TRANSFORMASI MATRIKS
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
Definisi : BEBAS LINIER Suatu himpunan vektor-vektor
v , v ,v 1
2
k
dikatakan bebas linier jika persamaan
1v1 2v2 k vk 0 mengakibatkan skalar-skalar
0 1
2
k
Definisi : TAK BEBAS LINIER Suatu himpunan vektor-vektor
v , v , v 1
2
m
dikatakan tak bebas linier jika terdapat skalar-skalar
, , , 1
2
m
yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga dipenuhi
v v v 0 1
1
2
2
m
m
Rank Baris suatu matriks dimaksud banyak maksimum vektor-vektor baris yang bebas linear. Rank Kolom suatu matriks dimaksud banyak maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linear. Di dalam setiap matriks maka rankbaris=rank-kolom dan disebut rank dari matriks itu.
Definisi : RANK MATRIKS
1. Suatu matriks A mempunyai rank r[r(A)], jika dapat ditemukan r vektor baris (kolom) yang bebas linier, sedangkan setiap r+1 vektor baris (kolom) tak bebas linier. 2. Suatu matriks A mempunyai rank r, jika dapat ditemukan minor berderajat r yang tidak nol, sedangkan setiap minor berderajat r+1 sama dengan nol.
Matriks Kanonik atau matriks eselon baris terreduksi dgn rank r adalah matriks dgn sifat : 1. Elemen pada setiap r baris pertama tidak semuanya nol, sedangkan elemen pada baris yang lain, jika ada semuanya nol 2. Dalam baris ke-i(i=1,2,3,… r), elemen tak nol yang pertama adalah 1.(sebut kolom yang memuatnya dengan kolom ke-ji ) 3. Satu-satunya elemen tak nol pd kolom ke-ji adalah 1.
Penentuan rank matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yaitu merubah suatu matriks menjadi matriks kanonik/matriks eselon baris terreduksi a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n 1 a2 n 0 amn 0
0 1 0
0 0 0
Dalam mengubah suatu matriks A ke matriks kanonik dapat digunakan : 1. Jika a 0 (elemen baris ke-i kolom 1 A ( ke ji) → memperoleh 1 a ) elemen 1 1 j1
1 j1
2. Jika
a1 j 0 1
tetapi
a pj 0 1
A1 p
3. Untuk mendapatkan elemen nol pada kolom ke ji Aij (k )
CONTOH Cari rank matriks berikut ini 2 1 4 1 A 2 4 3 5 1 2 6 7
Jawab 2 1 4 1 2 A (2) 4 3 5 21 1 2 6 7
2 1 4 1 0 0 5 3 1 2 6 7
2 1 4 1 0 0 5 3 1 2 6 7 1 2 1 4 A2 ( 15 )0 0 1 53 0 0 5 3 1 2 0 1715 A32 (5) 0 0 1 53 0 0 0 0
A31 (1)
A12 (1)
1 2 1 4 0 0 5 3 0 0 5 3 17 1 2 0 15 0 0 1 3 5 0 0 5 3
Bentuk kanonik rank A 2
D E F
I
Matriks Ekuivalen Suatu matriks B disebut ekuivalen dengan matriks A [BA], jika
N
matriks B dapat diperoleh dari
I
matriks A dengan menggunakan
S
transformasi
I
matriks A tersebut.
elementer
pada
CONTOH Diberikan
1 0 2 3 A 2 1 3 6 1 4 4 0
Dilakukan transformasi elementer baris pada matriks A tersebut, yaitu A31(3) diperoleh 1 0 2 3 A31 (3) 2 1 3 6 B 4 4 10 9
Matriks B ekuivalen baris dgn matriks A
D E F
I N I S I
Bentuk Normal Matriks Dengan menggunakan transformasi elementer, setiap matriks tak nol A [r(A)=r] bisa dibawa kebentuk normal N. [transformasi elementer baris dan kolom bersamaan]
dapat
digunakan
I r I r atau 0
0 atau I r 0
secara
I r 0 atau 0
CONTOH Diberikan
1 0 2 3 A 2 1 3 6 1 4 4 0
Dilakukan transformasi elementer pada matriks A tersebut, yaitu B21(-2) dan B31(-1)
3 1 0 2 0 1 1 0 0 4 2 3
3 1 0 2 0 1 1 0 0 4 2 3
B2 ( 1), B32 (4)
3 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 3 B3 ( 12 )
1 0 2 3 0 1 1 0 0 0 1 32
K 43 ( 32 )
1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0
B23 (1), B13 (2) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
I
3
0
D E F
Matriks Elementer Sebuah matriks nxn dinamakan
I
matriks elementer jika matriks
N
tersebut
I
matriks identitas (satuan) [In]
S
dengan
I
transformasi elementer tunggal.
dapat
diperoleh
melakukan
dari
sebuah
JENIS Matriks Elementer Iij Matriks yang diperoleh dari matriks identitas I, dengan menukarkan baris/kolom ke i dengan baris/kolom ke j. Ii(k) Matriks yang diperoleh dari matriks identitas I, dengan menggandakan baris/kolom ke i dengan skalar k≠0. Iij(k) Matriks yang diperoleh dari matriks identitas I dengan (baris ke i) + k (baris ke j) atau (kolom ke j) + k (kolom ke i)
CONTOH 1 0 a. I 4 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 I 24 0 0 0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 1 0 I 2(3) b. I 2 0 1 0 3 1 0 0 1 0 3 c. I 3 0 1 0 I13 (3) 0 1 0 0 0 1 0 0 1
D E F
I N I S I
Matriks Hasil Transformasi 1. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan melakukan transformasi elementer baris H maka B=HA. H matriks elementer. 2. Jika matriks E diperoleh dari matriks A dengan melakukan transformasi elementer kolom K maka E=AK. K matriks elementer.
CONTOH-baris 1 0 2 3 1 0 2 3 A 2 1 3 6 2 1 3 6 B 1 4 4 0 4 4 10 9
maka 1 0 2 3 1 0 0 1 0 2 3 2 1 3 6 0 1 0 2 1 3 6 4 4 10 9 3 0 1 1 4 4 0 B
H 31 ( 3 )
A
CONTOH-kolom 1 0 2 3 0 1 2 3 A 2 1 3 6 1 2 3 6 E 1 4 4 0 4 1 4 0
maka 0 1 0 0 0 1 2 3 1 0 2 3 1 0 0 0 1 2 3 6 2 1 3 6 0 0 1 0 4 1 4 0 1 4 4 0 0 0 0 1 E A K12
SIFAT-SIFAT 1
• Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier • Transformasi elementer tidak merubah rank suatu matriks
2 3
• Matriks-matriks yang ekuivalen mempunyai rank yang sama
4
• Setiap matriks tak nol ekuivalen baris dengan matriks kanonik/matriks eselon baris tereduksi
5
6
• Jika A Matriks elementer maka r(A)0 • Rank matriks nol sama dengan nol [r(O)=0]
D
E F I
N I S I
singular & non singular
Suatu matriks bujursangkar Anxn disebut singular jika r(A)
SIFAT Jika A matriks elementer maka A non-singular Bukti Anxn matriks elementer maka AI, berarti padahal det(I)=1 jadi det(A)0 atau A non-singular■
SIFAT
Matriks AB jika dan hanya jika ada matriks non-singular P dan Q sedemikian sehingga B=PAQ Khusus Anxn non-singular maka AI, A dan In mempunyai ordo dan rank yang sama.
Bukti ()
AB dengan B H s H 2 H1 A K 1 K 2 K r
Karena setiap matriks elementer nonsingular, maka matriks H s H 2 H1 P dan K 1K 2 K r Q
Sehingga B=PAQ■
Bukti ()
B=PAQ, P dan Q non-singular, maka det(P)0 dan det(Q)0. Ini berarti PImxm dan QInxn. Akibatnya A→ PA→PAQ=B, melalui transformasi elementer. Jadi AB■
