SISTEM BILANGAN
A. Pendahuluan Komputer dibangun dengan menggunakan sirkuit logika yang beroperasi pada informasi yang dipresentasikan dengan dua sinyal listrik. Dua nilai tersebut adalah 0 dan 1. dan jumlah informasi yang dipresentasikan oleh sinyal tersebut sebagai bit informasi, dengan bit adalah singkatan dari binary digit. B. Sistem Bilangan Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital, diantaranya yaitu :
Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Oktal Bilangan Heksadesimal Bilangan BCD
1. Bilangan Desimal Bilangan Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang,yaitu D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 karena mempunyai 10 digit. Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 di akhir suatu bilangan Contoh: 357des = 35710 = 357 Contoh bilangan : 5736 Artinya : 5736
=
5000 + 700 + 30 + 6 3
=
2
1
5 . 1000 + 7 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1 = 5 . 10 + 7 . 10 + 3 . 10 0
+ 6 . 10 2. Bilangan Biner Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word. Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu: B = 0, 1.
14
Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 di akhir suatu bilangan Contoh: 1010011bin = 10100112. a) Biner ke decimal x
Untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X ) menggunakan perpangkatan 2 . 2
3
2
1
0
1110( ) = (1 x 2 ) + (1 x 2 ) + (1 x 2 ) + (0 x 2 ) 2
=8+4+2+0 = 14 b) Konversi Bilangan Biner ke Desimal Misalnya terdapat bilangan 01001011 dalam sistem biner, berapakah ekivalennya dalam sistem desimal ? 7
6
5
4
3
2
1
0
Pedoman
2
2
2
2
2
2
2
2
128
64
32
16
8
4
2
1
0
1
0
0
1
0
1
1
Bilangan yang akan dikonversi
0
64
0
0
8
0
2
1
Hasil Perkalian
n
Ekivalen 2
3. Bilangan Oktal Merupakan sistem bilangan basis delapan. Pada sistem bilangan ini terdapat delapan lambang, yaitu: O = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ciri sistem bilangan oktal adalah adanya tambahan subskrip okt atau 8 di akhir suatu bilangan. Contoh: 1161okt = 11618. Bilangan oktal adalah bilangan dasar delapan, Karena oktal dan heksa merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. Oktal berkaitan dengan prinsip biner. a) Konversi Bilangan Oktal ke Desimal Contoh bilangan bulat: 1161okt = 625des
15
3
1161okt = 1 X 8 = 512+64+48+1 = 625des
2
+ 1 X 8
1
+ 6 X 8
b) Konversi Bilangan Desimal ke Oktal Contoh Bilangan Bulat : 625des = 1161okt 625 / 8 = 78 sisa 1 78 / 8 = 9 6 9/8 =1 1 1/8 =0 1 (LSB)
0
+ 1 X 8
(MSB)
c) Konversi Bilangan Oktal ke Biner Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner Contoh: 1161okt = 1
1
6
1
001 001 110 001 001001110001bin d) Perubahan dari Oktal ke Biner Contoh : Ubahlah bilangan oktal 6305 menjadi bilangan biner 8
Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
16
e) Konversi Bilangan Biner ke Oktal Contoh Bilangan Bulat: 1001110001bin = 1161okt 001 001 110 001 1
1
6
1
4. Bilangan Heksadesimal Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik. Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu: H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116 Konversi Bilangan Heksadesimal ke Desimal 271heks = 625des 271heks 2
1
0
= 2 X 16 + 7 X 16 + 1 X 16 = 512 + 112 + 1 = 625des a) Konversi Bilangan Bulat Desimal ke Heksadesimal Konversi bilangan bulat desimal ke heksadesimal dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 16. Sisa setiap pembagian merupakan digit heksadesimal yang didapat. Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal 625 / 16 = 39 sisa 1 (LSB) 39 / 16 = 2 7 2 / 16 = 0 2 (MSB) Jadi 625des = 271heks b) Konversi Bilangan Heksadesimal ke Biner Konversi bilangan heksadesimal ke biner lebih mudah dibandingkan konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Satu digit heksadesimal dikonversi ke 4 bit biner. Contoh Bilangan Bulat: 271heks = 1001110001bin 2 7 1 10 11 0001
17
Contoh mengubah bilangan heks ke bilangan biner Ubahlah bilangan heks 5D93 menjadi bilangan biner! 16
Jadi bilangan biner untuk heks 5D93 adalah 0101110110010011 16
Tabel digit heksadesimal
Operasi aritmetika pada bilangan Biner : a. Penjumlahan Dasar penujmlahan biner adalah : 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0
dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 = 2, karena digit terbesar
ninari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1 contoh :
18
1111 10100 + 100011 atau dengan langkah : 1+0
=1
1+0
=1
1+1
= 0 dengan carry of 1
1+1+1
=0
1+1
= 0 dengan carry of 1
1 0
0
0
1
1
b. Pengurangan Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah : 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0–1=1
dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya).
Contoh : 11101 1011 10010
dengan langkah – langkah : 1–1
=0
0–1
= 1 dengan borrow of 1
1–0–1
=0
1–1
=0
1–0
=1 1 19
0
0
1 0
c. Perkalian Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner adalah : 0x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1 contoh Desimal
Biner
14
1110
12 x
1100 x
28
0000
14
0000 1110 +
168
1110
+
10101000
d. pembagian Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah : 0:1=0 1:1=1 Desimal
Biner
5 / 125 \ 25
101 / 1111101 \ 11001
10 -
101 -
25
101
25 -
101 -
0
0101 101 0
20
3. Bilangan Oktal Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7. Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8. Contoh : 12(8) = …… (10) 2x80=2 1 x 8 1 =8 10 Jadi 10 (10) Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal a. Penjumlahan Langkah-langkah penjumlahan octal : -
tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke octal
-
tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh : Desimal
Oktal
21
25
87 + 108
127 + 154 5 10 + 7 10
= 12 10 =
2 10 + 2 10 + 1 10 = 5 10 1 10
= 1 10
b. Pengurangan
21
= =
14 8 58 18
Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal. Contoh : Desimal
Oktal
108
154
87 -
127 -
21
25 48 -78
+88
(borrow of) = 5 8
5 8 - 2 8- 1 8
=28
18 -18
= 08
c. Perkalian Langkah – langkah : -
kalikan masing-masing kolom secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke octal
-
tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh : Desimal
Oktal 16
14
14 x
12 x
70
28
4 10 x 6 10
14 +
= 24 10 = 30 8
4 10 x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8
168 16 14 x 70
22
16 1 10 x 6 10
= 6 10
=68
1 10 x 1 10
= 1 10 = 1 8
16 14 x 70 16 + 250 7 10 + 6 10 = 13 10 = 15 8 1 10 + 1 10 = 2 10 = 2
8
d. Pembagian Desimal
Oktal
12 / 168 \ 14
14 / 250 \ 16
12 -
14 -
48
110
48 –
110 -
0
0
14 8 x 1 8 = 14 8 14 8 x 6 8 = 4 8 x 6 8 = 30 8 1 8 x 6 8= 6 8 + 110 8
4. Bilangan Hexadesimal Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15 Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 16. Contoh : C7(16) = …… (10) 7 x 16 0
23
=
7
C x 16 1
= 192 199
Jadi 199 (10) Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal a. Penjumlahan Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal : -
tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke hexadesimal
-
tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal
-
kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh : Desimal
hexadesimal
2989
BAD
1073 +
431 +
4062
FDE D 16 + 1 16 = 13 10 + 110 = 14 10 = E 16 A 16 + 3 16 = 10 10 + 3 10 = 13 10
=D 16
B16 + 4 16 = 1110 + 4 10 = 15 10 = F 16
b. Pengurangan Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.
24
Contoh : Desimal
hexadesimal
4833
12E1
1575 -
627 -
3258
CBA 16 10 (pinjam) + 1 10 - 710
= 10 10 = A 16
14 10 - 7 10 - - 1 10 (dipinjam) = 11 10 =B 16 1610 (pinjam) + 2 10 - 610
= 12 10 = C 16
1 10 – 1 10 (dipinjam) 0 10 = 0 16
c. Perkalian Langkah – langkah : -
kalikan masing-masing kolom secara desimal
-
rubah dari hasil desimal ke octal
-
tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-
kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh : Desimal
172 27 x 1204
Hexadesimal
AC 1B x 764
344 +
C 16 x B 16
4644
=12 10 x 1110= 84 16
A16 x B16 +816 = 1010 x 1110+810=7616
AC
25
1B x 764 AC C16 x 116 = 1210 x 110 =1210=C16 A16 x 116 = 1010 x110 =1010=A 16 AC 1B x 764 AC + 1224 616 + C16 = 610 + 1210 = 1810 =12 16 716+A16 +116 = 710 x 1010 + 110=1810 = 1216
D. Pembagian Contoh : Desimal
hexadesimal
27 / 4646 \ 172
1B / 1214 \ AC
27-
10E -
194
144
189 –
144-
54
1B16xA16 = 2710x1010=27010= 10E16 1B 16 x C16 = 2710 x 10 10 = 3240 10
0
=14416
54 – 0
26
