SISTEM BILANGAN REAL
Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas atau koleksi dari obejk-objek yang didefinisikan dengan jelas. Misalnya himpunan huruf kapital yang tediri dari A, B, C, D, ...., Z. Setiap karakter A, B, C, D, ..., Z yang termasuk di dalam himpunan huruf kapital tersebut dinamakan anggota atau elemen dari himpunan yang dimaksud. Beberapa himpunan yang seluruh anggotanya terdapat dalam himpunan huruf kapital tersebut, misalnya himpunan A, B, C, disebut dengan subset atau himpunan bagian dari A, B, C, ..., Z. Suatu himpunan yang tidak memiliki elemen disebut himpunan kosong yang dinotasikan dengan ∅ atau { }. 1. Sistem Bilangan Real Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut:
Bilangan
Bilangan Kompleks
Bilangan Real
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
Gambar 1.
1 | Kalkulus 1
Bilangan Irasional
Berdasarkan diagram tersebut, terlihat bahwa terdapat konsep bilangan lain selain bilangan real, yang dinamakan bilangan kompleks. Himpunan bilangan
kompleks dinotasikan dengan ℂ dimana z | z x yi , x , y , i 1 . Lebih lanjut x disebut bagian real dari z (Re(z)), y disebut bagian imajiner dari z (Im(z)), sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya sama dengan
1 .
Berkut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real. a. Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif. b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. c. Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan ℚ. Secara umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai
mn | m,n ,dan n 0 d. Himpunan bilangan irasional; misalnya { 2 ,
3
7 , π, dsb}, merupakan
bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk
m n
dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0.
Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk titik-titik yang berada di sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik.
2 | Kalkulus 1
Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis koordinat yang dihasilkan disebut garis real.
Gambar 2
2. Operasi pada Bilangan Real Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut: a. Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real. b. Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian a + b = b + a dan ac = ca c. Assossiatif terhadap penjumlahan dan perkalian a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c d. Distributif a(b + c) = ab + ac e. Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian). a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a f. Memiliki invers Terhadap penjumlahan; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x + a = a + x = 0. Dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi penjumlahan adalah –a. Terhadap perkalian; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x a = a x = 1. Dalam hal ini x = 1a . Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi Perkalian adalah 1a .
3 | Kalkulus 1
Dari sifat bilangan real tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan ab = ab-1.. 3. Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak 3.1. Pertidaksamaan Jika a – b adalah bukan bilangan negatif, maka a lebih besar atau sama dengan b, ditulis a ≥ b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada di sebelah kanan dari koordiat b. Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut: a. Trikotomi Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku:a > b, a = b, atau a < b. b. Transitif Jika a > b dan b > c maka a > c c. Penambahan Jika a > b maka a + c > b + c d. Perkalian Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dar suatu keseluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus gabungan dari interval-interval yang demikian.
4 | Kalkulus 1
Pertidaksamaan a < x < b menunjukkan interval terbuka, dinotasikan dengan (a, b), yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b tidak termasuk a dan b. sementara a ≤ x ≤ b menunjukkan interval tertutup, dinotasikan dengan [a, b], yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b termasuk a dan b itu sendiri. Selengkapnya perhatikan beberapa beberapa permisalan berikut: Penulisan Himpunan
Penulisan Interval
{x | a < x < b}
(a, b)
{x | a ≤ x ≤ b}
[a, b]
{x | x < a}
(-∞, a)
{x | x ≥ b}
[b, ∞)
Grafik
Tabel 1.
Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian: 2x – 7 < 4x – 2 ⇔ 2x < 4x + 5 (kedua ruas ditambahkan 7) ⇔ -2x < 5
(kedua ruas ditambahkan (-4x))
⇔ x > -5/2
(kedua ruas dikalikan (-1/2))
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > -5/2}. Notasi intervalnya adalah (-5/2, ∞). Grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Gambar 3
5 | Kalkulus 1
3.2. Nilai Mutlak nilai mutlak dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan |a|, berharga a untuk a > 0, -a untuk a < 0, dan 0 untuk a = 0. Perhatikan notasi berikut:
a, a 0 | a | 0, a 0 a , a 0 Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalamproses perkalian dan pembagian, tetapi tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan sifat-sifat nilai mutlak berikut: a. |ab| = |a| |b| b.
a a b b
c. |a + b| ≤ |a| + |b| d. |a – b| ≥ ||a| – |b|| e. Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak: |x| < a ⇔ -a < x < a |x| > a ⇔ x < -a atau x > a Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 4| < 2. Penyelesaian: |x – 4| < 2 ⇔-2 < x – 4 < 2 ⇔-2 + 4 < x < 2 + 4 ⇔2 < x < 6 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 2 < x < 6} atau (2, 6).
6 | Kalkulus 1
Contoh 3. Misalkan ε (epsilon) suatu bilangan positif. Carilah bilangan positif σ (delta) sedemikian sehingga jika |x – 3| < δ maka |6x – 18| < ε. Penyelesaian. Diketahui |x – 3| < δ. Maka |6x – 18| < ε ⇔ |6(x – 3)| < ε ⇔ 6 |x – 3| < ε ⇔ |x – 3| < Jadi, dapat dipilih δ = |x – 3| <
1 6
1 , sehingga terlihat bahwa untuk |x – 3| < δ maka 6
1 ⇒ |6x – 18| < ε 6
7 | Kalkulus 1
