Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika Eko Didik Widianto ([email protected]) Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)

TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 43

Review Kuliah • Sebelumnya telah dibahas tentang sintesis rangkaian logika dan teknologi implementasi menggunakan CMOS. Dalam rangkaian logika, diimplementasikan variabel-variabel (masukan dan keluaran) yang menyatakan suatu keadaan switch atau kondisi • Selanjutnya akan dibahas penggunaan variabel ini untuk merepresentasikan bilangan. Representasi bilangan meliputi unsigned dan signed, fixed-point dan floating-point. Kemudian dibahas tentang operasi aritmetika baik penjumlahan maupun pengurangan ◦ Representasi bilangan di sistem digital/komputer ◦ Rangkaian untuk melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan



Bahasan Representasi Posisional Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Bilangan Signed Bilangan Signed Sign-Magnitude 1’s Complement 2’s Complement Operasi Aritmetika Operasi Bilangan Unsigned Operasi Bilangan Signed Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Fixed- dan Floating-Point Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Representasi Lainnya BCD Kode ASCII



Representasi Posisional

• Bilangan Desimal • Bilangan Biner • Bilangan Desimal • Konversi Bilangan Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

Representasi Posisional



Bilangan Integer dan Desimal Representasi Posisional

• Bilangan Desimal • Bilangan Biner • Bilangan Desimal • Konversi Bilangan Bilangan Signed

• Dua tipe bilangan 1. Tak bertanda (unsigned): bilangan yang hanya memuat nilai positif 2. Bertanda (signed): bilangan yang memuat nilai positif dan negatif

Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point

• Sistem desimal, unsigned integer

Representasi Lainnya

◦ bilangan memuat digit yang mempunyai nilai 0-9 ◦ Bilangan desimal n-digit dapat dinyatakan sebagai D = dn−1 dn−2 · · · d1 d0 ◦ Bilangan D tersebut mewakili nilai integer V (D) = dn−1 ×10n−1 +dn−2 ×10n−2 +· · ·+d1 ×101 +d0 ×100 Misalnya: 8547 mewakili 8 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100 ◦ Representasi bilangan tersebut disebut representasi posisional • Bilangan desimal disebut bilangan radix-10 atau base-10, karena digitnya mempunayi 10 nilai yang mungkin dan tiap digit berbobot pangkat 10



Bilangan Biner Representasi Posisional

• Bilangan Desimal • Bilangan Biner • Bilangan Desimal • Konversi Bilangan Bilangan Signed

• Dalam sistem digital, digunakan bilangan biner atau base-2 ◦ Tiap digit (bit, binary digit) mempunyai nilai 0 atau 1 ◦ Sebuah variabel mewakili satu bit

Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

• Representasi posisional bilangan biner n-digit: B = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 • Bilangan B tersebut mewakili nilai integer V(B) V (B) =

bn−1 ×2n−1 +bn−2 ×2n−2 +· · ·+b1 ×21 +b0 ×20

=

n−1 P

bi × 2i

i=0

◦ Misalnya: (1101)2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (13)10 • Bilangan n-bit mewakili bilangan integer positif dari 0 . . . 2n − 1



Bilangan Oktal dan Hexadesimal Representasi Posisional

• Bilangan Desimal • Bilangan Biner • Bilangan Desimal • Konversi Bilangan

• Representasi posisional dapat digunakan untuk sebarang radix ◦ Untuk radix r, maka untuk bilangan

Bilangan Signed Operasi Aritmetika

K = kn−1 kn−2 · · · k1 k0 mempunyai nilai integer

n−1 P

ki × ri

i=0

Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

• Bilangan dengan radix 8 disebut oktal ◦ Digit bernilai dari 0 . . . 7 • Bilangan dengan radix 16 disebut hexadesimal (hex) ◦ Digit bernilai dari 0 . . . 9 dan A . . . F



Bilangan di Beberapa Representasi Representasi Posisional


Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7

Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111


Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7

Hexa 0 1 2 3 4 5 6 7

Desimal 8 9 10 11 12 13 14 15

Biner 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Oktal 10 11 12 13 14 15 16 17

Hexa 8 9 A B C D E F


Konversi Bilangan Representasi Posisional


•

Konversi bilangan biner ke desimal atau sebaliknya

◦

Biner ke desimal

Bilangan Signed

V (B)

Operasi Aritmetika

=

bn−1 × 2n−1 + bn−2 × 2n−2 + · · · + b1 × 21 + b0 × 20

=

n−1 X


bi × 2i

i=0

Misalnya:

(11101011)2

◦

=

27 + 26 + 25 + 23 + 21 + 20

=

(235)10 = 235

Desimal ke biner

• Bagi bilangan desimal D dengan 2, memberikan hasil bagi (quotient) dan sisa. Sisa nilainya 0 atau 1. Sisa akan menjadi LSB • Bagi quotient dengan 2, memberikan hasil bagi dan sisa. Ulangi pembagian quotient sampai quotient=0 • Untuk setiap pembagian, sisa akan merepresentasikan satu bit bilangan binernya @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)


Contoh Desimal ke Biner Representasi Posisional




Konversi Biner-Oktal-Hexadesimal Representasi Posisional


• Biner - Oktal ◦ 1 digit oktal merupakan grup 3 digit biner

Bilangan Signed Operasi Aritmetika

◦ Konversi biner - oktal:

Biner

001

000

110

100

Oktal

1

0

6

4

Oktal

2

3

6

7

Biner

010

011

110

111


◦ Konversi oktal - biner: • Biner - Hexadesimal

◦ 1 digit hexa merupakan grup 4 digit biner ◦ Konversi biner - hexa: ◦ Konversi hexa - biner:


Biner

1111

0000

0110

0100

Hexa

F

0

6

4

Hexa

2

A

C

7

Biner

0010

1010

1100

0111


Representasi Posisional Bilangan Signed

• Bilangan Signed • Sign-Magnitude • 1’s Complement • 2’s Complement Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

Bilangan Signed (Bertanda)



Bilangan Signed Representasi Posisional Bilangan Signed

• Bilangan Signed • Sign-Magnitude • 1’s Complement • 2’s Complement Operasi Aritmetika

• Dalam sistem biner, representasi bilangan signed berisi: tanda (sign) dan besar nilai (magnitude) ◦ Tanda diyatakan oleh bit paling kiri (0: bilangan positif, 1: bilangan negatif)


• Bilangan n-bit: 1 bit paling kiri menyatakan tanda, n-1 bit berikutnya menunjukan besar nilai bilangan



Bilangan Sign-Magnitude Representasi Posisional Bilangan Signed

• Bilangan Signed • Sign-Magnitude • 1’s Complement • 2’s Complement Operasi Aritmetika

• Di bilangan signed, terdapat 3 format yang umum digunakan untuk representasi bilangan negatif

1. Sign-Magnitude 2. 1’s Complement


3. 2’s Complement

• Bilangan sign-magnitude menggunakan 1 bit paling kiri untuk menyatakan tanda (0: positif, 1: negatif) dan bit sisanya menyatakan magnitude (besar nilai bilangan). Bilangan 4-bit: 0

1

2

3

4

5

6

7

Positif

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Negatif

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

• Walaupun ini mudah dipahami, tapi ini tidak cocok digunakan di sistem komputer (dibahas di Operasi Bilangan)



Bilangan 1’s Complement Representasi Posisional Bilangan Signed


• Skema 1’s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2n − 1 dengan bilangan positif ekivalennya P

K = (2n − 1) − P • Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4): K = (24 − 1) − P = 15 − P = (1111)2 − P 0

1

2

3

4

5

6

7

Positif

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Negatif

1111

1110

1101

1100

1011

1010

1001

1000

• Terlihat bahwa 1’s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan, termasuk bit tanda

• Masih ada kekurangan dari penggunaan 1’s complement (dibahas di Operasi Bilangan)



Bilangan 2’s Complement Representasi Posisional Bilangan Signed


• Skema 2’s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2n dengan bilangan positif ekivalennya P

K = 2n − P • Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4):

K = 24 − P = 16 − P = (10000)2 − P 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Positif

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

-

Negatif

0000

1111

1110

1101

1100

1011

1010

1001

1000

• Terlihat bahwa 2’s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan dan menambahkan 1 ◦ (2’s complement) = (1’s complement) + 1 • Bilangan signed 2’s complement ini yang sering digunakan dalam sistem komputer @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id)


Aturan Mencari 2’s Complement Representasi Posisional Bilangan Signed


• Jika diberikan satu bilangan signed B = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 (baik positif maupun negatif) maka 2’s complementnya K = kn−1 kn−2 · · · k1 k0 dapat diperoleh dengan ◦ Melihat semua bit B dari kanan ke kiri (mulai b0 , b1 , dst) dan mengkomplemenkan semua bit setelah nilai ’1’ yang pertama dijumpai ◦ Jika B=+76 (01001100) maka K=-76 (10110100) ◦ Jika B=-81 (10101111) maka K=+81 (01010001)



Bilangan Integer Bertanda (Signed Integer) 4-bit Representasi Posisional

b3 b2 b1 b0

sign-magnitude

1’s complement

2’s complement

0111

+7

+7

+7

0110

+6

+6

+6

0101

+5

+5

+5

0100

+4

+4

+4

0011

+3

+3

+3

0010

+2

+2

+2

0001

+1

+1

+1

0000

+0

+0

+0

1000

-0

-7

-8

1001

-1

-6

-7

1010

-2

-5

-6

1011

-3

-4

-5

1100

-4

-3

-4

1101

-5

-2

-3

1110

-6

-1

-2

1111

-7

-0

-1

Bilangan Signed




Jangkauan Bilangan Signed Representasi Posisional

#Bit

Nama

Jangkauan

Bilangan Signed

• Bilangan Signed • Sign-Magnitude • 1’s Complement • 2’s Complement

4

nible, semioctet

s/d 23 − 1

unsigned: 0 s/d 24 − 1 8

byte, octet

Operasi Aritmetika

signed: − 27 s/d 27 − 1

unsigned: 0 s/d 28 − 1


signed: − 2

3

16

half-word, word, short

signed: − 215 s/d 215 − 1

unsigned: 0 s/d 216 − 1 32

word, long, doubleword, int

signed: − 231 s/d 231 − 1

unsigned: 0 s/d 232 − 1 64

doubleword, int64

signed: − 2

63

s/d 263 − 1

unsigned: 0 s/d 264 − 1 n

Integer n-bit (bentuk umum)

signed: − 2

n−1

s/d 2n−1 − 1

unsigned: 0 s/d 2n − 1



Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned

• Operasi Bilangan Signed • Unit Penjumlah dan Pengurang

• Overflow Aritmatika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan



Operasi Bilangan Unsigned Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned

• Operasi Bilangan Signed • Unit Penjumlah dan

• Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4 kombinasi yang mungkin • Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder )

Pengurang




Rangkaian Full-Adder (FA) Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned





Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi) Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned





Operasi Penjumlahan Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned


• Overflow Aritmatika

• Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1) ◦ Tiap pasang bit ditambahkan ◦ Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)




Ripple Carry Adder (RCA) Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned


• Overflow Aritmatika Fixed- dan Floating-Point

• Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan (LSB) sampai ke paling kiri (MSB)

• Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit dengan posisi i+1

• Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder (FA) yang dihubungkan seri


◦ Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carry ◦ Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnya



Kekurangan Ripple Carry Adder Representasi Posisional Bilangan Signed

•

Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned

• Operasi Bilangan Signed • Unit Penjumlah dan

Tiap FA mempunyai delay tertentu sebelum keluaran si dan ci+1 valid

◦ •

disebut delay propagasi FA dari input ke output

Misalnya, delay propagasi ∆t

Pengurang


◦

Carry dari FA pertama, c1 , akan sampai di FA kedua dalam waktu ∆t setelah input x0 dan y0

◦

Carry dari FA kedua, c2 , akan sampai di FA ketiga dalam waktu ∆t setelah input x1 , y1 dan c1 atau total 2∆t

◦

Dan seterusnya. Sinyal cn−1 valid setelah (n − 1) ∆t, dan jumlah total akan tersedia setelah delay (n) ∆t


•

Delay total tersebut semakin besar seiring semakin banyak jumlah bit bilangan yang harus ditambahkan

◦

Penjumlahan bilangan n-bit akan membutuhkan waktu (n) ∆t dari bit-bit masukan tersedia sampai keluaran valid



Operasi Bilangan Signed Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned



• Sign-magnitude ◦ Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3. Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010?

◦ Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan mengurangkan bilangan


• 1’s complement ◦ Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan 1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111 agar menghasilkan 1000 (=-7)

◦ Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar • 2’s complement ◦ penjumlahan selalu benar



Operasi 2’s Complement Representasi Posisional Bilangan Signed

• Penjumlahan






Operasi 2’s Complement Representasi Posisional Bilangan Signed

• Pengurangan






Unit Penjumlah dan Pengurang Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned



• Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagai operasi penjumlahan dengan menggunakan 2’s complement di pengurangnya (baik positif maupun negatif) ◦ Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus


• Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1 • 1’s complement dapat diimplementasikan dengan menggunakan XOR ◦ x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = x ◦ Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1



Unit Penjumlah dan Pengurang Representasi Posisional Bilangan Signed

• Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang






Overflow Aritmatika Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned



• Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangan signed, maka hasil penjumlahan atau pengurangan harus dalam jangkauan −2n−1 sampai +2n−1 − 1 • Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telah terjadi overflow aritmatika


◦ Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi dengan benar, perlu pendeteksi kejadian overflow

• Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yang sama, maka tidak terjadi overflow



Overflow Aritmatika Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika • Operasi Bilangan Unsigned


• Overflow dapat dideteksi dengan: ◦ overflow = c3 ⊕ c4 • Untuk bilangan n-bit

• Overflow Aritmatika Fixed- dan Floating-Point

◦ overflow = cn−1 ⊕ cn


• Bagaimana rangkaian unit penjumlah/pengurang dengan overflow detection?



Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point

• Bilangan Fixed-Point • Bilangan Floating-Point Representasi Lainnya

Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point



Bilangan Fixed-Point Representasi Posisional Bilangan Signed

•

Operasi Aritmetika

◦ ◦

Fixed- dan Floating-Point


Bilangan fixed-point terdiri atas bagian integer (digit signifikan) dan pecahan

•

Digunakan di mesin yang tidak mempunyai FPU (floating-point unit)

Notasi bilangan (n+k) bit: Bn, k = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 , b−1 b−2 · · · b−k

◦

•

memungkinkan bilangan pecahan (mis: 75,625)

n: #bit integer (tanpa bit tanda), k: #bit pecahan. Misal: B3,4 adalah bilangan dengan 3 bit integer dan 4 bit pecahan yang disimpan dalam satu integer 2’s complement 8-bit

Nilai bilangan: V(Bn, k) =

n−1 P

bi × 2i

i=−k

•

Contoh:

◦ B3, 4 = (0101, 1010)2 = 22 + 1 + 2−1 + 2−3 = 5, 62510 = 5, A16 2 −1 −3 = −5, 62510 = ◦ B3, 4 = (1011, 1010)2 = − 2 + 1 + 2 + 2 B, A16

•

Rangkaian logika untuk fixed-point sama dengan bilangan integer



Bilangan Floating-Point Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point

• Bilangan Fixed-Point • Bilangan Floating-Point

• Bilangan fixed-point mempunyai range yang dibatasi oleh digit signifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan

• Dalam beberapa aplikasi, diperlukan bilangan yang mungkin sangat besar atau sangat kecil


◦ Memerlukan representasi floating-point ◦ Bilangan direpresentasikan dengan mantissa yang berisi bit signifikan dan eksponen dari radix R ◦ Format: mantisa × Reksponen ◦ Bilangan tersebut seringkali dinormalisasi terhadap radixnya. Misalnya untuk radix 10: 1, 5 × 1044 atau 1, 25 × 10−36



Format IEEE Presisi Tunggal Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point


•

IEEE mendefinisikan format 32-bit (single precision) untuk nilai floating-point (IEEE 754-1985)

◦ ◦ ◦ • • •

1-bit sign (S) 8-bit eksponen (E) 23-bit mantissa (M)

Dalam programming dikenal dengan tipe data float (C, C++, Java) dan single (Pascal, VB, MATLAB) Nilai bilangan: V(B) = (−1)S

1+

23 P

i=1

b−i × 2−i

× 2E−127

Baca: http://en.wikipedia.org/wiki/Single_precision



Bilangan Float 32-bit Representasi Posisional Bilangan Signed

•

Representasi bilangan float

Operasi Aritmetika

◦ ◦

Fixed- dan Floating-Point

• Bilangan Fixed-Point • Bilangan Floating-Point

B = (3E100000)16 B=(+)(1.01)2 × 2124−127 = +(0.00101)2 = 0.15625


•

Nilai eksponen:

◦ Emin = 1, Emax = 254, menghasilkan eksponen (bias=127): E = 1 − 127 = −126 dan E = 254 − 127 = 127 Eksponen

Signifikan=0

signifikan6=0

Persamaan

subnormal

(−1)S × 0.bit signif ikan × 2−126

(E) 0

0, -0

1-254 255

Nilai ternormalisasi

∞

(−1)S × 1.bit signif ikan × 2E−127

bukan bilangan (NAN=not-a-number)



Contoh Bilangan Float 32-bit Representasi Posisional Bilangan Signed

• Nyatakan nilai bilangan dari:

Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point


• Nyatakan bilangan (3.5)10 dalam bentuk IEEE single precision



Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya

• BCD • Kode ASCII




BCD Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika

• Binary-coded-decimal mengkodekan bilangan desimal dalam bentuk biner • Karena terdapat 10 nilai yang harus diwakili, diperlukan 4 bit per digit



◦ Dari 0=0000 sampai 9=1001 ◦ Contoh: (01111000)BCD = (78)10 • BCD digunakan di sistem komputer terdahulu dan kalkulator, keypad numerik

◦ Menyediakan format yang memadai saat informasi numerik perlu ditampilkan di display sederhana berorientasi digit

◦ Tapi, membutuhkan rangkaian yang kompleks untuk melakukan operasi aritmatika dan masalah efisiensi kode (6 buah kode tidak digunakan)



Kode ASCII Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika

• Kode yang sering digunakan untuk merepresentasikan informasi di komputer


◦ American Standard Code for Information Interchange


◦ bilangan, huruf, tanda baca dan kontrol kode • Kode ASCII menggunakan pola 7-bit untuk merepresentasikan 128 simbol ◦ digit bilangan (0-9) ◦ karakter (a-z dan A-Z) ◦ tanda baca ◦ kode kontrol • Kode ASCII ekstended 8-bit mempunyai tambahan simbol untuk 128 karakter grafik (local glyph) ◦ http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_ASCII



Kode ASCII Representasi Posisional Bilangan Signed Operasi Aritmetika Fixed- dan Floating-Point Representasi Lainnya


• •

Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/ASCII Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:ASCII_Code_Chart-Quick_ref_card.png



Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Recommend Documents