Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1):
Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
[email protected] http://zaki.sandimath.web.id
1
Pendahuluan
Sebelum diberikan konsep keterbagian, pembaca diharapkan sudah memahami konsep himpunan, logika matematika, proses pembuktian deduktif dan induksi matematika. Sebelum memasuki pembahasan mengenai keterbagian, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi himpunan bilangan, notasi serta sifat yang dimiliki oleh bilangan bulat sebagai konsep dasar dalam memahami mata kuliah Pengantar Teori Bilangan, yaitu: • N menyatakan himpunan semua bilangan asli, yaitu N = {1, 2, 3, ...}. • Z menyatakan himpunan semua bilangan bulat, yaitu Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. • Z≥0 menyatakan himpunan semua bilangan bulat non-negatif, yaitu Z≥0 = {0, 1, 2, 3, ...}. • Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional, yaitu Q = { ab |a, b ∈ Z, b 6= 0}. Bilangan yang tidak rasional disebut dengan bilangan irasional, sebagai contohnya √ adalah 2 adalah bilangan irasional. • R menyatakan himpunan semua bilangan real, yaitu gabungan dari himpunan semua bilangan rasional dan himpunan semua bilangan irasional. • Pada Z berlaku sifat trikotomi terhadap relasi urutan biasa, yaitu untuk setiap a ∈ Z memenuhi tepat satu dari tiga kondisi berikut, yaitu a < 0, a = 0 atau a > 0. Serta untuk setiap a, b ∈ Z memenuhi tepat satu dari tiga kondisi berikut, yaitu a < b, a = b atau a > b. 1
• Pada Z berlaku Sifat Urutan Baik (Well-Ordering Property), yaitu untuk setiap himpunan bagian tidak kosong dari Z≥0 memiliki elemen terkecil. • Untuk setiap bilangan bulat a, b ∈ Z berlaku sifat jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Dengan kata lain, jika a 6= 0 dan b 6= 0, maka ab 6= 0. Akibatnya, untuk setiap a, b, c ∈ Z, jika ab = ac dan a 6= 0, maka a = c. • Untuk bilangan real x, notasi bxc menyatakan suatu bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, dengan kata lain, bxc adalah bilangan bulat yang c = 3. Notasi bxc sering disebut memenuhi bxc ≤ x < bxc + 1. Sebagai contoh, b 22 7 dengan fungsi lantai (floor function).
2
Keterbagian
Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari konsep keterbagian pada bilangan bulat. Definisi 2.1. Diberikan a, b ∈ Z. Bilangan bulat a dikatakan membagi habis b, dinotasikan dengan a|b, jika terdapat c ∈ Z sedemikian hingga b = ac. Selanjutnya, a disebut dengan pembagi atau faktor dari b. Contoh 2.1. Berikut ini diberikan contoh keterbagian. (1) Bilangan bulat 2 membagi habis 6, yaitu 2|6, sebab terdapat 3 ∈ Z sedemikian hingga 6 = 2 · 3. (2) Bilangan bulat −2 membagi habis 6, yaitu −2|6, sebab terdapat −3 ∈ Z sedemikian hingga 6 = 2 · (−3). (3) Semua pembagi dari 6 adalah 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6 dan −6. (4) Bilangan bulat 4 tidak membagi habis 6. Selanjutnya, diberikan sifat-sifat dari keterbagian pada bilangan bulat, seperti pada teorema di bawah ini. Teorema 2.1. (Sifat-sifat Keterbagian) (i) Untuk setiap a ∈ Z berlaku 1|a. (ii) Untuk setiap a ∈ Z berlaku a|a. (iii) Untuk setiap a, b, c ∈ Z, jika a|b dan b|c, maka a|c. 2
(iv) Untuk setiap a, b, m, n ∈ Z, jika c|a dan c|b, maka c|(ma + nb). Bukti: (i) Diambil sebarang a ∈ Z. Diperoleh a = 1 · a, sehingga 1|a. (ii) Diambil sebarang a ∈ Z. Diperoleh a = a · 1, sehingga a|a. (iii) Diambil sebarang a, b, c ∈ Z. Dimisalkan a|b dan b|c, artinya terdapat x, y ∈ Z sehingga b = ax dan c = by. Diperoleh bahwa c = by = a(xy), sehingga a|c. (iv) Diambil sebarang a, b, m, n ∈ Z. Dimisalkan c|a dan c|b, artinya terdapat x, y ∈ Z sehingga a = cx dan b = cy. Diperoleh bahwa ma + nb = mcx + ncy = cmx + cny = c(mx + ny), sehingga c|(ma + nb). Berikut ini diberikan sebuah teorema yang sangat penting dalam teori bilangan yang berkaitan dengan konsep keterbagian pada bilangan buluat, yang disebut dengan Algoritma Pembagian (Division Algorithm). Teorema 2.2. (Algoritma Pembagian) Diberikan a, b ∈ Z dengan b > 0, maka terdapat dengan tunggal q, r ∈ Z sedemikian hingga a = bq + r dengan 0 ≤ r ≤ b − 1. Untuk selanjutnya, q disebut dengan hasil bagi (quotient) dan r disebut dengan sisa (remainder) dari pembagian a oleh b. Bukti: Diambil sebarang a, b ∈ Z dengan b > 0. Dibentuk himpunan S = {a−bk|k ∈ Z}. Selanjuntya, dibentuk himpunan T = {s ∈ S|s ≥ 0}. Apabila diambil bilangan bulat k dengan k < ab , maka a − bk ∈ T , sehingga T bukan himpunan kosong. Berdasarkan Sifat Urutan Baik, maka T memiliki elemen terkecil, namakan r = a − bq ≥ 0, untuk suatu q ∈ Z, sehingga diperoleh a = bq + r. Andaikan r ≥ b, maka r > r − b = a − bq − b = a − b(q + 1) ≥ 0. Hal ini kontradiksi dengan r = a − bq sebagai elemen terkecil dari T . Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar, yaitu r < b atau dengan kata lain diperoleh bahwa 0 ≤ r ≤ b−1. Selanjutnya, untuk membuktikan ketunggalan dari r dan q, diasumsikan terdapat q1 , r1 ∈ Z dan q2 , r2 ∈ Z sedemikian hngga a = bq1 + r1 dan a = bq2 + r2 . Akan ditunjukkan bahwa q1 = q2 dan r1 = r2 . Dapat diperoleh bahwa 0 = b(q1 − q2 ) + (r1 − r2 ) sehingga r2 − r1 = b(q1 − q2 ) yang berarti b|(r2 − r1 ). Diketahui 0 ≤ r1 ≤ b − 1 dan 0 ≤ r2 ≤ b − 1, maka −b + 1 ≤ r2 − r1 ≤ b − 1. Satu-satunya nilai r2 − r1 yang memenuhi 3
b|(r2 − r1 ) dan −b + 1 ≤ r2 − r1 ≤ b − 1 hanyalah r2 − r1 = 0, sehingga diperoleh r1 = r2 . Hal ini berakibat b(q1 − q2 ) = 0. Dikarenakan b > 0 maka diperoleh q1 − q2 = 0, sehingga q1 = q2 . Contoh 2.2. Berikut ini diberikan contoh dari algoritma pembagian. (1) Diberikan a = 7, b = 3 ∈ Z, maka terdapat dengan tunggal q = 2, r = 1 ∈ Z sedemikian hingga 7 = 3 · 2 + 1. (2) Diberikan a = −7, b = 3 ∈ Z, maka terdapat dengan tunggal q = −3, r = 2 ∈ Z sedemikian hingga −7 = 3 · (−3) + 2.
3
Soal-soal Latihan
(1) Suatu a ∈ Z disebut genap jika a = 2n, untuk suatu n ∈ Z. Suatu a ∈ Z disebut ganjil jika a = 2n + 1, untuk suatu n ∈ Z. Buktikan bahwa jumlahan dua bilangan genap hasilnya genap, jumlahan dua bilangan ganjil hasilnya genap, perkalian dua bilangan genap hasilnya genap, perkalian dua bilangan ganjil hasilnya ganjil, dan perkalian antara bilangan genap dan bilangan ganjil hasilnya genap. (2) Diberikan a, b, c, d ∈ Z dengan a, c 6= 0. Jika a|b dan c|d, buktikan bahwa ac|bd. (3) Diberikan a, b, c ∈ Z dengan c 6= 0. Buktikan bahwa a|b jika dan hanya jika ac|bc. (4) Diberikan a, b ∈ Z dengan a, b > 0. Jika a|b, buktikan bahwa a ≤ b. (5) Diberikan a, b, k ∈ Z dengan k > 0. Jika a|b, buktikan bahwa ak |bk . (6) Tentukan banyaknya bilangan bulat di antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 7. (7) Tentukan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang tidak habis dibagi oleh 3 dan 5. (8) Tentukan banyaknya bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 4. (9) Diberikan a ∈ Z. Buktikan bahwa 3 membagi habis a3 − a. (10) Diberikan n ∈ Z dengan n > 0. Buktikan bahwa 5 membagi habis n5 − n. (11) Buktikan bahwa perkalian tiga bilangan bulat yang berurutan hasilnya habis dibagi 6. 4
(12) Diberikan a ∈ Z. Buktikan bahwa 6 membagi habis a3 + (a + 1)3 + (a + 2)3 . (13) Buktikan bahwa perkalian dua bilangan bulat yang berbentuk 6k + 5 hasilnya memiliki bentuk 6k + 1. (14) Buktikan bahwa perkalian dua bilangan bukat yang berbentuk 4k + 1 hasilnya juga memiliki bentuk 4k + 1. (15) Buktikan bahwa jika a dan b adalah bilangan bulat positif, maka terdapat dengan tunggal bilangan bulat bulat q dan r sedemikian hingga a = bq + r dengan − 2b < r ≤ 2b .
5
