BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA Sangadji*
ABSTRAK BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA. Makalah ini membahas beberapaconjecturetentangbilangan prima yang patut diketahui,yaitu conjectureGoldbach,conjecture Bertrand, conjecture Hardy-Littlewood, conjecture Prima Kembar dan conjecturen2 + 1. Sampai sekarang,semua conjecture ini masih merupakan persoalan tentang bilangan prima yang belum
terselesaikan. Kata-kata kunci: conjecture,bilanganprima,bilanganprimakembar.
ABSTRACT SEVERAL CONJECTURES ABOUT PRIMES. This paper discusses several remarkable conjectures about primes le., Goldbach conjecture, Bertrand conjecture, Hardy-Littlewood conjecture, Twin Prime conjecture and the n2 + 1 conjecture. So far, all these conjectures stiIl constitute unsolved problems about primes. Key words: conjecture, prime, twin primes.
PENDAHULUAN Sebelum kita membahas beberapa conjectures tentang bilangan prima, sebaiknyakita bicarakandahulu beberapadefinisi dan terminologi yang diperlukan sertabeberapateoremadan sifat-sifatyangpentingdalamTeori Bilangan.
Definisi Bilangan bulat positif p yang lebih besar dari 1 disebut bilangan prima hila pembagipositif daTip (bilanganbulat) hanyalah1 danp. Bilanganbulat positif yang lebih besardari 1 yangbukanprima disebutbilangankomposit.
.Pusat Pengernbangan Teknologi Infonnasi dan Kornputasi -BATAN
239
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsdan TeknologiNuklir XIV, Juli 2003 (239-245)
Sesuaidengannamanya,bilangan-bilanganprima berperansangatpenting dan fundamentaldalam Teori Bilangan. Teorema FundamentalAritmetika yang akan dibahas dapat dijadikan dasar peranan dari bilangan prima yang penting dan fundamentaltersebut. Dari definisi tersebutjelas bahwa 1 bukan bilangan prima meskipunpembagipositif dari 1 hanyalahdia sendiri.Jugajelas bahwa satu-satunya bilanganprima yang genapadalahbilangan2.
Definisi Bilangan bulat b dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat a> 0, ditulis dengan notasi a I b, hila terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = a c. Di bawah ini diberikan beberapa sifat tentang divisibilitas daTi bilanganbilangan bulat. Bukti daTi sifat-sifat tersebut tidaklah sulit dan dapat dibaca di buku teks standar tentang teori bilangan.
Sifat-sifat Untuk bilangan-bilangan bulat p, q, r, s berlaku: (a)pIO,llp,plp. (b) p 11 hila dan hanya hila p =:t 1. (c) Bilaplqdan rlsmakaprlqs. (d) Bilap I q dan ql rmaka p I r. (e) pi q dan q I p hila dan hanya hila p = .rq. (t) Bilap I q dan q * 0 maka IFI ~ Iql. (g) Bilap I q dan p I r, makapl (qx + ry) untuk sembarangbilangan-bilangan bulatx dallY.
Teorematentangalgoritma pembagiandi bawahini merupakanfondasi untuk pengembangan dari Teori Bilangan. Bukti dari teorematersebuttidaklahmudah.Bagi pembacayang berminatuntuk mengetahuibuktinya dipersilakanmembacabuku teks standartentangTeori Bilangan.
Teorema (Algoritma Pembagian) Diberikanbilangan-bilanganbulat a clanb denganb > O.Maka terdapatdengan tunggalpasanganbilangan-bilanganbulat q clanr yangmemenuhipersamaan a = q b + r, 0
240
r
BeberapaConjectureTentangBilanganPrima (Sangadji)
Bilangan-bilanganbulat q dan r berturut-turut disebut hasi! bagi dan sisa dalam pembagiana olehb.
Definisi Diberikan bilangan-bilanganbulat a clanb yang keduanyatidak bersama-sama nolo Yang dimaksud denganpembagi persekutuanterbesar dari a dan b, ditulis gcd(a,b) adalahbilanganbulat positif d yang memenuhisyarat-syarat: (i) d I a clan d I b. (ii) Bila c I a dan c I b maka c I d.
Teorema (TeoremaFundamentalAritmetika) Setiap bilangan bulat positif p yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau basil kali dari bilangan-bilangan prima dengan penyajian atau penulisan yang tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktomya. Bukti dari Teorema Fundamental Aritmetika dapat dikatakan cukup sulit dan tidak diberikan di sini. Meskipun demikian buktinya juga dapat dibaca pada buku teks standartentang Teori Bilangan.
BEBERAPA CONJECTURE TENTANG BILANGAN PRIMA .Di bawah ini dibahaslima conjecturetentangbilanganprima yang dipandang cukup penting, yaitu conjecture Goldbach,conjectureBertrand, conjectureHardyLittlewood, conjecturePrima Kembar clanconjecturen2 + 1. Semuaconjecture ini sampai sekarangmasih merupakanpersoalantentangbilangan prima yang belum
terselesaikan. Definisi Conjecture adalah suatu pernyataan atau dugaan yang secara matematis belum dapat dibuktikan kebenarannya maupun kesalahannya. Meskipun biasanya banyak sekali contoh kejadian yang membenarkan conjecture tersebut, tetapi bukti secara matematis daTiconjecture tersebut belum diperoleh.
241
RisalahLokakaryaKomputasidalamgainsdan TeknologiNuklir XIV, Juli 2003
Conjecture Goldbach Christian Goldbach (1690 1764) adalah seorang matematikawan yang mendalami Teori Bilangan dan Analisis. Dia lahir di Prussia, Jerman, tinggal di beberapanegara Eropa Barat dan akhirnya menetap di Rusia. Conjecture Goldbach yang diumumkan dalam tahun 1742 menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap 2n yang lebih besar daTi 4 merupakan jumlah daTi dua bilangan prima yang ganjil. Dengan bantuan peralatan komputer, telah dapat diperlihatkan kebenaran conjecture Goldbach untuk semua bilangan bulat positif genap yang lebih kecil daTi 4.1014.Bila bilangan genap 2n tersebut makin besar maka banyaknya cara penulisan untuk menyatakan 2n sebagaijumlah daTidua bilangan prima yang ganjil juga makin banyak. Sebagai contoh, terdapat 219.400 cara penulisan untuk bilangan genap 100.000.000. Meskipun conjecture Goldbach tampaknya benar, tetapi sampai sekarang belum ada bukti matematis daTiconjecture tersebut. Bila conjecture Golbach benar, maka setiap bilangan bulat ganjil yang lebih besar daTi 7 merupakan jumlah daTi 3 bilangan prima yang ganjil. Hal ini berdasarkan fakta bahwa bila n adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daTi 7 maka n = 3 + (n-3) dengan n-3 adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daTi4. Selanjutnya dengan conjecture Goldbach n- 3 merupakan jumlah daTi dua bilangan prima yang ganjil. Jadi n merupakanjumlah daTi3 bilangan prima yang ganjil.
ConjectureBertrand Joseph Louis Francois Bertrand (1822 1900) ada1ah seorang matematikawan Perancis yang menda1ami Teori Bi1angan, Analisis, Geometri Diferensial clan Teori Probabilitas. Conjecture Bertrand yang diumumkan dalam tahun 1845, menyatakan bahwa antara bilangan bulat n ~ 2 clan 2n terdapat sekurang-kurangnya satu bilangan prima. Meskipun dia tidak dapat membuktikan conjecture tersebut, tetapi dapat membuktikannya untuk semua bilangan-bilangan bulat n ~ 3.000.000. Salah satu cara untuk memperoleh hasil ini adalah dengan membentuk barisan daTibilanganbilangan prima
3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503, 5003,9973,19937,39869,79699,159389,... di mana setiap elemen ke n + 1 nilainya lebih kecil daTidua kalinya elemen ke n.
242
BeberapaConjectureTentangBilanganPrima (Sangadji)
ConjectureHardy-Littlewood GodfreyHarold Hardy (1877 1947)clanJohn EdensorLittlewood (1885-1977) keduanya adalah matematikawanInggris yang mendalami Analisis clan Teori Bilangan. Dalam tahun 1923 keduanyamengumumkanconjectureyang menyatakan bahwa Jl"(X+ Y)~Jl"(X)+ Jl"(Y) untuk semuabilangan-bilanganbulat x, y dengan2 ~ Y ~ x, di mana 1l"(n) adalah banyaknyabilangan-bilanganprima yanglebih kecil atausarna dengann. Conjectureini telah dicek kebenarannyauntuk x + y ~ 100.000. Untuk x = y terjadi pertaksamaan 1l"(2x)~ 21l"(x). Telah dibuktikan kebenarannya bahwa 1l"(2x)< 21l"(x). untuk semuax ~ 11 dalamtahun1975.
Conjecture Prima Kembar Dua bilangan prima disebut Prima Kembar hila selisih mereka adalah dua. Sebagaicontohadalahpasanganbilanganprima 3 clan5, 5 clan7, 11 dan 13, 101 clan 103,serta4967 clan4969. ConjecturePrima Kembar menyatakanbahwa terdapattak berhingga banyak pasanganbilanganprima p clan p + 2. Dalam tahun 1966 matematikawanCina, J. R. Chen, membuktikanbahwa terdapattak berhinggabanyakbilangan prima p sedemikiansehingga p + 2 punya paling banyakdua faktor prima. Kompetisi untuk menghasilkanPrima Kembar yang paling besar sedangberjalan terns. Rekor saat ini adalahuntuk pasanganbilangan pnma 665551035.28oo25:J: 1 yang ditemukandalamtahun2000.
Conjecture n1 + 1 Conjecture n2 + 1 menyatakanbahwa terdapattak berhinggabanyakbilangan prima denganbentuk n2 + 1 di manan adalahbilanganbulatpositif. Bilangan prima terkecil denganbentuk n2 + 1 adalah 5 = 22+ 1, kemudian 17 = 42+ 1,37 = 62 + 1,101 = 102+ 1,197 = 142+ 1, clanseterusnya.Hasil terbaik
243
2.
RisalahLokakaryaKornputasidalamSainsdan TeknologiNuklir XIV, Juli 2003
selamaini adalahbahwa terdapattak berhinggabilangan bulat positif n sedemikian sehingga n2 + 1 adalahprima atau basil kali dan dua bilanganprima, yang telah dibuktikanoleh HendrikIwaniec dalamtaboo 1973.
KESIMPULAN Dari kelima conjecture di atas, meskipun banyak sekali contoh-contoh kejadian di mana kelima conjecture tersebut benar, tetapi secara matematis kelima conjecture tersebut belum dibuktikan kebenarannya. Sesuai dengan perkembangan teknologi komputasi dengan peralatan komputer yang sangat canggih, dimungkinkan terdapatnya bilangan-bilangan bulat yang besar sekali di mana conjecture tersebut tidak berlaku. Di pihak lain, dimungkinkan juga kebenarandaTibeberapaconjecture di atas.
Di sampingkelima conjecturedi atas masih terdapatbanyakconjectureyang lain tentang bilangan prima, misalnya conjectureCollatz, conjectureMertens dan conjectureArtin.
DAFTARPUSTAKA BURTON, David M., Elementary Number Theory,Fifth Edition, McGraw-Hill Higher Education,McGraw-Hill Company,New York, 2002 FLATH, Daniel E., Introductionto NumberTheory,JohnWiley & SonsInc., New York, 1989 3. NNEN, I., H. Zuckerman,and H. Montgomery,An Introduction to the Theory of
Numbers,Fifth Edition, JohnWiley & SonsInc., New York, 1991 4. ROSEN, KennethH., ElementaryNumber Theoryand Its Applications. Fourth Edition, AddisonWesleyLongman,Inc., Massachusetts, 2000.
244
2.
BeberapaConjectureTentangBilanganPrima (Sangadji)
DISKUSI MIKE SUSMIKANTI 1.
2.
Aplikasinya di bidangapa? Bagaimanaalgoritrnanyaagardapatdikonversike program?
SANGADll 1
Aplikasi teori bilangan antara lain pada kriptografi, perhitungankalender, persarnaan diophantineyang solusinyaadalahintegersdanpenggunaan indeks. Dalam makalah ini mernangbelum dibahasalgoritmanyauntuk konversi ke program. DAFT AR RIW A Y A T HIDUP
1. Nama
: Sangadji
2. Tempat/fanggalLahir 3. Instansi
: Solo, 16 Juni 1948 : P2TIK -BATAN
4. Pekerjaan/ Jabatan
: KepalaBidangInfonnasidanDokumentasiIlmiah
5. RiwayatPendidikan
/ Peneliti : (setelahSMU sampaisekarang)
.SI
JurusanMatematika,UniversitasGajahMada, 1974
.S2
JurusanMatematika,University of Arizona,USA,1988
.S3 JurusanMatematika,Universityof Montana,USA, 1997 6. Pengalaman Kerja : .Kasubag Ilmiah danDokumentasi,PPNY-BATAN, 1980-1986 .Kabid
Komputasi,1999-2002P2TIK -BATAN
.Kabid illI, P2TIK -BATAN, 2002-sekarang 7. OrganisasiProfesional : .Himpunan MatematikaIndonesia
.Himpunan Fisika Indonesia
Home
245
