Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian

1

Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan, menggambar fungsi pada koordinat kartesius, menghitung nilai mutlak, dan menghitung jari-jari dan pusat lingkaran. Materi pada bagian 1 ini merupakan pengulangan dari pelajaran Matematika yang Anda peroleh dari SMU dulu. Untuk itu perlu diingat kembali materi mengenai sistem bilangan yang telah Anda pelajari. Selain itu materi pada bagian 1 ini merupakan batu loncatan untuk mempelajari materi selanjutnya dari mata kuliah Matemarika Teknik I, untuk itu Anda harus menguasai bagian ini dengan sempurna agar tidak menemui kesulitan dalam mempelajari materi selanjutnya. Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 1 Sistem Bilangan adalah Anda akan mampu : 1. Menyebutkan jenis bilangan dan membuat masing-masing 3 contoh. 2. Menghitung bilangan mutlak 3. Menuliskan himpunan penyelesaian pada selang bilangan 4. Membuat lukisan grafik pada koordinat kartesius 5. Menghitung jarak, jari-jari, dan pusat lingkaran

1.1 Bilangan dan Ketidaksamaan Terdapat 5 jenis bilangan dasar yang kita kenal dalam ilmu Matematika, yaitu : 1. Bilangan Asli : 1, 2, 3, ... dst. 2 Bilangan Bulat : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... dst. 3 Bilangan Rasional : -3/2, -1/2, 1/5, 1/100, ... dst. 4 Bilangan Riil : -3/2, -1, 0, 2, 1/20, ... dst. 5 Bilangan Kompleks : 2 + 3i, 4 + i, 5 + 10i, ... dst. Dengan i = √-1 Jika kelima jenis bilangan tersebut digambarkan dalam bentuk diagram venn, maka dapat kita lihat dalam Gambar 1 berikut.

5 4 3 2 1 Gambar 1.1 Diagram Venn untuk 5 jenis bilangan dasar

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan

1

Selain kelima jenis bilangan, terdapat satu jenis bilangan lagi, yaitu bilangan Irrasional, seperti contoh 2 , 5 , 10 , ...dst. Dalam penggunaannya, sering kita menyatakan sebuah bilangan dalam suatu garis lurus yang disebut dengan selang bilangan atau interval. Jadi jika kita ingin menampilkan sekelompok bilangan pada selang bilangan, kita dapat menuliskannya seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2 berikut.

Gambar 1.2 Penulisan bilangan pada selang bilangan Untuk menyatakan suatu bilangan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan yang lain digunakan tanda ketidaksamaan yang mempunyai lambang < atau >. Tata cara penulisan dan cara membaca pertidaksamaan dapat dilihat dalam Tabel 1.1 di bawah ini. Tabel 1.1 Penulisan tanda pertidaksamaan dan cara membacanya Penulisan matematika

Cara membaca

a < b atau b > a

a di kiri b

a ≤ b atau b ≥ a

a di kiri b atau a = b

a < 0 atau o > a

a di kiri batas 0

a
a di kiri b dan b di kiri c

Tampilan pada selang bilangan

Jika bilangan a, b, c dan d adalah bilangan riil, maka akan berlaku : i. ii. iii. iv. v.

jika a < b dan b < c maka a < c jika a < b maka a + c < b + c dan a – c < b – c jika a < b maka ac < bc jika c positif dan ac > bc jika c negatif jika a < b dan c < d maka a + c < b + d jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif dan a < b maka 1/a > 1/b

Contoh 1.1 Selesaikan pertidaksamaan 7 ≤ 2 – 5x < 9 dan buatlah himpunan penyelesaiannya (HP). Penyelesaian :

5 ≤ - 5x < 7 -1 ≥ x > - 7/5 -7/5 < x ≤ -1 ..............................................HP. {x : -7/5 < x ≤ -1) Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan

2

Contoh 1.2 2 Selesaikan pertidaksamaan x – 3x >10 dan buatlah himpunan penyelesaiannya (HP). Penyelesaian : x2 – 3x >10 x2 – 3x – 10 > 0 (x + 2)(x – 5) > 0 titik uji x = -3 (-≈ , -2)

+

titik uji x = 0

(-2 , 5)

-

titik uji x = 6

(5 , +≈)

+

Titik uji yang bernilai positip menunjukkan daerah himpunan penyelesaian. Jadi HP.

{ x : x < - 2, x >5}. Berdasarkan 2 contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan dapat ditentukan langsung dengan menyederhanakannya. Cara lain adalah membuat titik uji. Titik uji yang dipilih ditentukan berdasarkan rentang nilai x yang diperoleh dari penyelesaian persamaan.

Latihan Soal 1.1 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. 5 < x – 3 < 13 2. 7 > x – 2 > 4 3. x2 – 3x > - 2 4. x2 – 5 < 6x 5. x2 + 8x + 16 > 0 6. x2 + 2x > 3

1.2 Selang (Interval) Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, selang (interval) digunakan untuk melukiskan posisi sebuah bilangan dalam garis horizontal. Posisi ini penting untuk menjelaskan kedudukan suatu bilangan dengan bilangan yang lain. Dalam pemanfaatannya, selang bilangan ini juga dipakai untuk melukiskan posisi suatu himpunan penyelesaian. Hubungan antara notasi selang, notasi himpunan


3

penyelesaian, pengertian geometrik, dan klasifikasinya diperlihatkan dalam Tabel 1.2 di bawah ini. Contoh 1.3 Selesaikan pertidaksamaan 7 < 2 – 5x < 9 dan nyatakan dalam selang bilangan Penyelesaian : 7 < 2 – 5x < 9 5 < - 5x < 7 -1 > x > - 7/5 -7/5 < x < -1 ..............................................HP. {x : -7/5 < x < -1)

-7/5

-1

Tabel 1.2 Notasi selang dan klasifikasinya Notasi Interval

Notasi Himpunan

[a,b]

{x : a ≤ x ≤ b}

Tertutup

(a,b)

{x : a < x
Terbuka

[a, b)

{x : a ≤ x < b}

½ terbuka

Geometrik

Klasifikasi

½ tertutup

(-≈, b]

{x : x ≤ b}

Tertutup

(-≈, b)

{ x : x < b}

Terbuka

[a, +≈)

{x : x ≥ a }

Tertutup

( a, +≈)

{x : x ≥ a }

Terbuka

(-≈ , + ≈)

{x : x bil. R)

Tertutup dan terbuka

Contoh 1.4 Selesaikan pertidaksamaan x2 – 3x >10 dan nyatakan dalam selang bilangan Penyelesaian : x2 – 3x >10 x2 – 3x – 10 > 0 (x + 2)(x – 5) > 0 titik uji x = -3 (-≈ , -2) titik uji x = 0 (-2 , 5)


+ -

4

titik uji x = 6 (5 , +≈) + ............................................................................................HP. { x : x < 2, x >5}

Contoh 1.5 Selesaikan pertidaksamaan

2x − 5 < 1 dan nyatakan dalam selang bilangan x−2

Penyelesaian :

2x − 5 <1 x−2 2x − 5 -1<0 x−2 (2 x − 5) − ( x − 2) <0 ( x − 2)

( x − 3) <0 ( x − 2) titik uji x = 0 (-≈ , -2) + titik uji x = 2, 5 (2 , 3 ) titik uji x = 4 (3 , +≈) + .................................................................HP. { x : 2 < x < 3}

Latihan Soal 1.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal berikut, buatlah himpunan penyelesaian dan nyatakan dalam selang bilangan. 1. 3 < x – 3 < 13 2. 5 > x – 2 > 4 3. x2 – 3x > - 5 4. x2 + 5 < 4x 5. x2 + 8x + 16 > 0


5

1.3 Nilai Mutlak Nilai mutlak bilangan riil adalah a jika a berharga lebih besar dari nol dan berharga negatif a jika a lebih kecil dari nol, atau dinotasikan : a

jika a ≥ 0

-a

jika a < 0

|a|= sehingga -| a | ≤a ≤ | a | Contoh 1.6 | -4/7 | = -(-4/7) = 4/7 Contoh 1.7 Selesaikan persamaan bilangan mutlak : | x – 3| = 4 dan buatlah himpunan penyelesaiannya Penyelesaian : │X – 3│ = 4 x–3=4

atau

x–3 =-4

x=7

x = -1

Nilai x = 7 dan x = - 1 yang kita peroleh bukan himpunan penyelesaian. Untuk menentukan himpunan penyelesaian kita perlu mengecek terhadap selang diantara nilai x yang didapat dengan menggunakan titik uji. Titik uji yang dipilih dimasukkan dalam persamaan nilai mutlaknya. Selang uji

Titik uji

Perhitungan

Tanda

- ≅ sampai x = - 1

X=-2

│-2 – 3 │= 5

salah

X=-1

benar

-1<x<7

X=0

salah

X = 7 sampai ≅

X=7

benar

X = 10

salah

Teorema 1. Untuk sembarang bilangan Riil a :

a2 = | a | Teorema 2. Jika a dan b bilangan riil, maka : - |-a| |ab|

=|a| =|a||b|


6

|a/b|

=|a|/|b|

Teorema 3. Rumus jarak antara A – B dengan koordinat a dan b : d . | b-a | Contoh 1.8 Selesaikan persamaan nilai mutlak | 3x – 2 | = | 5x + 4 | dan buatlah himpunan penyelesaian. Penyelesaian : 3x – 2 = 5x + 4

atau

x = -3

3x-2 = -(5x+4) x = -1/4

Contoh 1.9 Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak

1 > 5 dan buatlah himpunan [2 x − 3

penyelesaiannya. Penyelesaian : | 2x-3 | < 5 | 2(x-3/2 ) |<5 | 2 || x-(3/2) | < 1/10 atau –1/10 < (x-3/2)<1/10 7/5 < x < 8/5 ..............................HP. {7/5,3/2)U{3/2,8/5)

Latihan Soal 1.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal berikut, buatlah himpunan penyelesaian dan nyatakan dalam selang bilangan. 1.

3x + 5 = 4

2.

3x + 5 ≤ 4

3.

3x + 5 = 2 x − 2

4.

2 ≥2 3x + 5

5.

x+3 − x+3 = 2

2


7

1.4 Bilangan, Koordinat, dan Grafik Sebuah bilangan atau koordinat dapat digambarkan dalam sebuah bidang 2 dimensi. Sumbu x menyatakan garis horizontal dan sumbu y menyatakan garis vertikal. Sistem koordinat seperti itu disebut dengan sistem koordinat kartesius.

sumbu y

0

kuadran II (-,+)

kuadran I (+,+)

kuadran III (-,-)

kuadran IV (+,-)

Gambar 1.2 Sistem koordinat kartesius Contoh1.10 Lukislah grafik fungsi y = x2 pada koordinat kartesius Penyelesaian : Nilai x Nilai y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

3 9

y = x2

Selain dapat menggambar dalam bidang 2 dimensi, kita juga dapat mengambar fungsi dalam bidang 3 dimensi. Ada tiga sumbu yang dipakai dalam menggambar


8

bidang tiga dimensi, yaitu sumbu z, sumbu x, dan sumbu y. Posisi ketiga sumbu tersebut mengikuti kaidah tangan kanan.

Contoh 1.11 Lukislah grafik fungsi z = 4 – 4x-2y pada bidang tiga dimensi Penyelesaian : Jika nilai x = 0, y = 0 maka z = 4

Jika nilai x = 0, z = 0 maka y = 2

Jika nilai z = 0, y = 0 maka x = 1

sb y

positif

negatif

slope

slope

Latihan Soal 1.4 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal berikut, gambarkan fungsi pada bidang koordinat. Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan

9

1.

y = x pada bidang koordinat kartesius

2. y = x + 6 dan y = x2 pada bidang koordinat kartesius 3. y = x2 + 2 pada bidang koordinat kartesius 4. z = 3 + 3x – 9y pada bidang koordinat 3 dimensi 5. x = 4 + z – 2x pada bidang koordinat 3 dimensi

1.5 Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis y = ax2 + bx + c Jarak Jarak antara titik P1 yang mempunyai koordinat (x1, y1) dengan titik P2 yang mempunyai koordinat (x2, y2) seperti yang diperlihatkan dalam Gambar di bawah ini, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan :

[( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 ] Jarak tersebut dihitung berdasarkan teorema phytagoras a2 + b2 = c2. Contoh 1.12 Hitunglah jarak antara titik Q yang mempunyai koordinat (3,4) dan titik P yang mempunyai koordinat (10,1) Penyelesaian :

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = (10 − 3) 2 + (1 − 4) 2 = 49 + 9 = 58

Contoh 1.13 Hitunglah jarak antara titik-titik yang diperlihatkan dalam Gambar di bawah ini


10

Penyelesaian : Sb. y A (4,6) C (7,5)

Sb. x

B (1,-3)

D(AB) = 90 D(AB) =

10 ...................................... D(AB) = 10

Lingkaran Jari-jari lingkaran yang mempunyai titik pusat di (x0,y0) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan :

R = [( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ]

R 2 = (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 (x,y)

(xo,yo)


11

Contoh 1.14 Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran persamaan x2 + y2 – 8x + 2 y + 8 = 0

Persamaan y = ax2+bx +c : Bentuk kurva dari persamaan garis bisa membuka ke atas atau membuka ke bawah. Bentuk tersebut sangat tergantung kepada berapa nilai a. Jika a bernilai positip, kurva akan membuka ke atas. Jika a bernilai negatif, kurva akan membuka ke bawah. Lukisan dari kurva tersebut dapat dilihat dalam Gambar berikut. Sb. y

y = ax2 + bx + c a>0

Sb. x

Latihan Soal 1.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah jarak antara titk P yang mempunyai koordinat (10,2) dan titik Q yang mempunyai koordinat (-1, 3) 2. Hitunglah jarak antara tiap titik dari tiga titik A, B, dan C yang masing-masing mempunyai koordinat (-1,-1), (13,17), dan (5,-1) 3. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran dari persamaan lingkaran 2x2 + 2 y2 +24 x –81 = 0


12

Bagian 1 Sistem Bilangan

Recommend Documents