TEOREMA UJI TURUNAN
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
UJI TURUNAN I-ekstrim relatif Andaikan f kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i) Jika f’(x)0 untuk setiap x pada (a,c) dan Jika f’(x)<0 untuk setiap x pada (c,b) maka f punya nilai maksimum relatif/lokal (ii) Jika f’(x)<0 untuk setiap x pada (a,c) dan Jika f’(x)>0 untuk setiap x pada (c,b) maka f punya nilai minimum relatif/lokal
GRAFIK y f ' c 0 f ' x 0
0
f ' x 0
a
c
b
y
x
f ' x 0 f ' x 0
(i )
f ' c 0
0
a
c (ii )
b
x
B U K T I (i)
Karena f’(x)>0, x(a,c) T4 x1[a,c] & x1≠c f(x1)
Karena f’(x)<0, x(a,c) T4
B U K T I (ii)
x1[a,c] & x1≠c f(x1)>f(c)…(a) Karena f’(x)>0, x(c,b) T4 x2[c,b] & x2≠c f(x2)>f(c)…(b) dari (i), (ii) & ekstrim relatif, diperoleh f(c) f(x) x(a,b) & x≠c sehingga f punya minimum relatif di c■
Contoh 1 Tentukan dari fungsi berikut dimana ekstrim relatif f, dimana f turun, naik! x 2 4 jika x 3 f ( x) 8 x jika 3 x
Jawab Titik kritis adalah titik singular dan titik stasioner
x 3 f ' ( x) 2 x dan x 3 f ' ( x) 1 untuk x 3 f ' (3) 6 f ' (3) tidak ada 3 titik singular f ' (3) 1 untuk x 0 f ' (0) 0 0 titik stasioner x x<0 x=0 0<x<3 x=3 x>3
f (x)
-4
5
f ' ( x)
Keterangan
0 + tidak ada -1
turun minimum relatif naik maksimum relatif turun
Kesimpulan f naik pada (0,3) f turun pada (-,0) dan (3, ) -4 minimum lokal f pada x=0 5 maksimum lokal f pada x=3
UJI TURUNAN II-ekstrim relatif
Misalkan c bilangan kritis fungsi f dimana f’(c)=0 & f ada untuk semua nilai x pada interval terbuka yang memuat c. Jika f”(c) ada dan : (i) Jika f”(c)<0 f punya nilai maksimum relatif di c. (ii) Jika f”(c)>0 f punya nilai minimum relatif di c.
B U K T I (i)
Diketahui f”(c) ada dan f”(c)<0 sehingga menurut definisi turunan
f ' ( x) f ' (c) f " (c) lim 0 x c xc terdapat selang terbuka I yang memuat c sehingga untuk setiap x≠c dalam I,
f ' ( x ) f ' ( c) 0 xc
a. xI1 selang terbuka, x
0f’(x)>f’(c)f’(x)>0 b. xI2 selang terbuka, x>c (ujung kiri I2), x-c>0 diketahui f’(c)=0 sehingga f’(x)-f’(c)<0f’(x)
B U K T I (ii)
Diketahui f”(c) ada dan f”(c)>0 sehingga menurut definisi turunan
f ' ( x) f ' (c) f " (c) lim 0 x c xc terdapat selang terbuka I yang memuat c sehingga untuk setiap x≠c dalam I,
f ' ( x ) f ' ( c) 0 xc
a. xI1 selang terbuka,xc (ujung kiri I2), x-c>0 diketahui f’(c)=0 sehingga f’(x)-f’(c)>0f’(x)>f’(c)f’(x)>0 Dari (a) dan (b) f’(x) berganti tanda (- +) bila x turun melalui c, akibatnya berdasar Teorema Uji Turunan I, f mempunyai minimum relatif di c.
Contoh 2 Diberikan fungsi f(x)=(1/3)x3-x2-3x+4. Gunakan uji turunan kedua untuk mencari ekstrim relatif! Jawab f(x)=(1/3)x3-x2-3x+4 f’(x)=x2-2x-3 titik stasioner) f’(x)=0 x2 -2x-3=0 (x – 3)(x +1) = 0 x = 3 dan x = -1 f”(x)=2x-2 f”(-1)=-4 dan f”(3)=4
x x = -1
f (x)
x=3
-5
17
3
f ' ( x)
0 0
f ' ' ( x)
-4 4
Keterangan Maksimal relatif Minimal relatif
Tetapi Uji Turunan II, terkadang gagal karena pada saat f’(x)=0 mungkin f”(x)=0, sehingga tak dapat ditarik kesimpulan tentang ekstrim relatif tanpa informasi tambahan.
Contoh 3 Diberikan fungsi f(x)=x2/3–2x1/3. Tentukan ekstrim relatif f dengan uji turunan kedua jika memungkinkan. Jawab f(x)=x2/3–2x1/3 f’(x)=⅔ x-1/3-⅔ x-2/3 f”(x)=-(2/9) x-4/3+(4/9) x-5/3
Dengan menggunakan Uji Turunan I, 2 2 f ' ( x) 0 1 2 0 3x 3 3x 3 1 2 x 3 2 0 x 1 titik stasioner 2 2 f ' ( x) 0 1 2 f ' (0) tidak ada 0 titik singular 3x 3 3x 3
Dengan menggunakan Uji Turunan II, 2 4 f ' ' ( x) 0 4 5 0 9x 3 9x 3 1 1 3 - 2x 4 0 x 3 2 x 8
Tidak dapat digunakan uji turunan kedua di 0 karena f’(0) tak ada f”(0) tidak ada. Mungkin titik (0,0) merupakan titik belok (informasi tambahan). Pada titik belok diperlukan f”(x) berganti tanda, grafiknya mempunyai garis singgung. Di titik (0,0), garis singgung vertikal.
2x 3 2 lim f ' ( x) lim 2 x 0 x 0 3x 3 1
x
f (x)
x<0 x=0
-1
1<x<8 x=8 x>8
Keterangan
-
-
Turun, cekung kebawah
0
0<x<1
x=1
f ' ( x)
f ' ' ( x)
0
bukan ekstrim, titik belok -
+
Turun, cekung keatas
0
+
Min relatif, cekung keatas
+
+
Naik, cekung keatas
1
0
Naik, titik belok
-
Naik, cekung kebawah
6
+
EKSISTENSI-TEOREMA NILAI EKSTRIM kontinu - selang tertutup Dapat diterapkan
(TNE)
EKSTRIM MUTLAK Interval-interval Mungkin
Tidak Mungkin
EKSTRIM MUTLAK
TEOREMA NILAI EKSTRIM Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat bilangan c. Bila f(c) ekstrim relatif f pada I dan c satu-satunya bilangan di mana f mempunyai ekstrim relatif, maka f(c) ekstrim mutlak f pada I.
Bila f(c) maksimum relatif f pada I f(c) nilai maksimum mutlak f pada I (ii). Bila f(c) minimum relatif f pada I f(c) nilai minimum mutlak f pada I (i).
bukti (i) Karena f(c) maks. relatif pd I, tdp selang terbuka J, dng J I & J memuat c, shg f(c)≥ f(x) untuk semua x di J Karena c satu-satunya bilangan di I di mana f punya maks. relatif, maka f(c)>f(k) jika kJ, kc Untuk menunjukkan bahwa f(c) maks. mutlak pada I, diperlihatkan bahwa f(c)>f(d) untuk setiap dI, dc Andaikan bahwa f(c)f(d), karena dc maka cd.
kasus cf(d) untuk dI dng dc berakibat f(c) maksimum mutlak f pada I.
kasus c>d Karena f kontinu pd I f kontinu pd [d,c]. Jadi menurut TNE, f punya maks. mutlak pada [d,c]. Misalkan maks. mutlak ini di p di mana dpc. Diperoleh pd & pc df(d) untuk dI dng dc berakibat f(c) maksimum mutlak f pada I.
bukti (ii) Karena f(c) min. relatif pd I, tdp selang terbuka J, dng J I & J memuat c, shg f(c) f(x) untuk semua x di J Karena c satu-satunya bilangan di I di mana f punya min. relatif, maka f(c)d.
kasus c
kasus c>d Karena f kontinu pd I f kontinu pd [d,c]. Jadi menurut TNE, f punya min. mutlak pada [d,c]. Misalkan min. mutlak ini di p di mana dpc. Diperoleh pd & pc d
Contoh 4 Cari maksimum dan minimum (-,) dari fungsi f(x)=x(x3-4)
pada
f ( x) x( x 3 4) x 4 4 x f ' ( x) 4 x 3 4 f ' ( x) 0 titik kritis 4x 4 0 3
4( x 1)( x x 1) 0 x 1 2
f " ( x) 12 x f " ( x) 0 titik belok 2
12 x 0 x 0 2
x
f (x)
x<0
x=0
0
0<x<1 x=1
x>1
-3
f’ (x)
f’’ (x)
Keterangan
-
+
Turun, cekung ke atas
-4
0
Bukan titik belok
-
+
Turun, cekung ke atas
0
12
Minimum relatif
+
+
Naik, cekung ke atas
Menurut TNE, karena f(x)=-3 min. relatif, maka f(x)=-3 min. mutlak untuk f(x)=x(x3-4) yang dicapai di x=1.
Contoh 5 Cari maksimum dan minimum [0,) dari fungsi x f ( x)
pada
x2 1
x 1 x2 f ( x) 2 f ' ( x) 2 2 x 1 ( x 1) titik ujungnya x 0 1 x2 f ' ( x) 0 titik stasioner 2 0 x 1 2 ( x 1) titik kritisnya x 0 dan x 1
2 x( x 2 3) f " ( x) f " ( x) 0 titik belok 2 4 ( x 1) 2 x( x 3) 0 x 0 dan x 3 dan x - 3 2 4 ( x 1) 2
pada [0, ) titik beloknya di x 0 dan x 3. x
f (x)
f’ (x)
f’’ (x)
Keterangan
x= 0
0
1
0
Minimum Relatif
+
-
Naik, cekung ke bawah
-3/2
-1/2
Maksimum Relatif
-
-
Turun, cekung ke bawah
-23/4
0
Titik Belok
-
+
Turun, cekung ke atas
0<x<1 x=1
1/2
1 < x < √3 x = √3
x > √3
√3/4
Menurut TNE, karena f(x)=0 min. relatif maka f(x)=0 merupakan minimum mutlak untuk f(x)=x/(x2+1) yang dicapai di x=0. Sedangkan f(x) = 1/2 adalah maks. relatif maka f(x)=0 maksimum mutlak untuk f(x)=x/(x2 +1) yang dicapai di x=1.
