OPERASI DALAM SISTEM BILANGAN Pertemuan Kedua Teknik Digital Yus Natali, ST.,MT
SISTEM BILANGAN
Sistem bilangan adalah cara untuk mewaikili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, di mana manusia mengenal bilangan angka dari 0, 1, 2 hingga 9 (10 digit).
Sistem ini digunakan karena manusia memiliki 10 buah jari untuk membuat perhitungan-perhitungan.
Lain halnya dengan komputer, logika komputer diwakili oleh bentuk elemen dari dua keadaan (two state elements), yaitu keadaan off (tidak ada arus) dan keadaan on (ada arus).
Konsep ini yang dipakai menjadi sistem bilangan Binari yang hanya menggunakan 2 macam nilai untuk mewakili besaran nilai (0 dan 1).
Selain itu komputer juga menggunakan sistem bilangan yang lain yaitu sistem bilangan oktal dan sistem bilangan heksadesimal.
• Sistem Bilangan Desimal Angka yang dipakai adalah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai Desimal
Standard Exponential Form
123,4
0,1234 x 10
3
12,34
0,1234 x 10
2
1,234
0,1234 x 10
1
0,1234
0,1234 x 10
0
0,01234
0,1234 x 10
-1
-1,234
-0,1234 x 10
1
• Sistem Bilangan Biner Angka yang dipakai: 0 dan 1 Misal: nilai bilangan binari 10012 dapat diartikan dalam sistem bilangan desimal bernilai: 1 0 1 1 x x x x 23 22 21 20 || || || || 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Pertambahan Bilangan Biner
Dasar pertambahan untuk masing - masing digit bilangan binary 0 0 1 1
+ + + +
0 1 0 1
Contoh:
= = = =
0 1 1 0 Dengan carry of 1 1111 2 10100 2 + 100011
2
Carry of 1 (3 kali)
Pengurangan Bilangan Biner
Dasar pengurangan untuk masing - masing digit bilangan binary 0 1 1 0
– – – –
0 0 1 1
= = = =
0 1 0 1 Dengan borrow of 1 Contoh: 11101 2 1011 2 _ 10010 2 borrow of 1 (1 kali)
11001 10011 00110
2 2 2
_ borrow of 1 (2 kali)
Perkalian Bilangan Biner
Dasar perkalian untuk masing - masing digit bilangan binary 0x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1
Contoh :
1110 2 1100 2 0000 0000 1110 1110 10101000 2
x
Pembagian Bilangan Biner
Dasar pembagian untuk masing - masing digit bilangan binary 0:1=0 0:0=0 1:1=1 1:0=1
Contoh : 101
1111101 101 101 101 0101 101 0
11001
KOMPLEMEN (COMPLEMENT)
Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk pertambahan.
i.
ii.
Bilangan desimal ada 2 macam :
Komplemen 9 (merupakan komplemen basis 1)
Komplemen 10 (merupakan komplemen basis)
Bilangan binari ada 2 macam :
Komplemen 1 (merupakan komplemen basis 1)
Komplemen 2 (merupakan komplemen basis)
Sistem Bilangan Octal Sistem bilangan Octal menggunakan 8 macam simbol bilangan, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh sistem bilangan octal adalah sebagai berikut: Misalnya bilangan oktal 12138 di dalam sistem bilangan desimal akan bernilai 1
2
1
3
x
x
x
x
83
82
81
80
||
||
||
||
(1 x 512)
+
(2 x 64)
+
(1 x 8)
Jika ditulis dengan notasi: 12138 = 65110
+
(3 x 1)
= 651
PERTAMBAHAN BILANGAN OKTAL
Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Tambahkan masing-masing kolom secara desimal 2. Ubah hasil dari desimal ke oktal 3. Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal 4. Jika hasil pertambahan tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk pertambahan pada kolom selanjutnya. Contoh: 258 1278 1548
+
carry of 1 (1 kali)
PENGURANGAN BILANGAN OKTAL
Pengurangan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1.
Konversikan bilangan yang akan dikurangkan ke bentuk desimal
2.
Kurangkan setiap bilangan secara desimal
3.
Jika bilangan yang akan dikurangkan nilainya lebih kecil dari bilangan pengurang, maka pinjamlah (borrow of) dari sebelah kirinya dan konversikan ke bentuk desimal.
Contoh: 1548 1278 258
borrow of 1 (1 kali)
PERKALIAN BILANGAN OKTAL Perkalian bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1.
Kalikan setiap bilangan secara desimal
2.
Konversikan hasilnya ke Oktal
3.
Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya.
Contoh: 16 8 14 8 x 70 16 + 250 8
SISTEM BILANGAN HEKSADESIMAL Terdiri dari 16 macam simbol, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F Misal bilangan heksadesimal C7 16 dalam sistem bilangan desimal bernilai: C 7 x x = (12x16) + (7x1) 1 0 16 16 = 192 + 7 = 19910
Pertambahan Bilangan Heksadesimal Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Tambahkan masing – masing bilangan secara desimal 2.
Konversikan hasilnya ke Heksadesimal
3. Jika Hasil Pertambahan terdiri dari 2 digit maka digit paling kiri merupakan carry of untuk pertambahan bilangan berikutnya. Misal:
BAD
16
431
16
FDE
16
CBA
16
627
16
12E1
16
+
+
Pengurangan Bilangan Heksadesimal
Pengurangan bilangan Heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Koversikan Bilangan yang akan dikurang ke Desimal 2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal 3. Jika Bilangan yang akan dikurang lebih kecil dari bilangan pengurang maka Pinjam atau Borrow dari sebelah kirinya dan konvesikan pula ke Desimal. Contoh:
1 2 E 1 16 6 2 7 16 CBA
16
Perkalian Bilangan Heksadesimal Perkalian bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Kalikan setiap bilangan secara desimal 2. Konversikan hasilnya ke heksadesimal 3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya. Contoh:
AC 16 1B 16 764 AC + 1224
16
x
ARITMATIKA BINER Operasi aritmatika untuk bilangan biner dilakukan dengan cara hampir sama dengan operasi aritmatika untuk bilangan desimal. Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan digit per digit. Kelebihan nilai suatu digit pada proses penjumlahan dan perkalian akan menjadi bawaan (carry) yang nantinya ditambahkan pada digit sebelah kirinya.
PENJUMLAHAN Aturan dasar penjumlahan pada sistem bilangan biner : 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0, simpan (carry) 1
Penjumlahan Desimal 103 (1000)
Simpan (carry)
1
Jumlah
1
102 (100)
101 (10)
100 (1)
8 3
2 3
3 8
1 1
6
Penjumlahan Biner
0 0 1
21 2 0 1 1
20 1 1 1
1
0
0
25 24 32 16 1 1 Simpan (carry) 1 1
23 8
22 4
1 1
Jumlah
0
1
1
1
Bit Bertanda Bit 0 menyatakan bilangan positif Bit 1 menyatakan bilangan negatif A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
0
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
Magnitude
B6
B5
B4
B3
B2
B1
B0
1
1
1
0
1
0
0
Bit Tanda
= + 52
Magnitude
= - 52
Komplemen ke 2 Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2’s complement form)
Komplemen ke 1 Biner 0 diubah menjadi 1 Biner 1 diubah menjadi 0 Misal
1
0
1
1
0
1
0
Biner Awal
0
1
0
0
1
0
1
Komplemen pertama
Membuat Komplemen ke 2 1. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama 2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB) Misal
1 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0
0 1 1
1 0 1 1
Biner Awal = 45 Komplemen 1 Tambah 1 pada LSB Komplemen 2
Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2 1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB. 2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB
0
1
0
Bit Tanda
1
1
1
0
1
Biner = + 45
1
1
Biner = - 45
Biner asli
0
Bit Tanda
1
0
0
Komplemen ke 2
Negasi Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya. Hal tersebut dilakukan dengan mengkomplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendaki Misal : negasi dari + 9 adalah – 9 + 9 = 01001 Biner awal - 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2) + 9 = 01001 Di negasi lagi
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2 Dua bilangan positif Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4 +9
0
1
0
0
1
+4
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih kecil Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari komplemen ke dua dari +4 +9
0
1
0
0
1
-4
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih Besar Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 -9
1
0
1
1
1
+4
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing – masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4 -9
1
0
1
1
1
-4
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan Carry diabaikan
Operasi Pengurangan Aturan Umum 0–0=0 1–0=1 1–1=0 0 – 1 =1 , pinjam 1 Misal 1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Pinjam
1
1
Hasil
0
0
Operasi Pengurangan Operasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak berbeda dengan contoh – contoh operasi penjumlahan sebelumnya.
Prosedur pengurangan 1. Negasikan pengurang. 2. Tambahkan pada yang dikurangi 3. Hasil penjumlahan merupakan pengurang dan yang dikurangi
selisih
antara
Misal : +9 dikurangi +4 +9 01001 +4 00100 Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama dengan operasi +9 01001 -4 11100 + +9
0
1
0
0
1
-4
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Perkalian Biner Perkalian biner dilakukan sebagaimana perkalian desimal
1 1
0 0 1
1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 1
1 1 1
9 11
0
1
1
99
TUGAS a. b. c. d. e.
Kerjakan operasi matematis berikut 10010 + 10001 00100 + 00111 10111 - 00101 10011 x 01110 10001 x 10111
