RANGKUMAN MATERI KELAS X SMK Tahun Ajaran 2010 / 2011
MATERI 1 OPERASI BILANGAN REAL Bilangan adalah suatu gagasan, ide, bersifat abstrak yang dapat memberi keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan.
1. 2. 3. 4.
Macam-Macam Bilangan Bilangan Asli : Himpunan semua bilangan asli A={1,2,3,...} Bilangan Cacah : Himpunan semua bilangan cacah C={0,1,2,3,...} Bilangan Bulat : Himpunan semua bilangan bulat B={...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...} Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a & b bulat dan b 0. Himpunan bilangan rasional Q={x= , a, b B, b 0}. Maka, bilangan rasional meliputi semua bilangan bulat, pecahan sejati, dan pecahan tidak sejati (campuran). Jika a > b :
, , =2 ,
, ... (pecahan tak sebenarnya) =1 ,
= -2 (pecahan campuran)
Jika a < b :
,
,
, ... (pecahan murni)
Jika a = b :
,
, ... (bilangan bulat)
5. Bilangan Irasional : Bilangan yang lambangnya tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan atau bukan bilangan rasional dengan notasi I = {x|x bilangan irasional} , misalnya √ , √ , √ , ... ; √ , √ , ... ; log 2, log 3, log 12, e =2,7128..., 6. Bilangan Real (nyata) : Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional yang dilambangkan dengan huruf R. Dapat dinyatakan bahwa bilangan real meliputi semua bilangan bulat, pecahan, dan semua bilangan irasional dengan notasi R = {x|x Q I } 7. Bilangan Imaginer (khayal) : Bilangan dari hasil penaksiran akar yang kemungkinan menghasilkan bilangan yang tidak nyata (imaginasi), misal √ , , maka √ , √ , ...dst. dengan notasi i = √ 2 2 i = (√ ) = -1 i3 = i2 x i = -1 x i = -i 4 i4 = (√ ) = 1 ...dst. 8. Bilangan Kompleks : Gabungan bilangan nyata dan bilangan khayal atau semesta dari dari semua bilangan yang dinyatakan dengan x + yi x = bilangan nyata dan y = bilangan khayal. Notasi bilangan kompleks yaitu K={ x + yi | x, y R, i = √ }. Contoh bilangan kompleks : -3 + 2i dengan -3 sebagai bilangan bulat dan 5i sebagai bilangan khayal 9. Himpunan bilangan lainnya : Himpunan bilangan ganjil (bilangan yang tidak habis dibagi dengan 2) = {1,3,5,...} Himpunan bilangan genap (bilangan yang habis dibagi dengan 2) = {2,4,6,...} Himpunan bilangan prima (bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu angka 1 dan bilangan itu sendiri) = {2,3,5,7,...} Himpunan bilangan tersusun (bilangan asli yang bukan bilangan prima) = {1,4,6,8,9,...} Rangkuman Kelas X
1
Himpunan bilangan komposit (bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor) = {4,6,8,9,...} Himpunan bilangan kuadrat (bilangan hasil dari penguadratan suatu bilangan) = {1,4,9,16,25,...} Ikhtiar Bilangan Kompleks (K)
Khayal (IM)
Nyata (R) Irasional (I)
Rasional (Q) Pecah (P) Murni
Campuran
Bulat (B) Negatif (B - )
Cacah (C) Nol
Asli (A) Ganjil
Prima
Genap
Komposit
Kompleks Asli Cacah Bulat dan Pecahan Rasional dan Irasional Real
Gambar Diagran Venn Ikhtiar Bilangan Operasi hitung bilangan bulat 1. Penjumlahan Jika a dan b bilangan asli, maka : (-a)+(-b) = -(a+b) (-225.136)+(-751.661) = -(225.136+751.661) = -976.797 Rangkuman Kelas X
2
a+(-b) 756.220+(-136.112)
= a-b, dengan a>b = 756.220-136.112 = 620.108 (-a)+b = -(a-b), dengan a>b (-556.785)+57.461 = -(556.785-57.461) = -499.324 a+(-b) = -(b-a), dengan a
3
axb = bxa -axb = - (axb) 561x957 = 957x561 -583x736 = -(583x736) = 486.877 = -429.088 ax(-b) = -(axb) -ax(-b) = +(axb) 732x(-915) = -(732x915) -287x(-117)= +(287x117) = -669.780 = 33.579 Sifat perkalian bilangan bulat : Komutatif : axb = bxa (-751)x516 = 516x(-751) = -337.516 Asosiatif : ax(bxc) = (axb)xc -115x(731x289) = [(-115)x731]x289 = -24.294.785 Distributif : ax(b+c) = (axb)+(axc) 237x(516+714) = (237x516)+( 237x714) = 291.510 Tertutup (anggota perkalian masih dalam satu jenis bilangan) : axb B , contoh : (137)x571 = -78.227
Unsur Identitas : 1xa = ax1 = a dan ax
= 1(kebalikan atau invers a
terhadap perkalian) Bentuk perkalian yang perlu diketahui : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2 2 (a-b) = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2 (a-b)(a+b) = a2-b2 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) 4 4 a -b = (a2+b2)(a2-b2) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a-b-c)2 = a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc
4. Pembagian Jika a dan b bilangan bulat dengan b 0, maka : a:b = m dapat ditulis dalam bentuk pecahan = m , maka a = mxb Sifat pembagian bilangan bulat : ax(b:c) = (axb):c ax
=
(axb):(pxq) =
= (a:p)x(b:q) x
a:(b:c)
= ax(c:b) = ax
a:b
= (axp):(bxp) = ,p 0
a:b
= (a:p):(b:p) = ,p 0
(a:b):p
= (a:b)x(1:p) =
Rangkuman Kelas X
x
4
(a+b):p
= (a:p)+(b:p) =
(a-b):p =
+
= (a:p)-(b:p) -
ap:aq
= ap-q = ap-q
(a:b)p
= ap:bp
( )p
=
Operasi Hitung Bilangan Pecahan 1. Penjumlahan dan Pengurangan
= +
=
=
= =
=
=
sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. 2. Perkalian dan Pembagian x =
x
=
:
=
x
=
:
=
x
=
pecahan
sama
dengan
=
=
=1
sifat perkalian dan pembagian bilangan pecahan sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Terdapat 3 cara penulisan pecahan, yaitu : 1. Pecahan Biasa (pecahan murni), dengan a>b 2. Pecahan Desimal, dibagi menjadi 3 bentuk : Terbatas : 0,5 Tidak Terbatas : 0,5876564... Berulang (Repeten) : 0,555... atau 0,5 Operasi bilangan pecahan desimal : 1. Penjumalahan 0,8945+0,0835+ 0,65 = 1,628 0,8945 0,0835 0,65
+
1,628
lebih baik memakai cara bersusun, karena lebih cermat, jangan lupa disejajarkan pada tanda koma.
2. Pengurangan 1-0,09824-0,524 = 0,37776 1 0,09824 Rangkuman Kelas X
5
0,90176 0,524 0,37776
pada operasi pengurangan bersusun harus dikerjakan per langkah tidak dianjurkan langsung semua untuk memperkecil kesalahan hitung.
3. Perkalian 6,894x7,03 = 48,46482 6,894 7,03 x 20682 0000 48258 + 48,46482
pada operasi perkalian bersusun, tanda koma hasil perkalian diletakan sesuai dengan jumlah bilangan dibelakang koma pada pengali dan bilangan yang dikalikan.
4. Pembagian 86,35 : 0,025 = 3.454 3454 25 86350 75 113 100 135 125 100 100 0 pada operasi pembagian bersusun, pembagi harus dalam bentuk bulat, tidak boleh terdapat koma.
Pemfaktoran aljabar Contoh : 1.
= (x-2)
= x-2 x-3
x2-5x+6 x2-3x
-
-2x+6 -2x+6 – 0 = x2–7x+28
2.
Harus ditambah 0x
x2–7x+28 X+4
untuk melengkapi urutan pangkat
x -3x +0x+112 3
2
x3+4x2
-
-7x +0x 2
-7x2-28x
-
28x+112 28x+1120 Rangkuman Kelas X
6
3. Pecahan Prosen adalah bilangan rasional yang berpenyebut 100. Lambang dari prosen adalah % . Contoh : = x100% =
=
x 100%= 45% ;
% =14 % diusahakan dalam membuat bilangan prosen
menggunakan bentuk pecahan.
Konversi pecahan biasa ke desimal ke prosen = 0,125 = 0,125 x 100% =12,5 %
0,125 8 10 8– 20 16 – 40 40 – 0 Konversi pecahan biasa ke prosen ke desimal =
x 100% = 60% =
Konversi desimal ke pecahan biasa
0,24 =
0,333... = x= 10x = x= 9x =
0,333... 3,333... 0,333...3
x=
Berulang pada bilangan ke-I , jadi dikali 10
=
2,3181818... x 1000x 10x 990x x
= 0,6
= 2,3181818... = 2318,1818... = 23,1818...= 2295 =
=
Berulang pada bilangan ke-III , jadi dikali 1000
=2
Konversi prosen ke pecahan biasa 78% =
Perbandingan dan Skala 1. Perbandingan (Rasio) Adalah membandingkan 2 besaran sejenis pada umumnya dinyatakan dengan bilangan. Misalnya membandingkan ukuran pensil yang masing-masing 20 cm dan 15 cm. Perbandingannya dapat dinyatakan sebagai berikut : 1. 20 cm : 15 cm 2. 20 cm lawan 15 cm 3. 20 cm / 15 cm atau
=
(baca: 4 banding 3, perbandingan pada
umumnya dinyatakan dalam nilai yang terkecil)
Perbandingan ada 2 macam : a. Perbandingan Senilai : 2 perbandingan yang nilainya sama. Rangkuman Kelas X
7
Misal : 3 / 7 senilai dengan 24 / 56 Contoh : perbandingan jarak dan waktu. Semakin jauh jarak, semakin lama pula waktunya. Jika mobil A dapat menempuh jarak 200 km dengan waktu 120 menit. Berapa waktu yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak 100 km? Jawab :
= =
Waktu B x 200 km
= 100 km x 120 menit
Waktu B
=
Waktu B
= 60 menit
Berarti rumus perbandingan senilai
:
=
b. Perbandingan Berbalik Nilai : 2 perbandingan yang nilainnya saling berbalikan. Misal : 2/5 dengan 5/2 Contoh : kecepatan dengan waktu. Semakin tinggi kecepatan, maka semakin singkat waktu. Jika mobil A dapat menempuh jarak tertentu dengan kecepatan 60km/jam dengan waktu 120 menit. Berapa kecepatan yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak yang sama dalam waktu 180 menit ? Jawab :
= =
Kecepatan B x 180 menit = 120 menit x 60 km/jam Kecepatan B
=
Kecepatan B
= 40 km/jam
Berarti rumus perbandingan berbalik nilai
:
=
Contoh variable perbandingan :
Senilai : banyaknya barang yang dibeli & harganya; lama menabung & jumlah tabungan; jarak & waktu; gas, kenaikan temperatur (volume tetap) & tekanannya. Berbalik Nilai : gerak beraturan, kecepatan, & waktunya; jumlah seluruh cicilan, & sisa hutang; kecepatan & waktu; jumlah pekerja & lama selesai proyek; gas, kenaikan tekanan (suhu tetap) & volumenya.
2. Skala Adalah perbandingan jarak/panjang pada peta dengan jarak/panjang sebenarnya. Ada 2 macam skala, yaitu : 1. Skala Diperbesar (biasanya untuk menggambarkan komponen mesin/alat-alat elektronika yang berukuran kecil atau sangat kecil. Misalnya, 20 : 1 artinya 20 satuan mewakili 1 satuan pada ukuran sebenarnya, atau 1 satuan mewakili
mewakili ukuran sebenarnya)
Contoh soal : Pada gambar sarang semut yang berskala 100:1 memiliki diameter 50cm pada gambar. Berapa mm diameter sarang semut sesungguhnya! Jawab : Rangkuman Kelas X
8
Skala 100:1 artinya 100cm mewakili 1cm ukuran sebenarnya. Diameter sarang semut sesungguhnya :
=0,5cm=5mm
2. Skala Diperkecil (biasanya untuk menggambarkan peta, luas lahan atau rumah yang berukuran luas. Misalnya, 1 : 1000 artinya 1 cm pada peta mewakili 1000 cm pada ukuran sebenarnya) Contoh soal : Pada gambar yang berskala 1:500 akan dibangun sebuah rumah dengan ukuran pada gambar panjang 24cm dan lebar 20cm. Berapa meterkah luas rumah sesungguhnya ? Jawab : Skala 1:500 artinya 1cm mewakili 500cm ukuran sebenarnya. Panjang rumah sesungguhnya : 24cmx500 = 12.000cm Lebar rumah sesungguhnya : 20cmx500 = 10.000cm Luas rumah sesungguhnya : 12.000cmx10.000cm : 120mx100m : 12.000m2 Operasi bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat berdasarkan perkalian berganda. Misalnya, 43 = 4x4x4. Secara umum : ap =a x a x a x a x ... dengan a=bilangan pokok, p=pangkat (eksponen), dan ap=bilangan berpangkat. Sifat-sifat bilangan berpangkat : 1. ap x aq = ap+q 2 5 2 x2 = 2x2x2x2x2x2x2 = 22+5 = 27 = 128 2. ap:aq = ap-q = 37-4 = 33 = 27
= 3. (ap)q
= apq 3(2p5q4r3)5 = 3(25p25q20r15) = 3(32p25q20r15) = 96p25q20r15
4. (axb)n (2x5)3
= 210 = 1024 = = = =
Jika pangkatnya berpangkat, maka pangkatnya dipangkatkan terlebih dahulu
an x b n 23 x 53 8 x 125 1000
Pangkat 0 a0 = 1 dengan a 0 dan 0p=0 dengan p 0 contoh soal : 30 = 1 , 10000 =1 Pangkat Negatif a-n = contoh soal : Rangkuman Kelas X
9
(5c-4d5)3 = 53c-12d15 =
a4b6 x
=
x a3b2 x a-5b x 4b-4
= a4xb6xa-2xb-5xa3xb2xa-5bx4xb-4 = = = = =
(a4xa-2xa3xa-5)(b6xb-5xb2bxb-4)4 a4-2+3-5 x b6-5+2+1-4 x4 a0 x b0 x4 1 x1 x4 4
Akar dan pangkat pecahan Akar adalah kebalikan dari pangkat. Mencari akar suatu bilangan Cara yang lebih cermat adalah menjandikan tiap kelompok 2 angka dibelakang koma, maupun di depan koma. Contoh soal : √ = 4,39 = 4,39
4+4
√ 4x4 =
16 327 249 7821 78210
83x3 =
83+3
869x9 =
= 0,0456
0+0
0x0 =
00+0
√
00x0 =
√
00
-
4+4
20 04x4 =
16
-
479 85x5 =
85+5
= 0,0456 -
0 00
425
-
5436 906x6 =
5436 – 0
Sifat-sifat akar pangkat : 1.
= √ Contoh soal : 1. √
=
2. √
=
Rangkuman Kelas X
10
2. √ = dengan m, n Contoh soal : 1. ( √
)3 = √
2.
=
√
=
B dan n
0
=
= 7. .
3. √ = √ x √ Contoh soal : 1. √ x √ x √ = √ = √ = √
x √
= 2√ 2. √ x √ = √ 4. √ =
= √
= √
=3
√ √
Contoh soal : √
= √
√
= √
= √
=3
5. √ = √ Contoh soal : = √
√
= ab2c √ 6.
=
=
√
Contoh soal : =
=
√
7. √ =a Contoh soal : √ 8.
=
= 31 = 3
√√
= √ = Contoh soal : 1. √√
=
= √
√
2. √ √ √ √
= √
=2
=x = 3√ √ √ √
X2
X 2
X X2-3x = 0 X(x-3)
= 3x =0
x1 = 0 V x-3= 0 X2 = 3 3. √
√
√
Rangkuman Kelas X
√
Jadi yang berlaku x=3 karena x
0
=p
11
= 6+√
p2
√
√
√
p p2 = 6+p 2 p -p-6 =0 (p-3)(p+2) = 0 (p-3) (p+2) p-3=0 V p+2=0 p1 =3 p2 = -2 Menyederhanakan Bentuk Akar
Jadi yang berlaku p = 3 karena termasuk bilang positif bukan negatif
Menggunakan sifat : √ = √ x √ atau √ dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.
= √ x √
dengan a dan b harus
Contoh soal :
1. √
= √ x √ = 4√
2. √
= √ x √ x √ = 4a √
x √
Operasi Aljabar Dalam Bentuk Akar 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Berlaku aturan : a√ + b√ = (a+b) √ a√ - b√ = (a-b) √ , dengan a,b, c
R dan
Contoh soal : 1. 3√ +5√ -2√
=
(3+5-2)√ 2. √
+√
= 6√ -√
-√
+√
=√ +√ -√ -√ +√ = 3√ + 6√ - 2√ - 5√ + 3√ = 3√ + 6√ - 5√ - 2√ + 3√ = 4√ + √
2. Perkalian Bentuk Akar Berlaku aturan : √ x√ √ x√ c x d√
=a =√ = cd√
Perlu diingat ! 1. (a+b)(a-b) = 2. (a+b)2 = 3. (a-b)2 = Contoh soal : 1. 2√ x 4√ = Rangkuman Kelas X
a2 – b 2 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2
Perkalian sekawan
8√ 12
= 8√ = 8x3√ = 24√ 2. (3√ -4√ )
2
= (3√ )2 – 2(3√ )(4√ ) + (4√ )2 = 9x2 - 24√
+ 16x5
= 18 - 24√ + 80 = 62 - 24√ Merarasionalkan Penyebut Pecahan a. Pecahan berbentuk , jika a dan b
B dan b
√
=
√
=
√
√
x
√
√
x
√
√
=
√
√
=
√
, jadi =
√
=
√
0 , maka berlaku
√ , jadi
√
=
√
Contoh soal :
=
√
=
√
x
√
√
√
x
√
√
=
√
√
=
√
= √
b. Pecahan berbentuk
√
Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan dari penyebut.
=
√
√
=
√
√
x
√
x
√
√ √
=
√
=
√
Contoh soal : √
=
√
√
x
√
=
√
c. Pecahan berbentuk
=
√
√
√
Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan dari penyebut.
√
√
√
√
= =
√
√
√
√
x
√
√
√
√
x
√
√
√
√
=
√
√
=
√
√
Contoh soal : √
√
√
√
=
√
√
√
√
√
x
=
√ ( √
=
√
=
√
=
√
sekawan dari penyebut soal
√ √ ) ( √
√ ) (
√
√
√
√ ) (
√
√ )
√ √
√
= 2√ - 5 Menarik akar kuadrat Berlaku aturan : 1. √
√
=√ +√
Contoh soal : Rangkuman Kelas X
13
√
=√
√
√
=√
√
=√ +√ 2. √
lebih baik didahulukan akar yang besar dalam penulisan hasil.
=√ -√
√
Contoh soal : √
=√
√
√
=√
√
=√ –√ Persamaan Pangkat (Persamaan Eksponen) dan Persamaan Penarikan Akar Untuk membentuk nilai x yang memenuhi persamaan pangkat (eksponen) dengan bilangan pokok yang sama menggunakan sifat : Jika a R (a 0) dan berlaku =ap ,maka f(x)=p Contoh soal : 2x-1 =1 x-1 Jika mencari nilai x pada pangkat, maka disamakan 2 = 20 bilangan pokoknya x-1 =0 x =1
(x-3)5 (x-3)5 x-3 x
(-5)20 x
= = = =
32 25 2 5
Jika mencari nilai x pada bilangan pokok , maka disamakan pangkatnya
= (-5)(20-30) = (-5)-10 =
Karena pangkatnya genap, negatifnya (-) hilang
= 2√
√
= 21 = = =
X
=8
√
= ( )2-x = ( )2-x
x+2 -4x x
= = = = =
2-5(2-x) 2-10+5x -10+5x -12 3
Logaritma (Logaritma Biasa = Logaritma Briggs)
Rangkuman Kelas X
14
Penarikan Logaritma Operasi logaritma adalah operasi mencari pangkat eksponen. a... = c dapat ditulis alog c 2... = 8 operasi penarikan logaritma, ditulis 2log8 = 3 Apabila nilai alog c = b ,didapat nilai ekivalen yaitu : a
log c=b <=> ab=c
Keterangan :
a : bilangan pokok logaritma a>1 dan a>0, untuk bilangan pokok 10 (a=10) tidak perlu ditulis. c : hasil numerus (bilangan yang dilogaritmakan, dengan c>0) b : hasil logaritma dengan b R
Perlu diingat ! a
log 1=0 (karena a0=1) a log a=1 (karena a1=a) log 1 = 0 log 10=1
Sifat-sifat Logaritma :
1. 2. 3. 4. 5.
untuk ekuivalensi ab=ab <=> alog ab=b untuk ekuivalensi alog b= alog b <=> a
log p
n
=b
a
= n x log p
a
log (pxq) log ( )
a
6.
= alog p + alog q = alog p - alog q a
=
log p
7. = alog p 8. alog p x plog q = alog q 9. alog p
=
10.
=
Contoh soal :
43 = 64 <=> 4log 64 = 3
2-5 =
<=> 2log
log 0,0001
8
log 16 =
= -5
10
= log 10-4 sifat ke-1 = -4 sifat ke-10 =
√
= 2√
√
=
sifat ke-2 √
sifat ke-3
= (2√ )2 = 4x3 = 12 Rangkuman Kelas X
15
2
log4+2log8
= = = =
2
log(4x8) log 32 2 log 25 5
sifat ke-4
2
2
log80-2log10 = 2log( )
sifat ke-5
2
= log8 = 2log23 =3 4 5 log5x log64 = 4log64 sifat ke-8 = 4log43 =3 9 log64 = sifat ke-6 3
=
log2
3
= 3 log2 = 3log23 = 3log8
x
=
x
sifat ke-9
=
x
= 15 =
4
log81
sifat ke-7
2
= log9 Jika log a=p, log b=q, maka : o log a3 + log b2 = 3 log a + 2 log b = 3p + 3 q 3 o log b x a = log b + log a3 = log b + 3 log a = q + 3p o
log √
= log √ – log √ = log =
– log
log a -
log b
= 2
o
log a x b
o
a
2
log b2
= log a2 + log b2 = 2 log a + 2 log b = 2p+2q = =
Penggunaan Daftar Logaritma Dengan bilangan pokok 10 (logaritma biasa / logaritma briggs). Dalam buku daftar logaritma memuat 5 daftar yaitu : 1. 2. 3. 4. 5.
Daftar Daftar Daftar Daftar Daftar
I II III IV V
Rangkuman Kelas X
= = = = =
Daftar Daftar Daftar Daftar Daftar
Logaritma Biasa (logaritma bil.) Logaritma Sinus Sinus Bunga Akar dan Pangkat 16
Di dalam logaritma biasa, terdapat istilah yaitu : o o
Karakteristik = Banyaknya angka bulat di depan koma dikurangi 1 Mantise = Bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma
Log 5 = 0,6990 Karakteristik
Mantise
Mencari Hasil Logaritma Contoh soal :
Log 50 Log 0,5
= = = Log 2,345 = Log 23,45 =
1,6990 0,6990 – 1 -0,3010 0,3701 1,3701 5
234
Cara mencari log pada daftar log
3701
Log 0,00564
= 0,7513 – 3 = -2,2487
Mencari Hasil Anti Logaritma
Jika numerus 0,00... maka hasil log dikurangi banyaknya 0 di depan bilangan asli
Contoh soal :
Log x X X
= 0,3786 = antilog 0,3786 = 2,391 1
239
3786
= = = = = = = = = = = = = =
Log x X Log x X X Log x X X Log x X X Log x X X
Cara mencari antilog pada daftar log
3,5912 antilog 3,5912 = 3901 4,3707 antilog 4,3707 23.480 jika lebih dari 4 digit ditambah 0 0,2391 – 1 antilog 0,2390 – 1 dibulatkan ke yang terdekat 0,1734 bilangan negatif merupakan banyaknya 0 di depan bilangan asli 0,4792 – 2 antilog 0,4793 – 2 dibulatkan ke yang terbesar 0,03015 -3,1037 0,8963 – 4 0,0007875
Rangkuman Kelas X
17
Penggunaan Daftar Log Untuk Mencari Nilai x
X
=
Log x
= log 8,476 + log 25,43 – log 124,6
log 8,476 = 0,9282 log 25,43 = 1,4053 + 2,3335 Log 124,6 = 2,0955 + Log x = 0,2380
X
= antilog 0,2380 = 1,730
X
= √
Log x
=
Log x
=
x log 3745
=
x 3,8290
X
= = = =
1,2763 antilog 1,2763 antilog 1,2762 18,89
P
=√
P
=
Log p =
(log 47,32 – log 0,00156)
log 47,32 = log 0,00156
Log p
P
dibulat ke yang terdekat
= = = = =
= 1,6750 = 0,1913 – 3 = -2,8069 – 4, 4819 x 4,4819 2,24095 2,240 dibulatkan ke 3 desimal agar menjadi 4 digit antilog 2,240 174,2
Logaritma Napier (Logaritma Alam/Logaritma Naturalis) adalah logaritma dengan bilangan pokok /basis e (epsilon) dengan e=2,7182... e
Rangkuman Kelas X
log x =
2,7182
log x = ln x
18
Sifat-sifat Logaritma Napier 1. ln axb 2. ln
= ln a + ln b = ln a – ln b
3. ln ap
= p x ln
4. ln a
=
5. ln e
= 1, sebab elog e = 1
6. ln √
= ln
==
x ln a
Hubungan Antara Log Biasa Dan Log Napier ln x
= elog x = 2,7182log x = =
log x
= ln x
log x
= 2,303 log x
Contoh soal :
ln 89,75 = x = log x = log 2,303 = log 1,9530 log x x
ln 4 – ln 9
2,303 x log 89,75 2,303 x 1,9530 log 2,303 + log 1,9630 0,3623 = 0,2907 + = 0,6530 = antilog 0,6530 = 4,498
-x -log x log 2,303 log 0,3521 -log x log x
= = = = = =
= 0,5467 -1
x
2,303 log 4 – 2,303 log 9 2,303(log 4 – log 9) 2,303(0,6021-0,9542) 2,303(-0,3521) 2,303 x 0,3521 log 2,303 + log 0,3521 = = = = = =
ln3,5460,75 + ln5,6780,75 = = = = X =
Rangkuman Kelas X
0,3623 -0,4533 + -0,0910 0,0910 antilog 0,0910 1,233 (0,75 x ln x log3,546)+( 0,75 x ln x log5,678) 0,75 x 2,303 x log3,546+ 0,75 x 2,303 x log5,678 (0,75 x 2,303) (log3,546+log5,678) (0,75 x 2,303) (0,5497+0,7542) 0,75 x 2,303 x 1,3039 19
log x
= log 0,75 + log 2,303 + log 1,3039
log 0,75 log 2,303
= 0,8751 – 1 = 0,3623 + 1,2374 -1 = 0,1153 + = 1,3527 -1 = 0,3527 = antilog 0,3527 = antilog 0,3528 = 2,253
log 1,3039 log x log x x
Persamaan Logaritma Contoh Soal :
3
log(x+1) + 3log(x-1) log(x+1) + 3log(x-1) 3 log(x+1)(x-1) X2 – 1 X2 X
= = = = = = = 5 log (x+10) - 5log (x-2) = 5 log (x+10) - 5log (x-2) = 3
5
2 log 9 dijadikan sama bilangan pokoknya 3 log 9 9 10 3
√ 3,1623 1 5 log 5
lihat daftar IV logaritma
= 5log 5
log
=5 X+10 -4x X
x x
= 5x-10 = -20 =5
log (x-3) +
=1 x
log (x-3) + log 2 x log (x-3)2 2x – 6 X
Rangkuman Kelas X
= = = =
x
log x log x x 6
x
20
MATERI 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Persamaan
Adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”. Kalimat matematika terbuka merupakan kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. A. Persamaan Linear Contoh macam-macam persamaan linear:
1. 4x-4 = 2x-7 persamaan linear dengan 1 variable 2. 2x-y = 4 persamaan linear dengan 2 variable 3. 3x-5y-2z = 6 persamaan linear dengan 3 variable Macam-macam persamaan linear : 1. Persamaan Linear Dengan 1 Variable Bentuk umum
: Ax + B = 0 , dengan A, B
Contoh soal
:
(5x-7)
=
0
(2x+8) X6
3(5x-7) = 2(2x+8) 15x – 21 = 4x + 16 11x = 37 x
R, A
Dikali kedua ruas agar membentuk persamaan baru, namun hanya untuk bilangan di depan tanda kurung
= =3
Hp {3 }
harus disertai himpunan penyelesaian
2. Persamaan Linear Dengan 2 Variable Bentuk umum : Ax + By = P Cx + Dy = Q , dengan A, B, C, D, P, Q Contoh soal : 2x-5y = 16 3x+2y = 5
... (1) ... (2) , x, y
R
R
Cara menyelesaikan persamaan linear 2 varible : a. Cara Eliminasi (menghilangkan salah satu variable) Eliminasi x :
Rangkuman Kelas X
2x-5y 3x+2y = 5
= 16 x2
x3
21
6x-15y = 48 6x+4y = 10 -19y = 38 y = -2 Eliminasi x :
2x-5y 3x+2y = 5
= 16 x5
4x-10y = 32 15x+10y 19x x
= 25 = 57 =3
x2
Hp {3,-2}
b. Cara Substitusi (mengganti salah satu varible satu dengan varible lain) Memanipulasi persamaan ke-2 :
3x + 2y 2y
=5 = 5-3x
y
=
Substitusikan ke persamaan 1 : 2x - 5y 2x - 5( 2x -
) +
y
= 16
=
= 16
=
= 16
= = -2
X2 4x – 25 + 15x 19x x
=
Hp {3, -2}
= 32 = 57 =3
c. Cara Campuran (gabungan cara substitusi dan eliminasi) Eliminasi x :
2x-5y 3x+2y = 5
= 16 x2
x3
6x-15y = 48 6x+4y = 10 -19y = 38 y = -2 Substitusi ke persamaan 2 : 3x + 2y =5 3x + 2(-2) =5 3x - 4 =5 3x =9 x =3 d. Cara Determinan Pada persamaan
Rangkuman Kelas X
ax + by cx + dy
=p =q 22
Bentuk persamaan matriksnya yaitu : +* + =* +
*
Determinan (det) = D = =D=|
| = (axd)-(bxc)
x = Dx = |
| = (pxd)-(bxq)
y = Dy = |
| = (axq)-(pxc)
X=
,y=
2x-5y = 16 D=
3x+2y = 5
=|
| (2x2)-(-5x3) = 4 + 15 = 19
Dx = x = |
|
(16x2)-(-5x5) = 32 + 25 = 57
Dy = y = |
|
(2x5)-(16x3) = 10 – 48 = -38
X=
=
y=
=
=3 = -2
Hp {3,-2}
Contoh soal :
Selisih dua bilangan bulat adalah 6, sedang jumlah kedua bilangan tersebut adala 8. Tentukan bialangan tersebut! Jawab : a-b = 6 a-b = 6 a+b = 8 + 7-b = 6 2a = 14 -b = -1 a =7 b =1 jadi, bilangan tersebut adalah 7 dan 1
Jika menggunakan soal cerita, himpunan penyelesaian dapat menggunakan kalimat „Jadi, ...‟
Enam tahun lalu umur Doni adalah lima kali umur Dina, sedangkan tiga tahun yang akan datang umur Doni adalah dua kali umur Dina. Berapakah umur Doni sekarang ? Jawab : Dimisalkan : x = umur Doni sekarang Y = umur Dina sekarang
Rangkuman Kelas X
23
6 X X X
tahun lalu, –6 = 5(y - 6) –6 = 5y – 30 – 5y = -24
x – 5y x – 2y
2x – 10y 5x – 10y -3x x jadi, umur Doni sekarang adalah 21 tahun
= -24 =3
...(1)
x2 x5
-
=
...(1)
+
=
...(2)
3 X X X
tahun mendatang, +3 = 2(y+3) +3 = 2y + 6 – 2y =3
= = = =
-48 15 -63 21
...(2)
Eliminasi y : -
=
x4
-
=
+
=
x1
+
=
+
=6 = 13x = 26 X =2 Substitusi ke persamaan kedua : -
=
-
=
-
=
-
= y
= -6
+
=2
...(1)
-
=1
...(2)
+
=2
x6
Hp {2,-6}
2x-2+y+2
= 12
2x+y -
=1
Eliminasi x : 2x+y = 12 x-4y =2
x4
= 12
...(1)
x-4y+2 x-4y
=4 =2
...(2)
2x+y = 12 2x-8y = 4 9y =8
-
x+4-4y-2
x1 x2
Y
=4
=
Substitusi ke persamaan kedua : x-4y =2 x-4
=2
Rangkuman Kelas X
24
x-
=2 x
=
x
=
x
=5
Hp {5 , }
3. Persamaan Linear Dengan 3 Variable Bentuk umum : ax + by + cz =d px + qy + rz =s kx + ly + mz =n dengan a, b, c, d, p, q, r, s, k, l, m, n R cara menyelesaikan persamaan linear 3 variable : a. Cara Campuran Contoh soal : 3x+2y-6z = 12 ...(1) 5x-4y+2z = 0 ...(2) 6x+z = 26 ...(3) Eliminasi y : 3x+2y-6z = 12 5x-4y+2z = 0
x2 x1
Eliminasi z : 11x-10z = 24 6x+z = 26
x1 x10
6x+4y-12z 5x-4y+2z 11x-10z
= 24 =0 + = 24
11x-10z = 24 60x+10z = 260 + 71x =284 X =4 Substitusi ke persamaan 3 : Substitusi ke persamaan 1 : 6x+z = 26 3x+2y-6z = 12 6 4+z = 26 3 4+2y-6 2 = 12 24+z = 26 12+2y-12 = 12 Z =2 2y = 12 Y =6 Hp {4,6,2} b. Cara Determinan Pada persamaan : ax + by + cz =d px + qy + rz =s kx + ly + mz =n bentuk persamaan matriksnya yaitu : || |=| |
| D
=|
Rangkuman Kelas X
|
= (aqm+brk+cpl) – (cqk+arl+bpm)
25
Dx = |
|
= (dqm+brn+csl) – (cqn+drl+bsm)
Dy = |
|
= (asm+drk+cpn) – (csk+arn+dpm)
Dz = |
|
= (aqn+bsk+dpl) – (dqk+asl+dpn)
X=
Y=
Z=
Contoh soal : -x+2y+z = 6 3x+3y+2z = 23 4x-y+2z = 10 D
=|
|
Dx = |
|
= (-6+16-3)–(12+2+12)= 7 – 26 = -19 = (36+40-23) – (30-12+92) =53–110 =-57
Dy = |
= (-46+48+30)–(92-20+36)
|
= 32 – 108 = -76
Dz = |
|
=(-30+184-18)–(72+23+60)=136-155 = -19
X=
=
=3
Y=
=
=4
Z=
=
=1
Hp {3,4,1}
Contoh soal :
Fungsi y = a + bx + c, melalui titik (0,6),(1,4), dan (2,0). Tentukan persamaan fungsi tersebut ! (0,6) -6 =a +b(0)+c -6 =c C = -6 ...(1) (1,4) 4 =a +b(1)+c 4 = a+b+c a+b+c = 4 ...(2) (2,0) 0 =a +b(2)+c 0 = 4a+2b+c 4a+2b+c = 0 ...(3) Eliminasi b : a+b+c = 4 x2 2a+2b+2c =8 4a+2b+c =0 x1 4a+2b+c =0-2a+c =8
Rangkuman Kelas X
26
Substitusi : -2a+c -2a+(-6) -2a a
= = = =
8 8 14 -7
a+b+c = 4 -7+b+(-6) b-13 b
=4 =4 = 17
y = ax2 + bx + c f(x) = -7x2 + 17x -6 jadi, persamaan fungsinya adalah f(x) = -7x2 + 17x -6
Tiga bilangan jumlahnya 33. Bilangan pertama adalah dan bilangan kedua tersebut! Jawab : Misalnya :
dari bilangan ketiga
dari bilangan ketiga. Tentukan ketiga bilangan
Bilangan I Bilangan II Bilangan III
a b c
Persamaan : a+b+c = 33 ...(1) a
=
c
...(2)
b
=
c
...(3)
substitusi : a+b+c = 33 c+ c+c
a = 33
= 33 11c c
=
c
=
x 18
=6 = 198 = 18
b
=
c
=
x 18
=9 Jadi,
bilangan I = 6 Bilangan II = 9 Bilangan III = 18
Tiga bilangan diketahui bilangan pertama dibanding bilangan kedua adalah 1:5, bilangan kedua dibanding bilangan ketiga adalah 5:7, dan 2 kali bilangan pertama ditambah 3 kali bilangan kedua adalah 130 lebihnya dari bilangan ketiga. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut! Jawab : Misalnya : Bilangan I x Bilangan II y Bilangan III z Persamaan : x:y =1:5 y:z =5:7 2x + 3y = 130 + z 2x + 3y – z =130...(3) = = 5x 5x-y
=y = 0...(1)
Rangkuman Kelas X
7y = 5z 7y-5z = 0...(2)
27
Substitusi y : 5x-y = 0 5x =y x =
7y-5z = 0 -5z = -7y z
= =
y
=
y
=
=
x 65
= 13
= 91
2x + 3y – z
= 130
2( )+3y -
= 130 = 130
10y Y X
= 650 = 65 =
Z
X+y+z
= 13 + 65 + 91 = 169 Jadi, jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 169 B. Persamaan Kuadrat Adalah persamaan dimana pangkat tertinggi adalah pangkat 2. Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 , dengan a, b, c R dan a 0. Macam-macam persamaan kuadrat : 1. ax2 + bx + c = 0 (persamaan kuadrat sempurna) 2 2. jika b=0, maka ax + c = 0 (persamaan kuadrat sejati / murni) 3. jika c=0, maka ax2 + bx = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap) Dasar penyelesaian persamaan kuadrat adalah jika p dan q dua bilangan Real dan pxq = 0, maka ada 2 kemungkinan harga 0, yaitu p=0 atau q=0. Ada 3 cara penyelesaian persamaan kuadrat : a. memfaktorkan / menguraikan contoh soal : x2-2x-8 = 0 persamaan kuadrat sempurna pxq = -2 p+q = -8 p = -4 q=2 hasil faktor (x+p)(x+q)=0 (x-4)(x+2)=0 X–4 =0 x+2 =0 x1 =4 x2 = -2
x2 – 9 = 0 x2 – 32 = 0 (x+3)(x-3)
Rangkuman Kelas X
v
Hp {4,-2}
persamaan kuadrat sejati / murni ingat sifat a2-b2 = (a+b)(a-b)
28
X+3 X1 Atau x2 – 9 x2 x
=0 = -3
v
=0 =9 =√ = 3
x2+4x = 0 x(x+4) = 0 x1 = 0
v
x-3 x2
=0 =3
Hp {-3,3}
Hp {-3,3} persamaan kuadrat tidak lengkap x+4=0 x2 = -4
Hp {0,-4}
b. melengkapi kuadrat sempurna langkah-langkah penyelesaian : 1. jadikan koefisien x2 menjadi 1 2. pindahkan bilangan konstan ke ruas kanan 3. ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu x2+2px+p2 diubah menjadi (x+p)2 contoh soal : 6x2-x-2
=0 :6
X2 - x -
=0
X2 - x
=
X2 - x +
2
+ +
)2
=
(X -
)2
=
(X -
)2
=
X-
=√
X-
=
X-
=
X1
= = =
Rangkuman Kelas X
...langkah 2
=
(X -
...langkah 1
v
2
...langkah 3 (
X-
=
x2
=
)2
= =
Hp { ,
}
29
c. menggunakan rumus ABC jika
jadi,
x1
=
x2
=
x1, 2
=
√
√
dengan Diskriminan, D = b2 – 4ac
√
contoh soal : 4x2 – 5x – 6 = 0 Jika a=4, b=-5, c=-6, maka D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4 4 (-6) = 25 + 96 = 121 x1
√
=
X2 = √
=
√
=
=
=
=
=
=2
=
√
Hp {2, - } Jenis dan sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat :
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 ditentukan dengan D=b2-4ac
Jika D>0 , maka akar persamaan kuadrat real dan berlainan (x1 x2) Jika D=0 , maka akar persamaan kuadrat real dan kembar (x1=x2) Jika D<0 , maka akar persamaan kuadrat khayal dan imaginer
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, maka : 1. x1 + x2 = 2. x1 x2 = 3. x1 - x2 =
√
4. jika akar berlawanan tanda dengan syarat 5. jika akar bertanda sama dengan syarat
<0
>0
6. akarnya saling berkebalikan dengan syarat a=c
Rangkuman Kelas X
30
Bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat 1. x1 + x2 = 2.
x12
+ x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
3.
+
=
4.
+
=
5.
x13
, x1 x2 =
2
+ x23 = (x1 + x2)2 – 3x1x2(x1 + x2)
contoh soal :
Tentukan p , sehingga x2-px+16=0 memiliki akar kembar, tentukan akarakar tersebut ! Jawab : x2-px+16=0 , a=1, b=-p, c=16 syarat D=0 untuk akar kembar D: b2 – 4ac =0 2 (-p) – 4(1)(16) =0 P2 – 64 =0 2 P = 64 P =√ P = 8 Hp {8, -8} 2 Lalu dimasukan dalam persamaan x -px+16=0 : P=8 P=-8 2 x -8x+16 =0 x2+8x+16 =0 (x-4)(x-4) =0 (x+4)(x+4) = 0 x-4=0 x-4=0 x+4=0 x+4=0 x1,2 = 4
Hp {4}
x1,2 =-4
v
Hp {-4}
Tentukan nilai m sehingga persamaan 2x2-5x+m=0 saling berkebalikan ! Jawab : 2x2-5x+m=0, a=2, b=-5, c=m Syarat a=c 2=m 2x2-5x+2 =0 (2x-1)(x-2) = 0 2x-1 = 0 x-2 =0 2x =1 x2 =2 X1
v
=
v
Salah satu akar 3x2-(p+1)x+p=2 kedua! X1 = 0 3x2 - (p+1)x+p 3(0)2 – (p+1)0+p 0–0+p P Lalu dimasukan dalam persamaan P=2 3x2 - (2+1)x+2 =2
Rangkuman Kelas X
Hp { ,2} saling berkebalikan adalah 0, tentukan nilai p dan akar yang =2 =2 =2 =2 3x2-(p+1)x+p=2 :
31
3x2 - 3x
=0x
2
x –x x(x-1) x1 = 0
v
= = = =
x-1 x2
0 0 0 1 , jadi akar yang kedua adalah x2 = 1
Jika x dan y akar-akar persamaan 2x2-3x+4=0, tentukan : a. x + y , x y , x – y b. x2 + y2 c. x2 – y2 d.
+
e.
+
dengan a=2 ,b=-3 ,c=4, dan D : b2-4ac = (-3)2 – 4(2)(4) = -23 Jawab : a. x + y
=
x y=
=
x–y
=2 =
b. x2 + y2
=
√
=
√
= (x+y)2 – 2xy = ( )2 – 2(2) =
dimasukkan dari hasil perhitungan bagian a
–4
= =2
2
c. x – y
= (x+y)(x-y) = ( )( =
d.
+
√
)
√
= = =
e.
+
= = = =-
Menyusun persamaan kuadrat baru Jika persamaan kuadrat diketahui akar-akarnya x1 dan x2 , maka persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus : 1. (x-x1)(x-x2) = 0 2. x2 – (x1+x2)x + (x1x2) = 0 Rangkuman Kelas X
32
contoh soal :
Tentukan persamaan kuadrat baru, jika akar-akarnya -2 dan
!
Jawab : Cara 1 (x-x1)(x-x2) = 0 , dengan x1 = -2 dan x2 = (x-2)(x- ) = 0 x2 - x – 2x +
=0 x4
2
4x – x + 8x – 2 4x2 + 7x – 2 Cara 2
=0 = 0 hasil persamaan kuadrat baru
x2 – (x1+x2)x + (x1x2) = 0, dengan x1 = -2 dan x2 = x1 + x2 = -2 +
,
= -1
x1x2 = (-2)( ) = lalu dimasukan dalam rumus : x2 – (x1+x2)x + (x1x2) =0 x2 – (-1 )x + (- ) = 0 x2 + 1 x -
=0
x4 4x2 + 7x – 2 =0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah 4x2 + 7x – 2 =0 Akar persamaan 2x2-3x-4=0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3p dan 3q ! Jawab : 2x2-3x-4=0 a=2 , b=-3 , c=-4 p+q =
=
p q=
= -
= -2 menggunakan sifat akar persamaan kuadrat
y1 = 3p dan y2 = 3q y1 + y2 = 3p+3q = 3 (p+q) =3( ) = y1 y2
= 3p 3q = 9 pq = 9 (-2) = -18 lalu dimasukan dalam rumus : y2 – (y1+y2)y + (y1y2) =0 y2 – ( )y + (-18) = 0 x2 2
2y – 9y -36 =0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah 2y2 – 9y -36
Rangkuman Kelas X
=0
33
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 5x2-3x-6=0 Jawab : a=5 , b=-3 , c=-6 p+q= p q= y1 =
= =
dan y2 =
y1 + y2
=
karena berkebalikan +
= = =y1 y2
= = = =
2
y – (y1+y2)y + (y1y2)
=0
2
y – (- )y + ( ) = 0 x6 2
6y + 3y – 5 =0 Jadi, persamaan kuadratnya adalah 6y2 + 3y – 5
=0
Jika diketahui p dan q akar-akar persamaan 3-4x-x2=0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (4+p) dan (4+q) ! a=-1 , b=-4 , c=3 p+q= p q=
= =
= -4 = -3
y1 = (4+p) dan y2 = (4+q) y1 + y2 = (4+p)+(4+q) =8+p+q = 8 + (-4) =4 y1 + y2 = (4+p)(4+q) = 16 + 4q + 4p + pq = 16 + 4(p+q) + pq = 16 + 4(-4) + (-3) = -3 y2 – (y1+y2)y + (y1y2) =0 2 y – (4)y + (-3) =0 y2 – 4y -3 = 0 jadi persamaan kuadratnya adalah y2 – 4y -3 = 0 # Sistem persamaan dengan 2 peubah satu linear dan satu persamaan kuadrat Bentuk umum 1. ax + by + c = 0 2. px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0 Rangkuman Kelas X
34
Dengan a, b, c, p, q, r, s, t, u R dengan p dan q Cara menyelesaikannya adalah dengan substitusi Contoh soal : 2x – y + 3 = 0 dan x2 + y2 -2x -4 =0 jawab : 2x–y+3 =0 ...(1) -y = -2x -3 x -1 y = 2x + 3 ...(3) substitusi ke persamaan (2) x2 + y2 -2x -4 =0 ...(2) 2 2 x + (2x + 3) -2x -4 =0 x2 + 4x2 + 12x + 9 -2x -4 =0 2 5x + 10x + 5 =0 (5x+5)(x+5) =0
0
v
5x + 5 =0 x+5 =0 5x = -5 x2 = -5 x1 = -1 substitusi ke persamaan 3 x1 = -1 y1 = 2x + 3 = 2(-1) + 3 = 1 x2 = -5 y2 = 2x + 3 = 2(-5) + 3 = -7 Hp {(x1,y1),(x2,y2)} Hp {(-1,1),(-5,-7)}
Pertidaksamaan Adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan pertidakasamaan. Hubungan tidak sama diberi notasi : , > , < , , Sifat – sifat pertidaksamaan : 1. Jika kedua ruas ditambah atau dikalikan dengan bilangan positif, tanda persamaan tidak berubah. (+) dan (x) bilangan positif tanda tidak berubah 2. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah. (x) dan ( ) bilangan negatif tanda berubah A. Pertidaksamaan Linear Bentuk umum : ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 , dengan a, b R dan a 0 contoh soal : 5 – 3x < 17 -3x < 12 X > -4 tanda berubah karena dibagi dengan bilangan negatif Hp {x|x > -4 , x R} Hasil dari himpunan dibuat garis bilangan arah panah menunjuk ke kanan karena x > -4 Bulatan tidak penuh karena tandanya hanya > -4 Rangkuman Kelas X
35
2x – 5 12x – 30 8x X
4x – 6 24 3
Hp {x|x
3,x
R}
Bulatan penuh karena tandanya 3 B. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk umum : ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 , dengan a, b, c R dan a 0 langkah penyelesaiannya adalah : 1. Tentukan dahulu pembuat nol (0) dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat 2. Gambar pembuat nol pada garis bilangan 3. Tentukan tanda pada garis bilangan dengan menggunakan titik uji Contoh soal : 6 – x – x2 0 -x2 – x + 6 0 x -1 2 X +x–6 0 tanda berubah karena dikali bilangan negatif 2 X +x–6 =0 (x+3)(x-2) =0 X+3 =0 x–2 =0 X1 = -3 x2 =2 Hp {x|-3 x 2, x R}
v
+ -3 2 + ---- ++++ +++ ---- ----- +++
2x2 + x 2x2 + x – 6 2x2 + x – 6 (2x-3)(x+2) 2x – 3 = 0 2x =3 X1
= + -2
-------
bagian yang diarsir adalah daerah hasil
6 0 =0 =0
v
-
x+2=0 x2 = -2 Hp {x| x
-2 V x
,x
R}
+
++++ +++ ----- +++
Rangkuman Kelas X
0
x x
-2 4 36
0 0 0 x (x+2)2(4-x)2 (-8x+2)(x+2)(4-x) (-8x+2)(x+2)(4-x)
0 =0
-8x+2 = 0 -8x = -2
x+2 x2
X1
=
v
Hp {x|x <-2 V - -2 ----------
+
=0 = -2
x < 4, x
R}
-
+
4
v
4–x -x
=0 = -4
x3
=4
++++ +++ ++++ ----- +++ ++++ ----- ---- ++++
Rangkuman Kelas X
37
MATERI 3 MATRIKS A. Pengertian : susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang yang diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku. ) atau *
(
+
B. Notasi matriks dilambangkan dengan huruf besar (kapital) Contoh : A . / atau B [
]
Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen / unsur / entri yang ditunjuk untuk menyebutkan nomor baris dan nomor kolom. Baris 1
] Baris 2
Contoh : A [
Baris 3
-5 baris 2 kolom 2 -1 baris 2 kolom 1
C. Ordo Matriks Merupakan pernyataan baris kemudian diikuti kolom pada matriks. Misal : A*
+ memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka A2x3 =2x3=6 unsur / ordo
D. Macam-macam Matriks 1. Matriks Nol (semua unsur adalah nol) A2x3 *
+ B3x2 [
]
2. Matriks Satu (semua unsur adalah bilangan 1) A3x1 [ ]
B3x3 [
]
3. Matriks Baris (hanya memiliki 1 baris) ] ] P1x4 [ Q1x2 [ 4. Matriks Kolom (hanya memiliki 1 kolom) A4x1 * +
B3x1 0 1
5. Matriks Persegi(memiliki banyak baris dan kolom yang sama) A* B[
A2x2 = Matriks berordo 2
+ ]
B3x3 = Matriks berordo 3
6. Matriks Segitiga Atas Adalah matriks persegi yang memiliki kriteria : Aij , untuk i j 0 , untuk i > j
Rangkuman Kelas X
38
i
j
A[
]A[
B*
] 0 karena i > j
+ membentuk segitiga di atas
7. Matriks Segitiga Bawah Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria : Aij , untuk i j 0 , untuk i < j P[
] membentuk segitiga di bawah
8. Matriks Diagonal Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria : Aij , untuk i < j dan i > j 0 , untuk i = j A[
membentuk diagonal utama
]
9. Matriks Satuan (Identitas) 1 , untuk i < j dan i > j 0 , untuk i = j I*
+ II [
III *
]
+
Cara penamaan matriks satuan harus menggunakan angka romawi. Matriks satuan pasti matriks diagonal, matriks diagonal belum tentu matriks satuan.
E. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama, hanya jika ordo sama dan elemen-elemennya seletak sama. Contoh : 1. A *
+ sama dengan B *
2. C [
+
sama dengan D
]
[ 3. Tentukan nilai x dan y, jika diketahui : E[
]=F*
Jawab : Persamaan : 3x + 2y = 12 x–y =4
Rangkuman Kelas X
x1 x2
]
+
3x + 2y 2x – 2y 5x x
= = = =
12 8 20 4
+
39
x–y =4 4–y =4 -y =0 y =0 jadi, x = 4 dan y = 0 F. Matriks Transpose Jika matriks Amxn , transpose matriksnya At = Anxm (dibalik antara baris dan kolomnya) Contoh : 1. A2x3 *
At3x2 [
+
]
Baris A menjadi kolom At dan kolom A menjadi baris At 2. Tentukan matriks C, jika diketahui : A*
+,B[
] , dan A = Bt
],C[
Jawab : + = Bt [
A*
]
Persamaan : 2x – 4 =6 2 – 3y = -1 2x = 10 -3y = -3 x =5 y =1 masukkan ke matriks C : C[
]C*
+=C[
]
G. Penjumlahan Matriks Matriks dapat dijumlahkan jika memiliki kesamaan matriks (ordo sama dan elemen-elemen seletak sama). Misal : A * A+B=*
+
B[
++[
] ]=[
]
Contoh soal: 1. Jika P [ ] dan Q [
]
Maka, P+Q=[ ]+[ Q+P=[ 2. Jika A *
]=[
]
]+[ ]=[ +,B*
] P+Q = Q+P , berlaku sifat komutatif
+ , dan C *
+
Maka, (A+B)+C
A+(B+C) Rangkuman Kelas X
= ,*
+
=*
++*
*
=*
+
=*
+ + ,*
+- + *
+
+
+
*
+40
=*
++*
=* 3. Jika S *
+
+ (A+B)+C = A+(B+C) , berlaku sifat asosiatif
+ dan T *
+
Maka, S+T
=*
T+S
=*
++* ++*
+=*
+
+=*
+
S+T=T+S=0 T adalah lawan dari S dapat ditulis –S S + (-S) = (-S) + S = 0 memiliki unsur identitas yaitu matriks nol H. Pengurangan Matriks Matriks dapat dikurangkan jika memiliki kesamaan matriks. Contoh soal : 1. Jika P *
+ dan Q *
+
Maka, P–Q
=*
+-*
P + (-Q)
=*
++*
=*
+
+= *
+ +
dapat dijumlahkan dengan lawannya {A-B = A+(-B)} dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif A-B
B-A
2. Tentukan nilai x ! x+*
+= *
+
x
Jadi, x = *
=*
+-*
=*
+
+
+
I. Perkalian Matriks 1. Perkalian Skalar Perkalian matriks dengan bilangan skalar. Misal A *
+ maka, p A = p *
+=[
]
Contoh soal : Jika A *
+ maka, -
A= =0
*
+ 1
2. Perkalian Matriks Dengan Matriks Matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks kiri sama dengan jumlah baris matriks kanan. Misal : [
] * +=[ (3x2)
]
(2x1) Ordo 3x1
harus sama
merupakan ordo dari hasil kali (3x1) Rangkuman Kelas X
41
contoh soal :
Jika P *
+ dan Q [
]
Maka, P2x3 x Q3x2
= *
+[
=*
]
=* Q3x2 x P2x3
= [
]*
+ +
=[
+
]
=[
PxQ
QxP , tidak berlaku sifat komutatif
A*
+xB[
]
] = A2x2 x B1x2 tidak sama, jadi tidak dapat dikali
3. Perkalian Matriks Satuan Jika suatu matriks dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri. Contoh : Jika I *
+ dan A *
+
Maka, IxA=*
+*
+=*
+
AxI=*
+*
+=*
+IxA=AxI=A
4. Pemangkatan Matriks persegi + , tentukan A2 dan A3 !
Jika A * A2 = A x A
=*
+*
A3 = A x A 2
=*
+*
=*
+
+
=*
+
+
J. Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama, maka AxB = BxA = I
Contoh : Jika A *
+ dan B *
+,
AxB=*
+*
+=*
+
BxA=*
+*
+=*
+
Jadi, matriks A dan B saling berkebalikan / invers. Menentukan invers matrik ordo 2 Secara umum, jika matriks A * det A = |
+
| = (a x d) – (b x c)
Notasi invers adalah A-1 =
*
+
Jika det A = 0 , maka matriks A matriks singular (tidak memiliki invers) Rangkuman Kelas X
42
Jika det A 0 , maka matriks A matriks non singular (memiliki invers) Contoh soal : Tentukan invers dari A * det A = | A-1 =
+ dan B *
+!
| = (3x4) – (5x2) = 12 – 10 = 2 +=[
*
det B = |
]
| = (-4x6) – (8x-3) = -24 + 24 = 0
det B = 0 termasuk matriks singular, jadi tidak memiliki invers. K. Persamaan Perkalian Matriks Bentuk umum : A x =B -1 A A x = A-1 B 1 x = A-1 B = A-1
x
x A
=B
x
= B A-1
dengan A dan B adalah matriks persegi
B
Contoh soal : tentukan nilai x ! + x
=*
+
X
=*
+-1 *
X
=
*
X
=1*
X
=*
*
Jika A * (,*
+*
+
+*
+
+ + , tentukan {(AB)-1}t !
+ dan B *
+*
+
+ - ) = {* =,
+ } *
+-
=, *
+-
=[
]
=[
]
Sistem Persamaan Linear Menggunakan matriks Bentuk umum : ax + by =p cx + dy =q persamaan matriks : * * +
+* +
=* + =*
+
* +
Contoh soal : Tentukan nilai x dan y dari persamaan di bawah menggunakan matriks ! Rangkuman Kelas X
43
X+y=3 ...(1) 2x – y = 0 ...( 2) Bentuk matriks : *
+* + =* +
* +
=*
* +
=
* +
=
* +
=
* +
=* +
+
* +
*
+* + *
*
+ +
Jadi x = 1 dan y = 2 atau Hp {1,2}
Rangkuman Kelas X
44
MATERI 4 APROKSIMASI Aproksimasi merupakan operasi pendekatan atau pembulatan. Macam-macam pembulatan : 1. Pembulatan ke satuan terdekat Contoh soal : No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan Persepuluhan meter 1. 42,5002 m 42,5 terdekat 2. 0,00789 gram Gram terdekat 0 3. 734 Puluhan terdekat 700 4. 648 Perratusan terdekat 648,00 5. 4.556.856 Ribuan terdekat 4.557.000 2. Pembulatan ke banyaknya tempat desimal Jika bilangan yang akan dibulatkan 5 , maka nilainya ditambah 1 tempat di depan bilangan tersebut. Contoh soal : No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan 1. 89,078565 3 tempat desimal 89,079 2. 0,0925 1 tempat desimal 0,1 3. 0,6863 2 tempat desimal 0,69 3. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan Angka signifikan dalah banyaknya angka yang bermakna dalam suatu bilangan. Tabel contoh banyaknya angka signifikan Banyaknya Angka No. Bilangan keterangan Signifikan 1. 3,4569 5 Semua angka adalah signifikan 2. 50,043 5 Semua angka adalah signifikan 3. 0783 3 Angka pertama bukan signifikan 4. 0,00628 3 Tiga angka pertama bukan signifikan 5. 0,086070 5 Dua angka pertama bukan signifikan 6. 2800 2 Dua angka terakhir bukan signifikan 7. 8670000 5 Dua angka terakhir bukan signifikan Aturan pembulatan ke banyaknya angka signifikan : 1. 2. 3. 4. 5.
Setiap angka bukan 0 (nol) adalah signifikan Setiap angka 0 diantara dua angka signifikan adalah signifikan Angka 0 terletak di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan bukan signifikan Angka 0 di belakang tanda desimal apabila di dahului angka bukan 0 adalah signifikan Angka 0 di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan meski di belakang tanda koma desimal bukan signifikan 6. Angka 0 di belakang angka bukan 0 adalah bukan signifikan, kecuali diberi tanda seperti garis bawah (_), dll.
Contoh soal : No. Hasil Pengukuran 1. 72,071 2. 23,4005 3. 0,460 4. 47778 5. 4508000 Rangkuman Kelas X
3 2 1 3 6
Pembulatan ke angka signifikan angka signifikan angka signifikan angka signifikan angka signifikan
Hasil Pembulatan 72,1 23 0,5 47700 4508000 45
# Galat (Salah) Adalah selisih antara nilai yang tepat (eksak) dengan nilai dengan nilai hampiran (hasil pengukuran yang tidak tepat) atau, Besarnya kesalahan / penyimpangan / error dalam pengukuran. Sumber galat : 1. Alat ukur yang digunakan kurang standar 2. Alat hitung yang kurang teliti 3. Kesalahan manusia (human error) dalam menggunakan alat ukur 4. Penggunaan operasi aritmatika pada hasil pengukuran (pembulatan, dsb.) Operasi Bilangan Pada Aproksimasi : 1. SUK (Satuan Ukur terKecil) Adalah satuan ukur atau pembanding terkecil dalam yang dipakai oleh pengukur. Tabel contoh satuan ukuran terkecil No. Hasil Pengukuran Satuan Ukuran Terkecil 1. 42 cm 1 cm 2. 43,4 km 0,1 km atau 1 hm 3. 218,394 kg 0,001 kg atau 1 gram 4. 67,70000 ton 0,00001 ton atau 1 dag 5. 63000 km 1000 km atau 1 m 2. SM (Salah Mutlak) Adalah jumlah kesalahan terbesar dalam pengukuran. SM
=
x SUK
3. SR (Salah Relatif) Adalah jumlah kesalahan dari pengukuran yang dilihat dari besarnya hasil pengukuran. SR =
...tanpa menggunakan satuan
4. Presentase Kesalahan Adalah banyaknya salah relatif yang dinyatakan dalam prosen. % kesalahan = SR x 100% 5. Batas Atas dan Batas Bawah Batas atas (BA) adalah batas tertinggi dalam suatu pengukuran yang dapat diterima. BA = Hasil pengukuran + SM Batas bawah (BB) adalah batas terendah dalam suatu pengukuran yang dapat diterima. BB = Hasil pengukuran – SM 6. Toleransi Adalah selisih antara batas atas dan batas bawah yang dapat diterima. Toleransi = BA – BB = 2 x SM 7. Jangkauan Adalah rentan bilangan yang dapat diterima dalam suatu pengukuran. Jangkauan =
Rangkuman Kelas X
SM
46
=
toleransi
Contoh soal : Jika diketahui hasil pengukuran sebuah pensil adalah 25 cm, maka HP (Hasil Pengukuran) = 25 cm SUK = 1 cm
SM
=
x SUK
=
x 1 cm
= 0,5 cm
SR
= =
= 0,02 % kesalahan = SR x 100 % = 0,02 x 100 % =2% BA = HP + SM = 25 cm + 0,5 cm = 25,5 cm BB = HP – SM = 25 cm – 0,5 cm = 24,5 cm Toleransi = BA – BB = 25,5 cm – 24,5 cm = 1 cm atau Toleransi = 2 x SM = 2 x 0,5 = 1 cm Jangkauan
=
SM
=(
0,5) cm
= (25 0,5) cm 8. Batas – Batas Jumlah dan Selisih Hasil Pengukuran Batas – batas jumlah pengukuran : Jumlah maksimum = BA1 + BA2 Jumlah minimum = BB1 + BB2 atau P1 (Hp1 SM1) P2 (Hp2 SM2) + P1+P2 {Hp1+Hp2 (SM1+SM2)} Batas – batas selisih pengukuran : Selisih maksimum = BA1 – BB2 Selisih minimum = BA2 – BB1
P1 P2
(Hp1 (Hp2
SM1) SM2)
P1-P2
{Hp1-Hp2
+
Rangkuman Kelas X
(SM1+SM2)}
47
9. Batas Hasil Kali Pengukuran Hasil kali maksimum adalah hasil kali kedua batas atas dari hasil pengukuran. Hasil kali maksimum
= BA1 x BA2
Hasil kali minimum adalah hasil kali kedua batas bawah dari hasil pengukuran. Hasil kali minimum
= BB1 x BB2
Contoh soal : Tentukan batas-batas jumlah, batas-batas selisih, dan hasil kali dari hasil pengukuran dua buah tiang yaitu 5,6 m dan 6,4 m ! Jawab : SUK = 0,1 m SM
=
x 0,1 m
= 0,05 m HP2 = 5,6 m BA2 = 5,6 m + 0,05 m = 5,65 m BB2 BB1 = 5,6 m - 0,05 m = 5,55 m Batas-batas jumlah pengukuran : Jumlah maksimum = BA1 + BA2 = 5,65 m + 6,45 m = 12,10 m Jumlah minimum= BB1 + BB2 = 5,55 m + 6,35 m = 11,90 m atau P1 (Hp1 SM1) P1 P2 (Hp2 SM2) P2 + P1+P2{Hp1+Hp2 (SM1+SM2)} P1+P2 HP1 BA1
= = = = =
6,4 m 6,4 m + 0,05 m 6,45 m 6,4 m - 0,05 m 6,35 m
(5,6 (6,4
+ (12,0
Jumlah maksimum = 12,0 + 0,10 = 12,10 m Jumlah minimum= 12,0 – 0,10 = 11,90 m Batas-batas selisih pengukuran : Selisih maksimum = BA2 - BB1 = 6,45 m – 5,55 m = 0,90 m Selisih minimum = BA1 – BB2 = 5,65 m - 6,35 m = 0,70 m atau P1 (Hp1 SM1) P1+P2 (0,8 P2 (Hp2 SM2) P1-P2{Hp1-Hp2 (SM1+SM2)} P1 (6,4 0,05)m P2 (5,6 0,05)m Rangkuman Kelas X
0,05)m 0,05)m 0,10)m
0,10)m
48
Selisih maksimum Selisih minimum
= 0,8 + 0,10 = 0,90 m = 0,8 – 0,10 = 0,70 m
Hasil kali maksimum
= = = = = =
Hasil kali minimum
Rangkuman Kelas X
BA1 x BA2 5,65 m x 6,45 m 36,4425 m2 BB1 x BB2 5,55 m x 6,35 m 35,2425 m2
49
MATERI 5 LOGIKA Logika dalam matematika berfungsi untuk memberikan dasar cara berpikir yang logis, sistematis, terarah, dan menghindari kesalahpahaman dalam peninjauan masalah-masalah matematika. Semesta Pembicaraan adalah himpunan obyek-obyek yang sedang dibicarakan. Kalimat matematika adalah kalimat yang mengandung lambang-lambang matematika. Kalimat matematika ada yang memiliki arti dan ada yang tidak memiliki arti. Kalimat yang memiliki arti dibedakan menjadi 2, yaitu : 1. Kalimat pernyataan (deklarasi): kalimat yang memiliki benar atau salah. Contoh : 7+3=10 (pernyataan benar) dan ibukota negara Indonesia terletak di Pulau Kalimantan (pernyataan salah). 2. Kalimat bukan pernyataan : kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salah. Contoh : kalimat perintah, tanya, terbuka, permohonan.
Operasi Logika Matematika Operasi yang dikenakan 1 pernyataan disebut operasi uner. Operasi yang dikenakan 2 pernyataan disebut operasi biner. 1. Operasi Penyangkalan (Ingkaran / Negasi) Merupakan operasi uner, dengan notasi “~” atau “ ̅ ” Misal : ~p dibaca tidak benar bahwa p ~p dibaca non p / dibaca tidak p Contoh : P : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia. ~P : Tidak benar bahwa Jakarta ibukota negara Republik Indonesia. : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia. Q : 2+9=10 ~Q : tidak benar bahwa 2+9=10 : 2+9 10 R : 3>7 ~R : tidak benar bahwa 3>7 :3 7 Jumlah nilai kebenaran 2n n : jumlah kalimat pernyataan. Tabel nilai kebenaran 21 = 2 P ~P S : Salah B S B : Benar S B
Rangkuman Kelas X
notasi “⋀ ” dibaca “dan” q B S B S
p
V
2. Operasi Konjungsi (Dan) Merupakan operasi biner, dengan Jumlah nilai kebenaran 22 = 4 p B B S S
q
B S S S
50
Ditunjukan dengan hubungan seri:
p contoh p q p⋀q
q
: Semarang ibukota Jawa Timur Semarang Kota ATLAS Semarang ibukota Jawa Timur dan Kota ATLAS S ⋀ p Bujur sangkar adalah persegi q 3+4 = 7 p⋀q Bujur sangkar adalah persegi dan 3+4=7 B ⋀ B
B
=S
=B
3. Operasi Disjungsi (Atau) Memiliki notasi “V” , misal pVq dibaca p atau q dan kedua-duanya. p q B B B S S B S S Ditunjukan dengan hubungan paralel : p
pVq B B B S
q Ada 2 jenis disjungsi : Disjungsi Inklusif (atau dan kedua-duanya) pVq Disjungsi Eksklusif (atau dan tidak kedua-duanya) pVq Tabel disjungsi eksklusif p q pVq B B S B S B S B B S S S
tabel seperti di atas
Hubungan Disjungsi Inklusif dan Eksklusif p q r pVqVr B B B S B B S B B S B S B S S B S B B S S B S B S S B B S S S S
Contoh soal : Jika p=S q=B
Rangkuman Kelas X
51
(p⋀q) V ~p (S⋀B) V B =SVB =B (~p⋀q) V (pV~q) (B⋀B) V (sVs) =BVS =B Jika p=B q=S (p⋀~q) V ~(pVq) (B⋀B) V ~(BVS) = B V ~B =BVS =B Tabel kebenaran dari (p⋀~q) V ~(pVq) p q ~q p⋀~q pVq ~(pVq) B B S S B S B S B B B S S B S S B S S S B S S B
(p⋀~q) V ~(pVq) S B S B
4. Operasi Implikasi / Kondisional Merupakan operasi biner, menggunakan kata penghubung “Jika ... , maka ...” dengan notasi “” p q misal : p q dibaca “jika p, maka q” p disebut hipotesa / antesenden / sebab q disebut knklusi / konsekuen / akibat sehingga operasi p q disebut hubungan sebab akibat. Tabel kebenaran implikasi pq p q B B B B S S S B B S S B Tabel kebenaran negasi dari implikasi p q ~q pq ̅̅̅̅̅̅̅̅ p⋀~q B B S B S S B S B S B B S B S B S S S S B B S S Jadi, ̅̅̅̅̅̅̅̅ p⋀~q Contoh : Jika petani menanam padi, maka harga beras turun. = r ~r : jika petani menanam padi dan harga beras tidak turun. 5. Operasi Biimplikasi / Bikondisional Menggunakan kata penghubung “... jika dan hanya jika ... ” dengan notasi “ ” Misal : p ↔ q dibaca
Rangkuman Kelas X
: p jika dan hanya jika q p ekuivalen q p syarat perlu dan cukup bagi q 52
p B B S S
q B S B S
Tabel kebenaran dari biimplikasi pq qp p↔q pq⋀qp B B B B S B S S B S S S B B B B Jadi, p↔q pq⋀qp
Contoh soal : Jika p=B dan q=S (pq)↔(~p⋀q) (BS)↔(S⋀S) = S ↔ S = B Buatlah tabel kebenaran dari (~pV~q)↔(pq) pq (~pV~q)↔(pq) p q ~p ~q ~pV~q B B S S S B S B S S B B S S S B B S B B B S S B B B B B Negasi dari pernyataan majemuk antara lain :
Negasi Negasi Negasi Negasi
konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi
: : : :
~(p⋀q) ~(pVq) ~(pq) ~(p↔q)
= = = =
~pV~q ~p⋀~q p⋀~q (p⋀~q)V(q⋀~p)
Contoh soal : Tentukan ingkarang dari : Adi membawa buku dan pensil. Adi tidak membawa buku atau tidak membawa pensil. Hari hujan atau jalan tidak becek. Hari tidak hujan dan jalan becek. Jika 5+5=10 maka 7 adalah bilangan ganjil. 5+5=10 dan 7 bukan bilangan ganjil. Persegi sisinya ada 4 buah jika dan hanya jika segitiga sama sisi sudutnya masing-masing sama besar. Persegi sisinya ada 4 dan segitiga sama sisi sudutnya masing-masing tidak sama besar atau segitiga sama sisi sudutnya masing-masing sama besar dan persegi sisinya bukan 4 buah. a. Konversi, Inversi, dan Kontraposisi Dari bentuk implikas pq akan dibentuk implikasi baru yaitu :
Konversi : qp Inversi : ~p~q Kontraposisi : ~q~p
Bentuk tabel kebenaran : ~q~p p q ~p ~q pq qp ~p~q B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B Jadi, implikasi ekuivalen kontraposisi : pq ~q~p Konversi ekuivalen inversi : qp ~p~q Rangkuman Kelas X
53
Contoh : pq ~q~p
: Jika petani menanam padi, maka harga beras turun. : Jika harga beras tidak turun, maka petani tidak menanam padi. qp : Jika harga beras turun, maka petani tidak menanam padi. ~p~q : Jika petani tidak menanam padi, maka harga beras tidak turun. Tentukan konvers, invers, kontraposisi dari (~pVq) (~p⋀q) : Konvers : qp : (~p⋀q) (~pVq) Invers : ~p~q : (p⋀~q) (pV~q) Kontraposisi : ~q~p : (pV~q) (p⋀~q)
b. Kalimat Berkuantor Adalah kalimat terbuka yang telah dibubuhi dengan variabel sehingga berubah menjadi kalimat tertutup. Contoh : Kalimat terbuka dengan variabel x , dapat x–1=9 ditulis P(x), Q(x), F(x) x2 + x – 6 = 0 x2 0 Ada 2 macam kuantor : 1. Kuantor Umum notasi “ x” dibaca “untuk semua x” atau “untuk setiap x” 2. Kuantor Khusus notasi “ x” dibaca “ada x” atau “beberapa x (sekurangkurangnya 1)” c. Negasi Kalimat Berkuantor “semua x” ingkarannya “ada x” ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = x̅̅̅̅̅̅
“ada x” ingkarannya “semua x” ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = x̅̅̅̅̅̅
Contoh : Semua korban kecelakaan itu meninggal dunia. Beberapa korban kecelakaan itu tidak meninggal dunia. Ada siswa yang tertib. Semua siswa tidak tertib. d. Penarikan Kesimpulan Bukti Langsung : dipergunakan dasar yang sah dari argumen dengan prinsip logika. Ada 3 cara penarikan, yaitu dengan : a. Modus Ponens P1 = pq (B) P : Premis P2 =p (B) : kesimpulan Kesimpulan = q (B) Rangkuman Kelas X
54
Tabel tautologi (tabel yang hasilnya benar semua) pq ⋀ p q pq pq⋀p pq ⋀ p q p q B B B B B B S S S B S B B S B S S B B B
Contoh : Jika Andi minum susu maka Andi akan sehat. Andi minum susu. Andi akan sehat. P1 = Jika Andi minum susu maka Andi akan sehat P2 = Andi minum susu Kesimpulan
= Andi akan sehat
b. Modus Tollens P1 = pq P2 = ~q Kesimpulan = ~p Tabel tautologi pq ⋀ ~q ~p p q ~p ~q B B S S B S S B S B B S S S B B
(B) (B) (B)
pq B S B B
pq ⋀ ~q S S S B
pq ⋀ ~q ~p B B B B
Contoh : Jika Bela belajar giat maka Bela naik kelas. Bela tidak naik kelas. Bela tidak belajar. P1 = Jika Bela belajar giat maka Bela naik kelas P2 = Bela tidak naik kelas Kesimpulan
= Bela tidak belajar
c. Prinsip Sillogisme P1 = pq P2 = qr Kesimpulan = pr Tabel tautologi pq ⋀ qr pr pq p q r B B B B B B S B B S B S B S S S S B B B S B S B S S B B S S S B Rangkuman Kelas X
(B) (B) (B)
qr B S B B B S B B
pr B S B S B B B B
pq ⋀ qr B S S S B S B B
pq ⋀ qr pr B B B B B B B B 55
Contoh : Jika Cindy pusing maka ia sakit. Jika Cindy sakit maka ia harus periksa ke dokter. Jika Cindy pusing maka ia harus pergi ke dokter P1 = Jika Cindy pusing maka ia sakit P2 = Jika Cindy sakit maka ia harus periksa ke dokter Kesimpulan
= Jika Cindy pusing maka ia harus pergi ke dokter
Bukti Tak Langsung Langkah-langkahnya : 1. Dimisalkan yang akan dibuktikan dengan mengingkarinya. 2. Carilah hubungan sehingga diperoleh kontraposisi dari langkah 1. 3. Jika nilai kebenaran antara implikasi dengan kontraposisi sama, maka sudah terbukti. Contoh dengan menggunakan lambang : Buktikan bahwa p (benar) : 1. Misal ~p 2. ~p ...(metode sah)... p 3. Jadi (~p⋀p), kontradiksi. Kesimpulannya p benar. Buktikan bahwa pq (benar) : 1. Misal ~q 2. ~q ...(metode sah)... ~p
3. Jadi (~q~p) tetapi (~q~p)
Rangkuman Kelas X
(pq) terbukti
56
MATERI 6 DIMENSI 2 (SUDUT DAN BIDANG)
Sudut Adalah kemiringan suatu garis terhadap garis lain yang pangkal-pangkalnya bertemu di satu titik. P : titik pangkal / titik sudut a & b : kaki sudut Notasi “∠”
a
P
cara memberi nama sudut menggunakan huruf kapital, seperti ∠Q atau ∠PQR b Satuan sudut ada 3 macam : 1. Satuan Derajat (...o) Adalah besar sudut satu derajat ditulis 1o adalah sudut yang berhadapan dengan panjang busur =
B
bagian keliling lingkaran.
A OAB = 1o =
o
bagian keliling lingkaran bagian keliling lingkaran
Keliling lingkaran = 360o
Satuan derajat yang lebih kecil adalah satuan menit (...’) dan detik (...”)
1o
= 60’
1’
1’
= 60”
1” =
1o
= 60’ = 3600”
1” =
=
Contoh soal : Ubahlah ke detik dan menit ! 110,8745o = 110o + (0,8745 x 60’) = 110o + 52,47’ = 110o + 52’ + (0,47 x 60”) = 110o + 52’ + 28,2” = 110o + 52’ + 28” Ubahlah ke derajat desimal 76o48’50”
= 76o + ( o
)+(
)
= 76 + 0,8 + 0,0138...o = 76,8o + 0,0138o = 76,8138o 2. Satuan Radian (...rad) Adalah besarnya sudut satu radian ditulis 1 rad adalah jika panjang OAB yang berhadapan sama dengan jari-jari (r)
Rangkuman Kelas X
o
57
A
B
gambar 1
B
gambar 2
r r
C
o
A
O
1 rad = 180o
Gambar 1
=
=
Gambar 2
=
=
1 π rad = 360o
=1 =π
maka, ∠AOB = 1 radian maka, ∠AOC = π rad = 180o
Keliling lingkaran = 2π rad = 360o
3. Satuan Grade / Gon (...g atau ...g) Adalah besar sudut 1 grade ditulis 1g, jika panjang busur AB yang berhadapan sama dengan
bagian keliling lingkaran.
A
B
1g =
keliling lingkaran
Keliling lingkaran = 400g
o
Dengan :
1g 1 cg 1g
Satuan grade yang lebih kecil adalah cg dan ccg
= 100 cg = 100 ccg = 100 cg
# Konversi Satuan Sudut 1. Konversi Satuan Derajat dan Radian
= 10.000 ccg 2. Konversi Satuan Radian dan Grade
1 rad = 57,3o 1o = 0,01744 rad
1 rad = 63,9g 1g = 0,0157 rad
Contoh soal : 196o = ...rad = 196 x 0,01744 = 3,41824 rad
Contoh soal : 510g = ...rad = 510 x 0,0157 = 8,007 rad
rad = ...o
x 180o
=
=
o
= 60 12 rad = ...o = 12 x 57,3 = 338,07o 3. Konversi Satuan Derajat dan Grade 1o
= 1,11g
Rangkuman Kelas X
rad = ...g
1’ 1”
x 200
= 150g 9,45 rad = ...g = 9,45 x 63,9 = 603,855g
= 0,0185g = 0,0003086g (satuan centisimal) 58
1g
= 0,9o
1cg = 0,009o 1ccg = 0,00009o (satuan sexagesimal)
Contoh soal : 75o = ...g = 75 x 1,11 = 83,25g g 130 = ...o = 130 x 0,9 = 117o Ubah ke bentuk satuan 175g 45cg 27ccg = = =
sexagesimal ! (175x0,9o)+(45x0,009o)+(27x0,00009o) 157,5o + 0,405o + 0,00243o 157,90743o
157,90743o
= 157o + (0,90743x60’) = 157o + 54,4458’ = 157o + 54’ + (0,4458x60”) = 157o + 54’ + 26,748” = 157o 54’ 27” Ubah ke bentuk satuan centisimal ! 150o26’43” = (150x1,11g)+(26x0,0185g)+(43x0,0003086g) = 166,5g + 0,481g + 0,0132698g = 166,9942698g = 166,9943g = 166g 99cg 43ccg
Bangun Datar Beraturan # Theorema Phytagoras “Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya” Ada 4 teori phytagoras :
B
c
a
L b
C
Pada
=√
b
=√
a
=√
A
ABC, CD adalah garis tinggi dan CD ┴ AB
B
2. a2 3. b2 4. h2
c
1
a
1. c
c D
h
= c1 x c = c2 x c = c1 x c 2
c
2
L C
b
Rangkuman Kelas X
A
59
# Rumus – Rumus Luas dan Keliling Bangun Datar Beraturan 1. Segitiga 5. Belah Ketupat
s
d1 c
b
t
d2
d
a s
=
kell
a t a b c
= = = = =
alas tinggi sisi a sisi b sisi c
L
=
Kell
=√ = a+b+c
= diagonal
L= Kell = 4 ∙ s 6. Layang-Layang
b d2
∙a∙t
d1 a
2. Persegi Panjang
|| |
| p ||
l
L
=
Kell
= 2(a+b)
7. Trapesium d
a
p l
= panjang = lebar
L Kell
= p∙l = 2 (p+l)
c
t b
3. Persegi
L
=
∙
Kell
= a+b+c+d
8. Lingkaran
|
r
|
|
s
d
| s
= sisi
L Kell
= s ∙ s = s2 =4∙s
4. Jajar Genjang
π
=
r d
=jari-jari O = diameter O
L
=
∙ π ∙ r2
=
∙ π ∙ d2
||
a || L Kell
Kell
|
|
b
=a∙t = 2(a+b)
Rangkuman Kelas X
t
= 3,14
= 2πr = 4π
9. Ellips
a b
60
L Kell
= π a∙b = π (a+b)
10.Segi-n Beraturan
|
n
= jumlah sisi
L
=
cotg
=n∙L ∙ s2 ∙ √
= Kell
= n∙s
|
Contoh soal : - Hitung luas dan kell segi 6 dibawah ini! s = 10cm 10cm
L
=
∙ s2 ∙ √
=
∙ (10cm)2 ∙ √
=
∙ 100cm2 ∙ √
= 150√ cm2 Kell = n∙s = 6 ∙ 10cm =60cm - Hitung luas layang-layang dibawah ini! D EC =√ 13cm =√ 12cm =√ E =√ C A = 5cm 5cm d1 = DB = = B = d2 = AC = AE+EC L = 28,8cm+5cm = 33,8cm
DE2 = (12)2 = 144 = AE =
EC ∙ AE 5 ∙ AE 5 AE 28,8cm
Rumus phytagoras
DE+EB 12cm+5cm 17cm = = = 287,3cm2
# jika diketahui koordinatnya L=
[xn(y(n+1)-y(titik yg berhadapan
Contoh soal:
n+1))+xn+1(y(n+2)-y(titik yg berhadapan n+2))+
...]
D (5,4)
E (-1,6) C (6,1) A (-3,-1) L
Hitung luas bangun disamping!
B (3,-2)
=
[xA(yB-yE)+ xB(yC-yA)+ xC(yD-yB)+ xD(yE-yC)+ xE(yA-yD)]
=
[-3(-2-6)+ 3(1-(-1))+ 6(4-(-2))+ 5(6-1)+ (-1)(-1-4)]
= (24+6+36+25+5) =
∙ 96 = 48 satuan
Rangkuman Kelas X
61
Bangun Datar Tak Beraturan Ada 4 cara menghitung luas bangun datar tak beraturan : 1. Aturan Trapesioda d = Luas Pias O = ordinat 6
7
6
5,8
7
8,8
9
O1
O2
O3
O4
O5
O6
O7
Contoh soal : hitung luas bangun diatas! L = d{( = 2{(
2. Aturan Mid Ordinat 7
9
y2
y3
)+7+6+5,8+7+8,8}
Y = ordinat tengah =
5,8
y1
)+o2+o3+o4+o5+o6}
7
6
6
𝟐
= 2{7,5+7+6+5,8+7+8,8} = 2 ∙ 42,1 = 84,2 satuan luas
d=2 8,8
𝒐𝟏 𝒐𝟕
y4
y5
y6
Y1 =
= 6,5
Y4 =
= 6,4
Y2 =
= 6,5
Y5 =
= 7,9
Y6 =
= 8,9
Y3 =
= 5,9
2
Contoh soal : hitung luas bangun diatas! L = d (y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6) = 2 (6,5+6,5+5,9+6,4+7,9+8,9) = 2 ∙ 42,1 = 84,2 satuan luas 3. Aturan Simpson Contoh soal : hitung luas bangun diatas! L =
Lihat gambar trapesioda
{(oawal+oakhir)+4(ogenap)+2(oganjil)}
=
{(o1+o7)+4(o2+ o4+ o6)+2(o3+ o5)}
=
{(6+9)+4(7+5,8+8,8)+2(6+7)}
=
(15+86,4+26)
= 84,9 satuan luas 4. Dengan Luas Persegi m = kotak utuh n = kotak tidak utuh 𝟏
L = m+ n 𝟐
Contoh soal : hitung luas bangun diatas! m = 9 , n = 16 L
=9+
∙ 16
= 17 satuan luas
Transformasi Transformasi adalah cara untuk memindahkan suatu titik pada suatu bidang.
Rangkuman Kelas X
62
Refleksi (Pencerminan) adalah pencerminan suatu titik, garis, atau bangun yang bayangannya ~ dengan asli. Sifat : Bangun asal ~ bayangan Jarak bangun asal terhadap cermin = jarak bayangan terhadap cermin Garis yang menghadap titik asal dan bayangannya ┴ terhadap cermin
Pencerminan pada bidang koordinat :
Matriks : ( ) = (
)( )
P(x,y)
(
) )
P(x,y)
P’(x,-y)
P(x,y)
P’(-x,y)
P(x,y) →
P’(2k-x,y)
P(x,y)
(
P(x,y) →
P’(-x,-y)
P(x,y) →
(
P(x,y) →
P’(x,2k-y)
P(x,y) →
(
)
P(x,y) →
P’(y,x)
P(x,y) →
P’(-y,-x)
P(x,y) →
(
)
)
Titik pencerminan ke matriks : Contoh soal : 1. Tentukan bayangan titik A(2,5); B(4,8); C(1,2) dicerminkan oleh sumbu x! ( )=(
)=(
)(
)
Jadi, A’(2,-3); B(4,-8); C(1,-2) 2. Pada bayangan titik P(8,-5) yang dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y! P(x,y)
P’(x,-y) P(x,y)
P(x,y) P(8,-5)
P”(-x,y) P”(-x,-y)
P”(-x,-y) P”(-8,5)
jadi, bayangan akhirnya adalah P”(-8,5)
3. Jika A(a,b) dicerminkan terhadap garis y=- menghasilkan bayangan A’(2,-4), tentukan nilai a dan b! P(x,y) →
P’(x,2k-y)
A(a,b) →
A’(2,-4)
2k – b
=-4
2∙ – b
=-4
b
=3
a= 2
⃗⃗⃗⃗⃗
Translasi (Pergeseran) adalah pergeseran titik, garis, atau bangun menurut arah dan jarak tertentu. ( )
B
𝒂 𝑻* + 𝒃
P(x,y) →
P’(x+a, y+b) 𝒂 𝒄 + 𝒅
𝑻𝟐 𝒐𝑻𝟏 * 𝒂 𝒄 𝒃 T1* + T2* + = → 𝒃 𝒅
A Contoh soal: Rangkuman Kelas X
63
Translasi (
) dilanjutkan translasi (
) mentraslasikan titik M ke M’(2,-7), maka
koordinat M adalah... T1 (
) ;T2 (
)
*
M(x,y) →
+
*
M’(2,-7)
+
M(x,y) → M’(2,-7) Persamaan linear : X x+2 =2 X =0 Y y – 1 = -7 Y = -6 M(0,-6) Jadi, koordinat M adalah (0,-6)
Rotasi (Perputaran) adalah pemindahan titik, bangun, atau garis sepanjang busur O dengan arah, titik pusat, dan ∠ tertentu. Pada titik pusat (0,0) P(x,y) → P(x,y) →
[
]
[
P’(-y,x) ]
[
P’(y,-x) ]
P(x,y) → R1 R2 = R2OR1
P’(-x,-y)
Contoh soal : Titik P(0,4) dirotasikan oleh rotasi R1(0,-90°) dilanjutkan oleh R2(0,180°) menghasilkan P”, tentukan P”! R2OR1= -90° + 180° = 90° P(x,y) →
[
]
[
]
P(0,4) →
P”(-y,x) P”(-4,0)
jadi, P” adalah (-4,0)
Bentuk Matriks : ( ) = (
)( )
X’ = x ∙ cos α – y ∙ sin α Y’ = x ∙ sin α + y ∙ cos α Contoh soal : Tentukan bayangan titik P(4,6) yang dirotasikan oleh R(0,60°)! ( )
=( =(
)( ) √ √
)( )
√ ) √ Jadi, P’ adalah (2-3√ , 2√ +3) Pada titik pusat (a,b) =(
X’ – a = (x-a)cos α – (y-b)sin α Y’ – b = (x-a)sin α + (y-b)cos α Contoh soal : Rangkuman Kelas X
64
Tentukan bayangan titik P(6,4) karena rotasi yang berpusat di A(2,1) sebesar = -90°! P(6,4) (x,y) X’ – a = (x-a)cos α – (y-b)sin α A(2,1) (a,b) X’ – 2 = (6-2)cos -90° – (4-1)sin -90° X’ – 2 = 4 ∙ 0 – 3 ∙ -1 X’ – 2 =3 X’ =5 Y’ – b = (x-a)sin α + (y-b)cos α Y’ – 1 = (6-2)sin -90° + (4-1)cos -90° Y’ – 1 = 4 ∙ -1 + 3 ∙ 0 Y’ – 1 = -4 Y’ = -3 Jadi, titik P’ adalah (5,-3)
Dilatasi (Perkalian) adalah perkalian bangun yang berupa pembesaran / pengecilan dengan titik pusat dan faktor skala (k) tertentu. Macam=macam dilatasi : K>1 bayangan sepihak dengan bangun asal dan diperbesar 0
]
P(x,y) →
P’(kx,ky)
Matriks : ( ) = (
)( )
K= Contoh soal : Titik P(1,2) didilatasi [0,2] menghasilkan bayangan P’, tentukan P’! [
]
[
]
P(x,y) →
P(1,2) →
P’(kx,ky)
P’(2∙1, 2∙2) P’(2,4) Dilatasi dengan pusat (a,b) X’ – a = k(x-a) Matriks :( ) = ( )( )+( ) Y’ – b = k(y-b) Contoh soal : Tentukan bayangan titik P(3,6) karena didilatasi [A,2] terhadap titik A(1,2)! P(3,6) (x,y) [A,2] [titik pusat A, k] A(1,2) (a,b) X’ – a = k(x-a) Y’ – b = k(y-b) X’ – 1 = 2(3-1) Y’ – 2 = 2(6-2) X’ – 1 = 4 Y’ – 2 = 8 X’ =5 Y’ = 10 Jadi, P’(5,10)
Rangkuman Kelas X
65
MATERI 7 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri suatu sudut perbandingan sisi suatu segitiga sikusiku.
y P
P (x,y)
r
OP = r = sisi miring ∠ α (proyektrum) PQ = y = sisi depan ∠ α (proyektor) OQ = x = sisi samping ∠ α (proyeksi)
x
L
α O
PQO siku-siku di Q dengan melihat ∠ α, maka :
Q
x
Sinus α
=
=
Cosinus α
=
=
Tangen α
=
=
(demi)
Cosecan α
=
=
(mide)
(sami)
Secan α
=
=
(misa)
(desa)
Cotangen α
=
=
(sade)
Nilai sudut istimewa Trigonometri : 0o
30o
45o
60o
90o
√
√
1
Sin
0
Cos
1
√
√
0
Tan
0
√
1
~
Cosec
~
2
√
√
1
Secan
1
√
√
2
~
Cotg
~
1
√
0
√
Menghitung sisi segitiga siku-siku istimewa :
C AB BC AC
60o
L
A
30o
R
Sudutnya harus 90o, 60o, dan 30o PQ PR QR
45o
L
P
B
45o
Q
Rangkuman Kelas X
=x∙√ =x∙2 =x
=x =x =x∙√
Sudutnya harus 90o, 45o, dan 45o 66
Contoh soal :
C 8 cm
β
L
α
Tentukan panjang AB, BC, dan sinβ, cosβ ,tanβ, sinα, cosα, tanα dengan ∠α = ∠β = 45o !
B
A Jawab : a. AB
= =
√ √
x
√ √
b. BC
= 4√ cm = AB = 4√ cm
c. Sinβ
=
=
√
d. Cosβ
=
=
√
= √
√
e. Tanβ
=
=
f.
Sinα
=
=
g. Cosα
=
=
√
= √
h. Tanα
=
=
√
=1
√ √
√
=1 = √
= √
Daftar III (Daftar Sinus)
Digunakan untuk mencari nilai sin, cos, tan, dan cotg dari suatu sudut atau sebaliknya. Contoh soal : -
Berapakah nilai sin 38o14’ ? 38o M sin ... 10 0,6180 ... ... 14 89 ... cos
M = kolom menit tan
cotg
cotg
tan
cos
sin
... 50 ... 46 ... M 51o
Cara : pada daftar III logaritma cari sudut 38o, lanjut mencari 14‟ pada kolom M, urutkan pada kolom sin, dan lihat nilainya. Jika hanya 2 digit, lihat 3 digit awalannya di atasnya.
Jadi, nilai sin 38o14’ = 0,6189 -
Tentukan ∠ β dari cos β =
!
Jawab : cos β
=
cos β ∠β ∠β
= 0,6667 = arc cos 0,6667 = 48o11’ 41o M ... 49 50 ...
sin
cotg
cos
67 0,6670 cos
Rangkuman Kelas X
tan
cotg
tan
sin
... 11 10 ... M 48o 67
Cara : pada daftar III logaritma cari nilai 0,6667 pada kolom cos, lanjut melihat menit pada kolom M dan sudut pada bawah tabel.
Daftar II (Daftar Log Sinus)
Digunakan untuk mencari nilai log sin, log cos, log tan, dan log cotg dari suatu sudut atau sebaliknya. Contoh soal : cara mirip daftar II, hanya saja bilangan yang tertera pada daftar harus dikurangi 10
1. Log cotg 75o46’ = 9,4042 – 10 = -0,3958 2. Log sin A = -0,1761 Log sin A = 9,8239 – 10 ∠A = antilog sin 9,8239 = 40o49’ 3. Sin β
(daftar II)
dibuat bentuk ... - 10
=
Log sin β = log 23,71+ log sin 69o17’ – log 27,18 Log 23,71 Log sin 69o17’
= 1,3749 = 9,9710 – 10
Log 27,18
= 1,4342
Log sin β = = ∠β = =
= 1,3749 (daftar I) = -0,0290 + (daftar II) 1,3459 = 1,4342 – (daftar I) -0,0983
-0,0983 9,9117 – 10 antilog sin 9,9117 (daftar II) 54o41’
Sudut-Sudut Berelasi
Sudut dibagi dalam beberapa kuadran :
y
90o
PII (-x,y)
PI (x,y) I
II 180o
x 360o III
IV PIV (x,-y)
PIII (-x,-y) 270o
Rumus di kuadran I {(90o – α) atau ( o
1. Sin (90 – α) = cos α o 2. Cos (90 – α) = sin α 3. Tan (90o – α) = cotg α Contoh soal : Tentukan sudut komplemennya! Rangkuman Kelas X
)}
4. Cotg (90o – α) 5. Sec (90o – α) 6. Cosec (90o – α)
= tan α = cosec α = sec α
68
Cos 40o = sin (90o – 40o) = sin 50o Cosec 57o = sec (90o – 57o) = sec 33o
Rumus di kuadran II {(180o – α) atau ( o
1. Sin (180 – α) = +sin α 4. 2. Cos (180o – α) = -cos α 5. o 3. Tan (180 – α) = -tan α 6. Contoh soal : Tentukan nilai dari : Cos 125o = - cos (180o – 125o) = = - cotg (π -
)}
Cotg (180o – α) = -cotg α Sec (180o – α) = -sec α o Cosec (180 – α) = +cosec α
-cos 55o = -0,5736
Cotg
) = -cotg
Rumus di kuadran III {(180o + α) atau (
(daftar III)
= -√ )}
o
1. Sin (180 + α)= -sin α 4. Cotg (180o + α) = +cotg α o o 2. Cos (180 + α) = -cos α 5. Sec (180 + α) = -sec α 3. Tan (180o + α) = +tan α 6. Cosec (180o + α)= -cosec α Contoh soal : Tentukan nilai dari : Tan 240o = tan (180o + 60o) = tan 60o = √ Cos 269o35’ = cos (180o + 89o35’) = -cos 89o35’ = -0,0073 (daftar III)
Rumus di kuadran IV {(360o – α) atau ( o
1. Sin (360 – α) = -sin α 2. Cos (360o – α) = +cos α o 3. Tan (360 – α) = -tan α
)}
4. Cotg (360o – α) 5. Sec (360o – α) 6. Cosec (360o – α)
= -cotg α = +sec α = -cosec α
Contoh soal : Tentukan nilai dari :
Cos 300o = cos (360o – 60o) = cos 60o =
Sin 1
= sin (2π -
) = -sin
=-
Relasi ∠ α dengan ∠ (-α) ∠ (-α) sudut negatif yang diputar searah jarum jam dari sumbu + sehingga berada di kuadran IV , maka didapat : 1. Sin (-α) 2. Cos (-α) 3. Tan (-α) Contoh soal : Tentukan nilai dari : Cos (-110o) =
Tan (-315) =
= -sin α = +cos α = -tan α
4. Cotg (-α) = -cotg α 5. Sec (-α) = +sec α 6. Cosec (-α) = -cosec α
= - cos 70o = - 0,3420 = tan 45o = 1
Sudut-sudut periodik ∠ periodik ∠ yang besarnya > 360o 1. Sin (360o ∙ k + α) = sin α 2. Cos (360o ∙ k + α) = cos α , dengan k R Rangkuman Kelas X
3. Tan (180o ∙ k + α) = tan α 4. Cotg (180o ∙ k + α) = cotg
69
Contoh soal : Tentukan nilai dari : Sin 960o = sin (360o∙2 + 240o) = sin 240o
kuadran II
o
= -sin 60 = - √
Tan (-5
)
= -tan 5 = -tan (π∙5 + =
) =- √
Koordinat cartesius (x,y)
y
A (x,y)
X disebut absis Y disebut ordinat X Y
α 0
= r ∙ cos α = r ∙ sin α
x
Koordinat kutub (polar) (r, α)
y
A (α,r) r α
x
O
r disebut jari-jari kutub Y disebut sudut kutub r
= √𝒙𝟐
α
= arc tan
𝒚𝟐 𝒚 𝒙
Contoh soal :
Ubahlah koordinat titik B(4,3) menjadi koordinat kutub! B(4,3) = B(x,y) B(r,α) α = arc tan α r =√ =√ =√ =√ =5 B(4,3) B(5, 36o52’)
= arc tan = arc tan 0,7500 = 36o52’
(daftar III)
Saat akan menentukan α jangan lupa perhatikan letak koordinat titik terletak pada kuadran berapa
Ubahlah koordinat kutub P(6,300o) ke dalam koordinat cartesius! P(6,300o) = P(r, α) B(x,y) X = r ∙ cos α Y = r ∙ sin α = 6 ∙ cos 300o (kuadran IV) = 6 ∙ sin 300o (kuadran IV) o = 6 ∙ cos 60 = 6 ∙ -sin 60o =6∙
=3
= 6 ∙ - √ = -3√
o
P(6,300 ) P(3, -3√ )
Aturan Sinus bisanya digunakan untuk mencari besar sudut atau panjang salah satu sisi diketahui dua sisi depan dan samping.
Rangkuman Kelas X
yang
70
=
=
= 2R
R = jari-jari lingkaran luar
Contoh soal : Diketahui ABC dengan BC=20cm, AC=10cm, dan besar ∠B=25o. Hitung : a. b. c. Jawab
Sisi di depan ∠ A = sisi a Sisi di depan ∠ B = sisi b Sisi di depan ∠ C = sisi c dst.
∠A? ∠C? Panjang AB? :
a.
=
C a
b
20cm
10cm
= 10 ∙ sinA
= 20 ∙ sin 25°
Sin A
=
A
Sin A = 2 sin 25° (daftar III) Sin A = 2 ∙ 0,4226 Sin A = 0,8452 ∠A = arc sin 0,8452 (daftar III) ∠A = 57°42’ b. ∠C = 180 ° - (25 ° + 57 °42’) = 180 ° - 82 ° 42’ = 97 ° 18’ c.
25 ° c
B
= = C ∙ sin 25 °
= 10 ∙ sin 97 °18’
C
=
Log c = log 10 + log sin 97 °18’ – log sin 25 ° Log 10 = 1,0000 log sin 97 °18’ = 9,9965 – 10 + 10,9965 – 10 log sin 25 ° = 9,6259 – 10 – 1,3706 Log c = 1,3706 C = antilog 1,3706 C = 23,48 cm
Aturan Cosinus
a2 = b2+c2-2bc cosA b2 = a2+c2-2ac cosB c2 = a2+b2-2ab cosC
cosA = cosB = cosC =
Rangkuman Kelas X
71
contoh soal :
10cm
D
C
8cm
8cm 120 °
60 ° A
Jawab :
B
10cm
Hitunglah panjang AC dan BD!
Perhatikan ABC b2 = a2+c2-2ac cosB b2 = 82+102-2 ∙ 8 ∙ 10 ∙ cos120 ° b2 = 64+100 – 160 ∙ (-cos60 °)
C b
b2 = 164 – 160 ∙ (- ) b2 = 164 + 80 b =√ b =√ b =2∙√ b = 2 ∙ 7,8102 b = 15,6204 cm
8cm a
120 ° A
(daftar V)
10cm
B
c
AC= b = 15,62 cm
Perhatikan ABD a2 = b2+d2-2bd cosA a2 = 82 + 102 - 2 ∙ 8 ∙ 10 cos60 °
D
a2 = 64 + 100 - 160 ∙ a2 = 164 – 80 a =√ a = 9,1652
b
8cm
(daftar V)
BD = a = 9,17cm
a
60 ° A
d
10cm
B
Rumus Luas 1. L
=
2. L
=
∙ a ∙ b ∙ sin c
=
∙ a ∙ c ∙ sin b
=
∙ b∙ c ∙ sin a
Contoh soal : Tentukan luas
3. L 4. L
=√ = 2R2 ∙ sin A ∙ sinB ∙ sinC
dibawah ini!
Rangkuman Kelas X
72
-
Jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut L ABC
C
a
=
∙ 16cm ∙ 15cm ∙ sin30o
= 60cm2
30 °
A
∙ a ∙ c ∙ sinB
= 120cm2 ∙
16 cm
b
=
B
c
15 cm -
Jika diketahui 3 sisinya
C
S
=
15 cm
14 cm
a
b A
kell
=
(15+14+13)cm
=
42cm
= 21cm
B c
13 cm L ABC = √
cm2
=√ = = = = -
cm2 √ √ 3∙2∙7∙2 cm2 84 cm2
cm2
Jika diketahui 3 sudut dan 1 sisinya = 2R
C
aturan sinus
= 2R
60°
15cm
√
a
b 45°
A 75°
B
= 2R
√
=R
R
=
√
cm
c L ABC = 2R2 ∙ sinA ∙ sinB ∙ sinC = 2( = 2(
√
)2 ∙ sin75° ∙ sin45° ∙ sin60° )2 ∙ 0,9659 ∙ 0,7071 ∙ 0,8660
= 225 cm2 ∙ 0,9659 ∙ 0,7071 ∙ 0,8660 = 133,08 cm2
Rangkuman Kelas X
73
Rumus Jumlah dan Selisih 2 Sudut
sin (α+β) = sin (α–β) = cos (α+β) = cos (α–β) =
tan (α+β) =
tan (α–β) =
sinα ∙ cosβ + cosα ∙ sinβ sinα ∙ cosβ – cosα ∙ sinβ cosα ∙ cosβ – sinα ∙ sinβ cosα ∙ cosβ + sinα ∙ sinβ
contoh soal : tan 15 ° = tan (60 ° -45 °) = = = = =
√
=
√ √
=
√ √
x
√
√ √
√ √
= 2-√ Rumus Sudut Rangkap Sin 2α = 2 ∙ sinα ∙ cosα Cos 2α = cos2α – sin2α = 1 – 2sin2α = 2cos2α – 1 Tan 2α
Sin 3α Cos 3α
= 3sinα - 4sin3α = 4cos3α – 3cosα
Tan 3α
=
=
Contoh soal : Tentukan Cos 22 ° , misal α = 22 ° ! Jawab: Cos 2α = 2 cos2 22 ° - 1 Cos 2(22 °) = 2 cos2 22 ° - 1 = 2 cos2 22 ° - 1
cos 45 °
= 2 cos2 22 °
√ +1
√
cos2 22 °
=
Cos 22 °
=√ √ =√
√
= ± √√
Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri
2 2 2 2
∙ ∙ ∙ ∙
cosA ∙ cosB sinA ∙ sinB sinA ∙ cosB cosA ∙ sinB
Rangkuman Kelas X
= = = =
cos(A+B) + cos(A-B) cos(A+B) – cos(A-B) sin(A+B) + sin(A-B) sin(A+B) – sin(A-B) 74
Contoh soal : 8 ∙ cos 75 ° ∙ sin 15 °
= 4sin(75 °+15 °) – 4sin(75 °-15 °) = 4sin90 °– 4sin60 ° =4∙1–4∙ √ = 4 - 2√ = 2(2-√ )
Rumus Penjumlahan Fungsi Trighonometri
cosA + cosB
= 2 ∙ cos (A+B) ∙ cos (A-B)
cosA – cosB
= -2 ∙ sin (A+B) ∙ sin (A-B)
sinA + sinB
= 2 ∙ sin (A+B) ∙ cos (A-B)
sinA – sinB
= 2 ∙ sin (A+B) ∙ cos (A-B)
Contoh soal : Sin 75 ° - sin 15 °
= 2 ∙ cos (75 °+15 °) ∙ sin (75 °-15 °) = 2 ∙ cos 45° ∙ sin 30° =2∙ √ ∙ = √
Unsur Identitas Sudut Dalam Trigonometri 1. sin2α + cos2α = 1 4. sinα = 2. sin2α = 1 - cos2α cosα = cos2α = 1 - sin2α tanα = tan2α = sec2α – 1 2 2 cotg α = cosec α – 1 5. sinα ∙ cosecα = 1 cosα ∙ secα =1 3. = tanα tanα ∙ cotgα =1 = cotgα
contoh soal : = tan2A
1.
= ruas kanan 2
tan A = terbukti sama dengan ruas kanan 2. (sinB+cosB)(sinB-cosB) = 2cos2B – 1 2 2 Sin B – cos B = ruas kanan 2 2 1 - cos B – cos B = ruas kanan 1 - 2cos2B terbukti tidak sama dengan ruas kanan
Persamaan Trigonometri Persamaan Bentuk Sederhana 1. Sin x = sin a X1 = a + k ∙ 360o = a + k ∙ 2π X2 = (180o -a) + k ∙ 360o = (2π -a) + k ∙ 2π 2. Cos x = cos a X1 = a + k ∙ 360o = a + k ∙ 2π
Rangkuman Kelas X
X2
= = 3. Tan x = X1 = = X2 = =
-a + k ∙ 360o -a + k ∙ 2π tan a a + k ∙ 180o a+k∙π (180o +a) + k ∙ 180o (π +a) + k ∙ π
75
Contoh soal : Tentukan nilai x yang memenuhi 0° 2 cos (2x- ) = 1 Cos (2x- )
=
Cos (2x- )
= cos
2x-
=
2x
=
X1
=
2x-
=-
2x X2
= k ∙ 2π =k∙π
K
360°
= cos a
a + k ∙ 2π
+ k ∙ 2π +k∙π + k ∙ 2π - a + k ∙ 2π 𝜋
Hp {0π , , π 1 𝜋, 2π } 1 1
X1
cos x
+ k ∙ 2π
0
X2
x
0π
π
4tanx + 3 4tanx
=0 = -3
Tan x
=-
2 X < 360 ° 2π
= -0,7500 Tan x = -tan 36o52’ (daftar III) Tan x = tan (180° - 36°52’ ) kuadran II Tan x = tan 143°08’ Tan x = tan a X1 = 143°08’ + k ∙ 180° (khusus tan, x bisa ditulis salah satu saja) Hp {143°08’, 323°08’ } Persamaan yang mengandung jumlah sinus dan cosinus Cara : diubah dalam bentuk perkalian p ∙ q=0 didapat p=0 V q=0 Contoh soal : Tentukan nilai x yang memenuhi 0° x 360° Sin4x + sin2x =0 2 ∙ sin (6x) ∙ cos (2x)
=0
2∙⏟
=0
∙ ⏟
P q Sin3x = 0 V cosx = 0 Sin3x Sin3x
ingat sifat sinα +sinβ
=0
=0 = sin 0°
Rangkuman Kelas X
76
3x X1 3x X2
= = = =
0° + k ∙ 360° 0° + k ∙ 120° 180° + k ∙ 360° 60° + k ∙ 120°
Cos x Cos x X1 X2
= = = =
0 cos 90° 90° + k ∙ 360° -90° + k ∙ 360°
= = = =
30 ° + k ∙ 360 ° 150 ° + k ∙ 360 ° 3 {}
Hp {0, 60°, 90°, 120°, 180°, 240°, 360° }
Persamaan Kuadrat Dalam sin x dan cos x Cara : diubah dengan dengan sudut yang sama Contoh soal : Tentukan nilai x yang memenuhi 0° x 360° 2sin2x – 7sinx + 3 =0 Misal sin x =p , maka didapat persamaan 2p2 – 7p + 3 =0 (2p-1)(p-3) =0 2p-1 2p
= 0 V p-3 =1 p
P
=
Sinx
=
Sinx
= sin 30°
=0 =3
X1 X2 Sin x X3
Hp {30°, 150°}
Bentuk asinx + bcosx = c dengan a2 + b2 c2 1. a ∙ sinx ± b ∙ cosx = k ∙ sin(x ± Q) 2. a ∙ cosx ± b ∙ sinx = k ∙ cos(x ∓ Q) contoh soal : Tentukan nilai x yang memenuhi 0° ≤ x ≤ 360° Cos3x -√ sin3x = √ cos3x - √ sin3x = k ∙ cos(3x+Q) k
=√
Q
√
= arc tan
√
= 60°
=√ =√ =2 2 ∙ cos(3x+60°)
=√
cos(3x+60°)
= √
cos(3x+60°)
= cos 45°
3x+60° 3x x1
a2 + b2 ≥ c2 12 + (- √ )2 ≥ (√ )2 1+3 2
= 45 °+k ∙ 360 ° = -15 ° + k ∙ 360 ° = -5 ° + k ∙ 120 °
3x+60° 3x x2
= -45 °+k ∙ 360 ° = -105 ° + k ∙ 360 ° = -35 ° + k ∙ 120
Hp {85°, 115°, 205°, 235°, 325°, 355°}
Rangkuman Kelas X
77
MATERI 8 BARISAN DAN DERET
Pengertian Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu. Secara umum dapat ditulis U1, U2, U3, U4, ..., Un
Notasi Sigma notasi sigma yaitu kapital Yunani yang berarti penjumlahan. Dalam barisan dan deret dapat ditulis :
Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n” ket : ak = Peubah variable berindeks k = indeks (penunjuk penjumlahan) dari batas bawah sampai batas atas 1 = batas bawah n = batas atas Contoh soal : 1. Hitung nilai hasil penjumlahan notasi dibawah ini dalam bentuk lengkap! 6
2p
2
5 [2(3)2 2(4)2 2(5)2 2(6)2 ] 5
p 3
= [18+32+50+72]+5 = 177 5
i
2
2i (12 2 1) (22 2 2) (32 2 3) (42 2 4) (52 2 5)
i 1
= 3+8+15+24+35 = 85 2. Tulis dalam bentuk notasi sigma : 4+6+8+10+12+14+16+18 U1 = 4 2∙1+2 U2 = 6 2∙2+2 ... U8 = 18 2∙8+2 8
Un
2n 2
= 2n+2
n 1
Sifat – Sifat Notasi Sigma n
1.
n
a k = a1 + a 2 + a 3 + … + a n
n
n
3.
k 1
2.
k m
(ak + bk) =
k m
k m
cak = c
k m
ak
n
n
ak +
k m
n
bk
4.
k m
n p
ak =
ak – p
k m p
Rangkuman Kelas X
78
n
5.
k m
n
c = (n – m + 1)c
p 1
6.
k m
8.
n
ak =
(ak + bk)2 =
n
n
ak +
k m
n
k m
ak
k m
k m
a k2 + 2
n
ak b k +
k m
b k2
k p
m 1
7.
k m
ak = 0
Contoh soal : Tulis dalam bentuk monomial (k=1) notasi sigma dibawah ini : 8
k 4
8 3
(8+4k-2k2) =
k 4 3
(8+4(k+3)-2(k+3)2) Karena k=n-3, maka pada peubah n+3
5
Dibuat k=1
=
(8+4k+12-2 (k2+6k+9))
k 1 5
=
(8+4k+12-2(k2+6k+9))
k 1
5
=
-2k2-12k-18+4k+20
k 1 5
=
-2k2-8k+2
k 1
5
=
-2 k 1
5
2
k
5
-8 k 1
5
k+ k 1
2
Sifat notasi sigma
5
= 2 k 1 k2 -8 k 1 k+10 Barisan Aritmatika Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan aritmetika, selisih yang konstan dari setiap suku disebut beda (b). Rumus suku ke-n pada bilangan aritmatika :
Un = a+ (n -1)b
ket :
Un a b n
= = = =
suku ke-n suku pertama beda banyaknya suku
Contoh soal : 1. Tentukan suku pertama, beda dan suku ke tujuh pada barisan 6,9,12,15,... Suku pertama a = 6, beda b = 9-6 = 12-9 = 3 Suku ke-7 Un = a+(n-1)b U7 = 6+(7-1)3 = 6+18 = 24 Rangkuman Kelas X
79
2. Sebuah barisan aritmatika memiliki suku ke-3 adalah 9, sedangkan suku ke-7 adalah 21. Tentukan suku ke-10! U3 = 9 9 =a+(3-1)b ...(1) 9 = a+2b U7 = 21 21 =a+(7-1)b ...(2) 9 = a+2∙3 a =3 9 = a+2b ...(1) 21 = a+6b ...(2) U10 = a+(10-1)b -12 = -4b = 3+9∙3 b =3 = 30 3. Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama adalah 20 dan bedanya adalah 5. Suku ke berapakah pada barisan itu yang nilainya 140? a = 20, b = 5, Un = 140 Un = a+(n-1)b 140 = 20+(n-1)5 140 = 20+5n-5 5n = 125 n = 25 U25 =140 4. Suku ke-3 pada barisan aritmatika adalah 2, jumlah suku ke-4 dan 16. Hitung suku ke-16! Persamaan (1) dan (2) Un = a+(n-1)b 2 = a+2b x2 4 U3 = a+(3-1)b 16 = 2a+8b x1 16 2 = a+2b ...(1) -12 b U4 = a+(4-1)b 2 = a+2b = a+3b 2 = a+2∙3 U6 = a+(6-1)b a = -4 = a+5b U4+U6 16
= (a+3b)+(a+5b) = 2a+8b ...(2)
ke-6 adalah
= = = =
2a+4b 2a+8b – -4b 3
Un = a+(n-1)b U15 = -4+(15-1)3 = -4+42 = 38
5. Pada barisan 7,9,11,...,47 . tentukan banyaknya suku! a=7, b=2 Un 47 40 20 n
= = = = =
a+(n-1)b 7+(n-1)2 (n-1)2 n-1 21
U21 = 47
Deret Aritmatika Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika dengan pola U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + … +Un . Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Rangkuman Kelas X
80
ket :
Sn = Sn =
Sn n a b Un
= = = = =
jumlah n suku pertama banyaknya suku suku pertama beda suku ke-n
contoh soal : 1. Diketahui deret aritmatika 2+5+8+11+..., tentukanlah : a. Rumus jumlah n suku pertama b. Jumlah 15 suku pertama a=2, b=3 Sn = Sn = {2a+(n-1)b} S15 = = {2∙2+(n-1)3} = = {4+3n-3} = = (3n+1) = = = 425 2. Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 200 yang habis dibagi 3! Deret aritmatikanya : 3+6+9+...+198 a=3, b=3, Un=198 Sn = (a+Un) Un = a+(n-1)b S66 = (3+198) 198 = 3+(n-1)3 = 33(201) 198 = 3+3n-3 = 6633 198 = 3n n = 66 3. Suku ke-5 dari suatu bilangan aritmatika adalah 40 dan suku yang ke-8 adalah 25. Tentukan : a. Suku pertama dan beda dari barisan aritmatika ini U5 = 40 a+(5-1)b=40 ...(1) U8 = 25 a+(8-1)b=25 ...(2) a+4b a+7b -3b b
= = = =
40 ...(1) 25 - ...(2) 15 -5
a+4b = 40 a+4∙-5= 40 a = 60 b. Jumlah 10 suku yang pertama dari deret yang bersesuaian Sn = {2a+(n-1)b} S10
=
{2∙60+(10-1)-5}
= 5{120-45} = 5∙75 = 375 Rangkuman Kelas X
81
4. Deret aritmatika dengan rumus jumlah n suku yang pertama adalah Sn = n+ n2 tentukan : a. Suku pertama deret tersebut b. Beda deret tersebut c. Suku ke-8 Sn = n+ n2
S1
= ∙1+ (1)2 =
S0
= ∙0+ (0)2
Un = Sn – Sn-1 U 1 = S1 – S 0 =5–0=5 U 2 = S2 – S 1 = 13 – 5 = 8
+
=5
=0 S2
= ∙2+ (2)2 = 7+6 = 13
a. U1 = a = 5 b. b = U1 - U2 = 8-5 = 3 c. U8 = a+(8-1)b = 5+7∙3 = 24 Barisan Geometri barisan bilangan U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un disebut barisan geometri. Nilai perbandingan konstan pada setiap suku disebut rasio ( r ), ditulis : r= ket
Un U 2 U n 1 U1
Un a r n
= = = =
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Un = ar
n-1
suku ke-n barisan geometri suku pertama rasio banyaknya suku
contoh soal : Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 dari suatu barisan geometri adalah 27. Dan 3, rasio barisan geometri ini adalah positif. Tentukan : a. Rasio dan suku pertama U3 = 27 ar(3-1) = 27 ar2 = 27 (5-1) U5 = 3 ar =3 ar4 =3 4 ar =3 ar2∙r2 = 3 27∙ r2= 3 r2
=
Rangkuman Kelas X
r
=√ =
ar2 a( )
= 27 2
= 27
a∙
= 27
a
= 243
82
b. Rumus untuk suku ke-n Un = arn-1
c. Suku ke-9 Un = 36-n U9 = 36-9 = 3-3
= 243∙( ) = = = =
Un
35∙(3-1)n-1 35∙ 3-n+1 35+-n+1 36-n
= =
d. Suku ke-berapakah dari barisan ini yang sama dengan Un
=3
?
6-n
= 36-n = 36-n 3-6 -6 n
= 36-n = 6-n = 12
Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri dengan pola U1 + U2 + U3 + …,Un. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un Rumus jumlah n suku pertama adalah : Contoh soal :
1. Diketahui deret geometri 2+4+8+... Tentukan jumlah 7 suku pertama! a=2, r= = 2 Sn = S7 = = = 2∙191 = 382 2. Diketahui deret geometri 2+22+23+...+2n=254. Hitunglah n! a=2 , r= =2 Sn
=
254 = 254 = 2(2n-1) 127 = 2n-1 2n = 128 2n = 27 n =7 3. Diketahui suku ke-n barisan geometri adalah Un=3n, tentukan jumlah n suku pertamanya! U n = 3n Rangkuman Kelas X
83
U 1 = 31 U 2 = 32 r
=
=3a =9
=3
Sn = = = (3n-1) 4. Jumlah n suku pertama barisan geometri adalah Sn=3n-1. Tentukanlah : a. Rumus suku ke-n b. Suku pertama dan rasio n Sn =3 -1 Un = ∙3n Un = Sn – Sn-1 U1 = ∙31 = 2 a = (3n-1) – (3n-1-1) U2 = ∙32 = 6 = 3n-1 – 3n-1+1 = 3n -
r
=
=3
= ∙3n
Deret Geometri Tak Terhingga deret geometri Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati tak terhingga, disebut deret geometri tak terhingga dengan pola S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + … Rumus jumlah deret geometri tak terhingga untuk |r|<1 atau -1
S
a 1 r
Contoh soal : 1. Hitunglah jumlah sampai tak berhingga dari deret geometri 1+ + +... a=1 , r= S∞
=
= = =
=2 2. Suku ke-n dari deret geometri adalah Un = 6-n. Tentukanlah jumlah sampai tak berhingga dari deret geometri tersebut! Un = 6-n U2 = 6-2 S∞ = = = = ∙ = U1 = 6-1 = = a r = = ∙6= 3. Pendapatan ayah pertahun bertambah Rp 750.000,00. Jika pendapatan ayah tahun ini per tahun Rp 8.000.000,00. Hitung pendapatn ayah per tahun setelah 10 tahun. a=8.000.000, b=750.000 Un = a+(n-1)b U10 = 8.000.000+(10-1)750.000 = 8.000.000+6.750.000 = 14.750.000 Rangkuman Kelas X
84
