ∂v ∂v ∂v ∂ x ∂v ∂ y =0= + ∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂u Diperoleh
∂u ∂x JJ ∗ = ∂v ∂x
∂u ∂x ∂y ∂u × ∂v ∂y ∂y ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
(Dengan mengingat A B = AB , diperoleh
JJ ∗
∂u ∂x = ∂v ∂x =
∂ x ∂u ∂ y + ∂u ∂ y ∂u ∂ x ∂v ∂ y + ∂u ∂ y ∂u
∂u ∂x ∂v ∂x
∂ x ∂u ∂ y + ∂v ∂ y ∂v ∂ x ∂v ∂ y + ∂v ∂ y ∂v
1 0 =1 0 1
Sifat Jika # maka
# , - dan .
. , - dan ,
,
-
-
,
45
∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) ∂ ( p , q ) = ∂ ( p, q ) ∂ ( x , y ) ∂ ( x, y)
Bukti Karena u dan v fungsi dari p dan q ,maka
du =
∂u ∂u dp + dq ∂p ∂q
dv =
∂v ∂v dp + dq ∂p ∂q
dan
∂u ∂u ∂p ∂u ∂q = + ∂x ∂p ∂x ∂q ∂x ∂u ∂u ∂p ∂u ∂q = + ∂y ∂p ∂y ∂q ∂y
∂v ∂v ∂p ∂v ∂q = + ∂x ∂p ∂x ∂q ∂x ∂v ∂v ∂p ∂v ∂q = + ∂y ∂p ∂y ∂q ∂y
Dengan memperhatikan
∂u ∂ (u, v) ∂ ( p, q) ∂p × = ∂v ∂ ( p, q) ∂ ( x, y ) ∂p ∂u ∂p = ∂v ∂p
∂u ∂p ∂q ∂x × ∂v ∂q ∂q ∂x
∂p ∂u ∂q + ∂x ∂q ∂x ∂p ∂v ∂q + ∂x ∂q ∂x
∂u ∂p ∂v ∂p
∂p ∂y ∂q ∂y ∂p ∂u ∂q + ∂y ∂q ∂y ∂p ∂v ∂q + ∂y ∂q ∂y
46
∂u ∂x = ∂v ∂x
∂u ∂ (u, v) ∂y = ∂v ∂ ( x, y ) ∂y
diperoleh
∂ (u, v) ∂ (u, v) ∂ ( p, q) = × ∂ ( x, y ) ∂ ( p, q ) ∂ ( x, y )
Sifat Jika u dan v fungsi dari x dan y sedemikian sehingga ∂ ( u, v ) = 0. f (u , v) = 0, maka ∂ ( x, y)
Bukti : Karena f ( u , v) = 0, maka
∂f ∂u ∂f ∂v + = 0 ∂u ∂x ∂v ∂x dan Eliminasi
∂f ∂u ∂f ∂v + = 0. ∂u ∂y ∂v ∂y
∂f ∂f , diperoleh ∂u ∂v
∂u ∂x ∂u ∂y
yaitu,
∂u ∂x ∂v ∂x
∂v ∂x = 0 ∂v ∂y ∂u ∂y = 0. ∂v ∂y
dengan pertukaran baris dan kolom dari determinan. 47
Dengan demikian diperoleh,
∂ (u, v) = 0. ∂ ( x, y )
Contoh 2.18 : JIka x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, tentukan
∂ ( x, y, z) . ∂ (r, , z)
Penyelesaian: ∂x ∂r ∂ ( x, y, z ) ∂y = ∂ (r, , z ) ∂r ∂z ∂r
∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂
∂x ∂z cos ∂y = sin ∂z 0 ∂z ∂z
− r sin r cos 0
0 0 1
= r cos 2 θ − (− r sin 2 θ ) = r (cos2 θ + sin 2 θ ) = r
Turunan parsial menggunakan jacobian
Diberikan persamaan: /
0
# .
# .
dengan memperhatikan u dan v sebagai fungsi dari x da y, maka: 1# 1 1. 1
1 / 0 1 . 1 / 0 1 #.
1 1 1 1
/ 0 # / 0 # .
1# 1 1. 1
1 / 0 1 . 1 / 0 1 # .
1 1 1 1
/ 0 # / 0 #.
Contoh:
48
Jika
Tentukan
23 24 2
,
2
#
#
.
.
.
Penyelesaian:
1# 1 1. 1
1 1 1 1
1 / 0 1 . 1 / 0 1 #.
/ 0 # / 0 #.
5
5
# 5
#
# . # 5 # .
5 5 5 5
#
# .
#
#
.
"#
#
LATIHAN 2.7 :
1.
Jika x = r cos θ, y = r sin θ, Tentukan tunjukkan bahwa
2.
3.
∂ ( x, y) ∂ (r, θ) and ∂ ( r, θ) ∂ ( x, y)
dan
∂ ( x, y ) ∂ (r, ) . = 1. ∂ (r, ) ∂ ( x, y )
Jika x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, tentukan ∂ ( x, y, z ) . ∂ (r, , ) x x x x x x Jika y1 = 2 3 , y2 = 3 1 , y3 = 1 2 , Tentukan x1 x2 x3 ∂ ( y1, y2 , y3 ) ∂ ( x1, x2 , x3 ) dan . ∂ ( x1, x2 , x3 ) ∂ ( y1, y2 , y3 )
49
4.
Jika u = x + y + z, y + z = u v, z = u v w, tentukan dan
∂ ( x, y, z ) ∂ (u, v, w)
∂ (u, v, w) . ∂ ( x, y, z)
5. Tentukan
23 23 24 24 2
2
2
2
dari fungsi:
#.
#
6
.
#.
50
