Bilangan Berpangkat. Pangkat Bulat Negatif. a bilangan real. bilangan bulat positif

Bilangan Berpangkat

Pangkat Tak sebenarnya

Pangkat sebenarnya

Pangkat bulat positif

Pangkat Bulat Negatif

Pangkat pecaha n

Pangkat Nol

𝑎 𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 +𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚 −𝑛

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎 𝑛𝑥𝑚 p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚 −𝑛 p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚 −𝑛 atau p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚 −𝑛

𝑎−𝑛 =

Bentuk akar

1 𝑎𝑛

𝑎 bilangan real 𝑎 ≠ 0 dan bilangan bulat positif

𝑎0 = 1 𝑎 bilangan real 𝑎≠0 𝑎𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏 𝑎 𝑏

=

𝑎 𝑏

𝑎 𝑐±𝑏 𝑐= (𝑎 ± 𝑏) 𝑐 𝑝 𝑎 ×𝑞 𝑏= pq 𝑎𝑏 𝑝 𝑎 𝑞 𝑏

𝑝

=𝑞

𝑎 𝑏

Bilangan Berpangkat

BAB I Bilangan Berpangkat Bulat Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas, pakaian, tempat tinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagian besar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, dan usaha-usaha yang lainnya. Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah besar. Misal untuk membeli rumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1 milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1.1 Bilangan Berpangkat positif

INFOMATIKA

Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah Sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n( ditulis an ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap Faktornya adalah bilangan a .

Definisi

𝑎𝑚 =

𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎………..𝑎 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

1.2 Sifat – Sifat Operasi Bilangan Berpangkat a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 +𝑛 Dengan 𝛼 bilangan real dan m,n bilangan bulat positif

Edward Waring (1743–1798) Setiap bilangan bulat merupakan bilangan pangkat tiga dari bilangan itu sendiri atau merupakan jumlah dari beberapa bilangan pangkat tiga. Pernyataan ini diungkapkan oleh seorang matematikawan Inggris, Edward Waring, pada tahun 1770. Pernyataan tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Jika diambil sebarang bilangan bulat, bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat berpangkat tiga. Misalnya, 3 = 43 + 43 + (−5)3 dan 20 = 43 + 43 + (−3)3 + (−3)3 + (−3)3 + (−3)3 Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002

Bilangan Berpangkat

b.Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat 𝑎𝑚 𝑎𝑛

= 𝑎𝑚 −𝑛 Dengan 𝛼 bilangan

real yang tidak nol dan m,n bilangan bulat positif yang memenuhi

c.Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑚 Dengan 𝛼 bilangan real dan m,n bilangan bulat positif d.Sifat Penjumlahan p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚 −𝑛 Dengan 𝛼 bilangan real dan m,n bilangan bulat positif yang memenuhi m≥ 𝑛

e.Sifat Pengurangan bilangan berpangkat

p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚 −𝑛 atau p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚 −𝑛

Bilangan Berpangkat

1.3 Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangandengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.

Definisi

Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka 𝑎−𝑛 adalah kebalikan dari 𝑎𝑛 , dapat ditulis :

𝑎−𝑛 =

1 𝑎 −𝑛

atau 𝑎𝑛 =

1 𝑎𝑛

1.4 Bilangan Berpangkat Nol Perhatikan kembali rumus

𝑎𝑚 𝑏𝑚

= 𝑎𝑚 −𝑛 pada

pembahasan sebelumnya. Jika dipilih m = n maka diperoleh : Definisi 𝑎𝑚 𝑎𝑚

= 𝑎𝑚 −𝑛

1 = 𝑎0 Jadi, 𝑎0 = 1, dengan 𝛼 ≠ 0

Bilangan Berpangkat

1. Hitunglah a. 5−2

Contoh soal 1.1

b. −7−2

2. Hitunglah perpangkatan – perpangkatan berikut : a. 5

0

c. (25)0

b. (12)0

d. 34𝑎2 𝑏0

Jawaban : 1. a. 5−2

b. −7−2

1

1

5 1

5

= x

=

=25

2.

𝑎.

1 −7 1

x

1 −7

= 49

5

0

=1

𝑏. (12)0 = 1

c. (25)0 = 1 d. 34𝑎2 𝑏0 = 34𝑎2

1.5 Bilangan Rasional Berpangkat Bulat a. Bilangan Rasional Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut bilangan rasional.

Bilangan Rasional adalah Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a,b € Real b ≠ 0.

Bilangan Berpangkat

b. Bilangan rasional berpangkat bulat

sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat

Contoh soal 1.2

Hitunglah perpangkat bilangan rasional berikut a.

(2/3)pangkat tiga

b. 0,323232… atau 0,32 jawab : a.

(2/3)pangkat tiga = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 2 pangkat tiga / 3 pangkat tiga

b.

Misal : x = 0,323232… 100x = 32,323232… x = 0,323232… 99x = 32 x = 32/99 Jadi 0,323232… = 32/99

Bilangan Berpangkat

BAB II Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 2.1Pengertian Bentuk Akar Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional. Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Catatan Definisi 𝑎2 = 𝛼 dengan a bilangan real positif

2.2 Sifat – Sifat dan menyederhanakan bentuk akar

Hubungan antara macam-macam bilangan dapat disajikan seperti berikut. Bilangan diagram Real

Sifat 1 𝑎𝑏 = 𝑎 x 𝑏 Dengan a dan b bilangan real positif

Bilangan rasional

Bilangan bulat SIFAT 2 𝑎 𝑏

=

𝑎

Bilangan cahaya

𝑏

Dengan a≥ 0 dan b ≥ 0

Bilangan irasional Bilangan pecahan Bilangan bulat negatif Bilangan Nol

Bilangan bulat negatif

Bilangan Berpangkat

2.3 Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar a. penjumlahan dan pengurangan Sifat penjumlahan

Siapa berani ?

𝑎 𝑐+ 𝑏 𝑐 = ( a + b) 𝑐

Sifat pengurangan 𝑎 𝑐 - 𝑏 𝑐 - = (a – b ) 𝑐

b.Perkalian dan pembagian

Hitunglah operasi bentuk akar berikut dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk akarnya. a.

2 + 32

b.

6 + 54 - 250

c.

32 - 2 + 8

d. 4 3 - ( 27 + 12 )

perkalian 𝑝 𝑎+ 𝑞 𝑏 = pq 𝑎𝑏

Pembagian 𝑝 𝑎 𝑞 𝑏

=

𝑝 𝑎 𝑞 𝑏

Bilangan Berpangkat

Contoh soal

1. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut: a. 20

35

b.

2. Hitunglah : a. 13 5 + 29 5 b. -5 2 + 12 8 jawaban : 2

1. a. 20 = 4 𝑥 5 = 4 x 5 = 3 𝑏. 35 = 5 𝑥 7 = 5 x 7 2.𝑎. 13 5 + 29 5 = (13 + 29) 5 = 42 5 b. -5 2 + 12 8 = -5 2 + 12 4𝑥2 = -5 2 + 12 4x 2 = ( -5 + 24) 2 = 19 2

2.4Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut. 𝑎

a.Merasionalkan Bentuk

𝑏

cara merasionalkan bentuk

𝑎 𝑏

adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut

pecahan tersebut sekawan dari penyebutnya, yaitu : 𝑎 𝑏

=

𝑎 𝑏

.

𝑏 𝑏

=

𝑎 𝑏 𝑏

𝑎

=𝑏 𝑏

Bilangan Berpangkat

𝑐

b.Merasionalkan Bentuk 𝑎 ±

𝑏

𝑐

Untuk pecahan bentuk 𝑎 ±

𝑏

, cara merasionalkanya adalah dengan mengalikan

pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan 𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari 𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏, sedangkan bentuk sekawan dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 ± 𝑏 𝑐

𝑐

𝑎+ 𝑏

𝑎+ 𝑏

= 𝑎+

. 𝑎+

𝑏

𝑐 (𝑎 − 𝑏 ) 𝑎 2 −𝑎 𝑏+𝑎 𝑏 –( 𝑏)2

c.Merasionalkan Bentuk

=

=

𝑏

𝑐(𝑎− 𝑏 ) 𝑎 2 −𝑏 2

𝑐 𝑎± 𝑏

sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk

𝑐 𝑎± 𝑏

adalah

dengan mengalihkan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan dari 𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari 𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏 sedangkan bentuk sekawan dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑎+ 𝑏

=

𝑐 𝑎+ 𝑏

.

𝑎− 𝑏 𝑎− 𝑏

𝑐( 𝑎− 𝑏) ( 𝑎

) 2−

𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑏 − 𝑏

2

=

= 𝑐(𝑎− 𝑏 ) 𝑎−𝑏

5.Bilangan Berpangkat Pecahan

𝑚

𝑎𝑛 =

𝑛

𝑎𝑚 atau

𝑛

𝑚

𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛

Bilangan Berpangkat

Contoh soal

1. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut : a.

3

8

b.

6+ 2

−4

𝑐.

5+ 2

5− 6

2. ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar 1

7

a. 32

b. 62

Jawaban : 1. a.

3 6+ 2

= b.

8 3

.

6− 2 6− 2

=

3(6− 2) 36−2

=

3(6− 2) 34

=

8 5+ 2

.

5− 2 5− 2

=

8( 5− 2) 5−2

( 5 − 2)

−4 5− 6

==

3 6+ 2

(6 - 2 )

5+ 2

=

c.

3 34 8

=

=

−4 19

−4

.

5− 6

5− 6 5− 6

=

−4(5+ 6) 25−6

=

−4(5+ 6) 19

(5 + 6 )

1

2. a. 32 = 3

7

b. 62 =

67

Bilangan Berpangkat

Uji kompetensi

A. Pilih satu jawaban yang benar 1. Hasil dari 84 : 86 adalah……………….. a. −16 c. −64 1

b. − 16

1

d. 64

2. Nilai dari (2𝑥 −3 . 𝑦 2 )3 adalah ………………. 𝑥9

a. 8𝑦 6 b.

𝑦6 8𝑥 9

8𝑦 6

c.

𝑥9

d.

8𝑥 6 𝑥9

3. Nilai dari (−8)−2 sama dengan a. 64

c. −64 1

b. − 64

1

d. 64

4. (100)−1 - (125)−1 =……………………………… 1

a. 125000 b.

1 50

1

c. − 500 d.

1 500

5. Nilai dari (25)0 adalah…………………….. a. 1

c. -1

b. 25

d. – 25

Bilangan Berpangkat

6. Hasil dari 32 + 18 - 98 = ……………. a. 2 2

c. −2 2

b. 0

d. - 2

7. Hasil dari (2𝑎 3 - 2 )2 =…………………….

8.

a. 12𝑎2 - 8𝛼 3 + 4

c. 6𝑎2 - 8𝛼 3 + 4

b. 12𝑎2 - 4𝛼 3 + 4

d. 8𝑎2 - 8𝛼 3 + 4

3+ 2 3− 2

a.

11

= …………….. +

7 7

6 2

c.

7

b. 11 +

6 2

11 7

+

3 2 7

d. 11 - 6 2

11

9. Tentukan nilai dari 8 3 x 24 12 adalah…………… a. 1152

c. – 384 2

b. – 1152 3

d. 384 3 −4

10. Bentuk Rasional dari pecahan 5− a. b.

−4 19 4 19

(5 + 6 )

(5 + 6 )

6

adalah…………….

9

c. 19 (5 - 6 ) d.

−9 19

(5 - 6 )

11. Kerangka balok dibuat dari kawat yang panjangnya 2 m dengan ukuran panjang 16cm, lebar 12cm dan panjang diagonal ruangnya 20 2 cm. panjang sisa kawat yang tidak terpakai adalah……… a. 12 cm b. 10 cm

c. 8 cm d. 6cm

Bilangan Berpangkat

12.

3 7

dapat disederhanakan menjadi…………………………….. 3

a.

21

7

b.

c.

7 7

3 7 3

d. 3 7

3

13. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6)2 adalah a. 16 + 2 15

c. 16 + 3 15

b. 16 + 4 15

d. 16 + 5 15

14. Bentuk sederhana dari 2 2

a. 5 5 2

b. . 5 15

48 5

adalah ……………… 2

c. 3 15 2

d. 5 35

15. Sebuah persegipanjang memiliki ukuran panjang dan lebar berturut – turut 10𝑎3 dan 4𝑎3 .Tentukan luas persegi panjang tersebut a. 40𝑎6

c. 18 𝑎3

b. 40𝑎3

d. 18𝑎6

16. 𝑎4 + 𝑎8 dapat disederhanakan menjadi…………….. a. 𝑎5 (1 + a)

c. 𝑎11 (1 - a)

b. 𝑎4 (a - 1)

d. 𝑎12 (1 + a)

17. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6 )2 adalah…………. a. 16 + 2 15 b. 16 + 4 15

c. 16 + 3 15 d. 16 + 5 15

Bilangan Berpangkat

18.Bentuk Rasional dari pecahan 7

a. − 6 7 b. −

6

7

7

−6 7

adalah…………….

6

c. 7 7 7

d.

6

7

19. Akar sekawan dari 3 - 5 adalah … a. 5 + 3

c. 3 - 5

b. 5 – 3

d. 3 + 5

20. 14 + 2 24 dapat di sederhanakan menjadi……… a. 4 + 6

c. 2 + 12

b. 3 + 8

d. 2 + 7

B. Kerjakanlah Soal – soal berikut 1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif a. 3−5 b. 𝑎−2 2. Sederhanakan bentuk – bentuk perkalian berikut a. 63 × 64 c. 52 × 33 × 2 b. (−4) × (−4)2 d. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏 3. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut a. b.

2 16 9 10

81

c.

100

d.

25 36

4. Hitunglah : 𝑎. 4 3 + 8 3 b. 8 3 × 24 12

c. 15 7 - 25 7 d.

10 8 5 2

Bilangan Berpangkat

5. ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan 3

a. 6

c. 9

4

d. 62

7

b. 152

6. Sederhanakan bentuk – bentuk pecahan berikut 1

1

1 7

a.22 × 22

c. (42 )4

8

b.

53 6

53

7. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut : a.

3

b.

6+ 2

8 5+ 2

𝑐.

−4 5− 6

8. perhatikan gambar berikut c tentukan panjang BC 3cm A

6 cm

B

Bilangan Berpangkat

Kunci Jawaban 1.D

11.C

2. C

12.C

3. D

13. B

4. D

14. B

5.A

15. A

6. B

16. A

7. A

17. B

8. A

18. B

9. A

19. D

10 A

20. C

B. Essay 1. a. 3−5 1

3−5 = 35 b. a−2 1

𝑎−2 = 𝑎 2

2. 𝑎. 63 × 64 = 63+4 = 67 b. (−4) × (−4)2 = (−4)1+2 = (−4)3 c. oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat disederhanakan.

Bilangan Berpangkat

𝑑. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏 = 7𝑎3 × 3𝑎2 × 𝑏4 × 𝑏 = 21𝑎3+2 𝑏4+1 = 21𝑎5 × 𝑏5 2

3. a.

16 9

b.

10 81

c.

100 25

d.

36

=

2 16 9

=

81

25 36

3 10 9

100

=

4

=

10

=

2

=

=10 5

=6

4. a.4 3 + 8 3 = (4 + 8) 3 = 12 3 b. . 8 3 × 24 12 = 8 3 × 24 4 𝑥 3 = 8 3 × 48 3 = 8 × 48 × 3 𝑥 3 = 1.152 c. 15 7 - 25 7 = (15 – 25 ) 7 = - 10 7 d.

10 8 5 2

5. a. 6 b.

4

10 4 𝑥 2

=

=

5 2

20 2 5 2

=4

1

= 62 2

1

152 = 154 = 152 1

3

c. 9 = 93 7

d. 62

= 67

Bilangan Berpangkat

1

1

2

= 22 =21 = 2

6. a. 22 × 22 8

b.

8 3

53

= 5 −

6

6 3

=5

2 3

53 1 7

1

c. (42 )4 = 42 3

7. a. . 6+ b. 𝑐.

2

=

8

3

−4

=.

5− 6

7

6− 2

6+ 2

=

5+ 2

7

×4 = 48 × 6−

8 5+ 2 −4 5− 6

×

𝑥

3(6− 2)

=

2

36−2

5− 2 5− 2

5+ 6 5+ 6

=

=

3(6− 2)

=

34

8( 5− 2)

−4(5− 6) 25−6

5−2

=

=

8 3

−4(5− 6) 19

3

= 34 (6 − 2) (5 − 2) =

−4 19

(5 − 6)

8. . perhatikan gambar berikut c tentukan panjang BC 3cm A

6 cm

B

BC = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 62 + 32

=

= 36 + 9 =

45

=

9×5

=

9 X 5

=3 5

jadi panjang BC = 3 5 𝑐𝑚

Bilangan Berpangkat

DAFTAR PUSTAKA

Avianti, Agus.2007.Mudah belajar Matematika .Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional www6.fheberswalde.de theresiaveni.wordpress.com www.member.belajar-matematika.com

Bilangan Berpangkat