MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 1. A. TRANSFORMASI a. Definisi. b. Transformasi oleh Matriks 2x2

si

AS

Se

TRANSFORMASI 1 A.

TRANSFORMASI

a.

Definisi Transformasi berarti perubahan kedudukan titik oleh suatu operasi tertentu. Operasi tertentu disini bisa oleh suatu matriks tertentu, translasi, rotasi, dilatasi, refleksi atau gabungan dari beberapa operasi.

b.

Transformasi oleh Matriks 2x2

a b Suatu titik A (x, y) ditransformasikan oleh M2×2   ke titik A’ (x, y). Alur transformasinya  c d a b     c d  dapat dituliskan A ( x, y )  M2x2 → A’(x, y) Di mana A adalah titik asal, A’ adalah titik bayangan. Bentuk persamaan transformasinya adalah: A’ = M . A  a b  x’ x’ y’ =  c d  y’  

( )

( )

1

GAN

13

BUN

KEL

A - K U RIKUL I IP UM GA

MATEMATIKA

XI

CONTOH SOAL 1.

2 1 Suatu Titik A (6, -3) ditransformasikan oleh   1 -3  ke A’ (x, y). Maka A’ adalah ....   2 1  Pembahasan:   1 -3  → A’(x, y) Alur transformasi: A ( 6, 3 )  Persamaan transformasinya:

( x’y’ ) =  21 -31  ( 36 ) ( x’y’ ) = ( 15-3 ) Maka, titik bayangannya adalah A’ (15, -3). 2.

 4 3 Titik P (x, y) ditransformasikan oleh  ke titik Q (2, -1). Maka koordinat titik P adalah 1 1   .... Pembahasan:  4 3     1 1   Alur P ( x, y )  → Q’(2, -1) Persamaan transformasinya 4 Q= 1  2  4  =  −1  1

3 P 1 3  x    1 y 

Kita gunakan sifat invers matriks

( )

 4 3  x  2    y  = −1 1 1    

−1

( )

 x  =  4 3 2 y      1 1  −1  x  = 1  1 −3  2 y     4 − 3  −1 4  −1 x = 5  y  −6  

( )

( )

Sehingga titik P (5, -6).

2

3.

Suatu titik A (2, 4), B (1, 3) ditransformasikan oleh matriks M2×2 menghasilkan bayangan A’ (6, 14) dan B’ (4, 9). Maka matriks M adalah .... Pembahasan: Alur M AB  → A ’B ’ Persamaan transformasinya A ’B ’ = M ⋅ AB  6 4  2 1   = M   14 9   4 3 Maka dengan sifat matriks 6 M=  14 6 M=  14

−1

4  2 1   9  4 3  4  1  3 −1    9  2  −4 2  1  6 4   3 −1 M=    2  14 9   −4 2  1 2 2  M=   26 4  1 1 M=  3 2 4.

 2 5 Bayangan garis 2x + 3y = 1 oleh transformasi matriks   adalah ....  1 3 Pembahasan: Alur  2 5   1 3 2x + 3y = 1  → (x , y)

?

( x ’, y ’)

Persamaan transformasi  x’   2 5  x   =    y ’   1 3  y 

3

Dengan sifat matriks  x 2  = y 1 x  3  =  y   −1

−1

5  x’    3  y’ −5   x ’    2  y ’ 

 x   3x ’− 5y ’   =   y   −x ’+ 2y ’  Maka x = 3x’ – 5y’ ; y =-x’ + 2y’ Persamaan garis 2x + 3y = 1 berubah menjadi 2(3x ’− 5y ’) + 3( −x ’+ 2y ’) = 1 6 x ’− 10 y ’− 3x ’+ 6 y ’ = 1 3x ’− 4 y ’ = 1 Maka, persamaan bayangannya 3x – 4y = 1 5.

1 3  Persamaan bayangan garis ℓ oleh transformasi   adalah 2x – 3y = 10. Persamaan 1 2  garis  adalah .... Pembahasan: Alur 1 3    1 2 ?  → 2x ’− 3y ’ = 10

( x ,y )

( x ’, y ’)

Persamaan transformasinya  x ’  1 3   x   =    y ’  1 2   y   x ’   x + 3y   =   y ’   x + 2y  Sehingga

x’ = x + 3y; y = x + 2y

4

maka persamaan bayangannya 2x’ – 3y’ = 10 memiliki persamaan asal: 2( x + 3y ) − 3( x + 2y ) = 10 2x + 6 y − 3x − 6 y = 10 −x = 10 x + 10 = 0 Suatu titik P (x, y) ditransformasikan oleh matriks A2x2 dilanjutkan B2x2 menghasilkan Q (x’, y’). Alur transformasinya adalah: A2 x 2 B2 x 2 P( x , y )  →  → Q( x ’, y ’) Di mana persamaan transformasinya Q = B ⋅ A ⋅P  x’ x   = B⋅A ⋅   y’ y Di mana B.A dinamakan matriks tranformasi gabungan cara membaca operasinya terbalik, tranformasi A kemudian transformasi oleh B.

CONTOH SOAL 1.

 3 1 Bayangan titik (3, 1) ditransformasikan oleh   dilanjutkan oleh  4 2 Pembahasan: Alur  4 −1  3 1     4 2 3 2 → ( x ’, y ’ ) →  ( 3,1)  Persamaan transformasinya  x’  4  =  y’  3  x’  8  =  y ’   17

−1  3 1   3     2  4 2  1 2  3    7  1

 x ’   26   =   y ’   58  Maka titik bayangannya (3, 1) adalah (26, 58).

5

 4 −1   adalah .... 3 2 

2.

 2 −1  3 −1 Diketahui Matriks M   dan N   , maka bayangan (4, 5) oleh NoM adalah ... 4 5  1 0  Pembahasan: Persamaannya  x’ 4   = N  M   y’ 5  x ’   3 −1  2 −1  4   =     y ’   1 0  4 5  5   x ’   2 −8   4   =    y ’   2 −1   5   x ’   −32   =   y’  3  Maka, bayangannya adalah (-32, 3)

B.

TRANSLASI

 a Translasi berarti pergeseran. Suatu titik A (x, y) ditranslasikan oleh matriks T2×1   ke titik b bayangan A’ (x’, y’). Konstanta a berarti pergeseran horizontal, bila a > 0, A bergeser ke kanan |a| satuan, bila a < 0, A bergeser ke kiri |a| satuan. Konstanta b berarti pergeseran vertikal, bila b > 0 maka A bergeser ke atas |b| satuan, bila b < 0 maka A bergeser ke bawah |b| satuan. Alur transformasinya  a T   b → A ’ x ’, y ’ A ( x , y )  ( ) Persamaan transformasinya

 x’  a   x   = +   y’ b   y 

CONTOH SOAL 1.

4 Bayangan titik (5, 7) oleh T   adalah ....  −1

6

Pembahasan:  x’  4   5  = +   y ’   −1  7   x’  9   =   y’  6  Maka, bayangan titik (5, 7) adalah (9, 6). 2.

 −3  Bayangan titik Q(x, y) oleh   adalah (2, 4). Maka koordinat Q adalah .... 5 Pembahasan: Alur  −3    5 → Q ’(2, 4 ) Q( x , y )  Persamaan Transformasinya  2   −3   x   = +  4  5  y  2   x − 3  =  4 5+ y  Maka x – 3 = 2 → x = 5 y + 5 = 4 → y = -1 Sehingga koordinat sebelum translasi adalah (5, -1).

3.

 3 Bayangan kurva y = x2 + 2x -1 oleh translasi   adalah ....  −2  Pembahasan:  3   −2  → ? y = x 2 + 2x − 1 ( x ,y )

( x ’, y ’)

Persamaan transformasinya  x’  3   x   = +   y ’   −2   y   x’  x + 3  =   y’  y − 2

7

Maka x’ = x +3 atau x = x’ – 3 y’ = y – 2 atau y = y’ + 2 Sehingga kurva bayangan y = x2 + 2x – 1 adalah ( y ’+ 2) = ( x ’− 3)2 + 2( x ’− 3) − 1 y ’+ 2 = x ’2 − 6 x ’+ 9 + 2x ’ y’ = x ’2 − 4 x ’+ 7 Maka persamaan bayangan kurvanya y’ = x ’2 − 4 x ’+ 7

a.

Tranformasi Gabungan untuk Translasi Persamaan transformasi gabungan untuk translasi hanya bisa dibentuk bila dua atau lebih translasi yang digabungkan. Akan tetapi bila salah satu transformasi selain translasi, maka persamaan tranformasi tidak bisa digabungkan. Alur Translasi  a c T1   T2    b →   d → x ’, y ’ ( x , y )  ( ) Persamaan transformasi gabungan  x’  c   a   x   = + +   y’  d b   y  Alur transformasi  a T   b → x ’, y ’ M 2x2 → ( x ’’, y ’’ ) ( x , y )  ( )  Persamaan transformasi pertama  x ’’   x’   = M   y ’’   y’ Persamaan transformasi kedua  x’ x  = T +   y’ y

8

CONTOH SOAL 1.

 3  −1 Suatu titik A (5, 1) ditranslasikan oleh T1   dilanjutkan oleh T2   menghasilkan  1 2 bayangan .... Pembahasan:  −1  5     1 2 → A ’ ( x ’, y ’ ) →  A ( 5,1)  Persamaan transformasinya  x ’   −1  3   5   = + +   y ’   2   1  1  x’  7   =   y’  4  Maka bayangannya (7, 4).

2.

2 1   −3  Bayangan titik (-1, 7) oleh transformasi   dilanjutkan oleh translasi   adalah .... 1 − 3    −4  Pembahasan: Alur  −3  2 1      1 −3  4 → ( x ’’, y ’’ ) → ( x ’, y ’ )  ( −1, 7 )  Persamaan transformasi 1

Persamaan transformasi 2

 x ’   2 1   −1  =    y ’   1 −3   7   x’  5   =   y ’   −22 

 x "   −3   x ’   = +   y"  4   y’  x "   −3   5   = +   y "   4   −22   x"   2   =   y "   −18 

Sehingga bayangannya adalah (2, -18). 3.

 2 −1 Bayangan kurva y = 4x–1 oleh transformasi   dilanjutkan dengan translasi 1 −1  adalah ....

9

 −1   2

Pembahasan: Alur  −1  2 −1     1 −1 2 → ? → ?  y = 4 x − 1 ( x ’, y ’)

( x ,y )

( x ", y " )

Persamaan transformasinya  x ’   2 −1  x   =    y ’   1 −1  y  −1

 x   2 −1  x ’   =     y   1 −1  y ’   x  1  −1 1   x ’   =     y  −1 −1 2   y ’   x   x ’− y ’   =   y   x ’− 2y’  Maka x = x’ – y’ dan y = x’ – 2y’ Sehingga bayangan yang pertama dari y = 4x – 1 x ’− 2y ’ = 4( x ’− y ’) − 1 3x ’− 2y ’ = 1 Persamaan transformasi kedua  x "   −3   x ’   = +   y"  4   y’  x "   x ’− 3   =   y "   y ’+ 4  Maka x’ – 3 = x’’ atau x’ = x” + 3 y’ + 4 = y” atau y’ = y” – 4 sehingga persamaan bayangan kedua setelah persamaan bayangan 3x’ – 2y’ = 1 adalah 3( x "+ 3) − 2( y "− 4 ) = 1 3x "− 2y "+ 16 = 0 Sehingga bayangannya 3x – 2y + 16 = 0

10

C.

DILATASI Dilatasi berarti perpanjangan atau pemendekan jarak suatu titik terhadap suatu titik acuan. Titik acuan ini dinamakan pusat dilatasi. Perpanjangan atau pemendekan jarak tergantung pada suatu konstanta k. Bila k > 1 atau k < -1 maka jarak titik diperpanjang terhadap titik pusat dilatasi, selainnya jarak titik diperpendek. Alur dilatasi sebagai berikut: D ( ( a, b ) , k )  → ( x ’, y ’ ) ( x , y )  k 0     0 k 

Matriks transformasinya:  x ’− a   k 0   x − a   =    y ’− b   0 k   y − b  Dimana D ((a, b), k) dibaca dilatasi dengan pusat (a, b) degan faktor skala k.

CONTOH SOAL 1.

Bayangan titik (1, 5) oleh dilatasi pusat (0, 0) dengan skala 3 adalah .... Pembahasan: Alur D ( ( 0, 0 ) , 3) → ( x ’, y ’ ) (1, 5)  3 0     0 3

Persamaan transformasinya  x ’   3 0  1  =    y ’   0 3  5   x’  3   =   y ’   15  Maka bayangannya (3, 15) 2.

Bayangan titk (-2, 5) oleh dilatasi skala 2 pada titik (-1, 4) adalah ....

11

Pembahasan: Alur D ( ( −1, 4 ) , 2 ) → ( x ’, y ’ ) ( −2, 5)  2 0     0 2

Persamaan transformasinya  x ’− ( −1)   2 0   −2 − ( −1)   =    y ’− 4   0 2   5 − 4   x ’+ 1   2 0   −1  =    y ’− 4   0 2   1   x ’+ 1   −2   =   y ’− 4   2  Maka x’ + 1 = -2 → x’ = -3 y’ – 4 = 2 → y’ = 6 sehingga bayangannya adalah (-3, 6) 3.

Bayangan titik P (a, b) oleh dilatasi pada titik (3, 5) dengan skala ½ adalah (-1, 4). Titik P adalah .... Pembahasan: Alur

(

)

D ( 3, 5 ) , 1 2 → ( −1, 4 ) P ( a,b )  1 0 2     0 1  2 Persamaan transformasinya 1   −1− 3   2 0   a − 3   =    4 − 5   0 1  b − 5   2  a−3   −4   2   =   −1   b − 5   2 

12

Maka a−3 = −4 → a − 3 = −8 → a = −5 2 b−5 = −1 → b − 5 = −2 → b = 3 2 Maka, titik asalnya (-5, 3). 4.

Bayangan Kurva y = x2 + 1 oleh dilatasi skala 4 pada titik O adalah .... Pembahasan: Titik O (0, 0), alurnya ? y = x2 + 1 D ( 0 , 4 ) → 4 0 ’, x  ( y ’) ( x, y )    0 4 Persamaan transformasinya  x’   4 0  x     =  y ’   0 4  y   x ’   4x   =   y ’   4y  Maka x’ = 4x atau x =

1 x’ 4

1 y’ 4 Sehingga persamaan bayangan y = x2 + 1 adalah y’ = 4y atau y =

2

1 1  y’ =  x’ +1 4 4  1 1 y ’ = x ’2 + 1 4 16 1 y ’ = x ’2 + 4 4 1 Sehingga persamaan bayangannya y = x 2 + 4 4

13

5.

Persamaan bayangan kurva y = f (x) dengan dilatasi D ((1,1), 3) adalah y = x2 + 5. Kurva y = f (x) adalah .... Pembahasan: Alur y = f ( x ) D ( (11 , ) , 3) y ’ = x ’ + 5 → ( x, y )  3 0  ( x ’, y ’)   0 3 2

Persamaan transformasinya  x ’− 1  3 0   x − 1  =    y ’− 1  0 3   y − 1  x ’− 1  3x − 3   =   y ’− 1  3y − 3  Maka x’ – 1 = 3x – 3 → x’ = 3x – 2 y’ – 1 = 3y – 3 → y’ = 3y – 2 sehingga kurva awal dari kurva bayangan y ’ = x ’2 + 5 adalah

( 3y − 2 ) = ( 3x − 2 )

2

+5

3y − 2 = 9x 2 − 12x + 9 3y = 9x 2 − 12x + 11 11 y = 3x 2 − 4 x + 3

a.

Dilatasi Gabungan Titik P (x, y) dapat didilatasikan lebih dari satu kali, atau digabungkan dengan jenis transformasi yang lain. Hanya saja persamaan transformasi gabungan dilatasi bisa dibentuk bila dilatasinya memiliki pusat yang sama. Apabila dilatasi tidak memilki pusat yang sama, maka penyelesaiannya dilakukan dalam persamaan terpisah. Perhatikan alur dan persamaan transformasi berikut: Alur D1 ( ( a, b ) , k1 ) D2 ( ( a, b ) , k 2 ) A ( x , y ) → → A ’ ( x ’, y ’ ) k 0  1   k2 0       0 k1   0 k2 

14

Persamaan transformasi gabungannya  x ’− a   k 2  =  y ’− b   0

0   k1 0   x − a     k 2   0 k1   y − b 

Alur D1 ( ( a, b ) , k1 ) D2 ( ( c , d ) , k 2 ) A ( x , y ) → ( x ’, y ’ ) → A " ( x ", y " )  k1 0   k2 0       0 k1   0 k2  Persamaan transformasi 1  x ’− a   k1 0   x − a    =   y ’− b   0 k1   y − b  Persamaan transformasi 2  x "− c   k 2  =  y "− d   0

0   x ’− c    k 2   y ’− d 

Sedangkan untuk operasi dilatasi dengan transformasi matriks M2×2, bisa digabungkan bila dilatasi memiliki pusat (0, 0). Alur a b M  D ( ( 0, 0 ) , k )  c d → A ’ x ’, y ’ A ( x , y )  →  ( ) Persamaan transformasinya  x’   a b  k 0  x      =  y ’   c d  0 k  y  Selainnya persamaan harus dipisah.

CONTOH SOAL 1.

Bayangan titik (5, 6) oleh dilatasi D1((1,2), 3) dilanjutkan dilatasi D2 ((1, 2), -2) adalah ....

15

Pembahasan: Alur D1 ( (1, 2 ) , 3 ) D2 ( (1, 2 ) , −2 ) → → ( x ’, y ’ ) ( 5, 6 )  3 0 −2 0     0 3

  0

  −2 

Persamaan transformasi gabungan  x ’− 1   −2 0   3 0   5 − 1   =     y ’− 2   0 −2   3 0   6 − 2   x ’− 1   −6 0   4   =    y ’− 2   0 −6   4   x ’− 1   −24   =   y ’− 2   −24  Maka x’ – 1 = 24 → x’ = -23 y’ – 2 = -24 → y’ = -22 sehingga bayangannya (-23, -22). 2.

 2 1 Bayangan garis 2x + 4y = 5 oleh dilatasi D (0, 2) dilanjutkan transformasi matriks   3 2 adalah .... Pembahasan: Alur 2x + 4 y = 5 D ( 0 , 2 ) ? M → → 2 0 2 1     ( x ’, y ’ ) ( x, y )     0 2 3 2     Persamaan transformasinya  x’  2  =  y’  3  x’  4  =  y’  6

1 2 0  x     2  0 2  y  2  x    4  y  −1

 x   4 2   x’  =     y   6 4   y’  4 x ’− 2y ’   x  4   =  y   −6 x ’+ 4 y ’      4

16

 x’   4 2  x   =    y ’   6 4  y  −1

 x   4 2   x’  =     y   6 4   y’  4 x ’− 2y ’   x  4 =      y   −6 x ’+ 4 y ’      4 Maka 1 x = x ’− y ’ 2 3 y = − x ’+ y ’ 2 Sehingga persamaan bayangan dari 2x + 4y = 5 adalah: 1   3   2  x ’− y ’  + 4  − x ’+ y ’  = 5 2 2     2x ’− y ’− 6 x ’+ 4 y ’ = 5 −4 x’+ 3 y’ = 5 Sehingga persamaan bayangannya -4x + 3y = 5 3.

 −1 Bayangan kurva y = 3x2 – 1 oleh translasi   dilanjutkan dengan dilatasi (0, 4) adalah 4 .... Pembahasan: Alur  −1 ? ? y = 3x 2 − 1  4  D ( 0, 4 ) → → ( x ’, y ’)  4 0  ( x ",yy " ) ( x, y )   0 4 Persamaan transformasi 1  x ’   −1  x   = +   y’  4   y   x’  x −1   =   y’  y + 4  Maka x – 1 = x’ → x = x’ + 1 y + 4 = y’ → y = y’ – 4 Sehingga persamaan bayangan pertama dari y = 3x2 – 1 adalah

17

y ’− 4 = 3( x ’+ 1)2 − 1 y ’− 4 = 3( x ’2 + 2x ’+ 1) − 1 y ’ = 3x ’2 + 6 x ’+ 6 Persamaan transformasi kedua  x"   4 0  x’   =    y "   0 4  y ’   x "   4x ’   =   y "   4y ’  Maka 1 4x ’ = x " → x ’ = x " 4 1 4 y ’ = y " → y ’ = y" 4 Sehingga persamaan bayangan selanjutnya setelah y ’ = 3x ’2 + 6 x ’+ 6 adalah 2

1 1  1  y " = 3 x "  + 6  x "  + 6 4 4  4  1 3 3 y " = x "2 + x "+ 6 4 16 2 3 2 y" = x " + 6 x"+ 24 4 3 Maka persamaan bayangan akhirnya adalah y = x 2 + 6 x + 24 . 4

LATIHAN SOAL 1.

 2 1 Jika garis 2x – y ditransformasikan oleh   maka petanya adalah .... 3 2 A. 4x – 7y = 2 B.

4x + 7y = 2

C.

-7x + 4y = 2

D.

7x + 4y = 2

E.

7x – 4y = 2

18

2.

Sebuah kurva dengan persamaan xy = 4 ditransformasi secara berturut-turut dengan  1 0  1 2   dan  0 3  , maka persamaan dari peta kurva adalah ....    0 1

3.

4.

A.

xy – 2y2 = 4

B.

xy – 2y2 = 12

C.

3xy – 2y2 = 36

D.

xy + 2y2 = 4

E.

xy 2y2 = 12

2  3 Peta dari garis y = 2x – 5 oleh translasi T1 =   diteruskan T2 =   adalah ....  1  5 A. y = 2x – 5 B.

y = 2x – 6

C.

y = 2x – 7

D.

y = 2x – 8

E.

y = 2x – 9

Jika parabola y = 3x2 + 1 didilatasi oleh [0, 2] maka petanya adalah .... A. B. C. D. E.

5.

y = 3x2 + 2 1 y = 1 x2 + 1 2 1 y = 1 x2 + 2 2 y = 3x2 – 2 1 y = 1 x2 − 2 2

Jika garis y = x + 2 dilatasi oleh [A (2,1), 3] maka petanya adalah .... A.

y = 3x + 6

C.

2 y = x +1 3 y=x+2

D.

y=x+6

E.

y=x+9

B.

19

6.

7.

8.

9.

1 0 Jika parabola y = x2 ditransformasi oleh   maka petanya adalah ....  3 1 A. y = x2 + 3x B.

y = x2 – 3 x

C.

y = x2 + 3

D.

y = x2 – 3

E.

y = 3x2

 3  −4  Jika T1 =   ; T2 =   dan A (2, 7) maka (T2 ο T1) (A) adalah .... 2  5 A.

(1, 0)

B.

(1, 14)

C.

(3, 14)

D.

(3, 0)

E.

(9, 14)

 3  −4  Bayangan garis 2x + 5y – 10 = 0 oleh translasi   diikuti dengan translasi   adalah  −2   7  .... A.

2x + 5y + 13 = 0

B.

2x + 5y – 23 = 0

C.

2x + 5y – 33 = 0

D.

2x + 5y – 30 = 0

E.

2x + 5y + 43 = 0

Sebuah lingkaran x2 + y2 = 1 didilatasi dengan pusat (1, 2) dan faktor skala 2 mempunyai bayangan .... A.

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 2

B.

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4

C.

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 2

D.

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4

E.

(x + 1)2 + (y + 2)2 = 1

20

10.

Diketahui titik A(-1, 3) dan B(1, 0). Jika hasil transformasi oleh T diperoleh A(5, 9) dan B(1, 3), maka matriks transformasi tersebut adalah A.

1 2     3 −4 

B.

 1 −2     3 −4 

C.

 −1 2     −3 4 

D.

 −1 2     3 4

E.

1 2   3 4

21