BAB I BILANGAN
I.
SKEMA HIERARKIS BILANGAN
Bilangan non prima Bilangan asli Bilangan prima
Bilangan Bulat Rasional Bilangan Real
Bilangan Cacah
Bilangan Kompleks
Irasional
Bilangan Bulat Bilangan Nul ( Nol )
Bilangan Imajiner II.
PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN Bilangan kompleks
: Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganReal dan imajiner
Bilangan Real
: Bilangan yang nyata .. (0.02, -V3) macam-macam bilangan
Bilangan Imajiner
: Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative
Contoh
: V-2, V-0,05, V-3
Simbolnya (xi) Bilangan Rasional
: Bilangan yang terbentuk dalam p/q (Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang)
Bilangan Irasional
: Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak rasional
Misalnya
: V2 V3 Tak berulang V
Atau disebut juga bilangan berbentuk akar
Bilangan Bulat
: terdiri dari B.B + & B.B –
Misal
: -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3
Bilangan Cacah
: disebut juga sebagai bilangan bulat positif
Bilangan Asli
: yang terdiri 1,2,3 dst
Bilangan Prima
: bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri
Bilangan Non Prima
III.
: bilangan yang bukan bilangan prima
OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA 1) Penjumlahan
= (+)
2+3
2) Penguranngan = (-)
2-3
3) Perkalian
= (X 3 . )
2*2*2 = 2+1+1 = 23
4) Pembagian
= (: ; . . .)
24 = 2 4-1 = 2 3 2
Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :
1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2 Tapi 2-3 # 3-2
2. Hukum Asosiatif (2+3) +4 = 2+ (3+4) (2.3) . 4 = (2.3) . 4
3. Hukum Distributif 2 (3+4) = (2.3) + (2.4) 2 (3-4) = (2.3) – (2.4)
A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN i) Va + Va = 2 Va Contoh : 1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7 ii) Va + Vb = Va + Vb
( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda )
Contoh : V2 + V3 = V2 + V3
iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb Contoh : 3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional
PENGURANGAN i) Va – Va = 0 Note : Va – Va = (1-1) Va = 0 Va = 0 Contoh : 1. V2 – V2 = 0 2. V5 – V5 = 0 ii) Va – Vb = Va – Vb Contoh : 1. V3 – V5 = V3 – V5 2. V7 – V3 = V7 – V3
iii) aVb – cVb = (a-c) Vb contoh : 1. 5V7 – 2V7 = (5-2) V7
Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional
PERKALIAN
i) Va x Va = a Contoh :
Note : Va x Va = Va.a = Va2
V2 x V2 = 2
= (a2) ½
V5 x V5 = 5
= a 2/2 = a1 = a
ii) Va x Vb = Vab Contoh : 1. V3 . V5 = V15 2. V5 . V7 = V35
iii) aVb x cVb = (a.x) Vb b = (ac) (b2) ½ = (ac) b 2/2 = acb atau abc
Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasional/irsaional.
PEMBAGIAN I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional) Vb
Note : a = a x vb vb vb
vb
= a vb = a vb b
b
contoh : 1. 1
= 1 x V2
V2
V2 V2 = 1 V2 = 1 V2 2
2. V3
2
= V3 x V5
V5
V2
V2
= V15 = 1 V15 5
II)
1
=
Va + Vb
5
1
x Va + Vb Va – Vb
Va+Vb
= 1 ( Va – Vb ) ( Va + Vb ) ( Va – Vb ) = 1 ( Va – Vb ) a ( Vab + V ab ) = Va = Vb
( Sudah Rasional )
a–b
contoh : 1 Va + Vb
=
1
x V3 + V5
V3+V5
V4 – V5
= V3 + V5 V3 . V3 – V5 V5
MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20
= V4 . V5
= 2 V5
2. V32
= V16 . V2
= 4 V2
3. V200
= V100 . V2
= 10 V2
Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12 = 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = (2+2+4) V2 + (2+2) V3 = 8 V2 + 4 V3 2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243 = 1 + 3V2 – (4-5 V2) + 9 V3 = 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3 = -3 + 8 V2 + 9 V3 3. V11 – V13
= V11 – V13 x V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13 = (V11 – V13) (V11 – V13) = (V11 + V13) (V11 – V13) = 11 – V143 + V143 + 13 11 – V143 – V143 – 13 = 11 – V143 – V143 + 3 11 – 3 = 11 – 2 V143 + 13 11 – 13
= 24 – 2 V143 11 – 13
= 24 – 2 V14
-2 = -12 + 2 V143
4. 3 V2 – 2 V3 2 V3 – 3V2
= 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2 2 V3 – 3 v2
2 V3 + 3 V2
= 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6 4 V9 – 9 V4 = 9 V4 – 9 V9
= 9.2 – 4.3
4 V9 – 9 V4
4.3 – 9.2 = 18 – 12 12 – 18 = 6/-6 = .1
5. (V10 – V8)2 = (V10 – V8) (V10 – V8) = 10 – V80 – V80 + 8 = 18 – 2 V180
B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR
Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a … z) jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol. Contoh : 5 koef x dari 5x
Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x3 dari 5 qx3
Penjumlahan pada aljabar : Contoh
= (a+b+c) + (a+b+c) = (a+b) + (b+b) + (c+) Atau A+b+c A+b+c 2a + 2b +2c
Pengurangan pada aljabar Contoh : (-a – b + c) – (a + b – c) = samakan variable yang sama
Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah : a.b2 x a2b3 = a1+2b2+3 = a3b5 (lihat sifat pada bilangan eksponen)
latihan : 1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 (a-b) 2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) – 4a 3. Hitunglah : 22 . b2 aVb : untuk a = 2 : b 3
C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN Pecahan
1 & 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut Berbentuk
a semakin besar penyebut b semakin kecil nilai pecahan itu
pecahan-pecahan yang senilai 1 =5 2
didepan
10
1x5=5 2 x 5 = 10
3 =9
3x3=9
4
4 x 3 = 12
12
Membandingkan 2 pecahan
7
dengan
6
8
8
Caranya samakan penyebut dulu 7x7
6x8
8x7
7x8
49
>
48
56
56
7
<
6
8
7
Pecahan campuran Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran 5=5+1=11 5
5
5
5
7=4+6=13 4
4
4
4
Hanya pecahan yang nilainya >1 Mencari bilangan antara dua pecahan Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11
Jawab :
2 dan
5
2x4………5x5
5
11
5 x 11
Penjumlahan : a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 2
2
b. 3 + 1 4
3x4
2
bukan 6
2
samakan penyebut
4 9 + 4 = 13 12 12 12
11 x 1
= 22 . 33 . 25 . 25 55 55 55 15
Pengurangan a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4 2
2
2
2
b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut
9 –4=5
4x3 3
12 12 12
Perkalian 2x1=2x1=2 5
3
5x3
15
5x1=5x1=5 3
1x3
3
2 x -1 = 2 x -1 = -2 3
1x 2
-2
2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1 2
1x 2
2
Pembagian a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2) 2
2 =1x2 1 =1x2=2
b. 2 : 1 = 2 x 2 4 2
4 1
c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3 3 9
3 1
3
1
Pecahan Desimal
Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 10
1 = 0,01 100
Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal
2 = 2 x 2 = 4 = 0,4 5
5 2
10
4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375 8
8 x 125 = 40 1000
Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10
Pecahan persen Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100 Conoh : 25 / 100 : 25% Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya Contoh : 4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50% 8
8:4
2
2 persen = 2 x 100 = 200% 7
7
1
35% pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan)
35% : 5 = 7
100 : 5
10
Pecahan campuran pada bilangan persen contoh =
22 (1) % = 25 x 1 1 2
2
100 = 25 /100
D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT
1. Penjumlahan a. 5 + 1 = 6 b. 2 + 3 = 5 c. -2 + 3 = 1 d. -3 + 4 = 1
2. Pengurangan a. 8 – 3 = 5 b. 7 – 3 = 10 c. 6 – 7 = -1 d. 7 + (-10) = 7 – 10 = 3 e. -6 – 3 = -9 f. -6 – (-3) = -6 + 3 = -3
3. Perkalian a. 2 x 3 = 6
-x-=+
b. -2 x -3 = 6
-x-=-
c. 2 x -3 = -6
-x+=-
d. -2 x 3 = -6
4. Pembagian a. 10 : 5 : 10/2 = 2
b. -10 : 5 – 10/5 = -2 c. 10 – 2 10/5 = -10/5 = -2
I. PERBANDINGAN (RATIO) Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya
perwira dari seluru crew?
Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25
II. PROPORSI Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::) Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40 Atau 5 : 10 = 20 : 40 5 = 20 10 40
A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA) Ditulis : a/b = c/d Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya Contoh 1 : 25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18 orang
Jawab : Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat (“kecil”)
Banyaknya pekerja
lama mengerjarkan (hari)
25
54
18
x
25/18 = x/54 X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang)
B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½ a/b = c/d
artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya
contoh 2 : Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang diterima jika bekerja 7 jam. Jawab : Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai) Banyaknya jam bekerja
besarnya upah (Rp)
4
17.000
7
x
4 = 17000 7
x
4.x = 17000 x 7 4
Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut
Contoh 3 :
Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin Jawab : Banyaknya pekerja
banyaknya mesin yang dirakit
banyaknya
hari 8
2
18
12
5
?
Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion) 8 . 5=x 12
2 10
40 = x 24
18
24.x = 40 . 18 X = ….. hari III. VARIASI Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah ( : = ) A=B A = Konstant B
Direct Proporsi
A1 = A 2 B1
B2
A=1 B
A1B1 = A2B2
Inverse proporsi
Contoh : Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm ?
Jawab : R adalah resistan tali
R1
= 2 ohm
L adalah luas tali
L1
= 0,0001 m L2 = 0,00005 m
P adalah panjang tali
P1
= 100 m
P2 = 250 m
Ditanya R2 Penyelesaiannya : Karena : 1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R1 = R2 L1
L2
2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1/P R1P1 = R2P2 L1
L2
Coba anda cari nila R2 Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal 0, 1 : 0,0 : 0 , 000 1. 10 – 1
0. 1 = 1 1. 10-2
1 x 10-4
10 1/a = _ a-n
Banyaknya bilangan dibelakang koma 0,0075
= 75 x 10-4
10-1
= 7,5 x 10-3
::: 123
Pertidak samaan bilangan “ ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh : Symbol-symbol pertidaksamaan <, >, <, > A & b adalah dua bilangan bulat A=b
a sama dengan b
A>b
dibaca a lebih dari b
A
dibaca a kurang dari b
Sedangkan : A>b
dibaca a lebih dari satu sama dengan b
A
dibaca a kurang dari atau sama dengan b
Contoh 1 : 2<2
-4 < 0
-1 > -3
1. Carilah nilai x yang memenuhi X+2<3
x anggota bilangan real
Jawab : X<=3–2 X<1 Hp = (1,2,3….)
Contoh 2 : I. Pertidaksamaan linear ( pangkat terendah x1 )
3x > 5 3x – 5 > 5 3x>5 X > 5/3
Garis bilangan Hp ( X > 5/3 ) Apabila x > 5/3 Maka garis bilangannya HP { x > 5/3 }
1. -2x + 5 > 0 -2x > -5
x (-)
2x < 5 X < 5/2 HP { x < 5/2 }
II. Pertidaksamaan Irasional 1. V5x + 2 > 4 Syarat Va > 0 Solusi
V5 x + 2 > 4 (dikali 2) = 5x + 2 > 42 = 5x + 2 > 16 = 5x > 14 = x > 14/5 = x > 2 4/5
Syarat Va > 0 = V5x + 2 > 0 5x + 2 > 0 5x > -2 X > -2/5
Garis bilangan Hp { x > 2 2/4 } 2. V7x + 3 < v3 + 7 Va
Vb
= (7x + 3) < (3x + 7) 7x – 3x < 7 – 3 4x < 4 X<1 Syarat Va > 0
V7x + 3 > 0
7x + 3 > 0 7x > -3/7 X > -3/7
Vb > 0
V3x + 7 > 0 3x + 7 > 0 3x > -7 3 > -3/7
Garis bilangan __________________ Hp {-3/7 < x < 1}
Notes dalam penulisan Hp : 1 > x > -3/7 7/3 > x
salah x
-2 < x
3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak 15x + 3 < 0
dan
V7x + 5 > 0
15x < -3
7x + 5 > 0
X < -3/15
7x > -5 X > -5/7
III.PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD 1. –x2 + 5x + 14 > 0 ( - ) Menjadi : X2 – 5x -14 < 0 (x + 2) (x – 7) < X1 = -2 X2 = 7
HP {-2 < x < 7} 2. X2 – 3x < 4 dan x2 – 2x > 8 X2 – 3x – 4 <0
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2) (x – 4)
(x + 2) (x – 4)
X1 = 1
x3 = -2
X2 = 4
x4 = 4
Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4} 3. (x – 2) (x2 + 3x – 18) > X2 – 25 (x – 2) (x – 3) (x + 6) > 0
(x + 5) (x – 5) X1 = 2
x4 = -5
X2 = 3
x5 = 5
X3 = 06 HP {-6 < x < -5 atau x > 5} 4. X2 < 81 X2 – 81 < 0 (x +9) (x-9) X1 = -9
HP (-9 < x < 9)
X2 = 9
IV.
X = -10
x = 10
(-10 + 9)
10 + 9
= -1
= 19
= 10 – 9
10 – 9
= -19
=1
-19 * -1
19 * 1
=19
= 19
NILAI MUTLAK |X|
-a < x < a
|X|>a
x < -a atau x > a
(x + 1) > 3 X + 1 < -3
x+1>3
X < -3 –
x>2
X<-4 Absolut : membuat hal-hal menjadi +
Contoh :
1. |x| < 5
-2 < x – 3 < 2
2. |x – 3| < 3
-2 < x – 3 < 2 = -2 + 3 < x < 2 + 3 = -1 < x < 5
3. |x| > 5/2
x < - 5/2 atau x > 5/2
Nilai absolut
(x + 1) > 3 X + 1 < -3 / x + 1 > 3
4. |2x – 5| < 1 (dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3) 2
= (2x – 5) < 1
2
= (1x – 5)2 – 12 < 0 = ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0 Font note : (2x -5)2 +(2x -5) – (2x) -5) -12 = (2x – 6) (2x -4) < 0 X1 < -3
x = <-2
X1 = 3
x2 = 2
Hp {2 < x < 3}
5. (3x -2) > 4 (3x – 2)2 > 42 ((3x – 2) – 4) ((3x – 2) + 4 ) > 0 (3x -6) (3x + 2) > 0 X1 = 2
x2 = -2/3
Hp {x < -2/3 atau x > 2} (x2 – 4) (x2 – 2 x -2) < 0 (x + 2) (x – 2) (x + 1) (x – 3) < 0
X1 = -2
x3 = -1
X2 = 2
x4 = 3
Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)} X = -3 x -2
-3 + 1
X + 2 -3 – 2 – 2 3 + 2 -5 – 3 – 3 -1
-6
=5
=12
0 X = -1 1/2
-1 ½ - 2
-1 ½ + 1
-1 ½ -3
-1 ½ + 2
= -3 ½
=-½
= -4 ½
0=½
Aritmatika Dalam bentuk social Contoh : Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp. 100.000.000 dan pemilik menghendaki untung Rp. 800.000 berapa harga jualnya ?
Jawab :
Harga beli
Rp. 100.000.000
Untung
Rp. 800.000
Harga jual
Rp. ?
U=J–B 800.000 = J – 100.000.000 100.000.000 + 800.000 = 100.800.000
Harga spare part tipe A Rp. 210.000 dan dijual oleh si empunya Rp. 250.000 berapakah % keutungannya ?
Jawab : Harga beli
Rp. 210.000
Harga jual
Rp. 250.000
Laba (untung)
Rp. 250.000 – Rp. 210.000 Rp. 40.000
Persen keuntungan = 40.000/250.000 x 100% = 10%
Untuk jika
J>B
Rugi jika
J>B
Limpas jika
J=B
Untung jika
J–B
Rugi kita
B–J
Persen keuntungan
= U/B x 100%
Persen kerugian
= R/B x 100%
Persen keuntungan dari harga jual
= U/J x 100%
Latihan BAB I Hitunglah 1. X4 . x2 . x3 = 2. 2a . -5a3 . 3a4 = 3. -4 . 3xy . 2x 3y5 = 4. 3x5 y . 15 x 2y = -9x 3y 5. a. 3V2 + V12 – V72 + V50 b. 1 / V23 . 1/V2+3 c. V2 + V3 / V2 – V3 d. (22 – V5)2 6. 18 – (-15) – 3 7. (18 – 8 ) – 4 8. 20 – (4 – 3) 9. 13 – (8 – 4) 10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl. 12.00) = 180C 15 suhu pada malam hari (23.00) adalah -30C, berapa derajat penurunan suhu 11. – 108 : 9 12. 4 – x + -2 . 8 11 – (-5) Sederhanakanlah 13. 4/6 = 14. 12/18 = 15. 7/35 = 16. 36/56 = Gunakan tanda > , < atau = 17. 6/5 … 6/4 18. 3/15 … 4/22 19. 3/16 ,,, 1/5
