BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul pertanyaan, dapatkah kita memperluas sistem bilangan bulat agar pembagian selalu mempunyai penyelesaian, kecuali pembaginya adalah nol? Dalam proses perluasan sistem ini, kita permasalahkan penyelesaian 1 : a = x, a > 1, atau berapakah x supava ax = 1? Tidak ada bilangan bulat x sehingga ax = 1 bukan? Penyelesaian persamaan itu ditunjukkan sebagai Bilangan
, sehingga
a( ) = 1.
dinamakan invers perkalian bilangan a. Hanya ada satu bilangan bulat
yang tidak mempunyai invers perkalian yaitu nol. Mengapa? Seperti di atas juga dapat dipemasalahkan penyelesaian 3 : 11 = x. Berapakah x agar 11.x = 3. Misalkan kita dapat menemukan bilangan baru sehingga 11 .
= 3. Secara umum, = a akan mempunyai penyelesaian
, b≠
0. Bilangan baru ini dinamakan bilangan rasional. Selanjutnya, ternyata dalam sistem bilangan rasional, bilangan-bilangan tertentu tidak mempunyai akar pangkat dua atau akar pangkat tiga. Misalkan persamaan x2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistem bilangan rasional sebab tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan diri sendini sama dengan 2. Dengan demikian, diperlukan untuk memperluas sistem bilangan rasional ke sistem bilangan baru yang disebut sistem bilangan real.
A. Bilangan Rasional Pada waktu Anda masih duduk di Sekolah Dasar, Anda sudah dikenalkan lambang bilangan
sebagai pecahan. Sesungguhnya
pecahan digunakan untuk menyatakan 126
1. Suatu pembagian 2. Suatu bagian dari 3. Suatu elemen dari sistem matematika. Misalnya kita akan melakukan pembagian 3 : 4. Jelas bahwa pembagian ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan bulat. Sekarang, kita akan mendefinisikan bilangan baru, yang dinyatakan oleh pecahan
demikian sehingga 4.
= 3.
Secara umum, a : b dengan b ≠ 0 mempunyai jawab yang dinyatakan oleh atau
demikian sehingga b.
= a.
Pecahan juga menyatakana suatu bagian dari, misalnya
berarti
empat dari lima bagian yang sama. Perhatikan gambar 4.1.
Gambar 6.1 Jika dibandingkan bagian daerah yang diarsir terhadap daerah seluruhnya, gambar 4.1.a menunjukkan
gambar 4.1.b menunjukkan
dan
gambar 4.1.c menunjukkan . Pengertian yang sama akan ditunjukkan dengan ruas-ruas garis yang sama pada garis bilangan, kemudian dibagi menjadi empat ruas garis yang sama. Masing-masing ruas garis itu menyatakan satu bagian dari empat bagian yang sama, ditunjukkan
. Berikutnya
Perhatikan gambar 4.2!
127
,
.
Gambar 6.2
Dengan demikian dalam membicarakan konsep pecahan dengan menggunakan garis bilangan, setiap satuan interval dibagi menjadi ke dalam ruas-ruas garis yang sama. Sebagai contoh, membagi setiap satuan dibagi menjadi tiga ruas garis yang sama seperti pada gambar 4.3.
Gambar 6.3
Secara umum, pecahan
dapat dinyatakan pada garis bilangan.
Penyebut pecahan, yaitu b, menyatakan banyaknya bagian dari pembagian satu satuan, dan b ≠ 0. Pembilang pecahan a, menyatakan banyaknya bagian yang dimaksudkan. Selanjutnya, perhatikan gambar 4.4. Pada gambar 4.4, suatu persegi panjang dibagi. menjadi 4 bagian yang sama, 8 bagian yang sama, dan 16 bagian yang sama. Jika bagian daerah yang diarsir dibandingkan terhadap daerah seluruhnya, maka menunjukkan 1 bagian dari 4 bagian yang sama (dinyatakan
) atau 2 bagian dari 8 bagian yang sama (dinyatakan
4 bagian dan 16 bagian yang sama (dinyatakan dan
) Perhatikan bahwa ,
masing-masing menyatakan daerah yang diarsir yang sama.
128
), atau
Gambar 6.4 Dengan cara yang sama, perhatikan titik-titik garis bilangan pada gambar 4.5. Suatu titik pada garis bilangan dinyatakan oleh macam- macam pecahan berbeda yang tak terhingga. Sebagai contoh ,
dan
, semuanya
menyatakan titik atau bilangan yang sama. Pecahan-pecahan yang menyatakan bilangan yang sama pada garis bilangan disebut pecahan yang ekuivalen. Tanda (lambang) ekuivalen kadang-kadang dinyatakan oleh “ ≈ “, tetapi sering menggunakan tanda “ = “, misalnya
=
=
.
Gambar 6.5
Konsep di atas didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari pasangan berurutan bilangan bulat a dan b (dengan b ≠ 0) yang merupakan penyelesaian pesamaan bx = a, ditulis Contoh 1: 129
atau a : b.
3 : 11 dapat ditulis sebagai
, yang berarti 11.
=3
Contoh 2 : -4 : 7 dapat ditulis sebagai
yang berarti 7.(
Selanjutnya perhatikan 6 : 3 dapat ditulis -4 : -2, dan -4 : -2 dapat ditulis
. Jadi
=
) = -4
, tetapi 6 : 3 = 2. Juga, 2 = menyatakan bilangan
yang sama. Definisi : Pecahan
dan
, b ≠ 0 dan d ≠ 0 adalah ekuivalen jika hanya
jika ad = bc. Contoh 1 : sebab 2.14 = 7.4 Contoh 2 : sebab 1.12 = 3.4 Himpunan pecahan yang ekuivalen disebut kelas pecahan ekuivalen. Kelas pecahan ekuivalen dari
adalah :
Kelas pecahan ekuivalen dari
adalah
Kelas pecahan ekuivalen dari 0 adalah
Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa himpunan semua pecahan dapat dipisahkan menjadi kelas-kelas pecahan yang ekuivalen.
Teorema Dasar Pecahan Untuk sembarang pecahan , dengan b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat c, c ≠ 0, berlaku :
Bukti: Gunakan definisi pecahan-pecahan ekuivalen. Kerjakan sebagai latihan. 130
Definisi : Pecahan , dengan b > 0 merupakan pecahan sederhana, jika faktor persekutuan terbesar dan a dan b adalah 1. Contoh 1 :
adalah pecahan sederhana, sebab FPB (3, 7) = 1
Contoh 2 :
bukan pecahan sederhana, sebab FPB (4, 8) = 4 ≠ 1.
Definisi : Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan untuk a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.
dengan
Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam lambang desimal, sebagai pasangan terurut (a, b) atau sebagai perbandingan a : b, tetapi sangat sering dinyatakan sebagai pecahan. Contoh : Pecahan
menyatakan hilangan rasiona1
Seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan bulat, bilangan rasional juga merupakan konsep abstrak dalam matematika. Lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional adalah sebarang pecahan dan kelas ekuivalennya. Perhatikan kernbali gambar 4.5. Gambar tersebut menyatakan pecahan-pacahan dalam kelas-kelas ekuivalen yang ditunjukkan oleh sebuah titik pada garis bilangan. Hal ini merupakan titik yang dikaitkan dengan bilangan rasional. Menurut definisi, jika bilangan pecah
(dengan b ≠ 0)
adalah bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan bx = a, maka bilangan rasional
adalah penyelesaian persamaan bxn = a.
Definisi : Dua bilangan rasional sama jika dan hanya jika keduanya dinyatakan oleh pecahan-pecahan dari suatu kelas-kelas ekuivalen yang sama. Con toh : Jika
menyatakan bilangan rasonal a, dan
rasional b, maka a = b jika dan hanya jika
1. Operasi pada Bilangan Rasional 131
=
menyatakan bilangan
a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional Telah dipelajari, pada pEnjumlahan bilangan bulat 2 + 3 = 5. Sekarang akan dicari penjumlahan bilangan rasional
. didapat
bahwa Perhatikan gambar 4.6 berikut.
Gambar 6.6 Secara umum didefinisikan penjumlahan bilangan rasional dan
, untuk
bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya untuk penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan yang mempunyai penyebut sama tetapi bukan 1. Misalkan akan dicari jumlah
Gambar 6.7 Perhatikan gambar 4.7.
Secara umum,
untuk 132
dan
bilangan rasional.
Selanjutnya akan dibicarakan penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama. Misalkan akan dicari jumlah
dan
. Telah diketahui bahwa
= , sehingga
dan
.
Secara umum, didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika
dan
, bilanganbilangan rasional dengan b ≠ 0 dan d
≠ 0, maka Contoh 1 :
Contoh 2:
Sampai sekarang telah dipelajari sistem bilangan cacah dan sistem bilangan bulat. Bilangan bulat mempunyai semua sifat yang dimiliki bilangan cacah ditambah satu sifat tentang penjumlahan yaitu : setiap bilangan bulat, mempunyai invers penjumlahan tunggal. Demikian pula bilangan rasional mempunyai semua sifat bilangan bulat ditambab sifat, bahwa bilangan rasional, kecuali
(atau 0) mempunyai invers perkalian.
Elemen identitas penjumahan bilangan rasional, dapat ditulis sebagai , karena
, untuk setiap maka
bilangan rasional. Karena
selalu digunakan untuk menyatakan elemen identitas
penjumlahan. Untuk setiap bilangan rasional karena
+-
ada invers penjumlahan -
= 0 Selanjutnya perhatikan berikut ini.
Dengan cara yang sama, 133
Jadi -( ),
dan
Apakah -( ),
adalah invers penjumiahan dari
dan
.
menyatakan bilangan rasional yang sama?
Seianjutnya, untuk operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup, komutatif, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers penjumiahan. Definisi : Penyebut persekutuan terkecil pecahan-pecahan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan itu. Penyebut persekutuan terkecil pecahan digunakan untuk menyamakan penyebut pecahan dalam rangka untuk menjumlahkan bilangan rasionai yang dilambangkan oleh pecahan itu. Contoh 1 :
=
=
Contoh 2 :
= Definisi : Untuk
dan
bilangan rasional rasional
bilangan-bilangan rasional. Pengurangan dari
(ditulis
jika dan hanya jika
=
-
) adalah bilangan
+
Contoh 1 : Con toh 2 : Definisi : Pecahan tidak Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. 134
Pecahan Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dan penyebutnya. Contoh 1 : Ubahlah
. ke pecahan tidak sejati
Perhatikan bahwa
disebut Pecahan campuran.
Contoh 2 : Ubahlah
ke pecahan campuran .
b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional Sudah diketahui bahwa pada perkalian bilangan bulat, 3 x 4 = 12. Sekarang, akan didefinisikan perkalian bilangan rasional. Telah diketahui :
Jawab dari
adalah bilangan rasiona1 yang dapat diperoleh dengan
mengalikan pembilang-pembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Selanjutnya akan dicari
. Untuk menggambarkan
dapat
diilustrasikan dengan membagi suatu luasan menjadi 21 bagian yang sama. Arsirlah 2 dari 3 bagian yang sama, kemudian arsirlah 4 dari 7 bagian yang sama yang lain. Dengan pengamatan terlihat dua bagian yang terarsir dua kali, yang menggambarkan
Perhatikan gambar 4.8!
135
Gambar 6.8 Perhatikan bahwa dan
dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang-
pembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Misalkan bilangan. rasional persamaan 3x = 5. Jadi, 3 . perkalian nanti untuk
dipikirkan sebagai penyelesaian dari
= 5 atau
. Berarti bahwa, definisi
. harus demikian sehingga mempunyai jawab .
Salah satu bilangan rasional yang sama dengan
adalah
. Hal ini dapat
diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilang dan penyebut-penyebut dan
-. Konsep-konsep tersebut menunjukkan alasan definisi perkalian
bilangan rasional berikut. Definisi : Jika
dan
bilangan-bilangan rasional maka
Contoh 1 : Contoh 2 : Con oh 3: Sekarang, carilah : Menurut definisi Secara umum untuk setiap bilangan rasional
136
.
Selanjutnya, sebagai latihan, buktikan bahwa operasi perkalian bilangan rasional tertutup, komutatif, assosiatif, distributif terhadap penjumlahan, ada elemen identitas, dan ada elemen invers. Teorema Untuk
.
1) Jika
) dan =
bilangan-bilangan rasional
) maka
.
=
.
2) Sifat konselasi perkalian Jika
-
=
.
≠ , maka
dengan
=
Bukti : Untuk bukti. 1) sebagai berikut : =
Diketahui
ad = bc
Mengapa?
(ad)(ef) = (bc)(ef)
Mengapa?
[a(de)]fn = b[(ce)f]
Mengapa?
[a(ed)]f = b[(ce)f]
Mengapa?
(ae)(df) = (bf)(ce)
Mengapa? Mengapa?
.
=
.
Mengapa?
Teorema Untuk Jika
.
,
=
,
dan
Definisi : Jika :
, bilangan-bilangan rasional = maka dan
.
=
.
bilangan-bilangan rasional, dengan
adalah bilangan rasional
Contoh 1 :
137
jika dan hanya jika
≠ 0, maka =
.
Contoh 2 :
Contoh 3 :
Definisi : Pembagian sebagai perkalian. Jika
ada, maka
:
=
.
, adalah invers perkalian atau
kebalikan dari . Contoh 1 :
Contoh 2 :
2. Sifat-sifat Bilangan Rasional Untuk setiap bilangan rasional
,
,
, , dan berlaku sifat-sifat berikut
mi. 1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian +
adalah bilangan rasional
,
adalah bilangan rasional
2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian + .
=
+
=
.
3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian (
+
(
.
)+ ).
= =
+ ( + . ( .
)
)
4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan . ( +
) =
.
+
.
5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian 138
Ada bilanganrasional tunggal
, sehingga :
+
Ada bilangan rasional tunggal
, sehingga
.
= =
+ .
= =
6) Ada elemen invers penjurniahan dan perkalian Untuk setiap
ada invers penjumlahan,
, sehingga Untuk setiap , sehingga
+
=
+
=
≠ 0 ada invers perkalian .
=
.
=
7) Perkalian dengan nol .
=
Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional, dari dua operasi, penjumlahan, dan perkalian , dengan sifat-sifat tersebut, membentuk suatu sistem bilangan rasional.
LATIHAN Kerjakan tugas berikut sebagai latihan! 1. Tulis tujuh pecahan yang ekuivalen dengan pecahan berikut: a)
b)
c)
2. Tulislah rnasing-inasing pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana a)
b)
3. Tulislah masing-masing tujuh anggota himpunan yang ditentukan, jika a dan b bilangan-bilangan cacah dan b ≠ 0. a) {x │ x =
dan a + b = 9}
b) {x│ x =
dan a + b < 11}
c) {x │ x =
dan a - b = 0}
d) {x │ x =
dan a – b = 4}
e) (x │ x =
dan a + b < 5} 139
4. Carilah pecahan yang ekuivalen dengan
. sehingga hasil kali pembilang dan
penyebutnya 224. 5.
a) Jika a = c, apakah
=
b) Jika b = d, apakah .
=
c) Jika
=
?
Mengapa?
?
Mengapa?
dan b = d, apakah c = a?
Mengapa?
3. Urutan Bilangan Rasiorial Pada garis bilangan, bilangan rasional sebelah kiri karena
kurang dari
jika
. Perhatikan garis bilangan pada gambar 4.9.
terletak di sebelah kiri
terletak di
kurang dari
.
Gambar 6.9 Kita dapat mendefinisikan kurang dari untuk bilangan rasional sehingga konsisten dengan definisi untuk bilangan cacah dan bilangan bulat : Definisi :
<
, jika dan hanya jika ada bilangan rasional positip
sehingga
+
=
Selanjutnya, perhatikan bahwa jika diketahui
dan
bilangan-
bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, dapatkah dibuktikan bahwa
<
Sekarang, misalkan bilangan rasional
jika dan hanya jika ad < bc? <
> 0 sehingga
. Dengan menggunakan definisi, maka ada =
+
Kedua harus ditambah dengan maka + =
, maka :
=( + )+ + ( + )
Mengapa? 140
= Jadi
(
+
+
)+
=
Mengapa?
> 0 atau
>0
Karena d dan b keduanya positip, db > 0. Dengan demikian bc - ad > 0 atau ad < bc. Dari uraian di atas, maka didapat definisi baru untuk kurang dari pada bilangan rasional. Definisi : Jika
dan
bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut yang positip, maka
<
jika dan hanya jika
ad < bc. Contoh 1 :
karena 3.7 < 8.4
Contoh 2 :
karena -2.2 < 3.1
Contoh 3 :
karena -8.3 < 5.-2
a. Sifat Trikotomi Bilangan Rasional Jika
dan
bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut positip, maka terdapat tepat satu di antara berikut yang benar. <
=
>
b. Sifat Kesamaan Bilangan Rasional Misalkan
,
dan
bilangan-bilangan rasional sehingga
dengan, maka 1)
+
2)
.
= =
+ .
c. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan
,
dan
bilangan-bilangan rasional sehingga
dengan, maka 141
<
=
3)
+
<
+
4)
.
<
.
, jika
> 0
5)
.
>
.
, jika
< 0
Bagi yang berminat dapat membuktikan sifat-sifat kesamaan dan ketidaksamaan bilangan rasional di atas. Contoh 1 :
, maka
Contoh 2 :
Contoh 3 :
d. Sifat Transitif Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan
,
dan
adalah bilangan-bilangan rasional yang
dinyatakan dengan penyebut- penyebut positip. Jika
<
dan
<
maka
<
Selanjutnya pada bilangan rasional ada sifat: Jika
dan
adalah dua bilangan rasional yang berbeda, maka selalu
ada bilangan rasional lain di antara
dan
.
Kenyataan ini menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional ketiga. Di antara bilangan rasional pertama dan ketiga ada bilangan rasional lain. Demikian juga di antara bilangan rasional ketiga dan kedua. Proses ini dapat diteruskan tak terhingga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional. Bukti bahwa di antara tiap dua bilangan rasional ada bilangan rasional yang ketiga akan dibuktikan sebagai berikut. Akan ditunjukkan ada bilangan rasional di antara > 0 dan d > 0 142
dan
.
<
,b
Maka :
ad
< bc
(ad)d < (bc)d
Mengapa?
(ad)d + (bc)d < (bc)d + (bc)d
Mengapa?
(ad + bc)d
< 2 bcd
Mengapa?
(ad + bc)d
< 2 bcd
Mengapa?
(ad + bc)d
< (2 bd)c Mengapa?
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa < Terbukti didapat bilangan
yang terletak di antara
dan
.
LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Diketahui
dan
adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan
penyebut-penyebut positip. Buktikan bahwa jika ad < bc, maka 2. Diketahui
,
dan
a)
+
=
6)
.
=
,
dan
a)
+
<
b)
.
<
+
, jika
>0
c)
+
>
+
, jika
<0
3 .Diketahui
<
bilangan-bilangan rasional dengan
= . Buktikan :
bilangan-bilangan rasional dengan
< . Buktikan
+ +
+
4.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut bila variabel dalam himpunan bilangan rasional a)
+ (-2) < 7
b) 143
B. Pecahan Desimal Pecahan desimal diperkenalkan oleh Simon Stevin pada abad ke-16. Dalam bukunya “The Tenth”, yang dipublikasikan tahun 1585, dia menunjukkan bagaimana cara menulis pecahan desimal dan bagimana menghitungnya. Notasi Stevin untuk pecahan desimal 5,3476 adalah 5 0 3 1 4 2 7 3 6 4. Stevin tidak menggunakan titik atau koma desimal untuk memisahkan bilangan yang bulat dan pecahan. Akhirnya, di Inggris menggunakan titik desimal, “5.3476”, dan di beberapa negara Eropa juga di Indonesia menggunakan koma desimal, “5,3476”. Koma desimal diletakkan setelah angka satuan ; di sebelah kanan koma desimal berturut-turut diletakkan angka yang menyataka persepuluhan, perseratusan, perseribuan dan seterusnya. Contoh 1 : a)
b)
c)
b)
c)
Contoh 2 : a)
Selanjutnya, coptoh berikut ini menunjukkan hubungan antara pecahan dan pecahan desimal. Contoh 1 : Contoh 2:
Contoh 3: = = Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal mudah dilakukan bila pecahan itu mempunyai penyebut perpangkatan 10. Tetapi bagaimanakah kalau 144
tidak demikián? Misal,
. Dapakah diubah menjadi. pecahan lain yang
penyebutnya perpangkatan 10. Demikian juga
,
Tidak mungkin bukan? Jika penyebutnya merupakan perpangkatan 2 atau 5 pecahan dapat diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10. Maka dan itu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10, 2, atau 5 ini dapat ditulis sebagai pecahan desimal. Contoh 1 :
atau
Contoh 2 :
atau
=
1. Artmetika Desimal Berikut mi. akan dibicarakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan dalam pecahan desimal. Contoh : Jumlahkan 0,354 + 0,23 Jawab : Cara pertama : 0,354 =
dan 0,23 =
Cara kedua :
-------------------------------------------- +
145
= 0,584 Dalam cara kedua di atas, dike1ompokkan koefisien persepuluhan, peseratusan, dan perseribuan kemudian masing-masing dijumlahkan. Sekarang perhatikan contoh berikut. Contoh 1 :
---------
------- +
0,584 Contoh 2 : Carilah
5,673 + 566,65
Jawab : 5,673 566,65 ------------- + 572, 323 Perhatikan bahwa dapat dilakukan penjumlahan seperti di atas karena algoritma berikut.
Algoritma di atas tentu saja juga dapat diterapkan untuk melakukan lebih dari dua penjumlahan. 146
Contoh 3 : 15,275 237,56 4,2 75,008 ------------ + 332,043 Dengan cara yang sama, algoritma di atas dapat diterapkan untuk pengurangan. Contoh 1 :
Contoh 2 : 23 , 15 1,274 ------------ 21,876 Sekarang akan dikalikan dua bilangan decimal : Contoh 1 :
Contoh 2:
Contoh 3:
147
Perhatikan bahwa dari contoh-contoh di atas, dapat dikemukakan bahwa jika mengalikan bilangan-bilangan yang masing-masing mempunyai r dan s tempat pecahan desimal, maka hasil kalinya mempunyai r + s tempat pecahan desimal. Contoh: 56,7
(1 tempat pecahan decimal)
0,637 --------- x 3969
(3 tempat pecahan desimal)
1701 3402 ------------- x 36,1179
(4 tempat pecahan desimal)
Perkalian di atas dapat dilakukan karena algoritma berikut :
Selanjutnya, akan dilakukan pembagian 5,38 : 2.
Atau
148
Sebarang pembagian pecahan desimal dapat diubah ke pembagian yang pembaginya merupakan bilangan bulat. Contoh 1 : Bagilah 1668,728 : 2,3 Jawab : 168,728 : 2,43 ditulis Karena teorema dasar pecahan, maka
Contoh 2 : Carilah 0,24383 : 0,37 Jawab : Digunakan teorema dasar pecahan.
149
Dan contoh-contoh di atas, secara umum, dapat dinyatakan jika pembaginya mempunyai r tempat pecahan desimal, maka supaya pembaginya merupakan bilangan bulat, koma desimal pada bilangan yang dibagi dipindah sebanyak r tempat ke arah kanan. Jadi 168,728 : 2,3 hasilnya akan sama dengan 1687,28 : 23. Perhatikan, 15,6 : 0,26 hasilnya akan sama dengan 1560 : 26. Mengapa?
2. Pecahan Desimal Berulang Pada bagian ini akan dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional sebagai pecahan desimal. Contoh 1 : Ubahlah menjadi pecahan desimal. a)
b)
c)
Jawab :
150
Perhatikan pada contoh (a) sisanya adalah 0. Pecahan desimal yang demikian disebut pecahan desimal berakhir. Jika pembagian (a) dilanjutkan, akan diperoleh 0,187500000 Oleh karena itu pecahan desimal berakhir dapat juga ditulis sebagai pecahan desimal tak berakhir. Pada contoh (b) dan (c) sisa pembagian nol tidak akan diperoleh. Pecahan desimal demikian disebut tak berakhir. Pecahan desimal ini mempunyai sifat yang menarik. Pada contoh (b) angka 6 berulang terus, sedang pada contoh (c) angka 18 berulang terus. Pecahan desimal demikian disebut pecahan desimal berulang. Contoh di atas dapat ditulis, = 0,6666 ... = 0,6, dan 0,18 Contoh 2 : = 0,2222222 ... = 0,2 Contoh 3 : = 0,135135135 . . . = 0,135 Contoh 4: = 0,384615384615 . . . = 0,384615 Dalam contoh-contoh di atas dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional positip sebagai pecahan desimal. Tentu saja hal ini dapat diperluas untuk bilangan rasional negatip. Selanjutnya, apakah sebaliknya merupakan pernyataan benar? Dengan kata lain, apakah setiap pecahan desimal yang angka-angkanya berulang teratur merupakan bilangan rasional? Perhatikan contoh berikut. Contoh 1 : Ubahlah 0,037 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : Misalkan N = 0,037. Karena ada tiga angka yang berulang teratur. N kita kalikan dengan 1000. 1000 N = 37,037037 N = 0,037037 ------------------------------ 999 N = 37 atau 151
N = Sebagai latihan, cek kembali dengan mengubah ke desimal. Contoh 2 : Ubahlah 0,00253 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = 0,00253 1000 N = 2,53253253 N = 0,00253253 ------------------------------- 999 N = 2,53 N= Cek kembali dengan mengubah
ke desimal.
Contoh 3 : Ubahlah 8,5853 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = 8,585 100 N = 858,535353 N = 8,585353 . ----------------------------99 N = 849,95 N= Cek kembali dengan mengubah
ke desimal.
Selanjutnya, perlu dicatat bahwa setiap pecahan desimal berakhir dapat ditulis sebagai pecahan desimal berulang. Kurangilah angka terakhir dengan satu, kemudian tulis 9 berulang teratur. Contoh 4 : 1) 57,6 = 57,59 2) 0,037 = 0,036 3) Cek kembali apakah 2 = 1 ,9 Jawab : N = 1,999 152
10 N = 19,999 N = 1,999 ------------------ 9 N = 18 N=
Jadi. 2 = 1,9
Dan uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan pecahan desimal berakhir atau pecahan decimal dengan angkaangka yang berulang teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional.
LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Hitunglah a) 567,274 - 9,5657
b) 0,053 + 5,9874
c) 7,523 . 0,0097
d) 2466,411 : 3,53
2. Tuliskan lambang desimalnya. a)
b)
c)
3. Yang mana dari tugas nomor 2 tersebut yang merupakan pecahan desimal berakhir? 4. Tuliskan lambang pecahannya. a) 15,037
b) 0,035
c) 0,7
5. Tunjukkan bahwa a) 9,379 adalah 9,38
b) 6,9 adalah 7
C. Bilangan Irasional dan Bilangan Real Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur. Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angkaangkanya berulang tératur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak berulang
maka
bilangan
itu
merupakan 153
bilangan
irasional.
Misalkan,
0,37337333733337333337 . . . adalah bilangan irasional, sebab angka-angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur. Bilangan π merupakan contoh bilangan irasional. π bukan
atau
3,1416, tatapi π adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan untuk π sampai. 20 angka desimal adalah : 3,14159265358979323846. Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya : Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja, jika panjang sisinya x, maka x . x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan Akhirnya dibuktikan bahwa
).
tidak rasional.
Contoh : Buktikan Jawab :
bilangan irasional.
Diasumsikan
rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan
terjadi kontradiksi. Sehingga Andaikan Maka
irasional.
rasional. dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat
sedemikian hingga a dan b relatif prima. Jika
=
, maka ( )2 = 2 dan a2 = 2b2
Karena 2b2 bilangan bulat genap, maka a2 adalah genap, demikian pula a. Mengapa? Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat. Didapat a2 = 4c2 . Padahal a2 = 2b2 , maka b2 = 2c2 , sehingga b2 genap, akibatnya b genap. 154
Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi. dengan pengandaian. Sehingga pengandaian benar. Jadi
bilangan rasional tidak
irasional.
Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua daRI semua bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, . . . ) adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dan banyak bilangan rasional adalah bukan rasional, maka berikut mi akan dibicarakan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkah-langkahnya sebagai berikut. a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu. b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki. c) Tentukan nilai ratarata dan bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai ratarata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari. d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi. Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh ketelitian yang dikehendaki. Contoh 1 : Tentukan nilai pendekatan Jawab: Karena (1,4)2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857 = 1,414285 Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi. 1,414285 sebagai estimasi 2 : 1,414285 = 414142 =
= 1,4141135
Jadi. 1,4142 adalah nilai pendekatan
teliti sampai 4 tempat desimal. 155
Contoh 2: Tentukan nilal pendekatan Jawab: Karena (30)2 = 900, dipilih 30 sebagai estimasi. = 31,283666 = 30,641833 938,51 : 30,64183.3 = 30,628389 = 30,635111 Jadi. 30,6351 adalah nilai. pendekatan
teliti sampai 4
tempat desimal. Dan pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. Sedang bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan tidak berulang. Gabungan dan kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan real atau nyata. Telah dibicarakan bahwa bilangan rasional dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Demikian juga telah dibicarakan bahwa untuk sembarang dua bilangan rasional yang berbeda, terdapat bilangan rasional di antara keduanya. Kelihatannya bilangan rasional di seluruh titik pada garis bilangan. Hal mi tidak benar. Perhatikan gambar 6.10 berikut, bilangan irasional juga dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan.
Gambar 6.10
156
Gambar di atas menunjukkan cara meletakkan
dan (
)2 pada
garis bilangan. Dan gambar bujur sangkar yang sisinya satu satuan, maka panjang diagonalnya dengan jari-jari
=
. Dengan pusat 0 dapat dibuat lingkaran
, sehingga letak
dan -
dapat ditentukan pada garis
bilangan. Cambar 4.11 berikut ini menyatakan cara menempatkan +
dan .
Gambar 6.11
Apakah ditulis sebesar
+ +
rasional? Andaikan =
+
bilangan rasional, maka dapat
dan b bulat, b ≠ 0.
Karena bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan, maka
bilangan rasional, akibatnya
Terjadilah kontradiksi. Akibatnya
+
juga rasional.
bilangan irasonal. Bagi yang berminat
dapat membuktikan secara umum, bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional adalah irasional. Demikian pula dapat dibuktikan bahwa hasil kali bilangan rasional yang bukan nol dan bilangan irasional adalah irasional. Contoh 1 : Tunjukkan 7 .
irasional
Jawab : Andaikan 7 .
rasional, maka dapat ditulis sebagai : 157
7
= (7
) = ( )
rasional, maka
rasional.
Terjadilah kontradiksi, maka pengandaian tidak benar. Yang benar 7 irasional. Contoh 2 : Tunjukkan
irasional.
Jawab : = Karena ( )
irasional, jadi
irasional.
Misalkan, garis bilangan dibagi lagi menjadi sepuluh segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,4 sebagai. pendekatan
, dan dapat dicek
kembali dengan mengkuadratkan 1,4. Kemudian dibagi menjadi seratus segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,41 sebagai pendekatan
. Cek
kembali dengan mengkuadratkan 1,41. Demikian seterusnya sehingga diperoleh bilangan rasional 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,41423 sebagai nilai pendekatan
. Hal ini membeni petunjuk secara intuitif bahwa bilangan real
bersifat padat (dense), artinya di antara dua bilangan real selalu ada bilangan real lain, bagaimanapun dekatnya terhadap yang lain. Akhirnya dapat dikemukakan bahwa setiap titik pada garis bilangan menunjukkan bilangan real dan setiap bilangan real dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Karakteristik ini dikatakan bahwa sistem bilangan real adalah lengkap. Sistem bilangan rasional tidak lengkap karena ada titik pada garis bilangan tidak menyatakan bilangan rasional. Berikut ini dikemukakan beberapa sifat bilangan real. Karena bilangan real merupakan perluasan dari bilangan rasional, maka semua sifat dalam sistem bilangan rasional harus dipenuhi dalam system bilangan real. Sifat-sifat dalam sistem bilangan real sebagai berikut : 158
1) Tertutup dalam operasi penjumlahan. 2) Tertutup dalam operasi pengurangan. 3) Tertutup dalam operasi. perkalian. 4) Tertutup dalam operasi pembagian, kecuali pembagian oleh nol. 5) Memenuhi sifat komutatif dan asosiatif untuk penjumlahàn dan perkalian. 6) Memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 7) Terdapat unsur identitas penjumlahan. 8) Terdapat unsur identitas perkalian. 9) Untuk setiap bilangan real terdapat invers penjumlahannya. 10) Untuk setiap bilangan real yang bukan 0 terdapat invers perkaliannya. 11) Transitif urutan. Jika a < b dan b < c maka a < c. 12) Sifat Trikotomi. Untuk a dan b bilangan real, terdapat tepat satu di antara hubungan berikut a < b; a = b; a ≠ b. 13) Bilangan real bersifat padat (dense). Di antara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real lain. 14) Bilangan real bersifat lengkap. Selanjutnya akan dibicarakan perluasan sifat-sifat eksponen untuk bilangan bulat dan rasional dalam sistem bilangan real. x2 =
=
= 1, sedangkan
x2 . x-2 = x2 + (-2) = x0 = 1 Karena invers perkalian dari x2 tunggal, maka x-2 = Demikian juga, x1/2. X1/2 = x1/2 +1/2 = x1 dan (x1/2)2 = x1/2.2 = x1 Tetapi
.
atau (
)2 didefinisikan sama dengan x.
Dengan demikian x1/2 = Secara umum, untuk sebarang bilangan real x dan bilangan asli n, 159
x-n =
. x ≠0
x1/n =
, jika
ada
Selanjutnya, akan diperluas penggunaan rumus-rumus xm . xn
= xm+n
(xm)n
= xmn
(xy)m
= xm. ym
( )m
=
Contoh 1 : Tentukan nilai dari a) 7-2 dan
b) 9-1/9
Jawab :
Contoh 2 : Tulis dalam bentuk paling sederhana. a)
b)
Jawab : a)
=
b)
=
33333
160
LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tentukan bilangan-bilangan berikut termasuk rasional atau tidak rasional. a)
+5
b)
c)
d)
2.
keduanya irasional. Mengapa? a) Apakah hasil kalinya merupakan bilangan rasional? b) Apakah hasil baginya merupakan bilangan rasinal? c) Apakah jumlahnya merupakan bilangan rasional? d) Jelaskan masing-masing jawabnya!
3. Tentukan nilai pendekatannya sampai 4 tempat desimal. a)
b)
c)
d)
e) / 563,48
4. Diketahui R = {bilangan real}, B = {bilangan bulat}, C = {bilangan cacah}, Q = {bilangan rasional}, I = {bilangan irasional}. Tentukan pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah.
5.
a) B Ϲ Q
b) Q C R
c) Q ∩ C
d) B∩ Q = Q
a) Tentukan bilangan cacah terbesar yang lebih kecil dari 9 b) Tentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 9. c) Tentukan bilangan rasional terbesar yang lebih kecil dari 9. d) Tentukan bilangan irasional terbesar yang lebih kecil dari 9. e) Tentukan bilangan real terbesar yang lebih kecil dari 9.
6. Tunjukkan dengan contoh. a) Hasil kali bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. b) Hasil bagi bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. c) Jumlah bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 161
d) Selisih bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 7. Sederhanakan :
162
