INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi – parsial)
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
DEFINISI 1
Untuk fungsi f yang terdefinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan fungsi F yg memenuhi F ' ( x) f ( x) pada I. Fungsi F ini dinamakan anti turunan dari fungsi f pada selang I.
Fungsi f(x)=sin 2x, x R mempunyai beberapa anti turunan. Disini terdapat tiga fungsi F yg memenuhi F ' ( x) f ( x) pada R yaitu F1 ( x) 12 cos 2 x,
F2 ( x) sin 2 x,
F3 ( x) cos 2 x
karena F1 ' ( x) 12 ( sin 2 x)2 sin 2 x f ( x) F2 ' ( x) 2 sin x cos x sin 2 x f ( x) F3 ' ( x) 2(cos x)( sin x) sin 2 x f ( x)
Maka F1, F2, dan F3 semuanya anti turunan dari fungsi f pada R. Hubungan antara ketiga anti turunan dari fungsi f tersebut :
cos 2 x sin x cos x 12 1 2
2
1 2
2
Hal diatas menyatakan bahwa anti turunan tidak tunggal, yang berbeda pada konstanta real.
TEOREMA 1 Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I. Jika f ' ( x) 0 pada I, maka f(x)=c. Bukti : Tetapkan x1 I fungsi f yang diferensiabel pada I memenuhi Teorema Nilai Rata Rata (TNR) pada selang tertutup yang ujungnya x dan x1 dengan x I
Akibatnya terdapat p antara x dan x1 sedemikian sehingga f ( x) f ( x1 ) f ' ( p) x x1
Karena f ' ( x) 0 pada I, maka f ' ( p) 0 Shg pada selang I berlaku f ( x) f ( x1 ) Ambil c=f(x1) maka f(x)=c, c konstanta
AKIBAT Jika f ' ( x) g ' ( x) pada selang I maka f(x) = g(x)+c, c konstanta real Bukti :
Karena f ' ( x) g ' ( x) pada I maka ( f g )' ( x) 0 pada I. Berdasarkan Teorema 1 ( f g )' ( x) c sehingga f(x) = g(x)+c, c konstanta real
DEFINISI 2 Karena anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, maka terdapat bentuk umum anti turunan dari suatu fungsi pada selang I yang dinamakan anti diferensial Anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah fungsi y=F(x)+c dengan FF' '((xx)) ff((xx)) pada I
Integral Tak Tentu D E F I N I S I
Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f pada selang I dinamakan integral tak tentu dari fungsi f pada selang I dan ditulis dengan lambang
f ( x)dx F ( x) c
dengan F anti turunan f pada I integral tak tentu dari f f ( x ) dx
NOTASI
Notasi yang dipakai adalah notasi Leibniz ....dx turunan terhadap x Dx f ( x)dx f ( x) Dx integral tak tentu anti turunan anti turunan → mengintegralkan
f ( x ) dx tanda integrasi
Integran
Mengintegralkan integran → Integral tak tentu
Rumus Integrasi Dasar (1) n 1
x x dx n 1 C, (n 1) ln x C ( x 0) dx x ln( x) C ( x 0) ln x C ( x 0) n
e dx e x
x
C x
a a dx C ln a x
(a 0, a 1)
Rumus Integrasi Dasar (2)
sin x dx - cos x C cos x dx sin x C sec x dx tan x C csc x dx cot x C sec x tan x dx sec x C csc x cot x dx csc x C 2
2
Rumus Integrasi Dasar (3) arctan x C -arc cot x C dx arcsin x C 2 1 x - arccosx C
dx 1 x2
dx arc sec x C x x 2 1 -arc csc x C
TEOREMA 2 1. Faktor konstan dapat diletakkan diluar tanda integral, yaitu jika k konstanta maka kf ( x)dx k f ( x)dx
2. Integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral masing masing fungsi.
( f ( x ) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
Contoh 1 Cari anti turunan F(x)+C untuk yang berikut 1. 4dx
2. (2 x 4)dx
3. x dx
4. (6 x 6 x 1)dx
2
2
3
5. x4 5
3 x4
dx
6. x 2 (20 x 7 7 x 4 6)dx
6 5 1 6 4 x 3 x 8 7. 3 7 dx 8. dx 5 x x x 3 2 2 x 3x 1 8 4 2 9. dx 10. ( 18 x 25 x 3 x )dx 2 x
1. 4dx 4 x C 2. ( 2 x 4) dx 2 xdx 4dx x 2 4 x C 3. x dx 2
3
2 3
23 1 3 53 3 3 x C x C 3 3 5
4. (6 x 2 6 x 1) dx 6 x 2 dx 6 xdx dx 2 x 3 3x 2 x C 3 4 5. 5 4 dx 4 x 5 dx 3 x 4 dx x x x 4 x 3 C 1 1 - 4 3 C x x
6. x 2 ( 20 x 7 7 x 4 6) dx ( 20 x 9 7 x 6 6 x 2 ) dx 2 x10 x 7 2 x 3 C 6 1 2 1 3 7 7. 3 7 dx ( x 6 x ) dx x x 6 C x 2 x 1 1 6 C 2 2x x 4 x 6 3x 5 8 5 8. dx ( 4 x 3 8 x ) dx 5 x 2 x 2 3x 2 x 4 C 2 2 2 x 3x 4 C x
2 x 3x 1 2 dx ( 2 x 3 x ) dx 9. 2 x x 2 3 x x 1 C 1 2 x 3x C x 3
2
10. (18 x 8 25 x 4 3 x 2 )dx 2 x 9 5 x 5 x 3 C
INTEGRASI SUBTITUSI Untuk mencari f ( x)dx yang tdk dpt langsung diperoleh dari sifat-sifat anti derivatif dan rumus integrasi dasar yang telah ada.
mengubah variabel yang terdapat dibawah tanda integral dengan suatu subtitute, sehingga diperoleh integral dalam variabel baru yang diharapkan lebih mudah daripada integral yang diberikan.
TEOREMA 3 Jika x g (t ) yang didefinisikan pada suatu interval, mempunyai invers t g 1 ( x) dan fungsi-fungsi g dan g-1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval dimana g-1 didefinisikan, maka
f ( x)dx f ( g (t ))g ' (t )dt
BUKTI :
Teorema akan terbukti apabila dpt diperlihatkan samanya derivatif terhadap x dari fungsi ruas kiri dan fungsi ruas kanan dalam kesamaan diatas. Jadi harus diperlihatkan bahwa d d f ( x)dx f ( g (t ))g ' (t )dt dx dx
Menurut definisi
d f ( x)dx f ( x) dx
Sedangkan menurut teori hitung diferensial d d dt f ( g (t )) g ' (t )dt f ( g (t )) g ' (t )dt dx dt dx dt f ( g (t )) g ' (t ) dx 1 f ( g (t )) g ' (t ) dx dt
1 f ( g (t )) g ' (t ) g ' (t ) f ( g (t )) f ( x)
Contoh 2
Carilah cos x dx 1 2
Misal t 12 x dx 2dt 1 cos x dx cos t 2 dt 2 cos t dt 2
2 sin t C 2 sin
1 2
xC
Contoh 3 Hitung (2 x 5) dx 9
Subtitusi y 2 x 5 dy 2dx 1 9 9 9 dy Jadi (2 x 5) dx y y dy 2 2 1 10 y C 20 1 10 (2 x 5) C 20
Contoh 4
Hitung ( x 1) dx 2
3
Subtitusi u x 1 du dx Jadi 3 ( x 1) dx u dx u du 2
3
2
2 3
1 23 33 1 53 2 3 u C 5 u C 3 3 3 3 53 u C 5
Contoh 5
Hitung (2 x 3) cos(x 3x) dx 2
Subtitusi u x 2 3x du (2 x 3)dx Jadi (2 x 3) cos(x 3x) dx 2
cos(x 2 3x)(2 x 3)dx cosudu sin u C sin ( x 3x) C 2
ARCUS TANGENS Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus dx 1 x 2 arctan x C
Dengan subtitusi x = ay maka dx a dy 1 1 x a 2 x 2 a 2 (1 y 2 ) a arctan y C a arctan a C
Diperoleh
dx 1 x arctan C a2 x2 a a
Jika
f ( x) x 2 2bx c
dimana diskriminan D b 2 4c 0 maka f(x) definit positip dan 2 2 f ( x ) ( x b ) p selalu dapat dibawa ke bentuk Dengan p 2 c b 2 0 jadi dx dx dy x 2 2bx c ( x b) 2 p 2 y 2 p 2
Dengan y=x+b, diperoleh
dx 1 xb arctan C 2 x 2bx c p p
LOGARITMA Dalam daftar rumus dasar dipunyai rumus dx x ln x C
Dengan subtitusi y= g(x) jadi dy = g’(x)dx g ' ( x) dy g ( x) dx y ln y C
Diperoleh
g ' ( x) dy dx ln g ( x ) C g ( x) y
Contoh 6 dx dx 1 x 1 1. 2 arctan C 2 x 2x 4 ( x 1) 3 3 3 1 1 x5 2 ( 2 x 10) 2 ( 2 x 6) 2 2. 2 dx 2 dx 2 dx x 6 x 13 x 6 x 13 x 6 x 13 1 2dx 2 ( 2 x 6) 2 dx 2 x 6 x 13 x 6 x 13 x5 1 x3 2 x 2 6 x 13dx 2 ln x 6 x 13 arctan 2 c
INTEGRASI PARSIAL Rumus derivatif hasilkali dua fungsi dapat ditulis f ( x) g ( x)'
f ( x) g ' ( x) g ( x) f ' ( x)
Jadi f ( x) g ( x)' dx f ( x) g ' ( x)dx g ( x) f ' ( x)dx
Dengan subtitusi Maka
g ( x) f ' ( x)dx g f
atau x f ( y ) 1
( y) dy g ( x)df ( x)
f ( x) g ' ( x)dx f ( x)dg( x) f ( x) g ( x) f ( x)dg ( x) g ( x)df ( x)
Demikian juga Sehingga
1
y f (x)
Kalau f(x) dan g(x) berturut-turut ditulis u dan v maka hubungan itu menjadi u v u dv v du
atau
u dv u v v du
Hubungan terakhir ini disebut Rumus Integrasi Parsial
Hal yang harus diperhatikan pemakaian rumus integrasi parsial :
dalam
1. Cari bagian dv yang segera bisa diintegralkan 2.
v du
tidak lebih kompleks dari
u dv
TEOREMA 4 Jika fungsi u dan v keduanya didefinisikan dalam interval yang sama dan mempunyai derivatif yang kontinu, maka berlaku
u dv u v v du
Rumus ini sangat bermanfaat untuk menentukan integral tak tentu dari fungsi transenden.
Contoh 7 Carilah x sin x dx Ada 3 kemungkinan u x sin x du (sin x x cos x) dx (a) dv dx v x
x sin x dx x x sin x x(sin x x cos x) dx Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan.
u sin x du cos x dx (b) 1 2 dv x dx v 2 x
x sin x dx
1 2
x sin x x cos x dx 2
1 2
2
Hasil dari integral lebih kompleks dari integral awal maka pilihan ini diabaikan.
ux du dx (c). dv sin x dx v cos x
x sin x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C
Contoh 8
Carilah x ln x dx Misalkan u ln x dan v x maka
x ln x dx ln x x dx ln x x x d (ln x) 1 x ln x x dx x x ln x dx x ln x x C
Contoh 9
Carilah x arctan x dx Misalkan u arctan x dan v x
x arctan x dx arctan x x x d (arctanx) x dx x arctan x 2 1 x 1 2x x arctan x dx 2 2 1 x 1 x arctan x ln 1 x 2 C 2
Contoh 10 Carilah e cos x dx x
Misalkan u cos x dan v e x , maka x x x x e cos x dx cos x d ( e ) cos x e e d (cos x)
e x cos x e x sin x dx e x cos x sin x d (e x ) e x cos x e x sin x e x sin x dx e x (cos x sin x) e x cos x dx 1 x e cos x dx 2 e (cos x sin x) C x
