Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian 2 Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik differensiasi diterapkan untuk fungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik differensiasi ini tidak hanya akan diterapkan untuk fungsi-fungsi yang tergantung kepada nilai x dan nila y saja, tapi juga untuk fungsi-fungsi yang tergantung kepada nilai x, nilai y, dan nilai z. Tentu saja dalam bagian ini, kemampuan teknik differensial untuk fungsi satu variabel yang telah anda dapatkan dalam Matematika Teknik 1 sangat bermanfaat. Pengetahuan pada Bagian 2 ini diharapkan memberikan sedikit informasi kepada Anda, bahwa teknik turunan parsial dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam bidang tiga dimensi. Sebagai contoh, bahwa volume kotak yang minimum atau maksimum dapat diketahui dengan menerapkan teknik turunan parsial Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan Bagian 2 Turunan Parsial adalah Anda akan mampu melakukan proses differensial pada fungsi dua variabel atau lebih dan menerapkannya pada persoalan minimum dan maksimum fungsi.

2.1 Fungsi Dua Variabel atau Lebih Beberapa persamaan yang digunakan dalam matematika atau cabang ilmu lain sangat tergantung kepada dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, persamaan garis lurus y = mx + 3 sangat tergantung kepada nilai m dan nilai x., persamaan volume benda V = p l t sangat tergantung pada panjang, lebar, dan tebal benda, −

atau persamaan nilai rata-rata x = (x1 + x2 + x3 +...+ xn)/n sangat tergantung pada nilai x1 x2 sampai xn. Sehingga dapat dikatakan Y adalah fungsi dua variabel m dan x V adalah fungsi tiga variabel p, l, dan t −

x adalah fungsi n variabel x1, x2, x3, ..., xn Notasi yang digunakan untuk menyatakan fungsi dua variabel atau lebih adalah sama seperti notasi untuk fungsi satu variabel. Persamaan

z = f ( x, y )

2.1

mengandung arti z adalah fungsi yang tergantung kepada nilai x dan nilai y. Hal yang sama jika kita mempunyai persamaan

w = f ( x, y , z )

2.2

mengandung arti bahwa w adalah fungsi yang bergantung kepada nilai x, nilai y, dan nilai z.

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

17

Grafik fungsi dua variabel dapat digambarkan pada bidang xy atau pada sistem koordinat kartesius, sedangkan grafik fungsi tiga variabel dapat digambarkan pada bidang xyz atau bidang 3 dimensi Contoh 2.1 Buatlah sketsa grafik fungsi y = x2 Penyelesaian: Sb. y

y = x2

Sb. x

Contoh 2.2 Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = 1 – x – 0,5y Penyelesaian:

Sb. z

(0,0,1) z=1-x-0,5y Sb. y (1,0,0)

(0,2,0)

Sb. x Contoh 2.3 Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = x2 + 0,25y2

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

18

Penyelesaian:

Sb. z z=x2+0,25y2

z=k Sb. y x2+0,25y2=k Sb. x Latihan Soal 2.1 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Misalkan f(x,y) = x2y+1. Tentukan f(1,-3) dan f(3a,a) 2. Misalkan f(x,y) = xy + 3. Tentukan f(x+y, x-y) dan f(xy, 3x2y2) 3. Buatlah sketsa grafik fungsi f(x,y) = x2 – y2 4. Buatlah sketsa grafik fungsi f ( x, y ) =

x2 + y2

5. Buatlah sketsa grafik fungsi f ( x, y ) = − 1 −

x2 y2 − 4 9

2.2 Turunan Parsial Jika f adalah fungsi dua atau lebih variabel bebas, dan satu dari variabel tersebut merupakan nilai yang tetap, maka turunan terhadap variabel tetap tersebut dinamakan turunan parsial fungsi f. Misalkan f merupakan fungsi dari nilai x dan nilai y. Jika kita pandang nilai y sebagai konstanta dan nilai x sebagai variabel, maka f(x,y0) adalah fungsi yang tergantung kepada nilai x saja. Sehingga nilai turunan dinotasikan

f x ( x0 , y 0 )

2.3

Dan dinamakan turunan parsial fungsi f terhadap x pada titik (x0,y0). Interpretasi geometrik dari turunan parsial ini dapat kita lihat pada Gambar 2.1 berikut.

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

19

Sb. z Sb. y

z=f(x,y) P y0 C1 Slope = fx(x0,y0) (x0,y0) x0 Sb. x Gambar 2.1 Misalkan P adalah titik potong antara permukaan z = (f(x,y) dan bidang y = y0. Jika y adalah konstanta pada y = y0 dan x merupakan nilai yang bervariasi, maka titik P akan bergerak sepanjang kurva C1 yang merupakan perpotongan permukaan dengan bidang vertikal y = y0. sehingga turunan parsial f x ( x0 , y 0 ) dapat diinterpretasikan sebagai kemiringan garis singgung kurva C1 pada titik (x0,y0). Nilai f x ( x 0 , y 0 ) yang dihasilkan merupakan nilai pada sembarang titik (x,y). Untuk menghasilkan f x ( x, y ) kita melakukan proses turunan pada terhadap nilai x dengan menganggap nilai y sebagai konstanta. Sebaliknya, untuk menghasilkan f y (x, y ) kita melakukan proses turunan terhadap nilai y dengan menganggap nilai x sebagai konstanta.

Contoh 2.4 Carilah turunan parsial fungsi titik (1,2)

f ( x, y ) = 2 x 3 y 2 + 2 y + 4 x terhadap x dan y pada

Penyelesaian: Anggaplah y sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan fungsi terhadap x

f x ( x, y ) = 6 x 2 y 2 + 4................ f x (1,2) = 6(1) 2 (2) 2 + 4 = 28 Anggaplah x sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan fungsi terhadap y

f y ( x, y ) = 4 x 3 y + 2................ f y (1,2) = 4(1) 3 (2) + 2 = 10

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

20

Penulisan f x ( x, y ) untuk menyatakan turunan parsial fungsi f terhadap x dan penulisan

f y ( x, y ) untuk menyatakan turunan parsial fungsi f terhadap y

kadangkala membuat bingung. Untuk itu penulisan simbol turunan parsial dilakukan seperti di bawah ini.

∂f ∂z ∂f ∂z dan = = ∂y ∂y ∂x ∂x

2.4

Contoh 2.5 Carilah turunan parsial fungsi z = x4sin (xy3) terhadap x dan terhadap y Penyelesaian Turunan parsial fungsi z terhadap x adalah

[

]

[

∂z ∂ 4 ∂ ∂ = x sin( xy 3 ) = sin( xy 3 ). ( x 4 ) + x 4 . sin( xy 3 ) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂z ∂ = 4 x 3 sin( xy 3 ) + x 4 . cos( xy 3 ) ( xy 3 ) ∂x ∂x ∂z = 4 x 3 sin( xy 3 ) + x 4 y 3 . cos( xy 3 ) ∂x

]

Dengan cara yang sama, turunan parsial fungsi z terhadap y adalah

∂z = 3 x 5 y 2 cos( xy 3 ) ∂y

Seperti pada penyelesaian turunan biasa, turunan parsial juga mengenal turunan tingkat tinggi, yaitu turunan parsial yang dilakukan beberapa kali. Untuk turunan tingkat dua dinotasikan sebagai

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠

2.5

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ = ∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠

∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂2 f = ⎜ ⎟ ∂y ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠

2.6

Atau secara umum dapat dinyatakan ∂n f ∂ ⎛ ∂ n −1 f ⎜ = ∂x n ∂x ⎜⎝ ∂x n −1

⎞ ⎟⎟ ⎠

2.7

Contoh 2.6 Carilah turunan kedua fungsi f(x,y) = x2y3 + x4y Penyelesaian: Turunan pertama fungsi terhadap x dan y adalah

∂f = 2 xy 3 + 4 x 3 y ∂x Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

∂f = 3x 2 y 2 + x 4 ∂y 21

Sehingga

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ = ⎜ ⎟= 2 xy 3 + 4 x 3 y = 2 y 3 + 12 x 2 y 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x

(

) (

)

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ = ⎜⎜ ⎟⎟ = (3x 2 y 2 + x 4 ) = (6 x 2 y ) 2 ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y ∂y ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ = ⎜⎜ ⎟⎟ = (3x 2 y 2 + x 4 ) = (6 xy 2 + 4 x 3 ) ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ = ⎜ ⎟= 2 xy 3 + 4 x 3 y = 6 xy 2 + 4 x 3 ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y

(

) (

)

Latihan Soal 2.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Tentukan ∂z 2. Tentukan ∂z

∂x ∂x

dan ∂z dan ∂z

∂y ∂y

(

untuk fungsi z = x 3 ln 1 + xy −3 / 5

)

( )

untuk fungsi z = e xy sin 4 y 2

3. Tentukan fxx, fyy, fxy, dan fyx untuk fungsi f ( x, y ) = x 3 y 5 − 2 x 2 y + x 4. Tentukan fxx, fyy, fxy, dan fyx untuk fungsi f ( x, y ) = e x cos y

x2 − y2 5. Tentukan fxx, fyy, fxy, dan fyx untuk fungsi f ( x, y ) = 2 y − x2

2.3 Arah Turunan dan Gradien Fungsi Dua Variabel Turunan parsial fx(x,y) dan fy(x,y) mempresentasikan perubahan kecepatan fungsi f(x,y) pada arah paralel dengan sumbu koordinat x dan y. Sebagai contoh, jika kita berdiri (x0,y0,z0) pada bidang lengkung dan kemudian berjalan pada arah sembarang, maka permukaan z = f(x,y) akan mempunyai kemiringan yang berbeda dari titik (x0,y0,z0) pada permukaan tersebut. Definisi: Jika f(x,y) dapat diturunkan pada (x0,y0), dan jika u = (u1,u2) adalah vektor unit, maka arah turunan fungsi f(x,y) pada titik (x0,y0) dalam arah vektor u didefinisikan

Du f ( x0 , y 0 ) = f x ( x0 , y 0 )u1 + f y ( x0 , y 0 )u 2

2.8

Contoh 2.7 Tentukan arah turunan fungsi f(x,y) = 3x2y di titik (1,2) pada arah vektor a = 3i + 4j Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

22

Penyelesaian Vektor a bukan vektor unit, sehingga vektor unit a adalah

u=

1 a 3 4 = (3i + 4 j ) = i + j atau u1 = 3/5 dan u2 = 4/5 a 5 5 25

Turunan parsial fungsi terhadap x dan y adalah

f x ( x, y ) = 6 xy

f x (1,2) = 12

f y ( x, y ) = 3 x 2

f y (1,2) = 3

Jadi arah turunan fungsi adalah

⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 48 Du f (1,2) = f x (1,2)u1 + f y (1,2)u 2 = 12 u1 + 3u 2 = 12 ⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ = ⎝5⎠ ⎝5⎠ 5 Persamaan arah turunan Du f ( x, y ) = f x ( x, y )u1 + f y ( x, y )u 2 dapat dinyatakan dalam bentuk dot product yang ditulis

Du f ( x, y ) = ( f x ( x, y ) i + f y ( x, y ) j ).(u1i + u 2 j )

2.9

Vektor kedua dari dot product tersebut dinamakan gradien dari fungsi f(x,y) dan diberi simbol ∇. Definisi: Jika f adalah fungsi yang tergantung pada x dan y, maka gradien dari fungsi f didefinisikan ∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y) j

2.10

Contoh 2.8 Tentukan gradien fungsi soal 2.7 Penyelesaian: ∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y) j = 6xyi + 3x2j Sehingga gradien pada titik (1,2) adalah ∇f(1,2) = 6(1)(2)i + 3(1)2j = 12i + 3j

Latihan Soal 2.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan arah turunan fungsi di titik P pada arah vektor a 1. f(x,y) = 4x3y2 P(2,1) a = 4i – 3j 2. f(x,y) = y2 ln x P(1,4) a = - 3i + 3j 3. f(x,y) = x2 – 3xy + 4 y3 P(-2,0) a = i + 2j Tentukan Duf fungsi pada titik P Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

23

4. f(x,y) = (1 + xy)2/3 5. f(x,y) = ln (1+ x2 + y)

P(3,1) P(0,0)

u = 1/√2i + 1/√2j u = -1/√10i - 3/√10j

2.4 Arah Turunan dan Gradien Fungsi Tiga Variabel Materi pada bagian sebelumnya akan kita perluas untuk fungsi tiga variabel. Perbedaan mendasar antara fungsi dua variabel dengan fungsi tiga variabel adalah bahwa grafik fungsi z = f(x,y) mempresentasikan sebuah permukaan pada bidang tiga dimensi, sedangkan grafik fungsi w = f(x,y,z) tidak mempunyai interpretasi apapun. Teori dan definisi untuk fungsi tiga variabel dikembangkan dari prinsip dasar fungsi dua variabel. Definisi: Sebuah fungsi tiga variabel dapat diturunkan pada (x0,y0,z0) jika turunan parsial fx(x0,y0,z0), fy(x0,y0,z0), dan fz(x0,y0,z0) ada, dan Δf = f(x0 + Δx,y0 + Δy,z0 + Δz) – f(x0,y0,z0)

2.11

Persamaan tersebut jika ditulis dalam bentuk lain menjadi Δf = fx(x0,y0,z0) Δx + fx(x0,y0,z0) Δy + fx(x0,y0,z0) Δz + ε1 Δx + ε2 Δy + ε3 Δz

2.12

ε1 , ε2 , ε3 adalah fungsi dari Δx, Δy, Δz. Arah turunan dari fungsi tiga variabel pada titik (x0,y0,z0) yang searah dengan vektor u=(u1,u2,u3) didefinisikan sebagai

Du f ( x0 , y 0 , z 0 ) = f x ( x0 , y 0 , z 0 )u1 + f y ( x0 , y 0 , z 0 )u 2 + f z ( x0 , y 0 , z 0 )u 3

2.13

Sedangkan gradien dari fungsi tiga variabel didefinisikan sebagai ∇f(x,y,z) = fx(x,y,z)i + fy(x,y,z)j + fz(x,y,z)k

2.14

Contoh 2.9 Tentukan arah turunan fungsi f(x,y,z) = x2y – yz3 + z pada titik P(1,-2,0) yang sesuai arah vektor a = 2i + j – 2k Penyelesaian: f(x,y,z) = x2y – yz3 + z Jika fungsi diturunak secara parsial terhadap x, y, dan z akan didapat fx(x,y,z) = 2xy fy(x,y,z) = x2 –z3 fz(x,y,z) = – 3yz2 + 1 ∇f(x,y,z) ∇f(1,-2,0)

= 2xyi + (x2 –z3)j + (– 3yz2 + 1)k = -4i + j + k

Unit vektor dari vektor a adalah

u=

a 1 2 1 2 = (2i + j − 2k ) = i + j − k a 3 3 3 9

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

24

Sehingga arah turunan fungsi adalah

⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 2⎞ Du f (1,−2,0) = ∇f (1,−2,0). u = −4 ⎜ ⎟ + 1⎜ ⎟ + 1⎜ ⎟ = −3 ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ ⎝ 3 ⎠ Latihan Soal 2.4 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan gradien fungsi f pada titik P dan gunakan untuk menghitung Duf di P 1. f ( x, y, z ) = 4 x 5 y 2 z 3 P(2,-1,1) u = 1/3i + 2/3j – 2/3k 2. f ( x, y, z ) = ye xz + z 2 3. f ( x, y, z ) = ln( x + 2 y + 3 z ) 2

2

2

P(0,2,3)

u = 2/7i – 3/7j + 6/7k

P(-1,2,4)

u = -3/13i - 4/13j – 12/13k

Tentukan arah turunan f pada titik P yang sesuai aray vektor a 4. f ( x, y, z ) = x 3 z − yx 2 + z 2 P(2,-1,1) a = 3i – j + 2k 5. f ( x, y, z ) = y − 6. f ( x, y, z ) =

z−x z+ y

x2 + z2

P(-3,1,4)

a = 2i – 2j – k

P(1,0,-3)

a = - 6i + 3j - 2k

2.5 Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Dua Variabel Dalam buku Matematika Teknik 1 telah dikemukan bagaimana menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi satu variabel. Konsep yang sama dapat kita terapkan untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum fungsi dua variabel. Karena fungsi dua variabel merupakan permasalahan tiga dimensi, maka nilai minimum dan maksimum fungsi merupakan permasalahan tiga dimensi juga. Untuk mengerti konsep nilai minimum dan maksimum fungsi dua variabel ini, sebaiknya anda memahami uraian berikut. Cobalah anda bayangkan bahwa saat ini anda sedang berdiri di atas perbukitan lalu anda melihat sekelilingnya. Lingkungan sekeliling yang anda lihat akan berupa puncak-puncak gunung, puncak-puncak bukit, lembah-lembah, ngarai-ngarai, dan lain-lain. Hal itu semua menandakan bahwa ada bagian tertinggi dan ada bagian terendah dari permukaan yang anda lihat. Jika seandaiknya permukaan bumi yang berupa gunung, bukit, dan lembah tersebut kita misalkan sebagai fungsi z = f(x,y), maka puncak gunung tertinggi merupakan nilai absolut maksimum dan lembah terdalam merupakan nilai absolut minimum fungsi z = f(x,y). Sebuah fungsi dua variabel f dikatakan mempunyai relatif maksimum pada titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0) sehingga berlaku f(x0,y0) > f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f, dan fungsi f dikatakan mempunyai absolut maksimum di (x0,y0) jika f(x0,y0) > f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f.

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

25

Sebuah fungsi dua variabel f dikatakan mempunyai relatif minimum pada titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0) sehingga berlaku f(x0,y0) < f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f, dan fungsi f dikatakan mempunyai absolut minimum di (x0,y0) jika f(x0,y0) < f(x,y) untuk semua nilai (x,y) dalam domain f. Teorema 1 (Uji parsial satu) Jika fungsi f mempunyai sebuah relatif ekstrim pada titik (x0,y0), dan jika turunan parsial pertamanya ada pada titik tersebut, maka fx(x0,y0) = 0 dan fy(x0,y0) = 0

2.15

Teorema 2 (Uji parsial kedua) Jika fungsi f mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam lingkaran yang berpusat pada titik kritis (x0,y0), dan misalkan

D = f xx ( x0 , y 0 ). f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 )

2.16

a. Jika D > 0 dan f xx ( x0 , y 0 ) > 0, maka fungsi f mempunyai relatif minimum di (x0,y0) b. Jika D > 0 dan f xx ( x0 , y 0 ) < 0, maka fungsi f mempunyai relatif maksimum di (x0,y0) c. Jika D < 0, maka fungsi f mempunyai saddle point di (x0,y0) d. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan untuk digambarkan. Contoh 2.10 Cari lokasi relatif ekstrim dan saddle point fungsi f ( x, y ) = 3 x 2 − 2 xy + y 2 − 8 y Penyelesaian: Turunan parsial fungsi terhadap x dan y adalah

f x ( x, y ) = 6 x − 2 y

f y ( x, y ) = −2 x + 2 y − 8

Titik kritis didapat dengan cara membuat nilai turunan sama dengan nol, sehingga didapat persamaan

6x − 2 y = 0 − 2x + 2 y − 8 = 0

Penyelesaian persamaan di atas akan mendapatkan x = 2 dan y = 6 sehingga titik (2,6) merupakan titik kritis fungsi f(x,y). Untuk menentukan relatif ekstrim kita perlu menurunkan sekali lagi fungsi f(x,y)

f xx ( x, y ) = 6

f yy ( x, y ) = 2

f xy ( x, y ) = −2

Pada titik (2,6) akan didapat

D = f xx (2,6). f yy (2,6) − f xy2 (2,6) = 6.2 − (−2) 2 = 8.......... > 0 Karena D > 0 dan f xx ( x, y ) = 6 > 0 maka fungsi tersebut mempunyai relatif minimum pada titik (2,6)

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

26

Latihan Soal 2.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Cari relatif minimum, relatif maksimum, dan saddle point fungsi berikut 1. f ( x, y ) = 3 x 2 + 2 xy + y 2 2. f ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y 3. f ( x, y ) = 2 xy 2 − x 2 y + 4 xy 4. f ( x, y ) = x 2 + y − e y 5. f ( x, y ) = e x sin y

2.6 Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier) Dalam subbab ini anda dikenalkan dengan istilah konstren (contraint). Permasalahan lain dalam fungsi dua variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi f(x,y) akibat konstren g(x,y) = 0, sedangkan permasalahan fungsi tiga variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x,y,z) akibat konstren g(x,y,z) = 0. Satu cara untuk mengatasi permasalahan tersebut adalah menyelesaikan persamaan konstren dan mengsubstitusikan hasilnya dalam fungsi f. Fungsi hasil substitusi tersebut dapat berupa fungsi dua atau tiga variabel, yang selanjutnya dapat dimaksimalkan atau diminimalkan dengan cara menentukan titik kritisnya. Namun demikian, jika persamaan konstren sangat rumit untuk diselesaikan dalam satu variabel, maka kita akan memerlukan teknik lain. Pada bagian ini, kita akan mempelajari teknik lain tersebut, yang dikenal dengan metode Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier). Misalkan kita mempunyai problem bagaimana meminimalkan atau memaksimalkan fungsi f(x,y) akibat konstren g(x,y) = 0. Grafik dari g(x,y) biasanya merupakan beberapa kurva C pada bidang xy.

g(x,y)=0 (x0,y0)

C Gambar 2.2 Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

27

Secara geometrik, kita akan menentukan nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x,y) di atas kurva konstren C. Jika (x0,y0) adalah titik pada kurva konstren C, maka kita dapat mengatakan bahwa f(x,y) mempunyai sebuah constrained relative maximum di titik (x0,y0) jika ada sebuah lingkaran yang berpusat di (x0,y0), sehingga berlaku f(x0,y0) > f(x,y)

2.17

untuk sembarang titik (x,y) pada C dalam lingkaran tersebut. Kita misalkan fungsi f dan dan fungsi g adalah fungsi dua variabel dan turunan parsial pertamanya adalah kontinu pada selang dimana mempunyai kurva konstren g(x,y)=0 dan diasumsikan bahwa ∇g ≠ 0 pada sembarang titik di kurva tersebut. Jika fungsi f mempunyai constrained relative maximum, dan nilai maksimum tersebut berada pada titik (x0,y0) dimana gradien vektor ∇f(x0,y0) dan ∇g(x0,y0) adalah paralel, maka terdapat sebuah bilangan λ, yang disebut Lagrange multiplier (pengali Lagrange) sehingga berlaku ∇f(x0,y0) = λ ∇g(x0,y0)

2.18

Contoh 2.11 Pada titik koordinat berapa pada lingkaran x2 + y2 = 1 sebuah fungsi xy mempunyai nilai maksimum? Penyelesaian: Kita mempunyai fungsi f(x,y) = xy akibat konstren g(x,y) = x2 + y2 – 1 = 0 ∇f = yi + xj dan ∇g = 2xi + 2yj Dari persamaan gradien tersebut dapat dikatakan bahwa ∇g ≠ 0 pada sembarang titik di lingkaran x2 + y2 = 1, dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa ada sebuah constrained relative extremum ∇f = λ ∇g atau yi + xj = λ (2xi + 2yj) Persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan y = 2xλ dan x = 2yλ atau dapat ditulis λ =

y x dan λ = . Jika persamaan ini disubstitusikan, akan didapat 2x 2y

y x atau y2 = x2. = 2x 2 y Substitusikan persamaan y2 = x2 pada x2 + y2 = 1 akan didapat 2x2 – 1 = 0 atau

x= 1

2

dan x = − 1

2

. Jika kedua nilai x tersebut kita substitusikan pada

persamaan y2 = x2 , kita akan mendapatkan y = ± 1

2

. Sehingga terdapat empat

koordinat yang kemungkinan terdapat nilai maksimumnya, yaitu:

⎛ 1 1 ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝ 2 2⎠

1 ⎞ ⎛ 1 ,− ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2

⎛ 1 1 ⎞ , ⎜− ⎟ 2 2⎠ ⎝

dan

1 ⎞ ⎛ 1 ,− ⎜− ⎟ 2 2⎠ ⎝

Dari empat koordinat tersebut, yang mempunyai nilai maksimum hanya koordinat

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

28

⎛ 1 1 ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝ 2 2⎠

dan

1 ⎞ ⎛ 1 ,− ⎜− ⎟ 2 2⎠ ⎝

Latihan Soal 2.6 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Gunakan Lagrange multiplier untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi f akibat konstren yang diberikan, dan tentukan koordinat titik maksimum atau minimumnya. 1. f ( x, y ) = xy 4 x 2 + 8 y 2 = 16 2. f ( x, y ) = x 2 − y 3. f ( x, y ) = 4 x 3 + y 2 4. f ( x, y ) = x − 3 y − 1 5. f ( x, y ) = 2 x + y − 2 z

Matematika Teknik 2/Turunan Parsial

x 2 + y 2 = 25 2x 2 + y 2 = 1 x 2 + 3 y 2 = 16 x2 + y2 + z2 = 4

29