MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-

MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari-

Pengertian Turunan Parsial y

T = f(x,y)

x

Rata-rata perubahan suhu pelat ∆T per satuan panjang dalam arah sumbu –y, sejauh ∆y, untuk koordinat x tetap ; f f ( x, y  y )  f ( x, y )  y y

Rata-rata perubahan suhu pelat ∆T per satuan panjang dalam arah sumbu –x, sejauh ∆x, untuk koordinat y tetap ; f f ( x  x, y )  f ( x, y )  x x

Pengertian Turunan Parsial Lazimnya perhitungan perubahan suhu per satuan panjang dilakukan di setiap titik (x,y), ∆x →0 dan ∆y → 0 , jika limitnya ada, maka f f ( x  x, y )  f ( x, y ) (1a)  lim x ∆x →0 x

f f ( x, y  y )  f ( x, y )  lim y ∆y → 0 y f f dan y x

(1b)

Menyatakan perubahan suhu per satuan panjang di setiap titik dalam arah x , dan y

Pengertian Turunan Parsial f x

f y

adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y

Lambang lain f = fx (x,y) x

f = fy (x,y) y

Pengertian Turunan Parsial Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan fungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut, disebut turunan parsial kedua.   f   2 f    2  f xx x  x  x

  f   2 f    2  f yy y  y  y

  f   2 f     f yx x  y  xy

Contoh 1 • Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka .., f  2 xy  x cos( xy) y

2 f   f   2 2   y  y cos( xy )  y sin xy   2 x  x  x x

f  y 2  y cos( xy) x

  f      2 xy  x cos( xy)   2 y  cos xy  xy sin( xy) x  y  x





  f   2 y  y cos( xy)  2 y  cos xy  xy sin( xy)   y  x  y





2 f   f   2     ( 2 xy  x cos( xy ))  2 x  x sin xy 2   y  y  y y   f    f       x  y  y  x 

Contoh 2 Tinjau pers. Gas ideal PV = nRT, dengan P,V, dan T berturut-turut adalah tekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan R suatu tetapan fisika, yaitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akan menganggap n tetap. Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh: nRT P nR P dan  V T V

P nRT  2 V V

Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh:

V 

nRT P

Sehingga

V nR  T P

V nRT  P P2

P T V  nR  P  nRT  nRT     1     T V P  V  nR  P2  PV

Diferensial Total Yang lalu : perubahan fungsi f(x,y) terhadap pertambahan salah satu variabelnya, x atau y. Permasalahan : bagaimanakah perubahan fungsi f(x,y) bila x dan y keduanya bertambah secara bebas ??

Misalkan fungsi f(x,y) mempunyai turunan parsial di (x,y). Pertambahan fungsi f(x,y) jika x bertambah menjadi x + ∆x, dan y menjadi y + ∆y, adalah ∆f = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x,y)

Jika ditambahkan dan dikurangkan f(x, y + ∆y) di ruas kanan, diperoleh : ∆f = [ f(x + ∆x, y+ ∆y) – f(x, y+ ∆y)] + [f(x, y+ ∆y) – f(x,y)]

Pertambahan x dalam fungsi f(x, y+ ∆y) dengan mempertahankan y+ ∆y tetap

(*)

Diferensial Total Teorema nilai rata-rata kalkulus Jika f(x) memiliki turunan f’(x) pada setiap titik dalam selang [x - ∆x, x+ ∆x], maka [f(x+ ∆x)-f(x)]= f’(ξ) ∆x Dengan ξ = x +  ∆x ( 0 <  < 1 ) sebuah titik dalam selang [x - ∆x, x+ ∆x].

Dengan demikian, [ f(x + ∆x, y+ ∆y) – f(x, y+ ∆y)] = fx( x + 1∆x, y + ∆y) ∆x dengan 0 < 1 < 1

Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan [f(x, y+ ∆y) – f(x,y)] = fy(x, y+2∆y) ∆y dengan 0 < 2 < 1

Diferensial Total Jika turunan parsial fx(x,y) dan fy(x,y) kontinu di (x,y), maka fx(x + 1∆x, y + ∆y) = fx(x,y) + ε1 fy(x, y+2∆y)

= fy(x,y) + ε2

dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol.

Pers.(*) teralihkan menjadi : ∆f = fx(x,y)∆x + fy(x,y)∆y + ε1∆x + ε2 ∆y Dengan mengambil limit ∆x 0 dan ∆y0, diperoleh turunan

total fungsi f(x,y) : df  f dx  f dy x

y

Untuk f(x,y,z,... ) , turunan totalnya df 

f f f dx  dy  dz  ... x y z

Contoh 3 Hitunglah diferensial total fungsi pada contoh 1

f(x,y)=xy2 – sin (xy).

Jawab. fx = y2 – y cos (xy)

dan

fy = 2xy - x cos (xy)

Sehingga turunan totalnya :

df = (y2 – y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy

Contoh 4 (1) Percepatan gravitasi g dapat ditentukan dari panjang l dan periode T bandul matematis ; rumusnya adalah g = 4π2l/T2. Tentukanlah kesalahan relatif terbesar dalam perhitungan g jika kesalahan relatif dalam pengukuran l adalah 5 % dan T, 2 %. Solusi : Kesalahan relatif dalam pengukuran l adalah kesalahan sebenarnya dalam pengukuran l dibagi dengan panjang terukur l. Karena kita dapat mengukur l lebih besar atau kecil daripada l sesungguhnya, maka kesalahan relatif terbesar dl/l mungkin -0,05 atau 0,05. Begitupula │dT/T│ terbesar adalah 0,02. Bagaimana dengan │dg/g│ ???

Contoh 4 (2) g = 4π2l/T2 ln g = ln(4π2) + ln l – ln T2 atau

dg dl dT  2 g l T

Menurut ketidaksamaan segitiga : dg dl dT  2 g l T

maka, kesalahan relatif terbesar │dg/g│ adalah │dg/g│= 0,05 + 2 (0,02) = 0,09

Aturan Berantai (1) z = f (x,y ) : persamaan permukaan S dalam ruang. Jika variabel x dan y berubah sepanjang kurva C sebarang, dengan persamaan parameternya :

x = x (s), maka

dan y = y(s)

s sebagai parameter

z = f(x(s), y(s)) = z (s)

Sehingga sepanjang kurva C dx dx  ds, ds dy dy  ds, ds dz dz  ds ds

dz f dx f dy   ds x ds y ds

Aturan Berantai (2) Kasus khusus : z = f(x, y) ; y = f(x) ;

x bebas

dz f f dy   ds x y ds

Secara umum untuk n > 2 variabel, dengan x = x ( u, v, w, . . . ) y = y ( u, v, w, . . . ) z = z ( u, v, w, . . . ) df 

f f f dx  dy  dz  ... x y z

f = f(x, y, z, . . . )

Aturan Berantai (3) Karena masing-masing variabel x, y, z, . . . adalah juga fungsi dari u, v, w, . . . , maka : dx 

x x x du  dv  dw  ... u v w

dy 

y y y du  dv  dw  ... u v w

dz 

z z z du  dv  dw  ... u v w

Sehingga, turunan total fungsi f(x,y,z,...) adalah  f x f y f z   f x f y f z  df      ... du      ... dv  ...  x u y u z u   x v y v z v 

Contoh 5 Jika f = x2 + 2xy – y ln z, dengan x = u + v2, y = u – v2, dan z = 2u, tentukanlah f , dan f u

v

Solusi : f  f x  f y  f z u

x u

y u

z u

=(2x + 2y)(1) + (2x –ln z)(1) + (-y/z)(2) = 4x + 2y – ln z – 2y/z

f f x f y f z    v x v y v z v = (2x + 2y)(2v) + (2x – ln z)(-2v) + (-y/z)(0) = 4vy + 2v ln z

Fungsi Implisit Bentuk eksplisit ,

y = f(x)

Bentuk implisit , φ(x, y) = 0,   d  dx  dy x y

dy/dx = ???

dy ( / x) asalkan  dx ( / y )

 0 x

Secara geometris, fungsi implisit φ(x, y) = 0 menyatakan sebuah kurva pada bidang xy, dan dy/dx menyatakan kemiringan garis singgungnya di titik dimana   0 y

Contoh 6 Tentukanlah kemiringan garis singgung pada kurva x2 + 2y2 – 4xy + 7x =3 di titik (1, -1) Solusi : φ(x, y) = ( x2 + 2y2 – 4xy + 7x -3 ) = 0

Turunan parsial φ(x, y) terhadap x dan y :   ( 2 x  4 y  7) x   (4 y  4 x) y

Kemiringan kurva di titik (1 , -1 ) adalah : dy ( / x) ( 2 x  4 y  7)     13 / 8  dx ( / y ) (4 y  4 x)  (1, 1)

Fungsi Implisit (>2 variabel) Untuk fungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel x, y, z, ..., yaitu φ(x, y, z, . . . ) = 0,    d  dx  dy  dz  ...  0 Jika

x  z

0

y

z

, pemecahan bagi dz :

    dz   dx  dy  ... /(  / z ) y  x  dz ( / x)  dx ( / z )

dz ( / y )  dy ( / z )

Contoh 7 Tentukan dz / dx dan dz / dy dari persamaan x2 + y2 + z2 - 1 =0 Solusi : φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1 =0   2x x

  2y y

  2z z

Dengan demikian :

dz x  dx z

dz y  dy z

Jika z = 0, sepanjang lingkaran x2 + y2 = 1, kedua turunan parsial ini takterdifinisikan.

PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (1) Hukum Pertama Termodinamika “Jika pada sebuah sistem yang berinteraksi secara termal dengan lingkungan melakukan usaha terhadap lingkungan sebesar δW, maka sistem tersebut akan mengalami pertambahan energi dalam dU, dan menerima atau melepas kalor sebanyak δQ, menurut hubungan δQ = dU + δW” δQ dan δW untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usaha bergantung pada jenis proses, sedangkan dU menyatakan diferensial total energi dalam sistem. Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melalui pers. Keadaan F(P, V, T) = 0 Gas ideal : PV = nRT dan umumnya U (T, V), sedangkan δW = P dV

PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (2) Hukum Termodinamika Kedua “Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), kalor δQ = TdS, dengan S adalah entropi “ Hukum pertama termodinamika : T dS = dU + P dV, atau dU = - TdS + P dV Tampak bahwa U = U(S, V)

 U   S  U   V

 U   U  dU   dS   dV  S  V    

  U    U      V  S  S  V 



   T   P 

T P  V S

  U  T     V  S  V   U  P   S  V  S

Relasi Maxwell besaranbesaran termodinamika

PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (3) Dengan cara yang sama, tunjukkan relasi Maxwell berikut: T V  ; P S

S P  ; V T

S V  P T