Sistem-Sistem Bilangan Sistem-Sistem Bilangan secara matematis: Bilangan : Nilai
:
Dr
dn
1
dn
n
Dr
i
1
2
d1d 0 d
di n
1
d
n
ri
Contoh-2:
desimal: 5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2 = 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
biner (radiks=2, digit={0, 1}) 100112 = 1 |
MSB
16 + 0
8+0
4+1
2+1
1 = 1910
|
LSB
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510 1
Sistem-Sistem Bilangan Umum Sistem
Radiks
Desimal Biner
r=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} r=2 {0,1}
Oktal
r= 8
Heksa desimal
r=16
Desimal
0
1
2
Himpunan/elemen Digit
Contoh 25510 111111112
{0,1,2,3,4,5,6,7}
3
3778
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}
4
5
6
7
8
9
FF16
10 11 12 13 14 15
Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 2
Konversi Radiks-r ke desimal Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Dr
n 1 i
n
di
r
i
Contoh-2:
1101.1012 = 1 23 + 1 22 + 1 20 + 1 2-1 + 1 2-3 = 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510
572.68 = 5 82 + 7 81 + 2 80 + 6 8-1 = 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510 2A.816 = 2 161 + 10 160 + 8 16-1 = 32 + 10 + 0.5 = 42.510 132.34 = 1 42 + 3 41 + 2 40 + 3 4-1 = 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510
341.245 = 3 52 + 4 51 + 1 50 + 2 5-1 + 4 5-2 = 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610
3
Konversi Desimal ke biner
Konversi bilangan desimal bulat: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB). Contoh: Konersi 17910 ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB)
17910 = 101100112 4
Konversi desimal ke biner – lanj.
Konversi fraksi-fraksi desimal ke biner: kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama MSB, dan yang terakhir LSB. Contoh: Konversi 0.312510 ke biner
Digit hasil
2
.3125
.625
2
.25 .5
2 2
=
0.625
0
=
1.25
1
=
0.50
0
=
1.0
1
0.312510 = .01012
(MSB)
(LSB) 5
Penjumlahan aritmatika Biner
Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi carry.
Contoh:
Cout dr bit ke-5 = Cin dr bit ke-6 6
Pengurangan aritmatika Biner
Dua bil. Biner dikurankan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan.
Contoh:
7
Representasi-2 bilangan biner negatif
Besaran bertanda (Signed-magnitude)
Komplemen satu (Ones’-complement)
Gunakan MSB sbg bit tanda (sign bit), dan sisa sbg besran (magnitude) Contoh: 111111112 = -12710 Jangkauan mulai -2(n-1)+1 s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil. biner n-bit Sign bit tidak digunakan u/ operasi aritmatika MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 u/ memperoleh bil. negatif Contoh: 11910 = 01110111, -11910 = 10001000 Jangkauanya sama spt representasi “signed-magnitude” Sign bit akan digunakan dalam operasi aritmatika
Komplemen dua (Two’s-complement)
MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 dan tambah 1 u/ memperoleh bilangan negatif Conoth: -11910 = 10001001 Jangkauan mulai dari -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil biner n-bit 8 `Sangat baik’ u/ operasi aritmatika
Perbandingan dari representasi yang berbeda
Hanya 2’scomplement membentuk sebuah siklus counting
9
Sifat-2 penting (Key properties) dari 2’s-complement
Represntasi nol (zero) yang unikn
Disamping operasi `add-one’ dlm penegatifan sebuah bil., komplemen dari komplemen sebuah bilangan adalah bilangan asal (original number.
Nilai bil. 2’- complement n-bit dinyatakan sbb.:
D 2’s-complement = dn-1 -2 n-1 + dn-2 2n-2 … d1 21 + d0 Contoh: 10112 = 1 -23 + 0 22 + 1 21 + 1 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5
Ekstensi tanda (Sign-extension):
Signed-magnitude dan 1’s-complement memiliki dua nol dapat merepresentasikan satu bil. ekstra: -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
Sebuah bil 2’s-complement n=bit dpt dikonversi menjadi bil m-bit dimana m>n melalui penambahan m-n kopi dr sign bit ke kiri bilangan. Contoh: 1011 4-bit 2’s-complement = 11111011 8-bit 2’s-complement – terbukti !!
Penjumlahan dan pengurangan bil.-2 2’s complement seperti halnya bilangan tak bertanda, namun melalui aturan deteksi overflow yang sederhana 10
Penjumlahan/pengurangan 2’s complement
Operasi-2 yang sama baik u/ bil. positif maupun negatif `Penjumlahan’ contoh-2: Ignore carry out from MSB 4 0100 -2 1110 + -7 1001 + -6 1010 -3 1101 -8 1 1000 Pengurangan dilakukan dgn penambahan 2’s complement dari bil.
Mirip spt bil. desimal Implementasi sederhana dgn menggunakan rang. digital – ?
invert bit-bit dan tambahkan sebuah Cin=1 menjadi bit LSA
Overflow: Hasil melebihi range -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
terjadi jk signs (MSBs) dari kedua operand sama dan sign hasil berbeda Dpt juga dideteksi dgn membandingkan Cin dan Cout dari sign bi Implementasi gunakan XOR.
11
Penjumlahan/pengurangan One’s-complement
Jika terdapat sebuah “carry out’ dari posisi sign position, tambah 1 Contoh. -2 1101 + -5 1010 -7 10111 + 1 1000
Perkalian Biner
Perkalian dilakukan melalui penambahan sebuah list dari shifted multiplicands menurut digit pengali (multiplier) Contoh: (tak bertanda (unsigned)) 11 1011 multiplicand (4 bits) X 13 X 1101 multiplier (4 bits) -------------------------33 1011 11 0000 ______ 1011 143 1011 --------------------10001111 Hasil kali (8 bits)
12
Perkalian Biner – lanjut
Disamping metode sebelumnya, kita dapat menambahkan setiap shifted multiplicand dengan sebuah “partial product”. Contoh sbelumnya menjadi sbb/:
11 x 13 x 143
1011 1101 0000 1011 01011 0000 001011 1011 0110111 1011 10001111
multiplicand multiplier partial product shifted multiplicand
partial product shifted multiplicand partial product shifted multiplicand partial product shifted multiplicand product
13
Perkalian 2’s-complement
Sebuah urutan penjumlahan two’s-complement dari shifted multiplicands kecuali untuk pada step terakhir dimana shifted multiplicand sesuai dgn MSB harus di“2’s complementkan (negatifkan dan tambah 1). Sebelum menambahkan sebuah shifted multiplicand dgn partial product, sebuah bit tambahan ditambahkan ke kiri dari partial product dgn menggunkan sign extension.
Contoh: -5 x -3 15
tambahan bit dgn Menggunakan sign extension
1011 x 1101 00000 11011 111011 00000 1111011 11011 11100111 00101 00001111
multiplicand multiplier partial product shifted multiplicand partial product shifted multiplicand partial product shifted multiplicand partial product shifted and 2’s comp. product
14
Pembagian Biner Proses pembagian pada sistem biner menggunakan proses pembagian berekor yaitu sebagai berikut: Kurangi bilangan yang dibagi dengan kelipatan pembagi yang berbobot tertinggi Jumlah kelipatan x bobot yang merupakan hasil bagin dijumlahkan dengan hasil bagin-1 Bila sisa bagi (bilangan yang dibagi – kelipatan pembagi berbobot tertinggi) >= pembagi, lakukan step 1 dan 2 hingga diperoleh kelipatan pembagi berbobot tertinggi < pembagi Hasil Bagi dan sisa bagi telah ditemukan Contoh : 4010 / 310 0010 10002 / 00112 15
16
