PENGGUNAAN TURUNAN
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR diferensial) memegang peranan penting dalam kalkulus. Pembuktian TNR membutuhkan Teorema ROLLE (kalkulus diferensial) yang selanjutnya akan dipakai pada Penggunaan Turunan, Kalkulus Integral dan Analisis Numerik.
Penggunaan Turunan yang akan dibahas adalah 1. Penggambaran grafik fungsi 2. Pencarian nilai optimum Pada materi tersebut dibutuhkan beberapa teorema dan beberapa konsep yang akan saling menunjang satu sama lain.
Pada materi turunan dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung merupakan tafsiran geometris dari TURUNAN fungsi, sehingga turunan dapat digunakan sebagai alat bantu menggambar grafik fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan titik-titik garis singgung atau penentuan interval dimana grafik terletak di atas garis singgung atau dibawahnya dst.
ILUSTRASI GRAFIK y
H x8 , y8 maks mutlak
cekung keatas
D x4 , y 4
maks lokal
cekung kebawah maks lokal
min mutlak
A x1 , y1
titik belok
F x6 , y6
turun
E x5 , y5
B x2 , y2
naik
G x7 , y7
cekung kebawah
min lokal
C x3 , y3
naik min lokal
cekung keatas
x
ekstrim relatif/ekstrim lokal (i) F punya nilai maksimum relatif di c jika ada selang terbuka I memuat c dimana f terdefinisi, sehingga f(c)≥f(x), xI
a c
b
x
a
c
b
x
(ii) F punya nilai minimum relatif di c jika ada selang terbuka I memuat c dimana f terdefinisi, sehingga f(c)≤f(x), xI
TEOREMA 1 Jika f(x) ada untuk semua nilai x dalam selang terbuka (a,b) dan jika f mempunyai ekstrim relatif di c dimana a
Jika fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif di c, maka f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c.
B U K T I
(i) f punya maksimum relatif di c. Jika f’(c) ada maka f ( x) - f (c) f ' (c) lim x c xc menurut definisi (i) >0 sehingga jika 0 x c f ( x) - f (c) 0 (ii) f punya minimum relatif di c. Jika f’(c) ada maka f ( x) - f (c) f ' (c) lim x c xc menurut definisi (ii) >0 sehingga jika 0 x c f ( x) - f (c) 0
kasus (i) -Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika f x f (c) 0 xc 0 xc berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka f x f (c) lim 0 f ' ( c) 0 x c xc -Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika f x f (c) x c 0 0 xc berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka f x f (c) lim 0 f ' ( c) 0 x c xc Karena f’(c) ada dan f ' (c) 0 serta f ' (c) 0 maka f ' (c) 0
kasus (ii) -Jika x mendekati c dari kanan x – c > 0 & jika f x f (c) 0 xc 0 xc berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka f x f (c) lim 0 f ' ( c) 0 x c xc -Jika x mendekati c dari kiri x – c < 0 & jika f x f (c) x c 0 0 xc berdasar teorema tambahan limit jika limitnya ada maka f x f (c) lim 0 f ' ( c) 0 x c xc Karena f’(c) ada dan f ' (c) 0 serta f ' (c) 0 maka f ' (c) 0
Bila fungsi f didefinisikan di suatu bilangan c maka syarat perlu (bukan syarat cukup) agar f mempunyai ekstrim relatif di c adalah f’(c)=0 atau f’(c) tidak ada.
Bila c bilangan dalam daerah asal f dan bila f ’(c)=0 atau f ’(c) tidak ada maka c dikatakan bilangan kritis dari f.
TEOREMA 2 Andaikan f didefinisikan pada suatu selang yang memuat c, misalkan I. Jika f(c) adalah titik ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis , yakni c berupa salah satu : 1. Titik ujung dari selang 2. Titik stasioner dari f [f ’(c)=0] 3. Titik singular dari f [f ’(c) tidak ada]
B U
(1) f(c) nilai maksimum relatif f pada I Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik singular maka c titik stasioner. Karena f(c) maksimum dari definisi (i), f(c)≥f(x), xI f(x)-f(c)≤0.
K T I
(2) f(c) nilai minimum relatif f pada I Andaikan c bukan titik ujung dan bukan titik singular maka c titik stasioner. Karena f(c) minimum dari definisi (ii), f(c)f(x), xI f(x)-f(c)0.
kasus (1) jika x c , maka x c 0, sehingga f x f (c) 0 xc karena c bukan titik singular f ' (c) ada, shg f x f ( c) f ' (c) lim 0 f ' ( c) 0 x c xc jika x c - , maka x c 0, sehingga f x f ( c) 0 xc karena c bukan titik singular f ' (c) ada, shg f x f (c) f ' (c) lim 0 f ' (c) 0 x c xc Karena f ' (c) ada dan f ' (c) 0 serta f ' (c) 0 maka f ' (c) 0
kasus (2) jika x c maka x c 0 sehingga f ( x ) f ( c) 0 xc karena c bukan titik singular maka f ' (c) ada, shg f ( x ) f ( c) f ' (c) lim 0 f ' (c) 0 x c xc jika x c maka x c 0 sehingga f ( x ) f (c) 0 xc karena c bukan titik singular maka f ' (c) ada, shg f ( x ) f ( c) f ' (c) lim 0 f ' (c) 0 x c xc karena f ' (c) ada dan f ' (c) 0 serta f ' (c) 0 maka f ' (c) 0.
ekstrim mutlak/ekstrim global 1. f(c) dikatakan nilai maksimum mutlak fungsi f jika c di daerah asal f dan f(c)≥f(x) untuk semua nilai x dalam daerah asal f. 2. f(c) dikatakan nilai minimum mutlak fungsi f jika c di daerah asal f dan f(c) ≤ f(x) untuk semua nilai x dalam daerah asal f.
Ekstrim mutlak suatu fungsi f adalah nilai maksimum mutlak atau nilai minimum mutlak fungsi didaerah asal f.
Daerah asal disini bisa berupa suatu selang ataupun himpunan dst.
contoh 1 Misalkan f fungsi yg didefinisikan pd [-4,3]
1 3 1 2 f ( x) x x 6 x 8 3 2 Cari titik-titik kritisnya dan nilai ekstrim nya! Jawab •titik-titik ujungnya adalah -4 dan 3 •titik stasionernya x =-3 dan x=2 [jika f ’(x)=0 •titik singularnya tidak ada. titik-titik kritisnya adalah -4, -3, 2 dan 3
Nilai f(x) pada titik-titik kritisnya adalah x = -4 f(-4) = 18,67; x = -3 f(-3) = 21,5; x = 2 f(2) = 0,67; x = 3 f(3) = 3,5 Jadi pada selang [-4,3] f
punyai nilai maksimum mutlak 21,5
f
punya nilai minimum mutlak 0,67
1 1 f ( x) x 3 x 2 6 x 8 3 2
TEOREMA 3 Bila fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka fungsi f mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum mutlak (nilai ekstrim) pada [a,b] (syarat cukup bukan syarat perlu) Bukti dapat dilihat pada buku teks kalkulus lanjut, pada kuliah ini teorema ini hanya akan dipakai tanpa dibuktikan.
nilai maksimum & nilai minimum fungsi kontinu pada selang tertutup I ujung Cari titik kritis fungsi pd I stasioner singular Hitung fungsi f pd titik kritis Terbesar
Terkecil
Maksimum
Minimum
contoh 2 Cari nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut pada [-½,2] f x 2 x 3 x 3
2
Jawab f fungsi polinomial → f kontinu pada [-½,2] sehingga teorema-teorema nilai ekstrim dapat digunakan
I.Dicari titik kritis - Titik ujung adalah -½ dan 2 - Titik stasioner f’(x)=6x2 +6x=-6x(x-1)=0 diperoleh x=0 dan x=1 - Titik singular tidak ada Jadi titik kritis -½,0,1,2 II. f(-½)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-4 - Nilai maksimum 1 pada x=1 dan x= -½ - Nilai minimum –4 pada x =2
y
x
kemonotonan Andaikan f terdefinisi pada suatu selang I, (i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 x2 f(x1)f(x2) (ii) f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 x2 f(x1)f(x2) (iii) f monoton pada I jika f naik atau f turun pada suatu selang I.
TEOREMA 4 Misalkan f kontinu pada selang [a,b], dan terdiferensiasi pada (a,b):
Jika f’(x)0 untuk setiap x pada (a,b) maka f naik pada [a,b]
(i)
Jika f’(x)0 untuk setiap x pada (a,b) maka f turun pada [a,b]
(ii)
B U K T I i
Misalkan x1,x2[a,b] dgn x1x2. Karena f kontinu pada [x1,x2] dan terdiferensial pada (x1,x2), dari teorema TNR bilangan c pada [x1,x2] sehingga f ( x2 ) f ( x1 ) f ' (c) x2 x1 Dari x1x2 → x2–x10 & f’(c)0, sehingga f(x2)–f(x1)0 f(x1)f(x2) → f naik pada [a,b]■
B U K T I ii
Misalkan x1, x2[a,b] dgn x1 x2. Karena f kontinu pada [x1,x2] dan terdiferensial pada (x1,x2), dari teorema TNR bilangan c pada [x1,x2] sehinggaf ( x ) f ( x ) f ' (c)
2
1
x2 x1
Dari x1x2 → x2–x10 dan f’(c)<0, sehingga f(x2)–f(x1)< 0 f(x1)>f(x2) → f turun pd [a,b]■
contoh 3 Diberikan fungsi f(x) = 2x3+9x2-24x. Dengan menggunakan teorema kemonotonan, cari dimana fungsi yang diberikan naik dan dimana turun. Jawab
f ( x) 2 x 9 x 24 x 3
2
f ' ( x) 6 x 18x 24 2
(i) f naik jika f ' ( x) 0 6 x 18x 24 0 x 3x 4 0 ( x - 1)(x 4) 0 Jadi f naik pada (,4) dan (1, ) 2
2
(ii) f turun jika f ' ( x) 0 6 x 18x 24 0 x 3x 4 0 ( x - 1)(x 4) 0 Jadi f turun pada (4,1) 2
2
f(x) =2x3 + 9x2 - 24x
y
-5
-4
-3
-2
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -1 0 -20
1 x
2
3
4
kecekungan fungsi Andaikan f terdefinisi pada (a,b) yang memuat c sehingga xc(a,b), titik (x,f(x)) pada grafik terletak 1. Diatas garis singgung pada grafik dititik (c,f(c)) maka grafik fungsi f cekung keatas dititik (c,f(c)). 2. Dibawah garis singgung pada grafik dititik (c,f(c)) maka grafik fungsi f cekung kebawah dititik (c,f(c)). (c,f(c)) cekung keatas
(c,f(c))
cekung kebawah
TEOREMA 5 Misalkan f fungsi terdiferensial pada selang terbuka yang memuat c, maka : (i) f”(c)>0, f cekung keatas di (c,f(c)). (ii) f”(c)<0, f cekung kebawah di (c,f(c)). y
y
0 x 0
cekung keatas
x
cekung kebawah
B U K T I i
f ' ( x ) f ' (c) f " (c) lim x c xc karena f ' ( x ) f ' (c) f " (c) 0 lim 0 x c xc berdasar teorema limit f ' ( x ) f ' ( c) 0, x c xc
f(x) Q(x , f(x)) (c , f(c))
T
c
x
Tinjau garis singgung pada grafik f dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
y f (c) f ' (c)(x c)
Misalkan : x bilangan pada selang terbuka sehingga x c. Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)). T titik perpotongan garis singgung dan garis sejajar sumbu y melalui Q. Untuk membuktikan f cekung keatas dititik (c,f(c)) akan ditunjukkan TQ 0 xc diselang terbuka tersebut.
TQ f ( x) [ f (c) f ' (c)(x c)] TQ [ f ( x) f (c)] f ' (c)(x c)
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c sehingga f ( x) f (c) f ' (d ) f ( x) f (c) f ' (d)(x c) xc
Jadi
TQ f ' (d )( x c) f ' (c)( x c) TQ ( x c)[ f ' (d ) f ' (c)]
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka yang sama sehingga dengan mengambil x = d. Diperoleh f ' ( d ) f ' ( c) 0 dc
Diketahui TQ ( x c)[ f ' (d) f ' (c)] jika x - c 0 x c d c f ' (d) f ' (c) 0 jika x - c 0 x c d c f ' (d) f ' (c) 0 sehingga ( x - c) dan [ f ' (d) - f ' (c)] punya tanda yang sama TQ bilangan positip TQ 0 Jadi f cekung keatas di (c, f (c)).
B U K T I ii
f ' ( x ) f ' (c) f " (c) lim x c xc karena f ' ( x ) f ' (c) f " (c) 0 lim 0 x c xc berdasar teorema limit f ' ( x ) f ' (c) 0, x c xc
Tinjau garis singgung pada grafik f dititik (c,f(c)). Persamaan garisnya :
y f (c) f ' (c)(x c)
Misalkan : x bilangan pada selang terbuka sehingga x c. Q titik pada grafik f dengan titik (x , f(x)). T titik perpotongan garis singgung dan garis sejajar sumbu y melalui Q. Untuk membuktikan f cekung kebawah dititik (c,f(c)) akan ditunjukkan TQ 0 xc diselang terbuka tersebut.
TQ f ( x) [ f (c) f ' (c)(x c)] TQ [ f ( x) f (c)] f ' (c)(x c)
Menurut TNR terdapat bilangan d antara x dan c sehingga f ( x) f (c) f ' (d ) f ( x) f (c) f ' (d)(x c) xc
Jadi
TQ f ' (d )( x c) f ' (c)( x c) TQ ( x c)[ f ' (d ) f ' (c)]
karena d antara x dan c, dan d pada selang terbuka yang sama sehingga dengan mengambil x = d. Diperoleh f ' ( d ) f ' ( c) 0 dc
Diketahui TQ ( x c)[ f ' (d ) f ' (c)] jika x - c 0 x c d c f ' (d ) f ' (c) 0 jika x - c 0 x c d c f ' (d ) f ' (c) 0 sehingga ( x - c) dan [ f ' (d) - f ' (c)] punya tanda yang beda TQ bilangan negatif TQ 0 Jadi f cekung kebawah di (c, f (c)).
titik belok Titik (c,f(c)) titik belok (balik) dari fungsi f jika mempunyai garis singgung di titik (c,f(c)) dan terdapat selang buka yang memuat c sehingga untuk x diselang tersebut berlaku : (i) f”(x) < 0 jika x < c dan f”(x) > 0 jika x > c. (ii) f”(x) > 0 jika x < c dan f”(x) < 0 jika x > c.
c
c
TEOREMA 6 Bila fungsi f terdiferensial pada interval terbuka yang memuat c
dan (c,f(c)) suatu titik belok (balik) dari grafik fungsi f maka
f’’(c) ada dan f’’(c) = 0.
Misalkan g(x)=f ’(x) g’(x)=f”(x).
B U K T I
Karena (c,f(c)) titik belok grafik f menurut kecekungan fungsi maka f”(x) berganti tanda di c akibatnya g’(x) berganti tanda di c. Berdasar teorema uji turunan pertama maka g mempunyai ekstrim relatif di c dan c bilangan kritis dari g.
Karena: g’(c) = f”(c) dan f”(c) ada g’(c) ada Sehingga berdasarkan teorema g’(c) = 0 sehingga f”(c) = 0.■
contoh 4 Diberikan fungsi f(x)=1/3x3–x2–3x+4. Tentukan titik belok, grafik cekung keatas dan cekung kebawah, sketsa grafik dan segmen garis singgung pembelokan grafik f ? Jawab
f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4 f’(x) = x2–2x–3 = (x–3)(x + 1) f”(x) = 2x – 2 = 2(x – 1)
f’(x) =(x – 3)(x + 1) = 0 titik kritis x = 3 dan x = -1 titik stasioner f(-1) = 17/3 (maksimum relatif) f(3) = -5 (minimum relatif) f ”(x) = 2(x – 1) = 0 2(x – 1) > 0 (x – 1) > 0 x > 1 maka f ”(x) > 0 jika x > 1 cekung keatas 2(x – 1) < 0 (x – 1) < 0 x < 1 maka f”(x) < 0 jika x < 1 cekung kebawah titik belok x = 1 f(1) = 1/3
x
f (x)
x < -1
x = -1
17 3
-1< x < 1
x=1
1
3
1< x < 3 x=3 x>3
-5
f ' ( x)
f ' ' ( x)
Keterangan
+
-
naik, cekung kebawah
0
-4
Maksimum relatif
-
-
turun, cekung kebawah
-4
0
Titik belok
-
+
turun, cekung keatas
0
4
Minimum relatif
+
+
naik, cekung keatas
contoh 5 Diberikan fungsi f(x)=(1–2x)3. Tentukan titik belok, titik dimana grafik cekung keatas dan cekung kebawah, sketsa grafik grafik f ? Jawab f(x) = (1 – 2x)3 f’(x) = -6(1 – 2x)2 f”(x) = 24(1 – 2x)
f’(x)= -6(1 – 2x)2 = 0 titik kritis x = ½ (titik stasioner) f(½) = 0 f ”(x) = 24(1 – 2x) = 0 (1 – 2x) > 0 x < ½ maka f ”(x) > 0 jika x < ½ cekung keatas (1 – 2x) < 0 x > ½ maka f”(x) < 0 jika x > ½ cekung kebawah titik belok x = ½ f (½) = 0.
x
x<½ x=½ x>½
f (x)
f ' ( x)
f ' ' ( x)
Keterangan
+ 0 -
turun, cekung keatas
0
0 -
Titik belok turun, cekung kebawah
