5
BAB II KERANGKA TEORITIS
2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan, grupoid, grup hingga field. Secara khusus struktur aljabar adalah himpunan tak kosong dengan satu komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. Contoh: •
A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + (x + y) ∈ A, ∀x,y ∈ A
•
B = {x / x bilangan real} dengan operasi +, × (x + y) ∈ B, ∀x,y ∈ B (x × y) ∈ A, ∀x,y ∈ B
2.2 Operasi Biner Operasi biner yang biasa disebut komposisi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua elemen dan menghasilkan elemen yang masih merupakan anggota himpunan yang bersangkutan. Beberapa operasi biner yang dikenal
6
dalam matematika misalnya operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat. Operasi gabungan, irisan, selisih dan selisih simetri dalam himpunan kuasa merupakan contoh lain operasi biner pada himpunan. Contoh: •
Penjumlahan dua buah bilangan bulat sembarang akan menghasilkan bilangan bulat lagi, sehingga penjumlahan adalah operasi biner pada himpunan bilang bulat.
•
Perkalian dua buah bilangan bulat juga menghasilkan bilanga bulat lagi. Jadi operasi perkalian dalam hal ini juga merupakan operasi biner.
2.3 Operasi Komutatif Sebuah operasi biner * pada himpunan A dikatakan komutatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈ A berlaku: a*b = b*a
2.4 Operasi Asosiatif Sebuah operasi biner * pada himpunan A dikatakan asosiatif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlakus: (a*b)*c = a*(b*c)
7
2.5 Operasi Distributif Sebuah operasi biner
dikatakan distributif terhadap operasi biner * jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ A berlaku: a
( b * c ) = (a
b) * ( a
c ). 2.6 Unsur Kesatuan Ada dua unsur kesatuan, yaitu: •
Unsur kesatuan aditif Yang disebut unsur kesatauan aditif ialah elemen e ∈ A yang bersifat a + e = e + a = a , untuk setiap e ∈ A . Contoh: 0 merupakan unit kesatuan aditif dalam sistem bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.
•
Unsur kesatuan multiplikatif Yang disebut unsur kesatauan multiplikatif ialah elemen e ∈ A yang bersifat a ∗ e = e ∗ a = a , untuk setiap e ∈ A . Contoh: 1 merupakan unit kesatuan multiplikatif dalam sistem bilangan bulat dengan operasi perkalian.
2.7 Invers Misalkan a, a’ ∈ A, dimana elemen identitas dari operasi biner  adalah e dan a Âa’ = a’ Âa = e, maka a’ disebut sebagai elemen invers dari a untuk operasi biner Â.
8
2.8 Grupoid Grupoid adalah suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner. Contoh: •
A = {x / x bilangan bulat} dengan operasi + (x + y) ∈ A, ∀x,y ∈ A
•
B = {x / x bilangan bulat} dengan operasi × (x × y) ∈ B, ∀x,y ∈ B
2.9 Semi Grup Semi grup (G,∗) adalah suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut ini: 1. Sifat tertutup terhadap operasi * Untuk setiap a , b ∈ G berlaku a*b adalah juga merupakan elemen G. 2. Sifat asosiaif terhadap operasi * Untuk setiap a , b, c ∈ G berlaku (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) .
2.10 Grup Grup asalah suatu sistem atau struktur aljabar yang sederhana. Jika suatu himpunan G ≠∅ dengan suatu operasi ° yang didefinisikan bagi elemen-elemen G bersifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner tersebut, maka himpunan G terhadap
9
operasi biner itu membentuk suatu grup. Selanjutnya keempat sifat tersebut dinamakan aksioma-aksioma suatu grup. Suatu himpunan G yang tidak kosong dan suatu operasi biner o yang didefinisikan pada G membentuk suatu grup bila dan hanya bila memenuhi sifat – sifat berikut ini: 1. Tertutup, ∀a,b ∈ G berlaku (a°b) ∈ G. 2. Operasi o pada G bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a , b, c,∈ G maka
( a o b ) o c = a o ( b o c) . 3. G terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas, yaitu ada e ∈ G sedemikian sehingga a o e = e o a = a untk setiap a ∈ G . 4. Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner o dalam G, yaitu untuk setiap a ∈ G ada a −1 ∈ G sedemikian hingga a o a −1 = a −1 o a = e adalah elemen identitas dari G. Jika himpunan G terhadap operasi biner o membentuk suatu grup, maka grup G ini dinyatakan dengan notasi (G,o) . Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap binernya. Operasi biner o pada G bersifat komutatif yaitu untuk setiap a , b ∈ G maka a o b = b o a . Maka grup (G,o) disebut grup abelian atau grup komutatif.
10
2.11 Ring Ring adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu + dan *.
Terhadap operasi +, struktur aljabar itu merupakan grup abelian, terhadap * struktur aljabar itu semi grup, dan operasi * bersifat distribusi kiri dan distribusi kanan terhadap +. Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda + dan * merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut ini. 1. Sifat tertutup terhadap operasi + Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a + b) ∈ R . 2. Sifat asosiaif terhadap operasi + Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) . 3. Ada elemen identitas terhadap operasi + Ada 0 ∈ R sedemikian hingga untuk setiap a ∈ R berlaku a + 0 = 0 + a = a . 4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi + Untuk setiap elemen
a∈R
dapat ditemukan
a + a −1 = a −1 + a = 0 . 5. Sifat komutatif terhadap operasi + Untuk setiap a , b ∈ R berlaku a + b = b + a . 6. Sifat tertutup terhadap operasi * Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a * b) ∈ R .
(a )∈ R −1
sedemikian
11
7. Sifat asosiatif terhadap * Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a * b) * c = a * (b * c) . 8. Sifat distributif operasi * terhadap + Untuk
setiap
a , b, c ∈ R
berlaku
a ∗ ( b + c) = a ∗ b + a ∗ c
dan
(a + b ) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c .
2.12 Field Field adalah suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu “+” dan
“×”. Terhadap operasi + struktur aljabar itu merupakan grup abelian. Terhadap operasi × struktur aljabar itu juga merupakan grup abelian tetapi dengan mengecualikan angka unkes aditif, dan terhadap operasi × bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap +. Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda + dan × merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut ini. 1. Sifat tertutup terhadap operasi + Untuk setiap a , b ∈ R berlaku (a + b) ∈ R . 2. Sifat asosiatif terhadap operasi + Untuk setiap a , b, c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c) . 3. Ada elemen identitas terhadap operasi + Ada 0 ∈ R sedemikian hingga untuk setiap a ∈ R berlaku a + 0 = 0 + a = a .
12
4. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi + Untuk setiap elemen
a∈R
dapat ditemukan
(− a ) ∈ R
sedemikian
a + (− a ) = (− a ) + a = 0 .
5. Sifat komutatif terhadap operasi + Untuk setiap a , b ∈ R berlaku a + b = b + a . 6. Sifat tertutup terhadap operasi × Untuk setiap a , b ∈ (R − {0}) berlaku (a + b) ∈ (R − {0}) . 7. Sifat asosiatif terhadap × Untuk setiap a , b, c ∈ (R − {0}) berlaku (a × b) × c = a × (b × c) . 8. Ada elemen identitas terhadap operasi × Ada 1 ∈ (R − {0}) sedemikian hingga untuk setiap a ∈ (R − {0}) berlaku a × 1 = 1× a = a .
9. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi × Untuk setiap elemen
a ∈ (R − {0})
dapat ditemukan
(a )∈ (R − {0}) −1
sedemikian a × a −1 = a −1 × a = 1 . 10. Sifat komutatif terhadap operasi × Untuk setiap a , b ∈ (R − {0}) berlaku a × b = b × a . 11. Sifat distributif × terhadap + Untuk
setiap
a , b, c ∈ R
a × (b + c ) = a × b + a × c .
berlaku
(a + b ) × c = a × c + b × c
dan
13
2.13 Daftar Cayley
Daftar Cayley adalah daftar yang dibuat untuk memperlihatkan operasi antar dua elemen pada himpunan terbatas. Berikut ini adalah beberapa contoh daftar Cayley. •
Daftar Cayley operasi penjumlahan dengan modulo 6 Tabel 2.1 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6
•
+6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
Daftar Cayley operasi perkalian modulo 6 Tabel 2.2 Tabel Cayley Perkalian Modulo 6 ×6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
14
Syarat-syarat ring dan field di dalam tabel Cayley dapat dilihat sebagai berikut. 1. Tertutup bila elemen-elemen dalam tabel tidak mengandung elemen-elemendi luar elemen-elemen himpunan. (lihat Tabel 2.1 dan Tabel 2.2) 2. Unit kesatuan kiri bila ada baris yang sama dengan baris teratas. Tabel 2.3 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat unit kesatuan kiri +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
3. Unit kesatuan kanan bila ada kolom yang sama dengan kolom terkiri. Tabel 2.4 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat unit kesatuan kanan +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
15
4. Komutatif bila simetris terhadap diagonal utama. Tabel 2.5 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat komutatif +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
5. Ada invers bila ada elemen pada baris dan kolom yang menghasilkan unit kesatuan. Tabel 2.6 Tabel Cayley Penjumlahan Modulo 6 dengan syarat invers +6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
16
Tabel 2.7 Tabel Cayley Perkalian Modulo 6 dengan syarat invers ×6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
