INTEGRAL TAK TENTU (pecahan rasional)
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
DEFINISI 1
Fungsi suku banyak derajad n dengan n bulat non negatif
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x , 2
n
dimana an 0 Fungsi konstan dipandang sbg fungsi suku banyak derajad nol yaitu
P0 ( x ) a0
DEFINISI 2 Fungsi pecahan rasional adalah fungsi dengan bentuk N ( x) D( x)
dengan N dan D fungsi suku banyak. Dalam bagian ini akan dibahas mencari integral tak tentu dari fungsi pecahan rasional yaitu N ( x)
D ( x)
BENTUK N(x) DAN D(x) 1. N(x)=D’(x) 2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x) 3. Derajad N(x) kurang dari derajad D(x)
1. N(x)=D’(x)
Dari rumus integrasi dasar telah diketahui bahwa dx x ln x C Sehingga jika N(x) = D’(x) maka N ( x) D' ( x) D( x) dx D( x) dx ln D( x) C
Contoh 1 Cari sec x dx (tan x sec x) sec x sec x dx tan x sec x dx dari rumus integrasi dasar 2 sec xdx tan x C & sec x tan x dx sec x C
tan x sec x sec x sec x dx tan x sec x dx ln sec x tan x C 2
2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x)
Jika derajad N(x)≥derajad D(x), lebih dahulu dilakukan pembagian N(x) oleh D(x), sehingga N ( x) R( x) Q( x) D( x) D( x)
dengan Q(x) & R(x) suku banyak dalam x, dan derajad R(x)<derajad D(x).
Integrasi Q(x) sudah dapat dikerjakan. Integrasi
R ( x) D( x)
merupakan
integral fungsi pecahan rasional
dengan
derajat
suku
banyak
pembilang kurang dari derajat suku banyak penyebut.
C O N T O H Contoh 2 Cari 3
x
x
3
2
1
dx
x x x 2 2 x 1 x 1 x3 x x x 2 1 dx x x 2 1 dx x dx x 2 1 dx 1 1 2x x 2 dx 2 2 x 1 1 1 x ln x 2 1 C 2 2
3. Derajad N(x) kurang dari derajad D(x)
Tanpa mengurangi keumumannya, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x di dalam D(x) adalah satu, kecuali dlm keadaan khusus integral dapat disederhanakan dengan menggunakan subtitusi. Pada bentuk derajat N(x) kurang dari derajat D(x) maka integrand dipisah lebih dahulu menjadi pecahan-pecahan parsialnya.
Contoh 3 6x 6 Cari 3 dx 2 x 4x x 6 2
6x2 6 6x2 6 3 2 x 4 x x 6 ( x 1)(x 2)( x 3) 1 10 15 ( x 1) ( x 2) ( x 3) sehingga 6x2 6 dx dx dx x3 4 x 2 x 6 dx ( x 1) 10 ( x 2) 15 ( x 3) ln x 1 10 ln x 2 15 ln x 3 C
Dalam memisahkan pecahan
N ( x) D( x)
parsialnya,
atas pecahandibedakan
4
keadaan akar-akar persamaan D(x)=0 : a. Semua akar real dan berlainan b. Semua akar real dan ada yang sama c. Punya akar tidak real yang berlainan d. Punya akar tidak real yang sama
a. Semua akar real dan berlainan Misalkan D(x)=0 punya akar a,b,c,d yang real dan berlainan, maka D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) Karena koefisien pangkat tertingginya satu dan derajat N(x) tidak melebihi tiga maka N ( x) A B C D D( x) x a x b x c x d
untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan, sedang A,B,C dan D konstanta yang akan dicari.
Contoh 4
Cari integral berikut x5 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 3)dx x5 A B C D ( x 1)(x 1)(x 2)(x 3) ( x 1) ( x 1) ( x 2) ( x 3) x 5 A( x 1)(x 2)(x 3) B( x 1)(x 2)(x 3) C( x 1)(x 1)(x 3) D( x 1)(x 1)(x 2)
x 5 [A B C D]x [6A 4B 3C 2D]x [11A B - C - D]x [6A - 6BB - 3C - 2D] 3
Ada empat persamaan :
(1) A B C D 0 (2) 6A 4B 3C 2D 0 (3)11A B - C - D 1 (4) 6A - 6BB - 3C - 2D 5 Diperoleh
1 1 A , B 1, C 1, D , 4 4
2
x5 1 1 1 1 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 3) 4( x 1) x 1 x 2 4( x 3)
x5 ( x 1)(x 1)(x 2)(x 3) dx 1 1 1 1 1 1 dx dx dx dx 4 x 1 x 1 x2 4 x3 1 1 ln x 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 C 4 4
Dalam keadaan ini hanya dijumpai satu macam integral yaitu
dx ln x a C xa
b. Semua akar real dan ada yang sama Misalkan D(x)=0 punya akar tunggal x1=a dan x2=b, akar kembar x3=x4=c dan akar berlipat tiga x5=x6=x7=d, maka D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)2(x-d)3 dan derajat N(x) tidak melebihi enam N ( x) A B C D E F G 2 2 D ( x ) x a x b x c ( x c) x d ( x d) ( x d)3
dimana A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang dicari.
Jika p akar berlipat k dari D(x)=0 maka di ruas kanan dalam identitas ditulis k pecahan berturut-turut dengan penyebut (x-p),(x-p)2,(x-p)3,…,(x-p)k. Jadi pecahan yg sesuai dengan akar p yang berlipat k ini adalah
p3 pk p1 p2 2 3 k x p ( x p) ( x p) ( x p)
Contoh 5
Cari integral berikut x ( x 2)( x 1) 2 ( x 1)3
x A B C 2 3 2 ( x 2)(x 1) ( x 1) x 2 x 1 ( x 1) D E F 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1)
x A( x 1) ( x 1) B( x 2)(x 1)(x 1) 2
3
3
C( x 2)(x 1) D( x 2)(x 1) ( x 1) 3
2
2
E( x 2)(x 1) 2 ( x 1) F( x 2)(x 1) 2
Dari enam persamaan tersebut diperoleh 2 1 1 5 1 1 A ,B ,C ,D ,E ,F 27 16 8 432 36 12 x 2 1 1 2 3 2 ( x 2)(x 1) ( x 1) 27( x 2) 16( x 1) 8( x 1) 5 1 1 2 432( x 1) 36( x 1) 12( x 1)3
x ( x 2)(x 1) 2 ( x 1)3 2 1 1 1 1 1 dx dx dx 2 27 ( x 2) 16 ( x 1) 8 ( x 1) 5 1 1 1 1 1 dx dx dx 2 3 432 ( x 1) 36 ( x 1) 12 ( x 1) 2 1 1 ln x 2 ln x 1 27 16 8( x 1) 5 1 1 ln x 1 C 432 36( x 1) 12( x 1)
Dalam keadaan ini dijumpai dua macam integral yaitu dx 1. ln x a C xa dx 1 2. C, (n 2,3,...) n n -1 ( x a) (n 1)(x a)
c. Punya akar tidak real yang berlainan T E O R E M A
Akar-akar tidak real pada persamaan derajad tinggi dengan koefisien real sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a+bi (a, b real) suatu akar maka a-bi juga akar persamaan itu.
Dari teorema tersebut diketahui bahwa a+bi dan a-bi akar dari D(x)=0, sehingga [x-(a+bi)][x-(a-bi)] faktor dari D(x). Hasil kali ini sama dengan (x-a)2+b2, yang merupakan bentuk kuadrat dalam x yang definit positip.
Misalkan D( x) ( x p)( x q){( x a ) 2 b 2 }{( x c) 2 d 2 }
Jadi x1 = p, x2 = x3 = q, x4 = a+bi, x5 = a-bi, x6 = c+di, x7 = c-di akar-akar persamaan tersebut.
Karena derajat N(x) kurang dari derajad D(x) maka pemisahan
N ( x) D( x)
atas pecahan-pecahan parsial adalah N ( x) A B C Dx E Fx G 2 2 2 D( x) x p x q ( x q) ( x a ) b ( x c) 2 d 2
Dimana konstanta A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang dicari.
Contoh 6
x cari 3 dx x 1
x x A Bx C 2 3 2 x 1 ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1 x A( x x 1) (Bx C)( x 1) 2
(A B) x 2 (A B C) x (A C) 1 1 1 A ,B ,C 3 3 3 x 1 1 x 1 3 2 x 1 3( x 1) 3 x x 1
x 1 1 1 x 1 x3 1 dx 3 ( x 1) dx 3 x 2 x 1 dx 1 1 1 2x 1- 3 ln x 1 2 dx 3 3 2 x x 1 1 1 1 2x 1 3 dx ln x 1 2 dx 2 3 3 2 x x 1 2 x x 1 1 1 1 3 dx 2 ln x 1 ln x x 1 3 1 2 3 3 2 2 (x 2 ) 4 1 x 1 1 1 1 2 ln x 1 ln x 2 x 1 arctan 3 3 3 6 2 4 4
x 1 1 3 2x 1 2 x3 1 dx 3 ln x 1 6 ln x x 1 3 arctan 3 C
Dalam keadaan ini dijumpai dua macam integral yaitu dx 1. ln x a C xa Ax B A 2 2 2. dx ln ( x a ) b 2 2 ( x a) b 2 aA B xa arctan C b b
d. Punya akar tidak real yang sama
Analogi dengan bentuk c, jika a+bi
merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x)=0, maka a-bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai
dengan akar-akar ini adalah [(x-a)2+b2]]k
Misalkan D( x) ( x p)( x q) 2 {( x a ) 2 b 2 }{( x c) 2 d 2 }3
akar-akar persamaan tersebut : 1. x1 = p, x2 = x3 = q, 2. Akar tunggal kompleks a+bi & a-bi 3. Akar kompleks berlipat tiga c+di, dan c-di
Karena derajat N(x) kurang dari N ( x) D( x)
derajad D(x) maka pemisahan
atas pecahan-pecahan parsial adalah N ( x) A B C Dx E Fx G Hx I D( x) x p x q ( x q)2 ( x a ) 2 b 2 ( x c) 2 d 2 ( x c) 2 d 2
Jx K
( x c) 2
2
d2
dimana konstanta A,B,C,D,E,F,G,H, I,J dan K konstanta yang dicari.
3
tiga suku terakhir yang sesuai dengan faktor 2 2 3 [( x c) d ] Jika D(x) mempunyai faktor [( x c) d ] maka pecahan yang sesuai dengan faktor ini terdiri atas k suku pecahan berturutturut dengan penyebut [( x c) 2 d 2 ] dari pangkat satu sd k dan pembilang suatu bentuk linear dalam x. 2
A1 x B1 A 2 x B2 2 2 ( x c) d ( x c) 2 d 2
2
A k x Bk
( x c)
2
d
2 k
2 k
Contoh 7 3x 2 x 5 1 cari dx 2 2 ( x 2)(x 1) 3
2
3x 3 2 x 2 5 x 1 A Bx C Dx E 2 2 2 2 ( x 2)(x 1) x 2 x 1 ( x 1) 2 3x 3 2 x 2 5 x 1 A( x 2 1) 2 (Bx C)( x 2)(x 2 1) (Dx E)( x 2) (A B) x 4 (C 2B) x 3 (2A B 2C D) x 2 (C - 2B - 2D E) x (A - 2C - 2E) diperoleh A 1, B 1, C 1, D 1, E 0
3x 3 2 x 2 5 1 ( x 2)(x 2 1) 2 dx 1 x 1 x dx 2 dx 2 dx 2 x2 x 1 ( x 1) 1 2x 2 1 ln x 2 2 dx C 2 2 x 1 2( x 1) 1 2x dx 1 ln x 2 2 dx 2 C 2 2 x 1 x 1 2( x 1) 1 1 2 ln x 2 ln x 1 arctan x C 2 2 2( x 1)
Dalam keadaan ini dijumpai tiga macam integral yaitu dx 1. ln x a C xa Ax B A 2 2 2. dx ln ( x a ) b 2 2 ( x a) b 2 aA B xa arctan C b b Ax B 3. dx untuk n 2,3,... n 2 2 ( x a) b
Pada penyelesaian bentuk
N ( x) D ( x)
terdapat t
empat macam integral : dx x a ln x a C dx 1 ( x a ) n (n 1)(x a)n-1 C, (n 2,3,...) Ax B A aA B xa 2 2 ( x a ) 2 b 2 dx 2 ln ( x a ) b b arctan b C Ax B ( x a ) 2 b 2 n dx untuk n 2,3,...
integral keempat dng subtitusi y = x-a. Ax B
( x a)
2
b
2 n
dx
Ay aA B
y
2
b
2 n
A d ( y 2 b2 ) aA B dy dy n n 2 2 2 2 2 y b y b
integral kedua dari ruas terakhir diubah menjadi aA B
y
2
b
Dengan
2 n
aA B dy dy b 2n 1 ( by ) 2
n
aA B dt 2n -1 b 1 t 2
n
y t b
integral keempat dapat diselesaikan jika dapat dt menyelesaikan n
1 t 2
RUMUS REDUKSI dt 1 t 2 t 2 dt t2 (1 t 2 ) n (1 t 2 ) n dt (1 t 2 ) n1 (1 t 2 ) n dt 1 (n 1) 2 n -1 d 1 t d 2t dt 2 n 1 2 n (1 t ) (1 t ) - t dt 1 1 d 2 n 2 n 1 (1 t ) 2n 2 (1 t )
dt dt 1 1 (1 t 2 ) n (1 t 2 ) n1 2n 2 td (1 t 2 ) n1 dt 1 t 1 1 d 2 n 1 2 n 1 2 n 1 (1 t ) 2n 2 (1 t ) 2n 2 (1 t )
Diperoleh rumus reduksi yaitu dt t 2n 3 dt (1 t 2 ) n (2n 2)(1 t 2 ) n1 2n 2 (1 t 2 ) n1
untuk n = 2, 3,… dt t 1 dt t 1 (1 t 2 )2 2(1 t 2 ) 2 1 t 2 2(1 t 2 ) 2 arctant C dt t 3 dt (1 t 2 )3 4(1 t 2 )2 4 (1 t 2 )2
Ruas kanan dari integral terakhir diperoleh dari rumus reduksi sebelumnya.
Contoh 7 x 4 4 x3 11x 2 12x 8 Hitung dx 2 2 ( x 1)(x 2 x 3) x 4 4 x 3 11x 2 12 x 8 A Bx C Dx E 2 2 2 2 ( x 1)(x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 ( x 2 x 3) 2 x 2 2 x 3 ( x 1) 2 2 definit positip x 4 4 x 3 11x 2 12 x 8 A( x 2 2 x 3) 2 (Bx C)( x 1)(x 2 2 x 3) (Dx E)( x 1) (A B) x 4 (4A 3B C) x 3 (10A 5B 3C D) x 2 (12A 3B 5C D E) x 9A 3C E A 1, B 0, C 0, D 1, E -1
x 4 x 11x 12 x 8 dx x 1 ( x 1)(x 2 2 x 3) 2 dx x 1 ( x 2 2 x 3) 2 dx 1 2x 2 4 ln x 1 2 dx 2 2 ( x 2 x 3) 1 2x 2 dx ln x 1 2 dx 2 2 2 2 ( x 2 x 3) ( x 2 x 3) 2 1 dx ln x 1 2 2 2( x 2 x 3) {2 ( x 1) 2 }2 1 1 dx ln x 1 2 2( x 2 x 3) 2 {1 ( x 21 ) 2 }2 4
3
2
1 1 dx ln x 1 2 x 1 2 2 2( x 2 x 3) 2 {1 ( 2 ) }
1 1 dx x 1 ln x 1 , misal t 2 x 1 2 2 2( x 2 x 3) 2 {1 ( 2 ) } 2 1 2 dt ln x 1 2 2( x 2 x 3) 2 (1 t 2 ) 2 1 2 t 1 dt ln x 1 2 2 2( x 2 x 3) 2 2(1 t ) 2 (1 t 2 ) 1 2t 2 ln x 1 arctant C 2 2 2( x 2 x 3) 4(1 t ) 4 2
1 ln x 1 2 2( x 2 x 3) 4(1 (
x 1 2 x 1 2 2
2 x 1 arctan C ) ) 4 2
x2 2 x 1 ln x 1 arctan C 2 2( x 2 x 3) 4 2
