Sistem Bilangan Real
Pendahuluan z Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. z Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu.
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
2
z Komponen bilangan real dapat digambarkan sebagai berikut :
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
3
1
Pendahuluan Himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. [ Purcell] Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m n
m,n bilangan bulat, dengan n ≠ 0.
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
4
Pendahuluan z Kita lihat sebuah segitiga siku-siku :
1
2
1
2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi
bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi 2 bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah bilangan irrasional. Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pendahuluan Contoh bilangan irrasional yang lain adalah 3 , 5 , π dan lain-lain. Secara geometri, sistem bilangan real digambarkan pada suatu garis bilangan. Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai berikut : Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
6
2
Pendahuluan Definisi
{x x < a} {x x ≤ a} {x a < x < b} {x a ≤ x ≤ b} {x x > b} {x x ≥ b} {x x ∈ ℜ} Jumat, 01 September 2006
Notasi
(− ∞, a ) (− ∞, a]
(a, b) [a, b] (b, ∞)
[b, ∞) (∞, ∞) MA 1114 Kalkulus 1
7
Pendahuluan • Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
8
Pertidaksamaan z Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. z Bentuk umum pertidaksamaan : A( x ) D( x ) < B(x ) E (x )
z dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
9
3
Pertidaksamaan z Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. z Cara menyelesaikan pertidaksamaan : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( x) <0 Q ( x)
, dengan cara :
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
10
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat 3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 ≥ 2 x − 3 ≥ 5 ⇔ 13 + 3 ≥ 2 x ≥ 5 + 3 ⇔ 16 ≥ 2 x ≥ 8
⇔8≥ x≥4
⇔4≤ x≤8 Hp = [4,8]
Jumat, 01 September 2006
4 MA 1114 Kalkulus 1
8 12
4
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2
− 2 < 6 − 4x ≤ 8
⎡ 1 ⎞ , 2 ⎟⎟ Hp = ⎢ − 2 ⎣ ⎠
⇔ −8 < −4 x ≤ 2
⇔ −
1 2
− 12
≤ x < 2
Jumat, 01 September 2006
2
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3
2 x 2 − 5x − 3 < 0
⇔ (2 x + 1)(x − 3) < 0 Titik Pemecah (TP) : x = − ++
--
− 12
1 2
dan
x=3
++ 3
⎛ 1 ⎞ Hp = ⎜ − ,3 ⎟ ⎝ 2 ⎠ Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6
⇔ 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x dan 6 − 7 x ≤ 3x + 6
⇔ 2 x + 7 x ≤ 6 + 4 dan − 7 x − 3x ≤ −6 + 6 ⇔ 9 x ≤ 10 dan 10 ⇔x≤ dan 9 10 dan ⇔x≤ 9 Jumat, 01 September 2006
− 10 x ≤ 0 10 x ≥ 0
x≥0 MA 1114 Kalkulus 1
15
5
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp =
10 ⎤ ⎛ ⎜ − ∞, ⎥ ∩ [0, ∞ ) 9⎦ ⎝
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
⎡ 10 ⎤
Hp = ⎢0, ⎥ ⎣ 9⎦ Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
16
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 < x + 1 3x − 1 1 2 ⇔ − <0 x + 1 3x − 1
5.
--1
(3x − 1) − (2 x + 2) < 0 ⇔ (x + 1)(3x − 1) ⇔
(x
x − 3
+ 1 )( 3 x − 1 )
TP : -1, Jumat, 01 September 2006
1 3
++
--
1
++ 3
3 ⎛1 ⎞ Hp = ( − ∞ , −1 ) ∪ ⎜⎜ , 3 ⎟⎟ ⎝3 ⎠
< 0
,3 MA 1114 Kalkulus 1
17
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x +1 x ≤ 2− x 3+ x
⇔
x +1 x − ≤0 2− x 3+ x
⇔
(x + 1)(3 + x ) − x(2 − x ) ≤ 0 (2 − x )(3 + x )
⇔
2x 2 + 2x + 3 ≤0 (2 − x )(x + 3)
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
18
6
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Untuk pembilang 2 x 2 + 2 x + 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++ -3
Hp =
-2
(∞,−3) ∪ (2, ∞)
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
19
Pertidaksamaan nilai mutlak z Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan , | x | selalu bernilai positif. z Definisi nilai mutlak :
⎧ x ,x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , x < 0 Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
20
Pertidaksamaan nilai mutlak z Sifat-sifat nilai mutlak: 1
x =
2 3
x ≤ a, a ≥ 0 ↔ − a ≤ x ≤ a x ≥ a, a ≥ 0 ↔ x ≥ a atau x ≤ − a
4
x ≤ y
5
x x = y y
x2
↔ x2 ≤ y2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y ≤ x + y Jumat, 01 September 2006
x− y ≥ x − y MA 1114 Kalkulus 1
21
7
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x − 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
⇔ −3 < 2 x − 5 < 3 ⇔ 5 − 3 < 2x < 3 + 5 ⇔ 2 < 2x < 8 ⇔1< x < 4 Hp = (1,4) Jumat, 01 September 2006
1
4
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x − 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
⇔ (2 x − 5) < 9 2
⇔ 4 x 2 − 20 x + 25 < 9 2
⇔ 4x
− 20 x + 16 < 0
⇔ 2 x 2 − 10 x + 8 < 0
⇔ (2 x − 2 )( x − 4 ) < 0
++
-1
++ 4
Hp = (1,4)
TP : 1, 4 Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi 3. 2 x + 3 ≥ 4 x + 5 Kita bisa menggunakan sifat 4
⇔ (2 x + 3) ≥ (4 x + 5) 2
2
⇔ 4 x 2 + 12 x + 9 ≥ 16 x 2 + 40 x + 25 ⇔ −12 x 2 − 28x − 16 ≥ 0 ⇔ 3x2 + 7x + 4 ≤ 0
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
24
8
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
-−4
++ -1
3
Hp = ⎡− 4 , ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞,−1] ⎢ 3 ⎣ ⎠
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian x +7 ≥ 2 2
4.
x +7 ≥ 2 2 x ⇔ ≥ −5 2 ⇔
atau
⇔ x ≥ −10
atau atau
x + 7 ≤ −2 2 x ≤ −9 2
x ≤ −18
Hp = [− 10, ∞ ) ∪ (− ∞,−18]
Jumat, 01 September 2006
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 Kita definisikan dahulu : ⎧ x + 1 x ≥ −1 x +1 = ⎨ ⎩− x − 1 x < −1
⎧x − 2 x ≥ 2 x−2 = ⎨ ⎩2 − x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I
II
-1 Jumat, 01 September 2006
III
[− 1,2)
(− ∞,−1)
[2, ∞ ) 2 MA 1114 Kalkulus 1
27
9
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < −1
atau
(− ∞,−1)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 ⇔ 3(2 − x ) − (− x − 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x + x + 1 ≥ −2 ⇔ 7 − 2 x ≥ −2 ⇔ −2 x ≥ −9
⇔ 2x ≤ 9 ⇔x≤
9 2
9⎤ ⎛ ⎜ − ∞, ⎥ 2⎦ ⎝
atau
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = ⎛⎜ − ∞, ⎤⎥ ∩ (− ∞,−1) 2⎦ ⎝
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (− ∞,−1) sehingga Hp1 = (− ∞,−1)
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval − 1 ≤ x < 2
atau
[− 1,2)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x ) − ( x + 1) ≥ −2 ⇔ 6 − 3x − x − 1 ≥ −2 ⇔ 5 − 4 x ≥ −2 ⇔ −4 x ≥ −7
⇔ 4x ≤ 7 ⇔ x≤
7 4
Jumat, 01 September 2006
⎛ ⎝
7⎤
atau ⎜ − ∞, ⎥ 4
⎦ MA 1114 Kalkulus 1
30
10
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = ⎛⎜ − ∞, ⎤ ∩ [− 1,2 ) ⎥ 4⎦
⎝
-1
7
2
4
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7⎤ bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡
⎡ ⎣
⎢⎣− 1, 4 ⎥⎦
7⎤
sehingga Hp2 = ⎢− 1, ⎥ 4
⎦
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian x ≥ 2 atau [2, ∞ )
III. Untuk interval
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 ⇔ 3(x − 2) − ( x + 1) ≥ −2
⇔ 3x − 6 − x − 1 ≥ −2
⇔ 2 x − 7 ≥ −2 ⇔ 2x ≥ 5 ⇔x≥
5 2
⎡5 ⎞ ⎢2 ,∞⎟ ⎣ ⎠
atau
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
32
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = ⎡ 5 , ∞ ⎞⎟ ∩ [2, ∞ ) ⎢
⎣2
⎠
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡ 5 ⎞ sehingga ⎢⎣ 2 , ∞ ⎟⎠ ⎡5 ⎞ Hp3 = ⎢ , ∞ ⎟
⎣2
Jumat, 01 September 2006
⎠
MA 1114 Kalkulus 1
33
11
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3 ⎡ 7⎤ ⎡5 ⎞ Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎢− 1, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 4⎦ ⎣2 ⎠ ⎣ Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
34
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1
7
-1
7
-1
7
⎡ ⎣
4
5
2
5 4
4
7⎤
2
5
2
⎡5 ⎣
⎞ ⎠
Jadi Hp = ⎢− ∞, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 4 2 Jumat, 01 September 2006
⎦
MA 1114 Kalkulus 1
35
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x + 2 ≥ 1− x 4 − 2x x − 2 x +1 ≤ 2 x2 x+3
3 2 − x + 3 − 2x ≤ 3 4 x +12 + 2 x + 2 ≥ 2 5 2x + 3 ≥ 4x + 5 6 x + 3x ≤ 2 Jumat, 01 September 2006
MA 1114 Kalkulus 1
36
12
