Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika @2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika Kuliah#8 TSK205 Sistem Digital - TA 2011/2012

Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Eko Didik Widianto Teknik Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

Review Kuliah

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika @2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda)

I

I

Sebelumnya telah dibahas tentang sintesis rangkaian logika dan teknologi implementasi menggunakan CMOS. Dalam rangkaian logika, diimplementasikan variabel-variabel (masukan dan keluaran) yang menyatakan suatu keadaan switch atau kondisi atau sistem Selanjutnya akan dibahas tentang representasi nilai digital untuk variabel sistem digital/komputer ini

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Tentang Kuliah


I

Representasi posisional: bilangan unsigned, desimal, biner, oktal dan hexadesimal

I

Konversi bilangan

I

Bilangan bertanda: sign-magnitude, 1´s complement, 2´s complement

I

Operasi penjumlahan dan pengurangan

I

Overflow aritmatika

I

Bilangan fixed-point, floating-point, BCD dan ASCII


Kompetensi Dasar

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika @2012,Eko Didik Widianto ([email protected])

I

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu: 1. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan sistem bilangan digital, dalam bentuk bilangan positional, bertanda (signed) dan tak bertanda (unsigned) dengan tepat 2. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan bilangan pecahan dalam bentuk fixed-point dan floating-point dengan tepat 3. [C2] Mahasiswa akan mampu merepresentasikan informasi/bilangan digital ke dalam kode BCD (binary-coded decimal) maupun ASCII dengan tepat 4. [C3,C4] Mahasiswa akan mampu melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dengan tepat menggunakan sistem bilangan 2´s complement dan mampu menganalisis kondisi overflow aritmatika

I

Link I

Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/

kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/

I

Email: [email protected]

Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Bahasan


Representasi Posisional

Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda)

Bilangan Signed (Bertanda)

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Representasi Lainnya Lisensi

Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point

Representasi Lainnya

Lisensi

Bilangan Integer dan Desimal I

Dua tipe bilangan 1. Tak bertanda (unsigned): bilangan yang hanya memuat nilai positif 2. Bertanda (signed): bilangan yang memuat nilai positif dan negatif

I

Sistem desimal, unsigned integer I I

I

I

I

bilangan memuat digit yang mempunyai nilai 0-9 Bilangan desimal n-digit dapat dinyatakan sebagai D = dn−1 dn−2 · · · d1 d0 Bilangan D tersebut mewakili nilai integer V (D) = dn−1 ×10n−1 +dn−2 ×10n−2 +· · ·+d1 ×101 +d0 ×100 Misalnya: 8547 mewakili 8 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100 Representasi bilangan tersebut disebut representasi posisional

Bilangan desimal disebut bilangan radix-10 atau base-10, karena digitnya mempunayi 10 nilai yang mungkin dan tiap digit berbobot pangkat 10

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika @2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Bilangan Biner

@2012,Eko Didik Widianto ([email protected])

I

I I

I


Dalam sistem digital, digunakan bilangan biner atau base-2


Tiap digit (bit, binary digit) mempunyai nilai 0 atau 1 Sebuah variabel mewakili satu bit


Representasi posisional bilangan biner n-digit:


B = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 I

Bilangan B tersebut mewakili nilai integer V(B) V (B) =

bn−1 × 2n−1 + bn−2 × 2n−2 + · · · + b1 × 21 + b0 × 20


=

n−1 P

bi ×

i=0 I

I

Misalnya: (1101)2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (13)10

Bilangan n-bit mewakili bilangan integer positif dari 0 . . . 2n − 1

2i

Lisensi


Bilangan Oktal dan Hexadesimal

@2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional

I

Representasi posisional dapat digunakan untuk sebarang radix I

I

I

n−1 P


i=0

Lisensi

ki × ri

Bilangan dengan radix 8 disebut oktal I

Digit bernilai dari 0 . . . 7

Bilangan dengan radix 16 disebut hexadesimal (hex) I

Digit bernilai dari 0 . . . 9 dan A . . . F

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point

Untuk radix r, maka untuk bilangan K = kn−1 kn−2 · · · k1 k0 mempunyai nilai integer


Representasi Bilangan dan Nilai Ekivalennya


Desimal

Biner

Oktal

Hexa

Desimal

Biner

Oktal

Hexa

0

0000

0

0

8

1000

10

8

1

0001

1

1

9

1001

11

9


2

0010

2

2

10

1010

12

A


3

0011

3

3

11

1011

13

B

Lisensi

4

0100

4

4

12

1100

14

C

5

0101

5

5

13

1101

15

D

6

0110

6

6

14

1110

16

E

7

0111

7

7

15

1111

17

F



Konversi Bilangan I Konversi bilangan biner ke desimal atau sebaliknya I


Biner ke desimal V (B)

= =

bn−1 × 2n−1 + bn−2 × 2n−2 + · · · + b1 × 21 + b0 × 20 n−1 X


i

bi × 2

Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point

i=0


Misalnya: (11101011)2

I

Lisensi

=

27 + 26 + 25 + 23 + 21 + 20

=

(235)10 = 235

Desimal ke biner I

I

I

Bagi bilangan desimal D dengan 2, memberikan hasil bagi (quotient) dan sisa. Sisa nilainya 0 atau 1. Sisa akan menjadi LSB Bagi quotient dengan 2, memberikan hasil bagi dan sisa. Ulangi pembagian quotient sampai quotient=0 Untuk setiap pembagian, sisa akan merepresentasikan satu bit bilangan binernya

Contoh Desimal ke Biner



Konversi Biner-Oktal-Hexadesimal


I


Biner - Oktal I I

I

1 digit oktal merupakan grup 3 digit biner Biner 001 000 Konversi biner - oktal: Oktal 1 0 Oktal 2 3 Konversi oktal - biner: Biner 010 011


110 6 6 110

100 4 7 111


I

Biner - Hexadesimal I I

I

1 digit hexa merupakan grup 4 digit biner Konversi biner - hexa: Biner 1111 0000 0110 0100 Hexa F 0 6 4 Konversi hexa - biner: Hexa 2 A C 7 Biner 0010 1010 1100 0111

Bilangan Signed


I

Dalam sistem biner, representasi bilangan signed berisi: tanda (sign) dan besar nilai (magnitude) I

I

Tanda diyatakan oleh bit paling kiri (0: bilangan positif, 1: bilangan negatif)

Bilangan n-bit: 1 bit paling kiri menyatakan tanda, n-1 bit berikutnya menunjukan besar nilai bilangan



Bilangan Sign-Magnitude


I


Di bilangan signed, terdapat 3 format yang umum digunakan untuk representasi bilangan negatif

Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

1. Sign-Magnitude 2. 1’s Complement 3. 2’s Complement

Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

I

I

Bilangan sign-magnitude menggunakan 1 bit paling kiri untuk menyatakan tanda (0: positif, 1: negatif) dan bit sisanya menyatakan magnitude (besar nilai bilangan). Bilangan 4-bit:

Lisensi

0

1

2

3

4

5

6

7

Positif

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Negatif

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Walaupun ini mudah dipahami, tapi ini tidak cocok digunakan di sistem komputer (dibahas di Operasi Bilangan)


Bilangan 1’s Complement

@2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional

I

I

I I

Skema 1’s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2n − 1 dengan bilangan positif ekivalennya P K = (2n − 1) − P Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4): K = (24 − 1) − P = 15 − P = (1111)2 − P

Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

0

1

2

3

4

5

6

7

Positif

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Negatif

1111

1110

1101

1100

1011

1010

1001

1000

Terlihat bahwa 1’s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan, termasuk bit tanda Masih ada kekurangan dari penggunaan 1’s complement (dibahas di Operasi Bilangan)

Lisensi


Bilangan 2’s Complement


I

I

Skema 2’s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2n dengan bilangan positif ekivalennya P K = 2n − P Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4): K = 24 − P = 16 − P = (10000)2 − P

Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-

Positif

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

Negatif

0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000

I

Terlihat bahwa 2’s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan dan menambahkan 1 I

I

(2’s complement) = (1’s complement) + 1

Bilangan signed 2’s complement ini yang sering digunakan dalam sistem komputer

Lisensi

Aturan Mencari 2’s Complement


I

Jika diberikan satu bilangan signed B = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 (baik positif maupun negatif) maka 2’s complementnya K = kn−1 kn−2 · · · k1 k0 dapat diperoleh dengan I

I I

Melihat semua bit B dari kanan ke kiri (mulai b0 , b1 , dst) dan mengkomplemenkan semua bit setelah nilai ’1’ yang pertama dijumpai Jika B=+76 (01001100) maka K=-76 (10110100) Jika B=-81 (10101111) maka K=+81 (01010001)


Bilangan Integer Bertanda (Signed Integer) 4-bit b3 b2 b1 b0

sign-magnitude

1’s complement

2’s complement

0111

+7

+7

+7

0110

+6

+6

+6

0101

+5

+5

+5

0100

+4

+4

+4

0011

+3

+3

+3

0010

+2

+2

+2

0001

+1

+1

+1

0000

+0

+0

+0

1000

-0

-7

-8

1001

-1

-6

-7

1010

-2

-5

-6

1011

-3

-4

-5

1100

-4

-3

-4

1101

-5

-2

-3

1110

-6

-1

-2

1111

-7

-0

-1



Jangkauan Bilangan Signed


#Bit

Nama

4

nible, semioctet

8

byte, octet

16

half-word, word, short

32

word, long, doubleword, int

64

doubleword, int64

n

Integer n-bit (bentuk umum)

Jangkauan 3

3

signed: − unsigned: signed: − unsigned: signed: − unsigned: signed: −

2 s/d 2 − 1 0 s/d 24 − 1 27 s/d 27 − 1 0 s/d 28 − 1 215 s/d 215 − 1 0 s/d 216 − 1 231 s/d 231 − 1

unsigned: signed: − unsigned: signed: −

0 s/d 232 − 1 263 s/d 263 − 1 0 s/d 264 − 1 2n−1 s/d 2n−1 − 1

unsigned: 0 s/d 2n − 1


Operasi Bilangan Unsigned


I I

Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4 kombinasi yang mungkin Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder)


Rangkaian Full-Adder (FA)


Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi)


Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi Lain)

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika @2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

I

Persamaan: I I

I

ci+1 = xi yi + xi ci + yi ci = xi yi + (xi + yi ) ci si = xi ⊕ yi ⊕ ci

Anggap gi = xi yi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pi ci I

Rangkaian?

Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Operasi Penjumlahan


I

Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1) I I

Tiap pasang bit ditambahkan Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)


Ripple Carry Adder (RCA) I I

I

Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan (LSB) sampai ke paling kiri (MSB) Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit dengan posisi i+1 Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder (FA) yang dihubungkan seri I I I

Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carry Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnya RCA ini mempunyai kelemahan, yaitu adanya delay untuk meripple carry I

Akan diperbaiki dengan struktur CLA


Operasi Bilangan Signed


I

Sign-magnitude I

I

I

1’s complement I

I

I

Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3. Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010? Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan mengurangkan bilangan

Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan 1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111 agar menghasilkan 1000 (=-7) Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar

2’s complement I

penjumlahan selalu benar


Operasi 2’s Complement


I

Penjumlahan


Operasi 2’s Complement


I

Pengurangan


Unit Penjumlah dan Pengurang


I

Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagai operasi penjumlahan dengan menggunakan 2’s complement di pengurangnya (baik positif maupun negatif) I

Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus


I I

Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1 1’s complement dapat diimplementasikan dengan menggunakan XOR I I

x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = x Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1

Unit Penjumlah dan Pengurang


I

Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang


Overflow Aritmatika


I

I

Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangan signed, maka hasil penjumlahan atau pengurangan harus dalam jangkauan −2n−1 sampai +2n−1 − 1 Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telah terjadi overflow aritmatika I

I

Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi dengan benar, perlu pendeteksi kejadian overflow

Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yang sama, maka tidak terjadi overflow


Overflow Aritmatika


I

Overflow dapat dideteksi dengan: I

I

Untuk bilangan n-bit I

I

overflow = c3 ⊕ c4 overflow = cn−1 ⊕ cn

Bagaimana rangkaian unit penjumlah/pengurang dengan overflow detection?


Rangkaian Komparator Bilangan


I

Misalnya: Bandingkan dua bilangan X = x3 x2 x1 x0 dan Y = y3 y2 y1 y0 I I

Bisa diimplementasikan dengan rangkaian pengurang (X-Y) Terdapat 3 output: Z, N, V I I I

I

Z=1 jika (X-Y)=0, hasil lainnya Z=0 N=1 jika (X-Y)<0, hasil lainnya N=0 V=1 jika terjadi overflow aritmatika, kalau tidak ada overflow V=0

Tunjukkan bagaimana Z, N, V digunakan untuk menentukan X=Y, XY dan X≥Y



Solusi


I

Misalnya X < Y, kemungkinan yang akan terjadi I

I

I

I

Jika X dan Y mempunyai tanda yang sama, tidak akan terjadi overflow, sehingga V=0. Dan untuk semua nilai X dan Y (positif/negatif) menghasilkan nilai negatif N=1 Saat X negatif dan Y positif, maka (X-Y) akan negatif (N=1) jika tidak ada overflow (V=0) dan (X-Y) akan positif (N=0) jika terdapat overflow (V=1) Sehingga jika X
Hasil I I

I

X=Y terdeteksi saat Z=1 XY terdeteksi jika Z + (N ⊕ V ) = 1. X≥Y terdeteksi jika (N ⊕ V ) = 1


Rangkaian Komparator 4-bit



Bilangan Fixed-Point


I Bilangan fixed-point terdiri atas bagian integer (digit signifikan) dan

pecahan I I

memungkinkan bilangan pecahan (mis: 75,625) Digunakan di mesin yang tidak mempunyai FPU (floating-point unit)

I Notasi bilangan (n+k) bit: Bn, k = bn−1 bn−2 · · · b1 b0 , b−1 b−2 · · · b−k I

n: #bit integer (tanpa bit tanda), k: #bit pecahan. Misal: B3,4 adalah bilangan dengan 3 bit integer dan 4 bit pecahan yang disimpan dalam satu integer 2’s complement 8-bit

I Nilai bilangan: V(Bn, k) =

n−1 P

bi × 2i

i=−k

I Contoh: I I

B3, 4 = (0101, 1010)2 = 22 + 1 + 2−1 + 2−3 = 5, 62510 = 5, A16 B3, 4 = (1011, 1010)2 = − 22 + 1 + 2−1 + 2−3 = −5, 62510 = B, A16

I Rangkaian logika untuk fixed-point sama dengan bilangan integer


Konversi Bilangan Fixed-Point


Konversi Bilangan Fixed-Point


Bilangan Floating-Point


I

Bilangan fixed-point mempunyai range yang dibatasi oleh digit signifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan

I

Dalam beberapa aplikasi, diperlukan bilangan yang mungkin sangat besar atau sangat kecil

Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

I I

I I

Memerlukan representasi floating-point Bilangan direpresentasikan dengan mantissa yang berisi bit signifikan dan eksponen dari radix R Format: mantisa × R eksponen Bilangan tersebut seringkali dinormalisasi terhadap radixnya. Misalnya untuk radix 10: 1, 5 × 1044 atau 1, 25 × 10−36

Lisensi


Format IEEE Presisi Tunggal

@2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

I IEEE mendefinisikan format 32-bit (single precision) untuk nilai

floating-point (IEEE 754-1985) I I I

1-bit sign (S) 8-bit eksponen (E) 23-bit mantissa (M)

I Dalam programming dikenal dengan tipe data float (C, C++, Java) dan

single (Pascal, VB, MATLAB) I Nilai bilangan: V(B) = (−1)S

1+

23 P

! b−i ×

2−i

i=1

I Baca: http://en.wikipedia.org/wiki/Single_precision

× 2E−127

Lisensi


Bilangan Float 32-bit


I Representasi bilangan float I I

B = (3E200000)16 B=(+)(1.01)2 × 2124−127 = +(0.00101)2 = 0.15625

Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya

I Nilai eksponen:

Lisensi I

Emin = 1, Emax = 254, menghasilkan eksponen (bias=127): E = 1 − 127 = −126 dan E = 254 − 127 = 127

Eksponen Signifikan=0 signifikan6=0 (E) 0 255

subnormal

(−1)S × 0.bit signifikan × 2−126

Nilai ternormalisasi

(−1)S × 1.bit signifikan × 2E−127

0, -0

1-254 ∞

Persamaan

bukan bilangan (NAN=not-anumber)

Contoh Bilangan Float 32-bit


I

Nyatakan nilai bilangan dari:


I

Nyatakan bilangan (3.5)10 dalam bentuk IEEE single precision

BCD (Binary-Coded Decimal)


I I

Binary-coded-decimal mengkodekan bilangan desimal dalam bentuk biner Karena terdapat 10 nilai yang harus diwakili, diperlukan 4 bit per digit I I

I

Dari 0=0000 sampai 9=1001 Contoh: (01111000)BCD = (78)10

BCD digunakan di sistem komputer terdahulu dan kalkulator, keypad numerik I

I

Menyediakan format yang memadai saat informasi numerik perlu ditampilkan di display sederhana berorientasi digit Tapi, membutuhkan rangkaian yang kompleks untuk melakukan operasi aritmatika dan masalah efisiensi kode (6 buah kode tidak digunakan)


Operasi dengan BCD


I

Operasi penjumlahan Z = X + Y I I

Jika Z ≤ 9, maka S=Z dan Carry=0 Jika Z > 9, maka S=Z+6 dan Carry=1


Rangkaian Penjumlah BCD 1 Digit


Implementasi Rangkaian Penjumlah BCD 1 Digit


Kode ASCII


I

Kode yang sering digunakan untuk merepresentasikan informasi di komputer I I

I

Kode ASCII menggunakan pola 7-bit untuk merepresentasikan 128 simbol I I I I

I

American Standard Code for Information Interchange bilangan, huruf, tanda baca dan kontrol kode

digit bilangan (0-9) karakter (a-z dan A-Z) tanda baca kode kontrol

Kode ASCII ekstended 8-bit mempunyai tambahan simbol untuk 128 karakter grafik (local glyph) I

http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_ASCII


Kode ASCII


I Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/ASCII I Sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:ASCII_Code_Chart-Quick_ref_card.png


Lisensi Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) I

Anda bebas: I

I

I

untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan, dan menyebarkan karya, dan untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya

Di bawah persyaratan berikut: I

Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi I

Cantumkan sumber asal file ini, yaitu

http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/ kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/ I

I

Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah, atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.

Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License

@2012,Eko Didik Widianto ([email protected]) Representasi Posisional Bilangan Signed (Bertanda) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point Representasi Lainnya Lisensi

Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Recommend Documents