Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Penggunaan Vedics Mathematics Dalam Operasi Pemangkatan Bilangan Dewi Murni 1), Vivi Angriani 2) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Padang 1) Dosen Jurusan Matematika FMIPA UNP 2)Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNP Email :
[email protected] Abstrak, Menentukan hasil pemangkatan suatu bilangan biasanya memerlukan proses yang cukup panjang apalagi jika bilangan itu adalah bilangan yang cukup besar. Penelitian ini bertujuan membahas proses mendapatkan formula menentukan pangkat bilangan menggunakan Vedics Mathematic, sehingga proses menjadi relatif pendek. Penelitian ini merupakan penelitian dasar. Hasil dari penelitian ini adalah :(1) Untuk kuadrat bilangan c yang mendekati 10, 100, 1000,…(dari kanan) didapat rumus c2 = [p ( c + )- [a2], (2) Untuk kuadrat bilangan c yang mendekati 10, 100, 1000,…(dari kiri) didapat rumus c2 = [p ( c - )- [a2]; (3) Untuk pangkat tiga bilangan yang dekat ke 10,100,1000,. . .(dari kanan) diperoleh rumus : c3=[(c+2a) p2] [3a2.p] [a3](4) Untuk pangkat tiga bilangan yang dekat ke 10,100,1000,. . .(dari kiri) diperoleh rumus : c3 =[(c2a) p2] [3a2.p] [a3] Kata kunci: Pemangkatan bilangan, Vedics Mathematic
PENDAHULUAN Menentukan hasil pangkat suatu bilangan biasanya dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut berulang kali sebanyak bilangan pangkatnya. Untuk bilangan yang lebih kecil dari atau sama dengan 10 maka mudah menentukan hasil pangkatnya. Jika bilangan tersebut adalah lebih besar dari 10 maka proses penyelesaiannya lebih panjang dan membutuhkan waktu yang cukup lama untuk mendapatkan hasilnya. Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah Vedics Mathematics. Vedics Mathematics adalah suatu sistem penyelesaian permasalahan matematika yang bersumberkan dari veda yang diprakarsai oleh Sri Bharati Krisna Tirthaji. Penelitian ini bertujuan menentukan: (1) kuadrat dari bilangan yang dekat kepada kelipatan 10 dan kelipatan 100 (2) pangkat tiga dari bilangan yang dekat kepada kelipatan 10
dan kelipatan 100. Terdapat sutra-sutra dalam Vedics Mathematicsyang dapat digunakan menentukan pangkat bilangan. Menurut Maharaja (1965) terdapat beberapa sutra yang dapat digunakan untuk menentukan kuadrat bilangan, yaitu Sutra by one more than one before dan Sutra by deficiency. Selanjutnya Aryavarta (2002) mengemukakan Sutra Whatever the Deficiency lessen by that Amount and Set up the Square of the Deficiency dapat digunakan untuk menentukan kuadrat dari bilangan yang dekat ke 10, 100,1000 dan seterusnya. Jika sutra ini dikombinasikan dengan Sutra proortionately, maka sutra ini dapat digunakan untuk menentukan kuadrat dari bilangan yang mendekati kelipatan 10 yaitu: dekat 10, 20, 30, ... dan bilangan mendekati 100, 200, 300, ...dan seterusnya. Sedangkan untuk pangkat tiga bilangan, yaitu: Sutra by the deficiency dan Sutra proportionately.
Semirata 2013 FMIPA Unila |115
Dewi Murni dan Vivi Angriani Vivi Angriani: Penggunaan Vedics Mathematics Dalam Operasi Pemangkatan Bilangan
METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian dasar. Metode yang digunakan adalah studi literatur dengan analisa teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan. HASIL DAN PEMBAHASAN
bilangan yang lebih kecil atau sama dengan 10 sudah dimiliki. Bukti Rumus: Pandang :c2= [p0 – a]2 = (p0)2 – 2 (p0)a + a2 =(p0)[p0 – 2a] + a2 = (p0)[(p0 – a) - a] + a2 =(p0)[c – a] + a2 =[(c-a)p] [a2] I II Keterangan: Kurung siku I : merupakan tempat puluhan Kurung siku II: merupakan tempat satuan b. Kuadrat Bilangan yang MendekatiKelipatan 10 (dari kanan)Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang lebih dari kelipatan 10. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan sepuluh, dimana 1 a Setiap bilangan c selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan puluhan dan bilangan satuan, sehingga : c = p0 + a, dimana p0 adalah bilangan bulat kelipatan 10 yang dekat ke c dan 1 p
a. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 10 (dari kiri). Menggunakan prinsip dari Sutra Whatever the Deficiency Lessen by that Amount and Set up the Square of the Deficiency yaitu dengan memperhatikan selisih bilangan tersebut dengan kelipatan 10. Prinsip kerja : Misalkan bilangan yang akan dikuaratkan adalah c, dimana c adalah bilangan bulat yang kurang dari kelipatan 10. Bilangan c dapat ditulis sebagai c = p0 – a, dimana a dan p adalah bilangan bulat dg , dan p lambang koefisien puluhan yang didekati c, a adalah selisih c dengan bilangan puluhan. Contoh: 38 = 40-2, dimana c= 38, p=4 dan a=2. Dengan memanfaatkan aturan Vedics Dengan memanfaatkan aturan vedics Mathematics diperoleh rumus untuk kuadrat bilangan kelipatan 10 (dari kiri) diperoleh rumus untuk kuadrat bilangan kelipatan 10 (dari kanan) adalah: adalah: c2 =[(c + a)p] [a2] c2 =[(c-a)p] [a2] Contoh : 782 = [76x8] [22] = [608] [4] = 6084 Dalam proses biasa untuk mendapatkan 2 78 terdapat 4 buah perkalian sedangkan menggunakan prinsip Vedics Mathematics menjadi hanya satu buah perkalian.Dalam proses biasa untuk mendapatkan 782 terdapat 4 buah perkalian sedangkan menggunakan prinsip Vedics Mathematics menjadi hanya satu buah perkalian. Pemangkatan bilangan dengan menggunakan Vedics Mathematics mengasumsikan kemampuan menghitung hasil kuadrat dan hasil pangkat tigadari
116| Semirata 2013 FMIPA Unila
Contoh : 842 = [88. 8] [16]= [704] [16] = 7056952 = [100. 9] [25] = [900] [25] = 9025 Bukti rumus. Pandang : c2 = (p0 + a )2 = (p0 + a )(p0 + a ) = (p0)2 +2 p0.a + a2 = p0 [p0 +a +a] + a2 = [p0 (c +a)] + a2 = [(c +a) p] [ a2] Khusus :Untuk bilangan dengan angka satuannya a=5 didapat rumus: p5 = [(p+1)p] [52]. Contoh: 652 = [6.7] [25] = 4225
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Untuk bilangan puluhan p = 5, maka c2 = [(c+a)10/2] [a2] Contoh : 542 = [58/2] [16] = 2900 + 16 = 2916 c. Kuadrat Dari Bilangan Yang mendekati Kelipatan 100.(dari kiri). Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100. Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan seratus p, Bilangan c dapat ditulis c= poo – a. Diperoleh rumus : c2 = [(c - a) p00] +[a2] Contoh: 2072 = [214. 2] +[49] =42800 + 49 =42829 Bukti Rumus : Pandang : c2 = (p00 + a )2 = (p00 + a )(p00 + a ) = (p00)2 +2 p00.a + a2 = p00 [p00 +a +a] + a2 = [p00 (c +a)] + a2 = [(c +a) p] [ a2] d. Kuadrat Dari Bilangan Yang Mendekati Kelipatan 100.(dari kanan). Misalkan bilangan yang akan dikuadratkan adalah c, dimana c merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100 (dari kanan). Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan kelipatan seratus p, Bilangan c dapat ditulis c= poo + a. Dengan cara yang sama pada bagian (c) diperoleh: c2 = [(c + a)p00] +[a2] Contoh 326 = [352. 3] +[262] = [1056][676] = 105600 +676 = 106276 Pandang 262 = [22 . 3] [16] =[66] [16] = 676 1. Perkalian dua bilangan yang berbeda yang mendekati basis 10,100,1000,... a. Perkalian dua bilangan yang berbeda yang mendekati kelipatan 10.Misalkan bilangan yang akan dikalikan adalah c1 dan c2, dimana c1 dan c2 merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 10. Misalkan a1 adalah selisih c1 dengan bilangan kelipatan 10 dan a2 adalah selisih c2 dengan
bilangan kelipatan 10, dimana 1 a1 dan 1 a2 Sehngga bilangan c1 dan c2 selalu dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan bilangan puluhan dan bilangan satuan, sehingga : c1 = p0 + a1 dan : c2 = p0 + a2, dimana p0 adalah bilangan bulat kelipatan 10 yang dekat ke c1 dan c2 dan 1 p Untuk perkalian dua bilangan c1 dan c2 diperoleh rumus: c1 . c2 = [(p0 + a1 + a2)p] [a1. a2] Contoh: 1) Menentukan 42 . 46 = ? (kedua bilangan mendekat dari kanan) Pandang 42 = 40 + 2 46 = 40 + 6 Maka : 42 . 46 = [48 . 4] +[12] = [192] +[12] = 1920+12=1932 2) Menentukan 64 . 68 = ? (kedua bilangan mendekat dari kiri) Pandang 64 = 70 – 6 68 = 70 – 2 Maka: 64 . 68 = [62 . 7] + [12] = [434] + [12] = 4352 3) Menentukan 44 . 52 = ? (Kedua bilangan mendekat dari arah berbeda) Pandang 44 = 50 + (–6) 52 = 50 + 2 Maka : 44 . 52 = [46 . 5] + [-12] =[230] +[-12] =2300 – 12 = 2288 Bukti rumus : c1 . c2= (p0 + a1) (p0 + a2 ) = (p0)2 + p0.a1 + p0.a2 + a1. a2 = [ (p0 + a1 + a2 )p0]+ [a1. a2] = [ (p0 + a1 + a2 )p0]+ [a1. a2] = [ (p0 + a1 + a2 )p] [a1. a2] b. Perkalian dua bilangan yang berbeda yang mendekati kelipatan 100.Misalkan bilangan yang akan dikalikan adalah c1 dan c2, dimana c1 dan c2 merupakan bilangan bulat yang mendekati kelipatan 100. Misalkan a1 adalah selisih c1 dengan bilangan kelipatan 100 dan a2 adalah selisih c2 dengan bilangan kelipatan 100, Sehngga bilangan c1 dan c2 selalu dapat ditulis Semirata 2013 FMIPA Unila |117
Dewi Murni dan Vivi Angriani Vivi Angriani: Penggunaan Vedics Mathematics Dalam Operasi Pemangkatan Bilangan
dalam bentuk penjumlahan bilangan 2) 273 = [30- 3]3 ratusan dan sisa, sehingga : c1 = p00 + = [21 . 9] [ 27. 3] [-27] a1 dan : c2 = p00 + a2, dimana p00 = [189] [81] [-27] adalah bilangan bulat kelipatan 100 = 18900+ 783=19683 3 3) 68 = (70 – 2)3 yang dekat ke c1 dan c2 dan 1 p = [64 . 49] [12 . 7] [-8] Untuk perkalian dua bilangan c1 dan c2 = [3136] [84] [ -8] = 314432 diperoleh rumus: c1 . c2 = [(p00 + a1 + (Pandang 64 .49 = [(60+4-11)6] [-44] a2)p] [a1. a2] = [53 . 6] [-44] Contoh: = [318] [-44] = 3136) 1) Menentukan 412 . 406 = ? (kedua Bukti rumus: (1) bilangan mendekat dari kanan) c3 = (p0 + a )3 = (p0 + a ) (p0 + a ) (p0 + a Pandang 412 = 400 + 12 ) 406 = 400 + 6 = (p0)3 + 3 (p0)2.a + 3 p0.a2 + a3 Maka : 412 . 406 = [418 . 4] [72] = (p0)2 [p0 + 3a] + p0.3a2 + a3 = [1672] [72] = [ (p0+a + 2a)p200] + [3a2.p0] +a3 = 167212 = [(c + 2a)p] [3a2.p] [a3] 2. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang Bukti rumus: (2) c3= (p0 - a )3= (p0 - a ) (p0 - a ) (p0 - a ) Mendekati kelipatan 10, 100, 1000, ,,, = (p0)3 - 3 (p0)2.a + 3 p0.a2 - a3 a. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang = (p0)2 [p0 - 3a] + p0.3a2 - a3 Mendekati kelipatan 10. Misalkan = [ (p0 - a - 2a)p200] + [3a2.p0] - a3 bilangan yang akan dipangkattigakan = [(c - 2a)p2] [3a2.p] [ -a3] adalah c, dimana c merupakan bilanga bulat yang mendekati kelipatan 10. b. Pangkat tiga dari Bilangan Bulat Yang Mendekati kelipatan 100. Misalkan Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan yang akan dipangkattigakan bilangan kelipatan sepuluh, dimana 1 adalah c, dimana c merupakan bilangan a Setiap bilangan c selalu dapat bulat yang mendekati kelipatan 100. ditulis dalam bentuk penjumlahan Misalkan a adalah selisih c dengan bilangan puluhan dan bilangan satuan, bilangan kelipatan 100.Setiap bilangan sehingga : c = p0 + a, dimana p0 c selalu dapat ditulis dalam bentuk adalah bilangan bulat kelpatan 10 yang penjumlahan bilangan ratusan dan dekat ke c dan 1 p bilangan sisa, sehingga : c = p00 + a, Maka diperoleh rumus dimana p00 adalah bilangan bulat (i) c3= (p0 + a )3 = [(c+2a) p2][3a2.p] kelipatan 100 yang dekat ke c dan 1 [a3] p (ii) c3 = (p0 - a )3=[(c-2a) p2][3a2.p][ Dengan prosedur yang sama dengan 3 a] bilangan mendekati kelipatan 10, maka I II diperoleh Rumus: III (i) c3= (p00+ a )3 = [(c+2a) p2] Ket. I : nilai tempat ratusan [3a2.p] [a3] II : nilai tempat puluhan (ii)c3= (p00 - a )3 = [(c-2a) p2] III : nilai tempat satuan [3a2.p] [ -a3] I II III Contoh : Ket. I : nilai tempat puluhan ribu 3 3 1) 23 = [ 20 +3] II : nilai tempat ratusan = [29.4] [27 . 2] [27] III : nilai tempat satuan = [116] [54] [27] =12167
118| Semirata 2013 FMIPA Unila
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
6. Pangkat Tiga Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 100.c3 = (p00 + a Berdasarkan hasil pembahasan dapat )3 =[(c+2a) p2] [3a2.p] [a3] diperoleh kesimpulan berikut: DAFTAR PUSTAKA 1. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Kelipatan 10 Aryavarta, Ancienct. (2002) Yavadunam a. c2 = [(c - a) p0] +[a2] ( mendekat Tavadunikriya Vargamca Yojayet. dari kiri) 2 2 http://www.class10maths.com b. c = [(c - a) p0] +[a ] (mendekat /vedic/indek.php. diakses 2 April2009 dari kanan) 2. Kuadrat Bilangan Bulat Mendekati Glover.James T.(2003). Vedic Kelipatan 100 Mathematics For School, Delhi: Motilal c. c2 = [(c - a) p00] +[a2] ( mendekat Banarsidas Publishers dari kiri) Maharaja,Tirthaji B.K ( 1965), Vedic d. c2 = [(c - a) p00] +[a2] (mendekat Mathematics or Sixteen Simple dari kanan) Mathematical Formulae from The 3. Perkalian Bilangan bulat Berbeda Vedas, New Delhi: Motilal Banarsidas Mendekati Kelipatan 10. c1 . c2 = [ (p0 + a1 + a2 )p] [a1. a2] Muhammad Rikki, (1965), Beberapa Sutra 4. Perkalian Bilangan bulat Berbeda Dalam Vedic Mathematics, Padang, Mendekati Kelipatan 100. c1 . c2 = [ FMIPA UNP (p00 + a1 + a2 )p] [a1. a2] Supi Pauzi, (2008), Perpangkatan dan 5. Pangkat Tiga Bilangan Bulat Akar Bilangan, Mendekati Kelipatan 10. http://aplikasi.wordpress.com/2008/06/ c3= (p0 + a )3 = [(c+2a) p2] [3a2.p] 06/perpangkatan dan akar bilangan, [a3] diakses 8 April 2009 KESIMPULAN
.
Semirata 2013 FMIPA Unila |119
