Transformasi Mobius (Sangadji)
TRANSFORMASI MOBIUS1 Sangadji*
ABSTRAK TRANSFORMASI MOBIUS.2Transformasi Mobius atau bilinear, sudah lama dikenal. Topik ini muncul pada beberapa bidang, misalnya pada fungsi peubah kompleks dan geometri. Nama Mobius berasal dari August Ferdinand Mobius (1790-1868), seorang ahli matematika Jerman yang juga seorang ahli astronomi. Makalah ini membahas transformasi Mobius beserta sifat-sifat fundamentalnya, yang dinyatakan dengan beberapa teorema. Kata-kata kunci: transformasi, transformasi bilinear, transformasi Mobius.
ABSTRACT MOBIUS TRANSFORMATION. Mobius or bilinear transformation has been known for a long time. The topic appears in many fields such as complex variable function or geometry. The name Mobius comes from August Ferdinand Mobius (1790-1868), a famous Jerman mathematician and astronomer. The paper discusses Mobius transformation as well as its fundamental properties stated in several theorems. Keywords: transformation, bilinear transformation, Mobius transformation.
PENDAHULUAN Definisi 1 Transformasi Mobius adalah suatu fungsi pada bidang kompleks yang diperluas, yang didefinisikan dengan
f ( z) =
az + b , di mana a, b, c, d ∈ C, ad − bc ≠ 0. cz + d
(1)
Himpunan dari semua transformasi Mobius membentuk suatu grup yang disebut grup Mobius. Setiap transformasi Mobius terdiri dari transformasi-transformasi yang lebih sederhana.
*
Pusat Pengembangan Informatika Nuklir (PPIN) – BATAN, e-mail:
[email protected]
77
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir 2010, Oktober 2010 ( 77-84)
Teorema 1 Misalkan T adalah transformasi Mobius. Maka T adalah susunan dari transformasi-
transformasi translasi, dilatasi, dan inversi g ( z ) =
1 . z
Bukti Bila c = 0, maka f ( z ) = dilatasi.
a b z + , yang merupakan komposisi dari translasi dan d d
Bila c ≠ 0, maka .
Jadi,
f
merupakan
d ad − bc , inversi, dan dilatasi dengan − , dan komposisi dari translasi dengan c c2 a translasi dengan . Perlu dicatat bahwa grup Mobius terdiri dari grup gerak rigid c Euklid (a = 1, c = 0, d = 1), dan grup similaritas (a ≠ 0, c = 0, d = 1), sebagai
subgrup-subgrup. Juga perlu dicatat bahwa kita dapat mendefinisikan transformasi Mobius dalam bentuk seperti pada persamaan (1) dengan ad − bc = 1, dengan membagi pembilang dengan faktor λ = ad − bc ≠ 0. TITIK-TITIK TETAP DAN HASIL BAGI SILANG Misalkan z adalah titik tetap dari transformasi Mobius (1) di atas. Ini berarti
f ( z ) = z , sehingga z =
cz 2 + (d − a) z − b = 0.
az + b . Dari persamaan terakhir ini dapat diperoleh cz + d
Persamaan ini punya paling banyak dua akar. Jadi dapat disimpulkan lemma berikut ini. Lemma Bila transformasi Mobius f punya tiga atau lebih titik-titik tetap, maka f merupakan transformasi Mobius identitas, ditulis f = id . Di bawah ini diberikan teorema tentang transformasi Mobius yang membawa tiga titik yang diberikan ke tiga titik yang ditentukan. 78
Transformasi Mobius (Sangadji)
Teorema 2 Diberikan tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan z1 , z 2 , z 3 . Terdapatlah dengan tunggal transformasi Mobius f yang membawa tiga bilangan kompleks tersebut berturut-turut ke tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan
w1 , w2 , w3 . Bukti
z − z 2 z1 − z 3 ⋅ . Maka g1 adalah transformasi Mobius, yang z − z 3 z1 − z 2 membawa z1 ke 1, z 2 ke 0, dan z 3 ke titik di tak berhingga. Sekarang ambil w − w2 w1 − w3 ⋅ . Jelas bahwa g 2 adalah transformasi Mobius, yang g 2 ( w) = w − w3 w1 − w2 Ambil
g1 ( z ) =
membawa w1 ke 1, w2 ke 0, dan w3 ke ∞. Bentuk fungsi komposisi f = g 2−1 g 1 . Maka f akan membawa z1 ke w1 , z 2 ke w2 , dan z 3 ke w3 . Akan diperlihatkan bahwa f adalah tunggal. Misalkan f ' juga membawa z1 ke w1 , z 2 ke w2 , dan z 3 ke
w3 . Maka f f
−1
−1
f ' punya tiga titik tetap yang berlainan z1 , z 2 , z 3 . Sehingga didapat
f ' = id , dan f ' = f .
Akibat Bila dua transformasi Mobius f dan g bernilai sama untuk tiga titik yang berlainan, maka f = g . Bukti Misalkan kedua fungsi tersebut berturut-turut membawa tiga titik yang berlainan z1 , z 2 , z 3 ke w1 , w2 , w3 . Bentuk fungsi komposisi F = f −1 g. Tidaklah sulit untuk mengecek bahwa F punya tiga titik tetap yang berlainan z1 , z 2 , z 3 . Jadi menurut Lemma 2, F = id , dan f = g .
79
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir 2010, Oktober 2010 ( 77-84)
Definisi 2 Hasil bagi silang dari empat bilangan kompleks z 0 , z1 , z 2 , z 3 yang ditulis
( z 0 − z 2 ) /( z1 − z 2 ) z 0 − z 2 z1 − z 3 = ⋅ . ( z 0 − z 3 ) /( z1 − z 3 ) z 0 − z 3 z1 − z 2
dengan ( z 0 , z1 , z 2 , z 3 ) adalah nilai dari
Hasil bagi silang adalah invarian yang penting dari grup Mobius. Teorema 3 Bila z1 , z 2 , dan z 3 adalah bilangan-bilangan kompleks yang berlainan dan f adalah transformasi Mobius, maka bilangan kompleks z sembarang.
( z , z1 , z 2 , z 3 ) = ( f ( z ), f ( z1 ), f ( z 2 ), f ( z 3 )) untuk
Bukti Ambil g ( z ) = ( z , z1 , z 2 , z 3 ). Maka g f
−1
akan membawa f ( z1 ) ke 1, f ( z 2 ) ke 0,
dan f ( z 3 ) ke ∞. Tetapi, h( z ) = ( z , f ( z1 ), f ( z 2 ), f ( z 3 )) juga membawa f ( z1 ) ke 1, f ( z 2 ) ke 0, dan f ( z 3 ) ke ∞. Karena g f −1 dan h keduanya transformasi Mobius dan keduanya bernilai sama pada tiga bilangan kompleks yang berlainan, maka menurut akibat di atas g f −1 = h. Kemudian,
karena
g f
−1
( f ( z )) = g ( z ) = ( z , z1 , z 2 , z 3 ) dan
juga
h( f ( z ) = ( f ( z ), f ( z1 ), f ( z 2 ), f ( z 3 )), akan diperoleh hasil ( z , z1 , z 2 , z 3 ) = ( f ( z ), f ( z1 ), f ( z 2 ), f ( z 3 )) dan teorema terbukti.
SIFAT-SIFAT GEOMETRI DARI TRANSFORMASI MOBIUS Definisi3 Himpunan bagian dari bidang datar disebut cline, bila himpunan bagian tersebut merupakan lingkaran atau garis lurus. Hasil bagi silang dapat digunakan untuk mengidentifikasi cline. Teorema 4 Misalkan z 0 , z1 , z 2 , dan z 3 adalah empat bilangan kompleks yang berlainan. Maka hasil bagi silang ( z 0 , z1 , z 2 , z 3 ) adalah real bila dan hanya bila empat titik (bilangan kompleks) tersebut terletak pada suatu cline.
80
Transformasi Mobius (Sangadji)
Bukti Misalkan f ( z ) = ( z , z1 , z 2 , z 3 ). Maka f adalah transformasi Mobius, dan dapat ditulis
f ( z) =
az + b . Mengingat bilangan kompleks z real bila dan hanya bila z = z , maka cz + d
f (z ) real bila dan hanya bila az + b az + b = cz + d cz + d atau
(a c − c a ) | z | 2 +(a d − cb) z − (d a − bc) z + (b d − d b) = 0. (2) Bila ( a c − c a ) = 0, misalkan α = ( a d − cb) dan β = b d . Persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi Im(αz + β ) = 0, yang merupakan persamaan suatu garis lurus. Bila ( a c − c a ) ≠ 0, maka persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi
a d − cb d a − bc bd − d b z− z+ = 0. ac − c a ac − c a ac − c a bd − d b a d − cb dan δ = . Karena ac − c a adalah imajiner murni, Misalkan γ = ac − ca ac − c a | z |2 +
kita peroleh
γ = ( −)
d a − bc d a − bc = , a c − ca ca − ac
dan persamaan (2) menjadi
| z | 2 +γ z + γ z + δ = 0, atau
z +γ
2
= −δ + | γ | 2 ,
yang setelah disederhanakan menjadi
ad − bc . ac − ca 2
| z + γ |2 =
Karena ad − bc ≠ 0, persamaan ini menjadi persamaan suatu lingkaran dengan pusat
−γ.
81
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir 2010, Oktober 2010 ( 77-84)
CONTOH APLIKASI Akan dicari transformasi Mobius yang membawa titik-titik z1 = 2, z 2 = i, z 3 = −2 pada bidang z, berturut-turut ke titik-titik w1 = 1, w2 = i, w3 = −1 pada bidang w. Andaikan transformasi Mobius yang dimaksud adalah w = Dari
1=
ketentuan
tersebut
diperoleh
tiga
az + b . cz + d persamaan,
yaitu
2a + b ia + b − 2a + b , i= , −1 = . Dari ketiga persamaan ini, nilai-nilai b, 2c + d ic + d − 2c + d
c, dan d dapat dinyatakan dengan a. Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebut dengan a yang bukan 0, diperoleh transformasi Mobius yang dicari, yaitu
w=
3 z + 2i . iz + 6
KESIMPULAN Sifat-sifat fundamental yang penting dari transformasi Mobius adalah : 1. Bila transformasi Mobius f punya tiga atau lebih titik-titik tetap, maka f merupakan transformasi Mobius identitas, ditulis f = id . 2. Diberikan tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan z1 , z 2 , z 3 . Terdapatlah dengan tunggal transformasi Mobius f yang membawa tiga bilangan kompleks tersebut berturut-turut ke tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan w1 , w2 , w3 . 3. Bila dua transformasi Mobius f dan g bernilai sama untuk tiga titik yang berlainan, maka f = g . 4. Bila z1 , z 2 , dan z 3 adalah bilangan-bilangan kompleks yang berlainan dan f adalah transformasi Mobius, maka hasil bagi silang ( z , z1 , z 2 , z 3 ) = ( f ( z ), f ( z1 ), f ( z 2 ), f ( z 3 )) untuk bilangan kompleks z sembarang. 5. Misalkan z 0 , z1 , z 2 , dan z 3 adalah empat bilangan kompleks yang berlainan. Maka hasil bagi silang ( z 0 , z1 , z 2 , z 3 ) adalah real bila dan hanya bila empat titik (bilangan kompleks) tersebut terletak pada suatu cline.
82
Transformasi Mobius (Sangadji)
DAFTAR PUSTAKA 1. HVIDSTEN, MICHAEL 2005, “Geometry with Geometry Explorer’, McGrawHill International Edition, Boston, USA. 2. COXETER, H.S.M., “Projective Geometry”, Second Edition, University of Toronto Press, Toronto, Canada. 2003. 3. BROWN, JAMES WARD and CHURCHILL, RUEL V., “Complex Variables and Applications”, Sixth Edition, McGraw-Hill International Edition, New York, USA. 1996.
DISKUSI
NURDIN EFFENDI 1. Tadi dikatakan bahwa kumpulan dari transformasi mobius akan membentuk grup mobius. Pertanyaannya adalah apakah grup mobius tidak memiliki sifat-sifat khusus sebagaimana sifat-sifat yang dimiliki oleh vierergruppe dll? 2. Berapa jumlah elemen grupnya? Berhingga atau tidak?
SANGADJI 1. Ya, tentu saja. 2. Tak berhingga.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Nama
: Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.
Tempat & Tanggal Lahir
: Solo, 16 Juni 1948
Pendidikan
: S-1 Matematika UGM, S-2 Matematika Univ. of Arizona , USA, 1988, S-3 Matematika Univ. of Montana, USA, 1997.
83
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir 2010, Oktober 2010 ( 77-84)
Riwayat Pekerjaan
: 1974 s.d. sekarang di BATAN 1999 s.d. sekarang UBINUS
Keanggotaan
: Himpunan Matematika Indonesia
Kelompok
: Analisis Geometri
Makalah
: 1. Summabilitas Cesaro pada Operasi Deret Divergen 2. Transformasi Mobius.
84
