integral
13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi
= 2
=2
3
. Setiap fungsi ini memiliki turunan ′( ) = adalah ′( ) = 6 2.
Menentukan fungsi ( ) dari
′
, berarti menentukan antiturunan dari ′( )
. Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika
( ) adalah fungsi umum yang bersifat ′
merupakan antiturunan atau integral dari ′
=
, maka
( )
= ( ).
13.2 INTEGRAL TAK TENTU A. Pengertian Integral Tak Tentu Pengintegralan fungsi ( ) yang ditulis sebagai ∫ ( ) tak tentu dari ( ). Jika
disebut integral
( ) anti turunan dari ( ), maka
Keterangan:
( )
=
( ) +
∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) ( ) = fungsi integran ( ) = fungsi integral umum yang bersifat ′( ) = ( ) = konstanta pengintegralan
Matematika Dasar
Page 181
Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut. a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
• è: = , didapat è: ′ = 1
Jadi, jika è: ′ = 1 maka è: = ∫ è: ′ R = + c:
• è( =
: (
, didapat è( ′ =
Jadi, jika è( ′ = maka è( = ∫ è( ′ R =
: (
+ ã(
Dari uraian ini, tampak bahwa jika è′ = , ä è = :
m:
1
m:
+ ã atau dapat dituliskan ∫ R =
:
m:
m:
+ ã ,Q ≠
Sebagai contoh, turunan fungsi F = 2( + ã adalah F′ = 4
Ini berarti, antiturunan dari F′ = 4 adalah F = 2 ( + ã atau
dituliskan ∫ F′ R = 2 ( + ã .
Uraian ini menggambarkan hubungan berikut. Jika F ′ = , maka F = suatu konstanta.
:
m:
m:
Misalnya konstanta real sembarang, F()
+ ã , Q ≠ −1 dengan ã dan è()
merupakan
fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku: a) ∫ R = + ã
b) ∫ F R = ∫ F R
c) ∫ F ± è R = ∫ F R ± è R d) ∫ R =
Matematika Dasar
m:
m:
+ã
Q + 1 + ã Page 182
Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut. Contoh 13.1 1. Selesaikan integral berikut! a) ∫ K R
b) ∫ ¢ R ¼
c) ∫ 2 √ K R ´
d) ∫ 6 ( + 2 − 3 R
Jawab:
a) ∫ K R =
b) ∫ ¢ R = ¼ ¼
¢
:
Km: :
m:
Km: + ã = < < + ã
¢m: + ã = ¼
:
( A
¢ + ã ²
c) ∫ 2 √3 R = 2∫ R = 2 ∙ ´
¼ ´
¼
´
À
¼ m: ´
+ ã = * ´ + ã D
¢
d) ∫ 6 ( + 2 − 3 R = ∫ 6 ( R + ∫ 2 R − ∫ 3 R = 2 K + K − 3 + ã
b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut: Tabel Turunan Fungsi Trigonometri ऐ(࢞) 4 ࢞ ࢞ ܗ܋ ࢞ ܜ ࢞ ܋ ࢞ ܜܗ܋ ࢞ ܋܋
ऐ′(࢞) Cos −sin ݏbã2 tan .sec −ãݏã2 −cot .csc
Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut. Matematika Dasar
Page 183
∫ cos R = sin + ∫ ܥsin R = − cos + ܥ
∫ ݏbã ( R
= tan + ܥ
∫ ãݏã ( R = − cot + ܥ
∫ tan . sec R = sec + ܥ
∫ cot . csc R = − csc + ܥ
Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi : a. ∫ ã_ ݏ+ ` R =
:
b. ∫ ݏyQ + ` R = − c. ∫ ݏbã ( + ` R =
:
ݏyQ + ` + ܥ
:
ã_ ݏ+ ` + ܥ
ݐQ + ` + ܥ
d. ∫ ݐQ + ` . ݏbã + ` R =
e. ∫ ãݏã ( + ` R = −
:
:
ã_ ݐ+ ` + ܥ
f. ∫ ã_ ݐ+ ` . ãݏã + ` R = − ܥ
ݏbã + ` + ܥ
:
ãݏã + ` +
Contoh 13.2 Selesaikan integral berikut! 1. ∫ 2 sin + 3 R
2. ∫ ݏbã ( 2 − 1 R 3. ∫ ݏyQ( R
4. ∫ ݏyQ + cos ( R 5. ∫ sin 4 . cos 2 R
Ingat kembali
1 1 − cos 2 2 2 1 1 ã_ = ( ݏ+ cos 2 2 2 ݏyQ( =
6. ∫ sec . tan R 7. ∫ 2 sin 3 R
Matematika Dasar
Page 184
Penyelesaian:
1. ∫ 2 sin + 3R = 2∫ sin R + ∫ 3 R = −2 cos + 3 + ܥ
2. ∫ ݏbã ( 2 − 1R = ∫ ݏbã ( 2 R − ∫ R = 3. ∫ ݏyQ( R = ∫
: (
−
: (
cos 2R =
: (
−
: (
: <
tan 2 − + ܥ
2 + ܥ
4. ∫ sin + cos 2 R = ∫ ݏyQ( + 2 sin . cos + ã_ ( ݏ = ∫ 1 + 2 sin . cos R = ∫ 1 + ݏyQ2R
5. ∫ sin 4 . cos 2 R
= − ( ã_ ݏ2 + ܥ :
= ∫ ( sin 6 + sin 2 R :
ݏyQ( + ã_ = ( ݏ1
ݐQ( + 1 = ݏbã (
ã_ ( ݐ+ 1 = ãݏã (
= ( ∫ sin 6 + sin 2R :
= ( − C cos 6 − ( cos 2 + ܥ :
:
:
= − :( cos 6 − < cos 2 + ܥ :
6. ∫ sec . ݐQ R = sec + ܥ
:
7. ∫ 2ݏyQ3 R = 2∫ ݏyQ3 R
= − K ã_ݏ3 + ܥ (
B. Penerapan Integral Tak Tentu Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan di bawah ini: 1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan. 2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan antara s, v, dan a adalah sebagai berikut.
Matematika Dasar
Page 185
ó =
Rݏ Ró sehingga ∫ = ݏó R ݐdan = sehingga ó = ∫ Rݐ Rݐ Rݐ
Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini! Contoh 13.3
1. Diketahui F′ = 6 ( − 10 + 3 dan F − 1 = 2. Tentukan F. Jawab:
F ′ = 6 ( − 10 + 3
F = ∫6 ( − 10 + 3 R
= 2 K − 5 ( + 3 + ܥ
F −1 = 2
2 = 2−1K − 5 −1( + 3 −1 + ܥ 2 = −2 − 5 − 3 + ܥ
= ܥ12
ܬRy, F = 2 K − 5 ( + 3 + 12
2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang
memenuhi persamaan = 2 ݐ− 1, dalam ä/ݏ2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda ó = 5 ä/ ݏdan posisi benda saat = ݐ6 adalah = ݏ 92 ä, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik!
Jawab:
= 2 ݐ− 1
ó = ∫ Rݐ
ó = ∫2 ݐ− 1 Rݐ = (ݐ− ݐ+ ܥ
Kecepatan awal benda 5 äݏ−1, artinya saat t = 0 nilai v = 5 ó£; = 5
0( − 0 + = ܥ5
Matematika Dasar
Page 186
= ܥ5
Sehingga,
ó = (ݐ− ݐ+ 5 ∫ = ݏó Rݐ
= ∫ ( ݐ− ݐ+ 5 Rݐ
= ݐK − : K
: K
: (
( ݐ+ 5 ݐ+ R
ݑQ=ݐݏ ݑݐ6 = 92
6K − ( 6( + 5 6 + R = 92 :
72 − 18 + 30 + R = 92
84 + R = 92 R = 8
13.3 INTEGRAL TERTENTU
Jika fungsi Á = F kontinu pada interval ≤ ≤ `, maka:
න F R = e Å = e ` − e
dengan e () adalah anti turunan dari F () dalam ≤ ≤ `. Bentuk
integral di atas disebut integral tertentu dengan sebagai batas bawah dan `
sebagai batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.
Misalnya F dan è merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval
tertutup [,`], maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut.
Matematika Dasar
Page 187
1. ∫ F R = 0
2. ∫ ࣽ. F R = ࣽ ∫ F R, ࣽ = konstanta
3. ∫ ÄF ± è ÅR = ∫ F R ± ∫ è R
4. ∫ F R = − ∫ F R
5. ∫ F R + ∫ F R = ∫ F R
Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contohcontoh berikut. Contoh 13.4 1. Hitunglah hasil integral berikut! a. ∫ 62R 3 0 Jawab:
K
K
K 1 1 1 න 6 ( R = 6 න ( R = Ö6. K ൨ = 6 Sj . 3K k − . 0K T 3 3 3 ; ;
;
= 6 9 − 0 = 54
b. ∫: ( + 2 − 3 R K
K
Jawab:
K
K
K
K 1 K Ö න + 2 − 3 R = න R + න 2 R − න 3R = ൨ + Ö ( Å:K − Ö3Å:K 3 : :
(
:
(
:
:
1 1 = Sj . 3K k − j . 1K kT + 3( – 1( − ®3.3 − 3.1° 3 3 1 26 = j9 − k + 9 – 1 – 9 – 3 = + 8 − 6 3 3 2 32 = = 10 3 3
Matematika Dasar
Page 188
2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut! ∫o´ഏ2 sin + 6 cos R ഏ
¢
Jawab:
∫o´ഏ2 sin + 6 cos R = Ö−2 cos + 6 sin Åo´ ഏ ഏ
ഏ
¢
¢
= ®− √2 + 3 √2° − Ä0 − 6Å = 6 + 2 √2
3. Jika ∫: 2 − 5 R = 18 untuk ࣽ > 0 maka tentukan nilai ࣽ + 1 ࣽ
Jawab:
∫: 2 − 5 R = 18 ࣽ
Ä ( − 5Å :ࣽ = 18
ࣽ( − 5ࣽ − 1 − 5 = 18 ࣽ( − 5ࣽ + 4 − 18 = 0 ࣽ( − 5ࣽ − 14 = 0
ࣽ − 7ࣽ + 2 = 0
ࣽ = 7 atau ࣽ = −2 tidak memenuhi maka nilai ࣽ + 1 = 7 + 1 = 8.
4. ∫;¢ ã_ ( ݏR ഏ
Jawab:
∫; ã_ ݏR = ∫; ( 1 + cos 2R = Ê( + < sin 2Ë ഏ ¢
(
ഏ : ¢
:
:
ഏ ¢
;
= ( . ( + < sin 2 l ( n = ( l ( − 0n + < 0 − 0 = : :
:
Ø
: Ø
:
Ø <
13.4 TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik Matematika Dasar
Page 189
pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu integral substitusi dan integral parsial. A. Integral Substitusi a) Bentuk Subtitusi-1 Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan
menggunakan rumus ∫ R =
m:
m:
+ ã.Banyak bentuk-bentuk
yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus
di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya. Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut. න Fݑ Contoh 13.5
Rݑ R൨ = න F ݑRݑ R
K
1. ∫ ®5 – 2° R
2. ∫ ( − 1 + 3A R 3. ∫ 2 ( + 3< R
Jawab:
1. ∫ 5 − 2K R
Misal: = ݑ5 − 2
R = ݑ5 R → R = A Rݑ Sehingga
K
:
∫ ®5 – 2° R = ∫ ݑK A R = ݑA ∫ ݑK R = ݑA l< <ݑn + ã :
= (; 5 − 2< + ã :
Jadi, ∫ 5 − 2K R = Matematika Dasar
:
:
(;
:
:
5 − 2< + ܥ Page 190
2. ∫ ( − 1 + 3A R
Misal = ݑ+ 3 → R = Rݑ
= –ݑ3
Sehingga ∫ ( − 1 + 3A R = ∫ ݑ− 3( − 1ݑA R
= ∫ (ݑ− 6 ݑ+ 8 ݑA R
= ∫ *ݑ− 6ݑC + 8ݑA R
=
: D
ݑD −
C *
*ݑ+
< K
ݑC + ܥ
= D + 3D − * + 3* + K + 3C + ܥ :
Jadi,∫ ( − 1 + 3A R =
:
D
C
+ 3D − * + 3* + K + 3C + ܥ
3. ∫ 22 + 3< R
C
Misalkan ( = ݑ+ 3 , maka å = 2 atau R = å௨
Sehingga diperoleh,
∫ 2 ( + 3< R = 2 <ݑ
= ∫ <ݑR = ݑA ݑA + ã :
<
<
å௨ (
å௨ (
= A ( + 3A + ã :
b) Integral yang Memuat Bentuk √ࢇ − ࢞ , √ࢇ + ࢞ , √࢞ − ࢇ Untuk
menyelesaikan
√( − ( , √( + ( dan
pengintegralan
yang
memuat
bentuk
√ ( − ( , kita menggunakan teknik
integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya,
perhatikan dengan baik tabel berikut. Bentuk ( − (
Substitusi = sin ߠ
( − ( = cos ߠ = tan ߠ ( + ( ( + ( = sec ߠ = sec ߠ ( − ( ( − ( = tan ߠ Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri, Hasil
perhatikan contoh berikut. Matematika Dasar
Page 191
(
න ;
1
√4 − (
R
Misal = 2 sin ߠ , maka sin ߠ = R = 2 cos ߠ R ߠ
(
Batas Integral
0
ߠ
0
Sehingga (
∫;
R = ∫;¢ √
= ∫;
:
ഏ ( ÙB ఏ ¢
( ÙB ఏ
ഏ
Rߠ
= ∫;¢ Rߠ = ߠÅ;¢ = ഏ
2 á 2
B. Integral Parsial
ഏ
( ÙB ఏ åఏ
¢ ఏ
Ø (
Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan
dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial. Perhatikan uraian berikut.
Misalnya, Á = ∙ ݑó dengan Á, ݑ, dan ó fungsi dari , maka
å
å
å å
å å
= ݑ′ ∙ ó + ݑ. ó′
= å ∙ ó + ∙ ݑRó R å௨
= å ó R ݑ+ ݑRó :
RÁ = ó R ݑ+ ݑRó
∫ RÁ = ∫ ó R ݑ+ ∫ ݑRó
Á = ∫ ó R ݑ+ ∫ ݑRó Matematika Dasar
Page 192
ݑó = ∫ ó R ݑ+ ∫ ݑRó
∫ ݑRó = ݑó − ∫ ó Rݑ
Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus
integral parsial adalah sebagai berikut. ∫ ݑRó = ݑó − ∫ ó Rݑ
Contoh 13.5
1. ∫ ( cos R Jawab:
1. ∫ ( cos R
Misal → ( = ݑR = ݑ2 2 R
Ró = cos → ó = sin Sehingga
∫ ( cos R = ( sin − ∫ sin 2 R = ( sin − ݏ ∫ ݏyQ R = ( sin − 2− − ã_ ݏ+ sin + ã b = ( sin + 2 cos – sin + ã
13.5 BEBERAPA PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU A. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva Á = F , sumbu
X, garis = , dan garis = ` Dengan F() ≥ 0 pada ,` maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :
= න F R
Apabila F() ≤ 0 atau daerahnya di
bawah sumbu X, maka
= − න F R
Matematika Dasar
Gambar 1
Page 193
B. Luas Daerah antara Dua Kurva
Misalkan daerah S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva Á: =
F, Á( = è, garis = , dan garis = ` seperti pada gambar di
samping maka luas daerah
= Ìܶ
– Ìܶz}. Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
= Ìܶ
− Ìܶz}
= න F R − è R
= න ÈF − è É R
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva Á: = F, Á( = è,dari = sampai = ` ditentukan dengan rumus
Ì = න ÈF − è É R
Dengan F() ≥ è() dalam interval ≤ ≤ `.
Untuk memahami cara menentukan luas daerah, perhatikan contoh berikut ini!
1. Tentukan luas daerah antara kurva Á = ( + 3 dan Á = 2 + 2 Penyelesaian :
Titik potong kedua kurva yaitu:
( + 3 = 2 + 2 ⟺ + 2 − 1 = 0 ⟺ = −2 = ݑݐ1
Matematika Dasar
Page 194
:
:
Ì = නÄ2 + 2 − ( + 3ÅR = න 2 − − ( R = 4 o(
o:
1 2
2. Tentukan luas daerah antara kurva Á = , sumbu X , x = -1 dan x = 1! K
Penyelesaian :
;
:
1 < ; 1 < : 1 1 1 Ì = − න R + න R = − ൨ + ൨ = − j0 − k + j − 0k = 4 4 4 4 2 o: ; K
o:
;
satuan luas
K
C. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar dari daerah Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X mengelilingi sumbu Y (
V = á න®F° R atau V = á න Á ( R
Matematika Dasar
å
(
å
V = á න®èÁ° RÁ atau V = á න ( RÁ Â
Â
Page 195
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360∘ terhadap sumbu Y.
ܸ = á නÈF
ܸ=
(
−è
á නÁ:(
( ÉR
−
atau
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ terhadap sumbu X. å
ܸ = á නÈF ( Á − è( ÁÉRÁ atau Â
Á(( R
å
ܸ = á න:( − (( RÁ Â
Contoh 13.6 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o Penyelesaian:
y=x+1
1 -1
+ ( R = á ∫; ( + 2 + 1R ܸ = á ∫; F ( R = á ∫; + (
Matematika Dasar
(
(
Page 196
(
= á Ê K + ( + Ë = á Êl . 2K + 2( + 2n − l . 0K + 0( +n 0Ë = á Ê Ë =
(C K
: K
:
:
K
;
á satuan volume
(C
K
K
2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x 2)2, sumbu y,, y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o.
Penyelesaian:
dimana − 2( = Á menjadi = Á + 2 K
K
(
K
ܸ = á න ( RÁ = á න®Á + 2° RÁ = á න®Á + 4Á + 4°RÁ ;
;
;
K 1 ( 8 1 8 9 = á Á + ÁÁ + 4Á൨൨ = á 3( + 3√3 + 4.3൨ = + 8√3 + 12൨ á 2 3 2 3 2 ;
3
0
y = (x – 2)2
2
3. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik F = 4 – 2 , sumbu–x, x, dan sumbu–y sumbu diputar 360o terhadap : a. Sumbu–x
b. Sumbu–y Jawab: a. Volumenya adalah
Matematika Dasar
Page 197
(
(
ܸ = á න 4 − ( ( R = á න 16 − 82 + < R ;
;
8 K 1 A ( = á 16 − + . ඈ 3 5 ; = á Sj16 . 2 −
= á j32 − =
256 ∏ 15
1 8 . 2K + . 2A −k 0T 5 3
64 32 + k 3 5
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu–x adalah
(AC :A
∏ satuan volume.
b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi
jika daerah R
diputar mengelilingi sumbu-y, nyatakan persamaan kurva Á = F =
4 – ( menjadi persamaan ( dalam variabel y. Á = 4 – ( ⟹ ( =
4−Á
Volume benda putar tersebut adalah <
ܸ = á න 4 − Á RÁ ;
< 1 = á ඌ4Á − Á ( ඐ 2 ;
1 = á Sj4.4 − . 4( k − 0T 2 = á16 − 8 = 8 á
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi
sumbu-y adalah 8 á satuan volume.
Matematika Dasar
Page 198
13.6 Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari Definisi
Integral
adalah
kebalikan
dari
diferensial.
Apabila
kita
mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari pernyataan asal integral ini. Lambang integral adalah
න F R = e + ܥ
Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cakupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidangbidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut: A. Bidang Teknologi Integral
sering
digunakan
untuk
memecahkan
persoalan
yang
berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen. B. Bidang Ekonomi Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu: • Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi. • Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal. C. Bidang Matematika Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu: • Untuk menentukan luas suatu bidang. • Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur. D. Bidang Fisika Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu: • Untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC. • Untuk menganalisis medan magnet pada kumparan. • Untuk menganalisis gaya-gaya pada struktur pelengkung. E. Bidang Teknik Matematika Dasar
Page 199
Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu: • Untuk mengetahui volume benda putar • Untuk mengetahui luas daerah pada kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui dari kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi perpindahan benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.
Matematika Dasar
Page 200
