(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut:

BAB I TEORI GRUP

Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke belakang pada bab sebelumnya. Misalkan S himpunan yang tak kosong, kita definisikan A(S) himpunan semua pemetaan satu-satu dari S pada S. Untuk sebarang f,g di A(S) kita kenakan operasi perkalian fog yaitu komposisi dari fungsi f dan g. Berdasarkan penyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut. 1. Jika f,g  A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa dengan operasi komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup. 2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini mengatakan bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat asosiatif. 3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f = foidS untuk setiap fA(S). idS ini disebut unsur identitas untuk A(S) relatif terhadap operasi komposisi dalam A(S). 4. Untuk setiap fA(S), terdapat unsur f sehingga fof

–1

= idS = f

–1

juga dalam A(S) sedemikian

–1

of. Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur

dalam A(S) memiliki invers yang juga dalam A(S). Berdasarkan penyelidikan di A(S) khususnya apabila S mempunyai 3 unsur atau lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S) sedemikian sehingga fog  gof. Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana dikemukakan di atas merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya konsep grup seperti disajikan pada Definisi 1.1 berikut.

1

1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan membentuk grup, jika dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang dinamakan operasi perkalian, ditulis “.” sedemikian sehingga (1). a.bG, untuk setiap a,bG (2). a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,cG (3). Terdapat unsur eG sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap aG (4). Untuk setiap aG, terdapat a-1G sedemikian sehingga a.a-1 = a-1.a = e. Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk setiap a,bG berlaku a.b = b.a. Grup yang tidak komutatif disebut Grup NonAbelian. Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat menyimpulkan bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti dikemukakan di atas (sebelum Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan memiliki n unsur, maka grup A(S) akan disimbol dengan Sn. Hal lain yang menjadi karakteristik suatu grup adalah jumlah unsurnya. Jumlah unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G. Tentu saja, jika kita ingin membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang o(G) hingga, disebut grup hingga. 1.2. CONTOH-CONTOH : (a). Misalkan G himpunan bilangan bulat, dan kita artikan operasi biner a.b untuk a,bG adalah penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu a.b = a + b. Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat tertutup dengan operasi ini, karena hasil penjumlahan dua bilangan bulat juga 2

merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat asosiatif dengan operasi ini pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan sebagai e dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan setiap unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G. (b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut: 

1

-1

1

1

-1

-1

-1

1

Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat ditunjukkan bahwa operasinya memenuhi sifat asosiatif, unsur identitasnya adalah e = 1. Selanjutnya, 1-1 = 1 dan (–1)-1 = -1. Lebih dari itu, dapat juga ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif dengan o(G) = 2 (c). Jika S = {x1,x2,x3}. S3 adalah himpunan semua fungsi 1-1 dari S pada S, diberikan operasi komposisi pada fungsi-fungsi, maka S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} dengan f : x1  x2

g : x1  x2

x2  x1

x2  x3

x3  x3

x3  x1

o

e

f

g

fog

g2

gof

e

e

f

g

fog

g2

gof

f

f

e

fog

g

gof

g2

3

g

g

gof

g2

f

e

fog

fog

fog

g2

gof

e

f

g

g2

g2

fog

e

gof

g

f

gof

gof

g

f

g2

fog

e

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka S3 dengan operasi komposisi fungsi bersifat tertutup, sifat asosiatif dalam S3 dengan operasi ini dipenuhi sebagai sifat warisan operasi komposisi fungsi-fungsi sebarang, kemudian dengan operasi ini S3 memiliki unsur identitas, yaitu pemetaan identitas e, dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam S3 juga, yaitu: e-1 = e S3, f-1 = f S3, g-1 = g2 S3, (fog)-1 = fog S3, (g2)-1 = g S3, dan (gof)-1 = gof S3, Dari sini berarti bahwa S3 membentuk grup. Karena gof  fog maka S3 bukan grup Abelian. Dengan demikian S3 membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(S3) = 6. Untuk menyederhanakan bentuk, selanjutnya untuk sebarang a,bG akan digunakan notasi a.b = ab. Kemudian kita juga akan menyatakan, a0 = e, a1 = a, a2 = aa, a3 = aa2, … , ak = aak-1. Demikian juga kita nyatakan, a-2 = (a1 2

) , a-3 = (a-1)3, … , a-k = (a-1)k. (d). Misalkan n sebarang bilangan bulat positif. Kita konstruksi suatu

grup orde n sebagai berikut. G = {aii = 0,1, … ,n}, dengan mendefinisikan a0 = e, aiaj = ai+j jika i + j < n, dan aiaj = ai+j-n, jika i + j  n. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa G membentuk grup. Grup ini disebut grup siklik orde n. Untuk memperjelas contoh ini, misalkan n = 5, maka kita mempunyai G = {e, a, a2, a3, a4}. Selanjutnya perhatikan Tabel berikut.

4

.

e

a

a2

a3

a4

e

e

a

a2

a3

a4

a

a

a2

a3

a4

e

a2

a2

a3

a4

e

a

a3

a3

a4

e

a

a2

a4

a4

e

a

a2

a3

Jelas, dengan operasi yang diberikan, G bersifat tertutup. Selanjutnya dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa dengan operasi ini, dalam G berlaku sifat asosiatif. Kemudian, bahwa dalam G terdapat unsur identitas, yaitu e, dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G yaitu: e-1 = eG, a-1 = a4 G, (a2)-1 = a3  G, (a3)-1 = a2  G, dan (a4)-1 = a  G. Lebih dari itu, bahwa jika ai dan aj sebarang dalam G, maka aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j < 5 dan aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j  5, dengan demikian dalam G berlaku sifat komutatif. Jadi, G merupakan grup Abelian (periksa!). (e) Misalkan G = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} dan dalam G dilengkapi dengan operasi perkalian, dengan hasil lengkap dari pengoperasian unsurunsur dalam G, disajikan pada tabel berikut. .

1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

1

1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

-1

-1

1

-i

i

-j

j

-k

k

i

i

-i

-1

1

k

-k

-j

j

-i

-i

i

1

-1

-k

k

j

-j

j

j

-j

-k

k

-1

1

i

-i

-j

-j

j

k

-k

1

-1

-i

i

k

k

-k

j

-j

-i

i

-1

1

5

-k

-k

k

-j

j

i

-i

1

-1

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka G dengan operasi perkalian bersifat tertutup. Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa operasi dalam G memenuhi sifat asosiatif. Unsur identitas dalam G adalah 1. Untuk setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G juga, yaitu: 1-1 = 1 G, -1-1 = -1G, i-1 = -iG, (-i)-1 = iG, j-1 = -jG, (-j)-1 = jG, i-1 = -kG dan (-k)-1 = kG. Dari sini berarti bahwa G membentuk grup. Karena ij  ji, maka G bukan grup Abelian. Dengan demikian G membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(G) = 8. Grup ini dikenal grup Quaternion.  a b    a, b, c, d  R, ad  bc  0  c d  

(f) Misalkan G = 

a b 

dengan operasi w x

 dan B =   matriksperkalian matriks dalam G, yaitu jika A =  c d   y z

matriks sebarang dalam G, maka ad – bc  0 dan wz – xy  0. Sekarang, perhatikan bahwa  a b  w x   aw  by ax  bz       .  c d  y z   cw  dy cx  dz 

AB = 

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian, (aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy)  0. Ini menunjukkan bahwa, ABG. Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G, karena a b 

 , B = jika A =  c d 

 p q w x   , dan C =   matriks-matriks sebarang  r s  y z

dalam G, maka 6

 a b   p q  w x   a b   pw  qy   =       c d   r s  y z   c d   rw  sy

A(BC)= 

px  qz   rx  sz 

 a pw  qy   brw  sy  a px  qz   brx  sz     c pw  qy   d rw  sy  c px  qz   d rx  sz 

= 

 ap  br w  aq  bs  y  cp  dr w  cq  ds  y

= 

 ap  br  cp  dr

ap  br x  aq  bs z   cp  dr x  cq  ds z 

aq  bs   w x    = (AB)C. cq  ds   y z 

= 

1 0  adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1  0, dan 0 1

Selanjutnya, I = 

kita ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks. a b 

 G, maka ad – bc  0. Sekarang pandang Akhirnya, jika A =  c d  

 d  matriks D =  ad  bc  c   ad  bc

b   ad  bc  a   ad  bc 

yang dibangun dari A. Matriks D ini

merupakan unsur dalam G, karena ad  bc 1  d  a   b  c    0.    -    = 2  ad  bc  ad  bc   ad  bc  ad  bc  ad  bc  ad  bc

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.  2 1

 dan Q = Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =   0 3  3  1   , maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.3 – 0.1 = 6  0 dan 1 1 

3.1 – 1.(-1) = 4  0.

7

 2 1   3  1  7  1 6 0  3  1  2 1     =      =     = QP.  0 3  1 1  3 3   2 4  1 1   0 3

PQ = 

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).  a b    a, b, c, d  R, ad  bc  1 dengan operasi  c d  

(g). Misalkan G = 

a b 

 dan B = perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =  c d 

w x    y z

matriks-matriks sebarang dalam G, maka ad – bc = 1 dan wz – xy = 1. Sekarang, perhatikan bahwa  a b  w x   aw  by ax  bz       .  c d  y z   cw  dy cx  dz 

AB = 

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian, (aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) = 1.1 = 1. Ini menunjukkan bahwa, ABG. Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal ini dapat dipandang sebagai sifat yang diwarisi dari Contoh 1.2(e). 1 0  adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1, dan kita 0 1

Selanjutnya, I = 

ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks. a b 

 G, maka ad – bc = 1. Sekarang pandang Akhirnya, jika A =  c d 

 d  matriks D =  ad  bc  c   ad  bc

b   ad  bc  a   ad  bc 

yang dibangun dari A. Matriks D ini

8

merupakan unsur dalam G, karena 

d  a   b  c    -    =  ad  bc  ad  bc   ad  bc  ad  bc 

ad  bc

ad  bc 

2



1 1

2

= 1. Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini

melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup. 2 1  1  dan Q = 2  

Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =  0

3 2   , maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.(½) – 0.1 = 1 dan 3.1 1 1

– 2.1 = 1.  2 1  3 2  7 5  6 4 3 2  2 1           =  1   1 1  2 3  =  1 1   0 1  = QP.   2 2  0 2  1 1  2 2  

PQ = 

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).  a (h). Misalkan G = 

 b  a, b  R, a 2  b 2  0   b a  

 a

b

dengan operasi  w

x

 dan B =   perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =   b a   x w

matriks-matriks sebarang dalam G, maka a2 + b2  0 dan w2 + x2  0. Sekarang, perhatikan bahwa ax  bw   a b  w x   aw  bx    =   dan .   b a    x w   ax  bw aw  bx 

AB = 

(aw - bx)2 + (ax + bw)2 = (a2 + b2)(w2 + x2)  0. Ini menunjukkan bahwa, ABG. Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal ini dapat dipandang sebagai sifat diwarisi dari Contoh 1.2(e).

9

1 0 2 2  adalah unsur G karena 1 + 0 = 1  0, dan kita 0 1

Selanjutnya, I = 

ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.  a

b

2 2  G, maka a + b  0. Sekarang pandang Akhirnya, jika A =   b a

  2 matriks D =  a   2 a

b

a b b

2

 b2

  a  b  yang dibangun dari A. Matriks D ini a   a2  b2  2

2

merupakan unsur dalam G, karena 2

2

1  a   b   0.  2  + 2  = 2 2 2 a  b2 a b  a b 

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.  p  q

Sekarang, jika P = 

q  r s  dan R =   matriks-matriks dalam G p  s r

sebarang, maka  p  q

PR = 

q   r s ps  qr  rq  ps   pr  qs  rp  qs    =   =   p  s r   qr  ps  qs  pr    sp  rq  sq  rp 

 r s  p    s r  q

= 

q  = RP. p 

Ini membuktikan bahwa G merupakan grup komutatif (Abelian).  a

b

 dalam G sebagaimana pada (i) Perhatikan bahwa setiap   b a 1 0

 , dan J = Contoh 1.2(g) dapat dinyatakan sebagai aI + bJ dimana I =  0 1

10

 0 1 2 2   . Sekarang pandang G = {aI + bJ  a,bR, a + b  0} dengan I dan  1 0

J sebagaimana disebutkan di atas. Perhatikan bahwa untuk setiap a1I + b1J dan a2I + b2J dalam G, diperoleh (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J, karena J.J = I, dan dapat ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b12)(a22 + b22)  0, dengan demikian (a1I + b1J)( a2I + b2J)  G. Jadi dengan operasi ini dalam G, sifat ketertutupannya dipenuhi. Selanjutnya, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa operasi dalam G memenuhi sifat asosiatif. Kemudian, perhatikan bahwa I  G, karena I = aI + bJ dipenuhi oleh a = 1 dan b = 0. Lebih dari itu, untuk sebarang a1I + b1J  G, I(a1I + b1J) = a1I + b1J = (a1I + b1J)I, oleh karena itu I merupakan unsur satuan dalam G. Selanjutnya, jika a1I + b1J  G sebarang, maka berarti a12 + b12  0. Dari sini kita peroleh  a1   a2  b2 1  1

2

  b1  +    a2  b2 1   1

2

 1  =  0. 2 2  a  b 1 1 

Oleh karena itu a1 a b 2 1

2 1

I-

b1 a  b12

(a1I + b1J)(

2 1

J  G, dan

a1 a12  b12

I-

b1 a12  b12

J) = I = (

a1 a12  b12

I-

b1 a12  b12

dengan demikian (a1I + b1J)-1 =

a1 a12  b12

I-

b1 a12  b12

J.

Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa G membentuk grup.

11

J) (a1I + b1J),

Terakhir, jika a1I + b1J dan a2I + b2J unsur-unsur dalam G sebarang, maka (a1I + b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J = (a2a1 – b2b1)I + (a2b1 + b2a1)J = (a2I + b2J)(a1I + b1J). Jadi G suatu grup komutatif. (j).

Misalkan

Gp

 a b    a, b, c, d bil. bulat modulo p, p bil. prima, ad  bc  0   c d  

= dengan

operasi

perkalian pada bilangan bulat modulo p. Sebagai ilustrasi, misalkan p = 2, 1 0

 1 1

 , A1 =   , maka diperoleh G2 = {I, A1, A2, A3, A4, A5}, dimana I =  0 1  0 1 1 0  0 1  0 1 1 1   , A3 =   , A4 =   , dan A5 =   . Untuk melihat bahwa 1 1  1 0  1 1 1 0 

A2 = 

G2 membentuk grup, kita perhatikan tabel berikut. .

I

A1

A2

A3

A4

A5

I

I

A1

A2

A3

A4

A5

A1

A1

I

A4

A5

A2

A3

A2

A2

A5

I

A4

A3

A1

A3

A3

A4

A5

I

A1

A2

A4

A4

A3

A1

A2

A5

I

A5

A5

A2

A3

A1

I

A4

Dari Tabel di atas, maka diperoleh bahwa G2 dengan operasi perkalian matriks bilangan bulat modulo 2 bersifat tertutup, kemudian dapat ditunjukkan bahwa operasi ini memenuhi sifat asosiatif. Selanjutnya, dengan 1 0

 , dan setiap unsur operasi ini G2 memiliki unsur identitas, yaitu I =  0 1

dalam G2 memiliki invers dalam G2 juga, yaitu: I-1 = I G2, A1-1 = A1 G2, A212

1

= A2 G2, A3-1 = A3 G2, A4-1 = A5 G2, dan A5-1 = A4 G2. Dari sini berarti

bahwa G2 membentuk grup. Karena A2A1 = A5  A4 = A1A2 maka G2 bukan grup Abelian. Dengan demikian G2 membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(G2) = 6. 1.3. LEMMA. Jika G grup, maka (a) Elemen identitas dari G adalah tunggal. (b) Setiap aG mempunyai invers tunggal dalam G (c) Untuk setiap aG, berlaku (a-1)-1 = a. (d) Untuk semua a,bG, (ab)-1 = b-1a-1. BUKTI. Untuk membuktikan bagian (a), cukup kita memisalkan e dan f keduanya unsur-unsur identitas dalam G. Pandang e sebagai unsur identitas dalam G dan f sebagai suatu unsur dalam G. Maka harus memenuhi f = ef. Sebaliknya, jika kita memandang f sebagai unsur identitas dalam G dan e sebagai suatu unsur dari G, maka juga kita memperoleh hubungan e = ef. Oleh karenanya kita peroleh e = f. Ini menunjukkan bahwa unsur identitas dalam G adalah tunggal. Selanjutnya, misalkan aG sebarang. Jika x dan y unsur-unsur dalam G yang keduanya merupakan invers dari a, maka berlaku ax = e = xa dan ay = e = ya. Oleh karena itu kita peroleh x = ex = (ay)x = (ya)x = y(ax) = ye = y. Ini membuktikan bahwa invers dari a tunggal. Bagian (c) diperoleh dengan memperhatikan bahwa a-1(a-1)-1 = e = a-1a. Menurut bagian (b) di atas disimpulkan bahwa (a-1)-1 = a.. Bagian (d) dapat ditunjukkan bahwa (ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 = (a(bb-1)a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e. dan juga (b-1a-1)(ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-

13

1

a)b) = b-1(eb) = b-1b = e. Menurut Lemma 1.3(b), disimpulkan bahwa (ab)-1 =

(b-1a-1). 1.4. LEMMA. Diberikan a,bG, maka persamaan ax = b dan ya = b mempunyai solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, hukum-hukum pencoretan (1)

au = aw mengakibatkan u = w; dan

(2)

ua = wa mengakibatkan u = w.

berlaku dalam G. BUKTI. Perhatikan bahwa jika ax = b, maka a(a-1b) = (aa-1)b = eb = b. Oleh karena itu solusi untuk x bagi persamaan ax = b adalah x = a-1b. Untuk membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan x1 juga solusi dari persamaan ax = b. Maka ax1 = b. Dari sini diperoleh x1 = ex1 = (a-1a)x1 = a-1(ax1) = a-1b. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ax = b. Perhatikan bahwa jika ya = b, maka (ba-1)a = b(a-1a) = be = b. Oleh karena itu solusi untuk y bagi persamaan ya = b adalah y = ba-1. Untuk membuktikan ketunggalan solusi ini, misalkan y1 juga solusi dari persamaan ya = b. Maka y1a = b. Dari sini diperoleh y1 = y1e = y1(aa-1) = (y1a)a-1 = ba-1. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ya = b. Selanjutnya, jika au = b = aw, maka kita dapat memandang u dan w sebagai solusi dari persamaan ax = b. Karena ketunggalan solusi dari persamaan ini, maka kita peroleh u = w. Ini membuktikan (1). Demikian juga, jika ua = b = wa maka kita dapat pula memandang u dan w sebagai solusi dari persamaan ya = b. Karena sifat ketunggalan solusi dari persamaan tersebut, maka disimpulkan bahwa u = w, yang melengkapi pembuktian untuk (2).

14

SOAL –SOAL 1. Berikut ini diberikan himpunan-himpunan G dengan mendefinisikan operasi di dalamnya. Periksalah, apakah setiap G dengan operasi tersebut membentuk grup. Jika tidak berikan alasan seperlunya. a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b. b. G = himpunan bilangan bulat positif, dengan operasi perkalian biasa pada bilangan bulat. c. G = {a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6}, dimana aiaj = ai+j jika i + j < 7 dan aiaj = ai+j-7, jika i + j – 7. d. G = himpunan semua bilangan rasional dengan penyebut bilangan ganjil, dengan operasi ab = a + b, yaitu penjumlahan biasa pada bilangan rasional. 2. Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,bG dan semua bilangan bulat n, berlaku (ab)n = anbn [Petunjuk: Gunakan prinsip Induksi Matematika]. 3. Jika G suatu grup sedemikian sehingga (ab)2 = a2b2, untuk semua a,bG, tunjukkan bahwa G abelian. 4. Dalam S3, berikan sebuah contoh dari dua unsurnya x, y sedemikian sehingga (xy)2  x2y2. 5. Dalam S3, tunjukkan bahwa terdapat empat unsur yang memenuhi x2 = e dan tiga unsur yang memenuhi y2 = e. 6. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya sendiri, maka G abelian. 7. Jika G merupakan grup orde genap, buktikan bahwa G mempunyai suatu unsur a  e sedemikian sehingga a2 = e.

15

a b 

 , dimana ad – bc  8. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,  c d 

0 suatu bilangan rasional. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. a b 

 , dimana ad  0. 9. Misalkan G himpunan semua matriks real 22,  0 d 

Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. Apakah G Abelian? a

0 

 10.Misalkan G himpunan semua matriks real 22,  1  , dimana a  0. 0 a 

Buktikan bahwa G membentuk grup abelian dibawah perkalian matriks.

16

BAB II SUBGRUP

Marilah kita mengingat kembali grup semua bilangan bulat G dengan operasi

penjumlahan

pada

bilangan-bilangan

bulat,

kemudian

kita

memisalkan H himpunan semua bilangan bulat genap. Jelas H bukan himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian sejati dari G. Ada sesuatu yang cukup menarik dalam hal ini, jika dalam H diberikan operasi biner sebagaimana pada G, yaitu operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, maka kita akan memperoleh bahwa dengan operasi yang sama dengan dalam G, H memenuhi sifat-sifat: (1) ketertutupan, dalam arti bahwa penjumlahan sebarang dua bilangan genap menghasilkan bilangan genap, (2) asosiatif sebagai sifat yang diwarisi dari G, (3) terdapat unsur identitas, yaitu bilangan bulat genap 0, dan (4) setiap unsur dalam H juga memiliki unsur invers yang juga berada di H. Dari keempat sifat ini berarti H terhadap operasi dalam G membentuk grup. Definisi berikut ini merupakan konsep dasar dari subgrup dari suatu grup yang pada prinsipnya merupakan bentuk perumuman dari fenomenafenomena yang digambarkan melalui contoh-contoh yang salah satunya diilustrasikan pada contoh di atas. 2.1. DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H membentuk grup. Perlu dicermati,bahwa Definisi 2.1 ini mengatakan bahwa dalam H dikenakan operasi yang sama dengan dalam G. Oleh karena itu meskipun H 17

himpunan bagian tak kosong dari G, dan H membentuk grup, tetapi dengan operasi yang berbeda dengan operasi dalam G, maka H bukanlah subgrup dari G. Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan sebagaimana pada Contoh 1.2(a) dan H = {1, -1}. H membentuk grup dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan real, sebagaimana Contoh 1.2(b). Dalam kasus ini, meskipun H subhimpunan tak kosong dari G, tetapi H bukanlah subgrup dari G. Hal lain yang dapat peroleh dari Definisi 2.1 di atas, bahwa jika H subgrup dari G dan K subgrup dari H, maka K merupakan subgrup dari G. 2.2. LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika (1). abH, untuk semua a,bH (2). jika aH, maka a-1H. BUKTI. Anggaplah H subgrup dari G, maka menurut definisi, H dengan operasi dalam G memenuhi 2.2.(1) dan 2.2.(2). Sebaliknya, anggaplah syarat 2.2.(1) dan 2.2.(2) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka kita harus dapat menunjukkan bahwa dalam H berlaku sifat asosiatif dan adanya unsur identitas dalam H. Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu untuk membuktikan adanya unsur identitas, perhatikan bahwa misalkan aH, maka menurut 2.2.(2), a1

H, dan aa-1 = e. Karena 2.2.(1), maka eH. Ini melengkapi pembuktian

bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G. Lemma 2.2 di atas mengatakan bahwa apabila kita ingin memeriksa apakah suatu subhimpunan, H dari grup G merupakan subgrup dari G, maka 18

cukup menunjukkan tiga hal, yaitu: (1) H bukan himpunan kosong, (2) dengan operasi dalam G memenuhi sifat ketertutupan, dan (3) untuk setiap unsur dalam H memiliki invers juga dalam H. 2.3. LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup dibawah operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G BUKTI. Untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan bahwa jika aH, maka a-1H. Untuk keperluan ini, misalkan aH sebarang. Karena H tertutup, maka a2 = aaH, a3 = aa2H, … , amH, … . Akan tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu mesti terdapat r > s > 0 sedemikian sehingga ar = as. Dengan hukum pencoretan, diperoleh ar-s = e. Karena r - s > 0, maka ini menyebabkan eH. Selanjutnya, karena r – s – 1  0, maka ar-s-1H. Karena aar-s-1 = e = ar-s-1a, maka a-1 = ar-s-1G. 2.4. CONTOH-CONTOH. (a). Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}. H  , karena 0 = 3(0), yang berarti 0H. Sementara itu, untuk sebarang a,b  H, kita mempunyai a = 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2 bilangan bulat. a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1 + n2) = 3(n1 + n2)  H, dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup. Selanjutnya, -a = -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1)  H. Keseluruhan langkah ini menunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Kita dapat mendefinisikan hal serupa untuk Hn, yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipataan n. Maka Hn akan membentuk subgrup dari G.

19

(b). Misalkan S sebarang himpunan, A(S) himpunan semua fungsi satusatu dari S pada S. Maka A(S) membentuk grup dibawah operasi komposisi fungsi-fungsi. Jika x0S, definisikan H(x0) = {fA(S)f(x0) = x0}. Untuk membuktikan bahwa H(x0) merupakan subgrup dari A(S), pertama-tama kita segera memiliki pemetaan identitas, e, sebagai salah satu unsur dalam H(x0), karena e(x) = x untuk semua x  S, dengan demikian H(x0)  . Selanjutnya, kita ambil sebarang f1 dan f2 dalam H(x0), (f1f2)(x0) = f1(f2(x0)) = f1(x0) = x0, dengan demikian f1f2 dalam H(x0). Kemudian, untuk sebarang f1 dalam H(x0) yang berarti f1(x0) = x0, karena f1  A(S) maka kita mempunyai f1-1(x0) = x0 yang membuktikan bahwa f1-1 di H(x0), dan berarti melengkapi pemeriksaan kita terhadap H(x0) sebagai subgrup dari A(S). (c). Misalkan G sebarang grup, aG. Misalkan (a) = {aii = 0, 1, 2, … }. (a) merupakan subgup dari G (Periksa!). (a) disebut subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a. Jika untuk suatu a, G = , maka G disebut grup siklik yang dibangun oleh a. (d). Misalkan G grup bilangan real tak nol dibawah operasi perkalian, dan misalkan H subhimpunan dari G yang terdiri atas semua bilangan rasional positif, maka H merupakan subgrup dari G. (e). Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan, dan H himpunan semua bilangan bulat, maka H merupakan subgrup dari G. a b   , dengan ad – bc  c d 

(f). Misalkan G grup semua matriks real 22,  0 dibawah operasi perkalian matriks.

20

a b   . 0 d 

Misalkan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk 

1 0   H, karena (1)(2) = 2  0, dengan demikian H  .  0 2

Perhatikan bahwa  Sekarang

misalkan

 a1  0

b1   a 2  , d 1   0

b2   H d 2 

sebarang,

maka

kita

mempunyai a1d1  0 dan a2d2  0.  a1  0

b1   a 2  d 1   0

b2  a a  =  1 2 d2   0 a

a1 b2  b1 d 2   dan (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2)  d1d 2 

b  a

b 

0, dengan demikian  1 1   2 2  H. Jadi, H dengan operasi dalam G  0 d1   0 d 2  bersifat tertutup. a

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika  1 0

 d1  b1  ad  H maka  1 1  d1   0 

 d 1  a1  d a   = 1 1 = 1  0. a1 d 1  a1 d 1  a1 d 1 

H, karena   a1  0

 d1  b1   a1 d 1  d 1    0 

 b1   d1   1 0 a1 d 1  ad   =  1 1 =  a1  0 1   0 a1 d 1  

yang berarti bahwa  a1  0

b1   d 1 

1

 d1  =  a1 d 1  0 

 b1   a1 d 1   H. a1   a1 d 1 

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

21

 b1   a 1 d 1   a1  a1   0  a1 d 1 

b1   d 1 

 b1   a1 d 1   a1   a1 d 1 

 a b    a, b, c, d  R, ad  bc  1 dengan operasi  c d  

(g). Misalkan G = 

perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.  1  a b     G  , dan perhatikan bahwa  2 3 Misalkan H =     b a    2

3 2 1 2

   H, karena  

2

2  3 1  = 1, dengan demikian H  .   +   2 2  

 a

b   a

b 

1 2  ,  2  H sebarang, maka kita Sekarang misalkan  1  b a  b a 1  2 2  1

mempunyai a12 + b12 = 1 dan a22 + b22 = 1.  a1    b1

b1   a1 

 a2    b2

b2  a1b2  b1 a 2   a a b b  =  1 2 1 2  dan a2    b1 a 2  a1b2   b1b2  a1 a 2 

(a1a2 – b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b12)( a22 + b22) = 1.1 = 1,  a

b  a

b 

1 2   2  H. Jadi, H dengan operasi dalam G dengan demikian  1   b1 a1    b2 a 2 

bersifat tertutup.  a

b 

1  H maka Selanjutnya, perhatikan bahwa jika  1  b a 1  1

 a1   b1

 b1    H, dan a1   a1    b1

b1   a1 

 b1  a 1 0  =   =  1 a1  0 1  b1

 a1   b1

yang berarti bahwa  a1    b1

b1   a1 

1

 a1   b1

= 

b1    H. a1 

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

22

 b1   a1 

 a1    b1

b1   a1 

jelas

(h) Misalkan H grup sebagaimana Contoh 2.4(f), dan jika K =  1 b   1 2   b  R  , maka K merupakan subgrup dari H. Perhatikan bahwa    0 1   0 1

 K, karena itu K  . Sekarang

misalkan

 1 b1   1 b2      = 0 1  0 1 

 1 b1   1 b2    ,   K 0 1  0 1 

sebarang,

maka

 1 b1  b2   1 b1   1 b2    , dengan demikian     K. 1  0 0 1  0 1 

Jadi, K dengan operasi dalam H bersifat tertutup.  1 b1   1  b1   K maka    K. 0 1 0 1    

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika 

 1 b1   1  b1  1 0  1  b1   1 b1      =   =     0 1  0 1  0 1 0 1  0 1 

yang berarti bahwa  1 b1    0 1  

1

 1  b1    K. 0 1  

= 

Jadi, K merupakan subgrup dari H. (i). Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Perhatikan bahwa untuk setiap a1 + b1i dan a2 + b2i dalam H, diperoleh (a1 + b1i)( a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i, karena i2 = -1. Dapat ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b12)(a22 + b22) = 1, dengan demikian (a1 + b1i)( a2 + b2i)  H. Jadi dengan operasi ini dalam G, sifat ketertutupannya dipenuhi. Jika a1 + b1i  H, maka

23

a1 a12  b12

-

b1 a12  b12

i

 a H, karena  2 1 2  a1  b1

b1 a b 2 1

2 1

a1 a12  b12

i) = 1 = ( -

b1 a12  b12

   

2

 b +  2 1 2  a1  b1

a1 a b 2 1

2 1

-

b1 a b 2 1

2 1

   

2

=

a 1 = 1, dan (a1 + b1i)( 2 1 2 2 a1  b1 a  b1 2 1

i) (a1 + b1i), dengan demikian (a1 + b1i)-1 =

i  H. Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa H merupakan

subgrup dari G. 2.5. DEFINISI Misalkan G grup, dan H subgrup dari G. Untuk sebarang a,bG, kita mengatakan a kongruen b modulo H, ditulis a  b mod H, jika ab1

H. Selanjutnya, kita notasikan himpunan semua x unsur dalam G dimana a

kongruen x modulo H dengan [a]. Atau, [a]H = {xGa  x mod H}. 2.6. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}. Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat k, 2  (3k + 2) mod H, karena 2 – (3k + 2) = -3k =3(-k)  H, dengan demikian [2]H = {3n + 2  n bilangan bulat}. Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh [1]H = {3n + 1  n bilangan bulat}. (b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f}, maka g  g mod H, sebab gg-1 = e  H, dan g  fg mod H, sebab g(fg)-1 = g(fg) = g(g2f) = g3f = ef = f  H. Dengan demikian [g]H = {g, fg}. Jika kita memisalkan N = {e, g, g2} maka kita mempunyai f  f mod N, sebab ff-1 = e  N, f  gf mod N, sebab f(gf)-1 = f(fg2) = (ff)g2 = eg2 = g2  N, dan f  fg mod N,

24

sebab f(fg)-1 = f(fg) = (ff)g = eg = g  N. Dengan demikian [f]N = {f, gf, fg} = {f, fg, g2f}. a b   , dengan ad – bc  c d 

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22, 

0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam a b 

 . Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H G yang berbentuk  0 d   2 3

 , maka AG, dan apabila p,q,r merupakan subgrup dari G. Jika A =  1 2

bilangan-bilangan real sedemikian sehingga q  2p, r  0, maka p q    r 2r 

1

A 

2    2 3  2 p  q  =   1 2  1  2 p  q  

q   1   r 2 p  q   =  2p q p    0  r 2 p  q   

3 p  2q   r 2 p  q   H. 1   r 

p q   mod H. Dengan demikian,  r 2r 

Ini berarti bahwa A    p



q

  p, q, r  R, q  2 p, r  0 . [A]H =   r 2r  

(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika z = 4 + 3i, maka zG, dan apabila p, q bilangan-bilangan real sedemikian sehingga p2 + q2 = 25 , maka p q  4 p  3q 3 p  4q  i = + i. 25 25  25 25 

z(p + qi)-1 = (4 + 3i) 

25

2

2



25 p 2  q 2  3 p  4q   3 p  4q   +   = 25 2  25   25 

Karena 



= 1, maka z(p + qi)-1 H. Ini

berarti bahwa z  (p + qi) mod H. Dengan demikian, [z]H = {p + qi G p2 + q2 = 25} . 2.7. LEMMA. Misalkan G grup, H subgrup dari G, dan a,bG. Relasi a  b mod H merupakan relasi ekivalen. BUKTI. Untuk membuktikan ini, maka ada tiga hal yang harus kita tunjukkan, yaitu: (i). a  a mod H (ii). Jika a  b mod H, maka b  a mod H; dan (iii). Jika a  b mod H dan b  c mod H, maka a  c mod H. Untuk membuktikan (i), perhatikanlah bahwa e = aa-1. Karena H subgrup dari G, maka aa-1H. Dengan demikian a  a mod H. Selanjutnya, anggaplah a  b mod H, maka berarti, ab-1H. Perhatikan bahwa ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1. Karena ab-1H dan H subgrup dari G, maka ba-1 = (ab-1)-1H. Jadi b  a mod H. Kemudian, anggaplah a  b mod H dan b  c mod H, yang berarti bahwa ab-1H dan bc-1H. Perhatikan bahwa ac-1 = (ae)c-1 = (a(b-1b))c-1 = ((ab-1)b)c-1 = (ab-1)(bc-1). Karena ab-1H dan bc-1H, sementara itu H subgrup dari G, maka ac-1 = (ab-1)(bc-1)H. Ini membuktikan bahwa a  c mod H. Jika G grup semua bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan dan H = Hn subgrup G yang mengandung semua bilangan bulat kelipatan n, maka relasi a  b mod H, yaitu ab-1H, dibawah notasi penjumlahan, menyatakan

26

“a – b suatu kelipatan dari n”. Dalam Teori Bilangan ini dikenal dengan bilangan-bilangan kongruen modulo n. 2.8. DEFINISI. Jika H subgrup dari grup G, dan aG. Definisikan Ha = {hahH} dan aH = {ahhH}. Ha dan aH, berturut-turut, disebut Koset Kanan dari H dalam G dan Koset Kiri dari H dalam G. 2.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}. Perhatikan bahwa H + 2 = {h + 2  hH} = {3n + 2 n bilangan bulat}. 2 + H = {2 + h  hH} = {2 +3n  n bilangan bulat}. Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh H + 1 = {h + 1  hH} = {3n + 1  n bilangan bulat}. 1 + H = {2 + h  hH} = {1 +3n  n bilangan bulat}. (b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f}, maka H merupakan subgrup dari S3. Hg = {eg, fg} = {g, fg}, dan gH = {ge, gf} = {g, gf}. Pada kasus ini terlihat bahwa Hg  gH. Jika kita mempunyai N = {e, g, g2} maka N juga merupakan subgrup dari S3. Nf = {ef, gf, g2f} = {f, gf, fg} dan fN = {fe, fg, fg2} = {f, fg, gf}. a b   , dengan ad – bc  c d 

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22, 

0 dibawah operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam

27

a b 

 . Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H G yang berbentuk  0 d   2 3  , maka AG, dan apabila a,b, dan 1 2

merupakan subgrup dari G. Jika A = 

d bilangan-bilangan real sedemikian sehingga a  0, dan d  0, maka  a b  2 3     a, b, d bilangan real, a  0, d  0 HA = {hAhH} =   0 d  1 2 



 2a  b 3a  2b    a, b, d bilangan real, a  0, d  0 . =  

d

2d





Sedangkan  2 3  a b     a, b, d bilangan real, a  0, d  0 AH = {AhhH} =   1 2  0 d 



 2a 2b  3d    a, b, d bilangan real, a  0, d  0 . =   a

b  2d 



 1  1  H, maka 0 2 

Dari sini nampak bahwa, apabila kita mempunyai B =   1  1  2 3  1 1    =   , tetapi AB = 2  1 2  2 4

BA =  0

 2 3   1  1  2 4     =   , 1 2  0 2   1 3

dengan demikian AB  BA. Ini suatu bukti bahwa koset kanan dari H dalam G tidak sama dengan koset kiri dari H dalam G. (d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika z = 4 + 3i, maka

28

= {(a + bi) (4 + 3i) a2 + b2 = 1} =

H(4 + 3i) {(4a – 3b) + (3a + 4b)i a2 + b2 = 1}

= {p + qi G p2 + q2 = 25}. 2.10. LEMMA Misalkan H subgrup dari G. Maka untuk semua aG, Ha = [a]H = {xGa  x mod H}. BUKTI. Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa Ha  [a]H. Untuk itu misalkan x  Ha sebarang. Maka x = ha untuk suatu h  H. Dari sini, ax-1 = a(ha)-1 = a(a-1h-1) = (aa-1)h-1 = eh-1 = h-1. Karena H subgrup dari G, maka h1

H. Dengan demikian ax-1H. Ini mengatakan bahwa a  x mod H. Jadi

x[a]H. Ini membuktikan bahwa Ha  [a]H. Sebaliknya, misalkan y[a]H sebarang, maka ay-1H. Karena H subgrup dari G, maka ya-1 = (ay-1)-1H. Dengan demikian ya-1 = h untuk suatu hH. Hal ini diikuti y = haH. Ini mengatakan bahwa yHa. Jadi [a]H  Ha. Ini melengkapi pembuktian Ha = [a]H. Lemma di atas menghasilkan suatu fakta bahwa G merupakan dekomposisi dari Ha, untuk semua aG. Karena itu, untuk sebarang dua koset kanan dari H dalam G adalah sama atau saling lepas. 2.11. LEMMA. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, dan aG. Jika aH, maka Ha = H. BUKTI. Karena aH, dan H subgrup dari G, maka sebarang hH berlaku haH, dengan demikian Ha  H. Sebaliknya, untuk sebarang hH berlaku h = he = h(a-1a) = (ha-1)a. Karena H subgrup dari G, maka ha-1 H, dengan demikian hHa, yang mengakibatkan H  Ha. Jadi Ha = H. 29

2.12. LEMMA Terdapat korespondensi satu-satu antara sebarang dua koset kanan dari H dalam G. BUKTI. Misalkan Ha dan Hb sebarang dua koset kanan dari H dalam G. Definisikan f : Ha  Hb, denga f(ha) = hb, untuk semua hH. Jelas f merupakan fungsi dari Ha ke dalam Hb, sebab jika h1a dan h2a dalam Ha sebarang dengan h1 = h2, maka f(h1a) = h1b = h2b = f(h2a). Selanjutnya, misalkan x,yHa sebarang sedemikian sehingga f(x) = f(y). Misalkan x = h1a dan y = h2a. Karena f(x) = f(y), maka berarti h1b = h2b. Dengan menggunakan hukum pencoretan, diperoleh h1 = h2. Ini mengakibatkan x = y. Jadi, f 1-1. Terakhir, untuk membuktikan bahwa f suatu surjeksi, misalkan y = hb Hb sebarang, maka tentu haHa, dan f(ha) = hb = y. Karena itu f merupakan suatu korespondensi satu-satu antara sebarang dua koset kanan dari H dalam G. 2.13. TEOREMA LAGRANGE. Jika G suatu grup hingga dan H subgrup G, maka o(H) merupakan pembagi o(G), yaitu, terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga o(G) = ko(H). BUKTI. Perhatikan bahwa H = He, merupakan suatu koset kanan dari H dalam G, dengan demikian menurut Lemma 2.12, bahwa sebarang koset kanan dari H dalam G mempunyai o(H) unsur. Karena G hingga, maka H juga subgrup hingga dari G. Karena itu, misalkan k menyatakan banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Menurut Lemma 2.10, bahwa sebarang dua koset kanan dari H yang berbeda dalam G tidak mempunyai unsur persekutuan. Hal ini mengatakan bahwa o(G) = ko(H). Ini melengkapi pembuktian Teorema Lagrange.

30

Sebagai konsekuensi dari Teorema Lagrange 2.13, jika kita memiliki G = S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} yang berarti o(G) = 6, maka orde dari H, subgrup sebarang dari G hanya mungkin memiliki orde pembagi dari 6, yaitu: 1, atau 2, atau 3, atau 6. 2.14. DEFINISI. Jika H subgrup dari G, indeks dari H dalam G adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Kita simbolkan iG(H). Dalam kasus G grup hingga, maka iG(H) = o(G)/o(H). 2.15. DEFINISI. Jika G suatu grup dan aG, orde (periode) dari a adalah bilangan bulat positif terkecil m, sedemikian sehingga am =e. Jika tidak ada m yang demikian, maka kita katakana a berorde tak hingga. Sebagaimana grup, kita juga menggunakan o(a) untuk menyatakan orde dari a. 2.16. AKIBAT

DARI

TEOREMA LAGRANGE. (1). Jika G suatu grup

hingga, dan aG, maka o(a) pembagi dari o(G). BUKTI. Pandang (a) subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a. (a) mengandung e, a, a2, a3, … . Karena ao(a) = e, maka paling banyak unsur dari (a) adalah o(a), sebab jika tidak maka terdapat 0  i < j < o(a) sedemikian sehingga ai = aj. Dengan demikian aj-i = e untuk 0 < j – i < o(a). Ini kontradiksi dengan keberadaan o(a) sebagai orde dari a. Karena itu, grup siklik yang dibangun oleh a mempunyai o(a) unsur. Menurut Teorema Lagrange 2.13, o(a) merupakan pembagi dari o(G). (2). Jika G suatu grup hingga, maka ao(G) = e. BUKTI. Dengan menggunakan Akibat 2.16(1) kita mempunyai o(a) pembagi o(G), yang berarti bahw o(G) = mo(a) untuk suatu bilangan bulat m. Oleh karena itu 31

ao(G) = amo(a) = (ao(a))m = em = e. (3) Jika G suatu grup hingga yang ordenya bilangan prima p, maka G membentuk grup siklik. BUKTI. Anggaplah G mempunyai subgrup H yang nontrivial. Karena o(H) harus membagi o(G) = p, maka o(H) = 1 atau o(H) = p. Jika o(H) = 1, maka H = (e), sedangkan jika o(H) = p, maka G = H. Sekarang misalkan a  e  G, dan H = (a). H merupakan subgrup siklik dari G, dan H  (e), karena a  e. Jadi H = G. Ini mengatakan bahwa G grup siklik dengan orde p, dan setiap unsur dalam G dibangun oleh a. Misalkan H dan K keduanya subgrup dari G, definisikan HK = {xG  x = hk, hH, kK}. Contoh ilustrasi, pandang grup S3, dan misalkan H = {e, f}, K = {e, gf}. H dan K adalah sub-sub grup siklik dari G dengan orde 2, karena f2 = (gf)2 = e. Perhatikan bahwa HK = {ee, egf, fe, fgf} = {e, gf, f, g2}. Disini, HK terdiri atas 4 unsur, menurut Teorema Lagrange, HK bukan merupakan subgrup dari S3, sebab 4 bukan pembagi dari o(S3) = 6. Juga perhatikan bahwa KH = {ee, ef, gfe, gff} = {e, f, gf, g}  HK. 2.17. LEMMA Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH. BUKTI. Aggaplah HK = KH; yaitu jika hH dan kK, maka hk = h1k1, untuk suatu h1H dan k1K. Untuk membuktikan bahwa HK subgrup dari G, maka kita harus dapat membuktikan bahwa HK bersifat tertutup dan setiap unsurnya memiliki invers di dalam HK juga. Untuk itu misalkan x = hkHK dan y = h’k’HK. Maka xy = hkh’k’. Karena HK = KH, maka kh’ = h2k2 untuk suatu h2H dan k2K. Karena itu, xy = h(h2k2)k’ = (hh2)(k2k’)  HK. Jadi, HK 32

bersifat tertutup. Demikian juga bahwa x-1 = (hk)-1 = k-1h-1  KH = HK. Ini melengkapi pembuktian bahwa HK subgrup dari G. Sebaliknya, anggaplah HK subgrup dari G. Untuk sebarang hH dan kK berlaku h-1k-1HK. Karena HK subgrup dari G,maka kh = (k-1)-1(h-1)-1 = (h-1k-1)-1  HK. Ini menunjukkan bahwa KH  HK. Selanjutnya, karena HK subgrup, maka x-1 = hk  HK untuk suatu hH dan kK, apabila x  HK. Akan tetapi x = (x-1)-1 = (hk)-1 = k-1h-1  KH. Ini mengatakan bahwa HK  KH. Jadi HK = KH. 2.18. LEMMA AKIBAT. Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. Jika G grup Abelian, maka HK merupakan subgrup dari G. BUKTI. Karena G grup Abelian, dan H, K subgrup-subgrup dari G maka HK = KH. Oleh karena itu menurut Lemma 2.17, HK merupakan subgrup dari G. 2.19. LEMMA AKIBAT. Misalkan H subgrup dari G, maka HH merupakan subgrup dari G, dan HH = H. BUKTI. Menurut Lemma 2.17, jelas bahwa HH subgrup dari G. Selanjutnya, karena H subgrup dari G, maka HH  H, dan jika hH sebarang, maka h = he  HH, oleh karena itu H  HH. Jadi HH = H. 2.20. DEFINISI. Misalkan G grup dan gG. Normalizer atau Centralizer dari g dalam G, ditulis N(g), adalah himpunan semua unsur x dalam G sedemikian sehingga xg = gx. Jadi, N(g) = {xGxg = gx}. 2.21. LEMMA. Jika G grup dan gG, maka N(g) merupakan subgrup dari G.

33

BUKTI. Misalkan gG. Jelas N(g)  , karena eg = ge, dengan demikian eN(g). Selanjutnya, jika y,zN(g) sebarang, maka (yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz). Ini menunjukkan bahwa yzN(g), dengan demikian N(g) bersifat tertutup. Kemudian untuk sebarang xN(g) kita peroleh x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x1

x)g)x-1 = (eg)x-1 = gx-1.

Ini menunjukkan bahwa x-1N(g), dan melengkapi pembuktian kita. 2.22. DEFINISI. Misalkan G grup, Center dari G, ditulis ZG, adalah himpunan semua unsur z dalam G sedemikian sehingga zg = gz untuk semua gG. Jadi, ZG = {zGzg = gz, untuk semua gG}. Jadi, ZG =

 N g  ,

gG

dimana N(g) Centralizer dari g dalam G. 2.23. LEMMA. Jika G grup sebarang, maka ZG merupakan subgrup dari G. BUKTI. Jelas ZG  , karena eg = ge untuk semua gG, dengan demikian eZG. Selanjutnya, jika y,zZG sebarang, maka yg = gy dan zg = gz untuk semua gG. Sehingga untuk semua gG diperoleh (yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz). Ini menunjukkan bahwa yzZG, dengan demikian ZG bersifat tertutup. Kemudian untuk sebarang x ZG dan untuk semua gG kita peroleh x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x1

x)g)x-1 = (eg)x-1 = gx-1. 34

Ini menunjukkan bahwa x-1 ZG, dan melengkapi pembuktian kita. SOAL-SOAL: 1. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa HK juga merupakan subgrup dari G. 2. Jika H subgrup dari G, dan aG, Misalkan aHa-1 = {aha-1hH}, maka tunjukkanlah bahwa aHa-1 merupakan subgrup dari G. 3. Daftarkan semua koset kanan dari H dalam G dimana a. G = (a) suatu grup siklik orde 10 dan H = (a2) subgrup dari G yang dibangun oleh a2. b. G seperti bagian a. di atas, H = (a5) subgrup dari G yang dibangun oleh a5 c. G = A(S), S = {x1,x2,x3} dan H = {fGf(x1) = x1} 4. Daftarkan semua koset kiri dari H dalam G pada soal 3. 5. Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, Hn subgrup dari G yang memuat semua himpunan bilangan bulat kelipatan n. Tentukan indeks dari Hn dalam G, dan daftarkan semua koset kanan dari Hn dalam G. 6. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H), yaitu himpunan {xGxh = hx, untuk semua hH}. Buktikan bahwa C(H) merupakan subgrup dari G. 7. Jika H subgrup dari G, dan misalkan N(H) = {aG aHa-1 = H}. Buktikanlah bahwa N(H) merupakan subgrup dari G, dan N(H)  H. 8. Misalkan pemetaan fab untuk bilangan-bilangan real a dan b, memetakan masing-masing bilangan real kepada bilangan real dengan aturan fab : x 

35

ax + b. Misalkan G = {faba  0}. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah operasi komposisi fungsi. Tentukan rumus pemetaan untuk fabofcd. 9. Dalam grup G dalam soal no.8, misalkan N = {f1bG}, buktikan bahwa a. N subgrup dari G b. Jika aG, nN, maka ana-1N.

36

BAB III SUBGRUP NORMAL DAN GRUP KUOSIEN

A. Subgrup Normal Misalkan G = S3 dan H = {e, f} subgrup dari G. Karena iG(H) = 3, maka kita mempunyai tiga koset kanan dari H yang berbeda dalam G, yaitu: H = He = {e, f} = Hf Hg = {g, fg} = Hfg Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf dan juga kita mempunyai tiga koset kiri dari H yang berbeda dalam G, yaitu: H = eH = {e, f} = fH gH = {g, gf} = Hgf g2H = {g2, g2f = fg} = Hfg. Disini kita memperoleh fakta bahwa Hg  gH dan juga Hg2 = g2H. Karena itu gH bukan koset kanan dari H dalam G, yang secara umum bahwa koset-koset kiri dari H dalam G bukan merupakan koset kanan dari H dalam G. Selanjutnya, pada kasus lain jika kita pilih N = {e, g, g2} subgrup dari G = S3, maka kita mempunyai iG(N) = 2, yang berarti terdapat dua koset kanan dari N yang berbeda dalam G, yaitu: Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2, Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg, dan juga terdapat dua koset kiri dari N yang berbeda dalam G, yaitu: eN = N = {e, g, g2} fN= {f, fg, fg2 = gf} = fgN = gfN. Pada kasus ini, terlihat bahwa setiap koset kiri dari N dalam G juga merupakan koset kanan dari N dalam G.

37

Sekarang kita akan mendefinisikan subgrup khusus dari suatu grup, yang selanjutnya akan kita jelaskan sifat-sifat yang dihasilkan oleh definisi ini dengan fakta yang dikemukakan pada paragraf sebelumnya. 3.1. DEFINISI. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika untuk setiap gG dan nN, berlaku gng-1  N. Definisi 3.1. di atas dapat dijelaskan kembali seperti berikut. Jika gG dan misalkan gNg-1 = {gng-1  nN}, maka N dikatakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1  N untuk setiap gG. 3.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}. Telah ditunjukkan pada Contoh 2.4(a), H merupakan subgrup dari G. Sekarang jika gG, dan h  H sebarang, misalkan h = 3n1 untuk suatu bilangan bulat n1 , maka ghg-1 = g + 3n1 + (-g) = g + n1 + n1 + n1 + (-g). Karena G adalah grup komutatif, maka g + n1 + n1 + n1 + (-g) = g + (-g)+ n1 + n1 + n1 = 3n1  H. Ini membuktikan bahwa H subgrup normal dari G. (b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, g2, gf} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Selanjutnya, jika kita memilih gG dan fH, maka kita peroleh gfg-1 = gfg2 = ggf = g2f = fg  H. Oleh karena itu, H bukan subgrup normal dari G. 38

Akan tetapi jika N = {e, g, g2}, subgrup dari G, maka N merupakan subgrup dari G. Perhatikan bahwa eee-1 = e N,

ege-1 = g N,

eg2e-1 = g2N,

fef -1 = e N,

fgf -1 = g2 N,

fg2f -1 = gN,

geg -1 = e N,

ggg -1 = g N,

gg2g -1 = g2N,

fge(fg) -1 = e N,

fgg(fg) -1 = g2 N,

fgg2(fg) -1 = gN,

gfe(gf) -1 = e N,

gfg(gf) -1 = g2 N,

gfg2(gf) -1 = gN,

g2e(g2) -1 = e N,

g2g(g2) -1 = g N,

g2g2(g2) -1 = g2N.

Dari sini, kita peroleh bahwa setiap xG dan nN, berlaku xnx-1N, dengan demikian N subgrup normal dari G.  a b    a, b, c, d  R, ad  bc  1  c d  

(c) Misalkan G = 

dengan operasi

perkalian matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup.  a b     G  . Pada Contoh 2.4(g) telah diperlihatkan bahwa H   b a  

Misalkan H = 

 1  1  G dan  1 2 

merupakan subgrup dari G. Sekarang jika kita memilih A =   1 B=  23   2

3 2 1 2

  H, maka  

 1  1  12  ABA =  3   1 2    2 -1

Karena

3 

5 2

3 2 1 2

   

-1

3 , maka ABA



 1 1 3 3  2 1   =  2 5   3  1 1 2 

 1 2

  1  3 3 



3



 H, dengan demikian H bukan subgrup

normal dari G. Pada kenyataannya untuk sebarang QH, dapat dipenuhi PQP1

H jika dan hanya jika PH. (Periksa!)

39

3.3. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk setiap gG. BUKTI. Jika gNg-1 = N untuk setiap gG, maka jelaslah bahwa gNg-1  N untuk setiap gG. Akibatnya menurut Definisi 3.1 N merupakan subgrup normal dari G. Sebaliknya, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan gG sebarang, maka menurut Definisi 3.1, berlaku gNg-1  N. Selanjutnya, karena N subgrup normal dari G, maka berlaku juga. g-1Ng = g-1N(g-1)-1  N. Akibatnya, N = eNe = g(g-1Ng)g-1  gNg-1. Karena ini berlaku untuk sebarang gG, maka diperoleh gNg-1 = N untuk setiap gG. Perlu dicermati, bahwa Lemma 3.3. ini tidak mengatakan bahwa untuk setiap gG dan nN berlaku gng-1 = n. Hal ini dapat diberikan contoh kontra berikut ini. Misalkan G = S3 dan N = {e, g, g2} (dapat ditunjukkan bahwa N subgrup normal dari G). fgf-1 = fgf = ffg2 = g2  g. Akan tetapi jika G grup komutatif, maka semua N subgrup dari G merupakan subgrup normal, dan berlaku untuk setiap gG dan setiap nN berlaku gng-1 = n. (Buktikan!) 3.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N subgrup normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kanan dari G merupakan koset kiri dari N dalam G. BUKTI. Pertama-tama anggaplah N subgrup normal dari G, maka menurut Lemma 3.3., gNg-1 = N untuk setiap gG, yang diikuti oleh gN = Ng 40

untuk setiap gG. Jadi koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kiri dari N dalam G. Sebaliknya, anggaplah setiap koset kanan dari N dalam G merupakan koset kiri dari N dalam G. Misalkan gG sebarang, dan gN koset kiri dari N dalam G. Menurut hipotesis, gN juga merupakan koset kanan dari N dalam G. Karena g = ge  gN dan karena g juga merupakan unsur dalam Ng, maka berarti g  gN  Ng. Akibatnya, Ng = gN. Dari sini, kita peroleh bahwa untuk sebarang gG, berlaku gNg-1 = Ngg-1 = Ne = N Jadi menurut Lemma 3.3, N subgrup normal dari G. Salah satu contoh konkrit bagi Lemma 3.4, dapat kita lihat pada paragraf-paragraf awal Bab ini. Jika kita mempunyai grup G = S3 dan N = {e, g, g2}, maka berdasarkan Lemma 3.4, N merupakan subgrup normal dari G. Sementara itu apabila kita mempunyai grup G = S3 juga dan H = {e, f}, maka H bukanlah subgrup normal dari G, karena tidak memenuhi syarat cukup bagi H untuk menjadi subgrup normal. 3.5. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N merupakan subgrup normal dari G jika dan hanya jika hasil kali dua koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kanan dari N dalam G. BUKTI. Pertama-tama, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan a,bG sebarang, maka Na dan Nb adalah koset-koset kanan dari N dalam G. Karena N subgrup normal dari G dan dengan menggunakan Lemma 3.4., maka (Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = (NN)(ab) = Nab, yang juga merupakan koset kanan dari N dalam G. 41

Sebaliknya, anggaplah bahwa perkalian dua koset kanan dari N dalam G juga meru-pakan koset kanan dari N dalam G. Misalkan gG sebarang, maka g-1G. Ng dan Ng-1 merupakan dua koset kanan dari N dalam G, sehingga menurut hipotesis bahwa (Ng)(Ng-1) suatu koset kanan dari N dalam G. Akan tetapi e =gg-1 = (eg)(eg-1)  (Ng)(Ng-1). Di pihak lain, karena N juga suatu koset kanan dari N dalam G dan jelas eN, maka N  (Ng)(Ng-1)  , yang berakibat N = (Ng)(Ng-1). Oleh karena itu, untuk sebarang nN, berlaku gng-1 = egng-1 = n(n-1gng-1)  nN = N. Ini membuktikan bahwa N subgrup normal dari G. 3.6. LEMMA. Misalkan M dan N keduanya subgrup normal dari grup G. Maka MN juga merupakan subgrup normal dari G. BUKTI. Jelas, MN  , karena eM dan eN yang mengakibatkan e = eeMN. Selanjutnya, jika m1n1, m2n2 unsur-unsur di MN, maka (m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2 Karena M subgrup normal dari G, maka n1m2n1-1M, dengan demikian (m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2 = (m1n1m2n1-1)(n1n2)MN. Ini membuktikan bahwa MN bersifat tertutup. Selain itu, (m1n1)-1 = n1-1m1-1 = m1-1(m1n1-1m1-1) Karena N subgrup normal dari G, maka m1n1m1-1N, dengan demikian (m1n1)1

MN.

Sampai disini, kita telah mebuktikan bahwa MN subgrup dari G, tinggal membuktikan bahwa MN subgrup normal dari G. Untuk keperluan ini, misalkan gG dan mnMN sebarang. 42

gmng-1 = (gmg-1)(gng-1) Karena M dan N keduanya subgrup normal dari G, maka ruas kanan dari persamaan di atas merupakan unsur di MN. Ini melengkapi pembuktian Lemma 3.6 di atas.

B. GRUP KUOSIEN ATAU GRUP FAKTOR Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Perhatikan bahwa kita mempunyai Ng untuk semua gG yaitu koset-koset kanan dari N dalam G. Kita notasikan himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G dengan G/N, yaitu G/N = {Ng  gG}. Disini, jelas bahwa G/N  , sebab N = Ne merupakan suatu koset kanan dari N dalam G, jadi N G/N. Oleh karena N subgrup normal dari G, maka kita mempunyai sifat bahwa perkalian sebarang dua koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kanan dari N dalam G (Lemma 3.5). Berikut ini kita akan menunjukkan bahwa dengan operasi perkalian koset-koset kanan sebagaimana pada Lemma 3.5, G/N membentuk grup. 3.7. TEOREMA. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka G/N membentuk grup. BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 3.5, kita akan mendefinisikan operasi perkalian dalam G/N, dengan (Ng1)(Ng2) = N(g1g2) untuk semua g1,g2G. Dari sini berarti sifat ketertutupan G/N dengan operasi ini telah dipenuhi. Tinggal kita membuktikan sifat-sifat lain, yaitu: keberlakuan sifat asosiatif operasi ini dalam G/N, eksistensi unsur identitas operasi dalam G/N, dan keberadaan unsur invers dalam G/N bagi semua unsur dalam G/N. Untuk itu, 43

misalkan g1, g2 dan g3 unsur-unsur dalam G dan X = Ng1, Y = Ng2 dan Z = Ng3. X(YZ) = (Ng1)((Ng2)(Ng3)) = (Ng1)(N(g2g3) = N(g1(g2g3)) = N((g1g2)g3) = (N(g1g2))(Ng3) = ((Ng1)(Ng2))(Ng3) = (XY)Z. Jadi, sifat asosiatif dipenuhi oleh operasi perkalian ini. Selanjutnya, perhatikanlah bahwa N = Ne merupakan unsur dalam G/N, dan perhatikan juga bahwa XN = (Ng1)N = (Ng1)(Ne) = N(g1e) = Ng1 = X, dan NX = N(Ng1) = (Ne)(Ng1) = N(eg1) = Ng1 = X. Jadi, N merupakan unsur identitas dalam G/N menurut operasi perkalian dalam G/N. Akhirnya, kita mempunyai g1-1 juga merupakan unsur dalam G, oleh karena itu Ng1-1G/N. (Ng1)(Ng1-1) = N(g1g1-1) = Ne = N, dan (Ng1-1)(Ng1) = N(g1-1g1) = Ne = N. Akibatnya, Ng1-1 = (Ng1)-1. Ini melengkapi pembuktian kita terhadap Teorema 3.7. Grup G/N disebut grup kuosien (grup faktor) dari G oleh N. 3.8. CONTOH-CONTOH. (a)

Misalkan G grup bilangan bulat dan N

himpunan bilangan bulat kelipatan 5, yaitu N = {5g  gG}. Telah ditunjukkan bahwa N merupakan subgrup dari G, dan karena G grup Abelian, maka N merupakan subgrup normal dari G. Dengan demikian menurut Teorema 3.7. kita pasti mempunyai G/N = {N + g  gG}, yaitu grup kuosien dari G oleh N. Sekarang kita akan menentukan o(G/N), yaitu banyaknya unsur dalam G/N.

44

Perhatikan bahwa N, N + 1, N + 2, N + 3, dan N + 4 merupakan unsurunsur dalam G/N. Misalkan gG sebarang, maka kita dapat nyatakan g = 5g0 + h untuk suatu g0G dan h sisa pembagian dari g oleh 5, yaitu h = 0, atau 1, atau 2, atau 3, atau 4, sehingga N + g = N + (5g0 + h) = (N + 5g0) + h. Karena 5g0  N, maka N + 5g0 = N. Akibatnya, N + g = N + h. Dri sini berarti G/N = {N, N + 1, N + 2, N + 3, N + 4} Karena itu, o(G/N) = 5. Contoh 3.8(a) di atas, dapat diperluas pada sebarang bilangan bulat n, dengan mengambil N = {ng  gG}. Dengan cara yang sama, maka dengan mudah dapat diperoleh G/N = {N, N + 1, N + 2, … , N + (n –1)}, dan kemudian diperoleh o(G/N) = n. (b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan H = {e, f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Koset-koset kanan dari H dalam G, adalah H = He = {e, f} = Hf Hg = {g, fg} = Hfg Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf Karena itu kita mempunyai G/H = {H, Hg, Ng2}. Akan tetapi, G/H bukan grup, karena H bukan subgrup normal dari G. (c) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan N = {e, g, g2} subgrup dari G. Telah ditunjukkan bahwa N subgrup normal dari G. Koset-koset kanan dari N dalam G, adalah 45

Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2, Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg, Karena itu kita mempunyai G/N = {N, Nf}. Karena N subgrup normal dari G, maka menurut Teorem 3.7, G/N merupakan grup, dan o(G/N) = 2. 3.9. LEMMA AKIBAT. Jika G grup komutatif dan N subgrup normal dari G, maka G/N membentuk grup komutatif. BUKTI. Berdasarkan Teorema 3.7, kita mempunyai grup kuosien G/N. Selanjutnya, jika X = Ng1 dan Y = Ng2 unsur-unsur sebarang dalam G/N maka XY = (Ng1)(Ng2) = N(g1g2). Karena G grup komutatif, maka g1g2 =g2g1. Akibatnya, N(g1g2) = N(g2g1) = (Ng2)(Ng1) = YX. 3.9. LEMMA. Jika G grup hingga dan N subgrup normal dari G, maka o(G/N) =

oG 

o N 

.

BUKTI. Karena o(G) berhingga, maka banyaknya koset kanan dari N dalam G juga berhingga, yang berakibat iG(N) berhingga, yaitu iG(N) = o(G)/o(N). Oleh karena G/N adalah himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G, maka berarti o(G/N) = iG(N) =

oG 

o N 

.

SOAL – SOAL. 1. Jika G grup, dan H subgrup dari G dengan iG(H) = 2, maka buktikanlah bahwa H subgrup normal dari G. 2. Jika N subgrup normal dari grup G dan H sebarang subgrup dari G, maka buktikanlah bahwa NH subgrup dari G.

46

3. Tunjukkanlah bahwa irisan dari dua subgrup normal dari grup G juga merupakan subgrup normal. 4. Jika H subgrup dari grup G dan N subgrup normal dari G, maka tunjukkanlah bahwa HN merupakan subgrup normal dari G. 5. Jika H subgrup dari grup G, misalkan N(H) = {gG  gHg-1 = H}. Buktikanlah bahwa: a. N(H) subgrup dari G. b. H subgrup normal dari N(H). c. Jika K subgrup dari G, dan H subgrup normal dari K, maka K  N(H). d. H subgrup normal dari G jika dan hanya jika N(H) = G. 6. Misalkan N dan M subgrup-subgrup normal dari grup G, dan NM = (e). Tunjukkanlah bahwa untuk sebarang nN dan mM berlaku nm = mn. 7. Jika T subgrup siklik normal dari grup G, maka tunjukkanlah bahwa setiap subgrup dari T merupakan subgrup normal dari G. a b   dimana ad  0 dibawah 0 d 

8. Misalkan G himpunan semua matriks 22, 

 1 b    b bilangan real . operasi perkalian matriks. Misalkan N =   0 1 

Buktikanlah bahwa: a. N subgrup normal dari G. b. G/N merupakan grup Abelian.

47



BAB IV HOMOMORFISMA GRUP

4.1 DEFINISI. Suatu pemetaan f dari grup G ke dalam grup G disebut homomorfisma grup atau homomorfisma dari G ke dalam G , jika dan hanya jika untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b). Perlu dicatat bahwa pada Definisi 4.1 di atas melibatkan dua operasi biner, yang terlihat pada ekspresi f(ab) = f(a)f(b). Di ruas kiri, operasi biner yang dipergunakan adalah operasi biner dalam G, sedangkan di ruas kanan yang dipergunakan adalah operasi biner pada G . Untuk menjelaskan lebih detail dari Definisi 4.1, akan dikemukakan beberapa contoh, akan tetapi sebelumnya kita perlu mendefinisikan terlebih dahulu tentang kernal suatu homomorfisma grup dari suatu grup kedalam grup lain. 4.2. DEFINSI. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup G . Kernel dari f, disimbol Kf, adalah himpunan semua xG yang dipetakan oleh f ke e , dimana e unsur identitas dalam G . Atau, dengan kata lain, Kf = {xG  f(x) = e } 4.3. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G  G dengan f(x) = e (unsur identitas dalam G) untuk setiap xG. Maka jelas f suatu homomorfisma, karena untuk setiap a,bG, berlaku f(ab) = e = ee = f(a)f(b).

48

Disini, e merupakan unsur identitas dalam G, sehingga kernel dari f adalah Kf = G, karena semua unsur dalam G dipetakan oleh f ke e. Pada kasus ini, kita sebut f homomorfisma konstan e. (b) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G  G dengan f(x) = x untuk setiap xG. Fungsi f ini juga merupakan homomorfisma, sebab untuk setiap a,bG, berlaku f(ab) = ab = f(a)f(b). Sedangkan kernel dari f adalah Kf = {e}, karena jika a  e, maka f(a) = a  e, jadi aKf. Lebih dari itu, f bersifat injektif, karena jika a,bG sebarang dengan f(a) = f(b), maka a = f(a) = f(b) = b. Kemudian, f juga bersifat surjektif, karena apabila yG sebarang, kita dapat memilih yG ini sehingga f(y) = y. Pada kasus ini, f kita sebut dengan homomorfisma identitas pada G, disimbol idG. Jadi, idG(x) = x untuk setiap xG. (c) Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan real, dan G grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada bilangan-bilangan real. Definisikan f : G  G , dengan f(x) = 3x untuk setiap xG. Perhatikan bahwa G dan G memiliki operasi biner yang berbeda. Untuk menunjukkan bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b). Tetapi hal ini tidaklah sulit dilakukan, karena f(ab) = f(a + b) = 3a + b = 3a3b = f(a)f(b). Jadi, f suatu homomorfisma. Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G pada G , karena 3x selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapapun, akan tetapi f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai unsur 49

1 sebagai unsur identitas dalam G , sehingga kernel dari f adalah Kf = {xG  3x = 1} = {0}, karena apabila x  0, maka f(x) = 3x  30 = 1. (d) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, gf, g2} dan G = {e, f}. Definisikan  : G  G dengan (f ig j) = f i, i = 0,1, dan j = 0,1,2. Dari pendefinisian seperti ini, kita mempunyai G = {e, f, g, fg, gf, g2} = {f 0g0, f 1g0, f 0g1, f 1g1, f 1g2, f 0 2

g }, dan diperoleh (e) = (ee) = (f 0g0) = f0 = e, (f) = (fe) = (f 1g0) = f1 = f, (g) = (eg) = (f 0g1) = f0 = e, (fg) = (f 1g1) = f 1 = f, (gf) = (fg2) = (f 1g2) = f 1 = f, dan (g2) = (eg2) = (f 0g2) = f 0 = e.

Nilai-nilai dari (f ig j) diperlihatkan pada Tabel 4.1, dan nilai-nilai dari (f i

)(g j) diperli-hatkan pada Tabel 4.2 (i = 0,1, dan j = 0,1,2).

Tabel 4.1. Nilai-nilai dari (figj) (i = 0,1, dan j = 0,1,2) 

e

f

g

fg

gf

g2

e

e

f

e

f

e

f

f

f

e

f

e

e

f

g

e

f

e

f

e

f

fg

f

e

f

e

e

f

gf

f

e

f

e

e

f

g2

e

f

e

f

e

f

50

Perlu dicatat, bahwa hasil yang tercantum pada Tabel 4.1 adalah hasil dari peta perkalian dua unsur dalam G oleh pemetaan , dan tidak diartikan  sebagai operasi biner (perkalian) dalam G. Jadi, e = (ee), bukan e = ee, f = (fg), bukan f = fg, dan seterusnya. Tabel 4.2. Nilai-nilai dari (f i)(g j) (i = 0,1, dan j = 0,1,2) .

(e)

(f)

(g)

(fg)

(gf)

(g2)

(e)

e

f

e

f

e

f

(f)

f

e

f

e

e

f

(g)

e

f

e

f

e

f

(fg)

f

e

f

e

e

f

(gf)

f

e

f

e

e

f

(g2)

e

f

e

f

e

f

Berdasarkan hasil-hasil pada Tabel 4.1. dan Tabel 4.2, maka kita berkesimpulan bahwa (figj) = (fi)(gj), (i = 0,1, dan j = 0,1,2), untuk semua figjG, (i = 0,1, dan j = 0,1,2). Tambahan lagi, kernel dari  adalah K = {e, g, g2}, karena (e) = (g) = (g2) = e. (e) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan G = G. Definisikan f : G  G dengan f(x) = 2x untuk semua xG [disini 2x diartikan sebagai x + x, bukan perkalian 2 dengan x]. Jika a,bG sebarang, maka f(a + b) = 2(a + b) = (a + b) + (a + b) = (a + a) + (b + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b). Jadi, f merupakan suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {0}, sebab jika x  0 maka f(x) = 2x = x + x  0, yang mengakibatkan xKf. Tambahan 51

juga bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sehingga x  y, maka 2x = x + x  y + y = 2y. Akan tetapi f bukan suatu surjeksi, karena tidak ada aG yang dipetakan oleh f ke 3 G . (f) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian, dan G = {1, -1} dengan operasi: 1(1) = 1 = (-1)(-1), dan 1(-1) = -1 = (-1)(1). Definisikan fungsi f : G  G , dengan  1, jika x bilangan real positif  1, jika x bilangan real negatif

f(x) = 

Misalkan a,bG sebarang, maka kita mempunyai empat kasus, yaitu: Kasus I. Jika a,b keduanya bilangan real positif, maka kita mempunyai ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (1)(1) = f(a)f(b). Kasus II. Jika a positif dan b negatif, maka kita mempunyai ab bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (1)(-1) = f(a)f(b). Kasus III. Jika a negatif dan b positif, maka kita mempunyai ab bilangan negatif. Karena itu, f(ab) = -1 = (-1)(1) = f(a)f(b). Kasus IV. Jika a,b keduanya bilangan real negatif, maka kita mempunyai ab bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (-1)(-1) = f(a)f(b). Dari sini, kita peroleh kesimpulan bahwa f merupakan homomorfisma, dengan kernelnya adalah Kf = {xG  x bilangan real positif}. (g) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan G n grup bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan bilangan bulat

modulo n. Definisikan f : G  G n dengan f(x) = t, dimana t adalah sisa pembagian dari x oleh n. Untuk menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma, maka misalkan a,bG sebarang. f(ab) = f(a + b) =t0, dimana t0 adalah sisa pembagian dari a + b oleh n. 52

Karena sifat ketertutupan dari G n , maka kita mempunyai t0 = t1 + t2 dimana t1 adalah sisa pembagian dari a oleh n dan t2 adalah sisa pembagian dari b oleh n. Oleh karena itu, f(ab) = t0 = t1 + t2 = f(a) + f(b) = f(a)f(b). Jadi, f suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {xG  x = nt, t bilangan bulat}. (h) Misalkan G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian, dan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan. Definisikan fungsi f : G

 G dengan f(x) =

10

log(x) untuk setiap xG. Misalkan a,bG sebarang,

maka kita mempunyai hubungan f(ab) = 10log(ab) = 10log(a) + 10log(b) = f(a) + f(b) = f(a)f(b). Dari sini, disimpulkan bahwa f suatu homomorfisma. Sebagai tambahan, bahwa f suatu injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 10

log(x) = 10log(y) = f(y), maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai

0 G sebagai unsur identitas dalam G , karena itu, kernel dari f adalah Kf = {xG  10log(x) = 0} = {1}. a b 

 , (i) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk  0 d 

sehingga ad  0, dengan operasi perkalian matriks-matriks. Misalkan juga G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian. Definisikan f : G  G  a b 

a b 

a

b 

1  dan Y =   = ad untuk setiap   G. Jika X =  1 dengan f   0 d 0 d 0 d   1      

53

 a2  0

b2   unsur-unsur sebarang dalam G, maka kita mempunyai XY = d 2 

 a1  0

b1   a 2  d 1   0

b2  a a  =  1 2 d2   0   a1 a 2

f(XY) = f  

 0

a1 b2  b1 d 2   , f(X) = a1d1, dan f(Y) = a2d2. d1d 2 

a1 b2  b1 d 2     = (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2) = f(X)f(Y). d1d 2 

Jadi, f suatu homomorfisma. Selanjutnya, kita mempunyai 1 G sebagai unsur identitas dalam G , karena

itu

kernel

dari

f

adalah

Kf

=

 p q     G ps  1   0 s  

=

 p q     G p , q bilangan real  .   0 1 p  

Tambahan lagi, bahwa pada kenyataannya, f merupakan fungsi dari G pada  y 0  G sehingga G , karena jika y G sebarang, kita dapat memilih X =   0 1

 y 0   = y. 0 1  

f(X) = f  

4.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup normal dari G, oleh karenanya kita mempunyai grup kuosien G/N. Definisikan f : G  G/N dengan f(x) = Nx untuk semua xG. Maka f merupakan suatu homomorfisma dari G pada G/N. Atau dengan kata lain, bahwa G/N merupakan peta homomorfisma dari G. Selanjutnya, Kernel dari f adalah N. BUKTI. Misalkan a,bG sebarang. f(ab) = N(ab) = (Na)(Nb) = f(a)f(b). Ini menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma. Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa f suatu surjeksi, maka kita ambil XG/N sebarang 54

dan misalkan X = Ny untuk suatu yG. Dengan memilih yG ini, maka kita mempunyai f(y) = Ny = X. Sekarang, misalkan kernel dari f adalah Kf. Jika xKf, maka f(x) = N (unsur identitas dalam G/N). Di pihak lain, f(x) = Nx, dengan demikian Nx = N. Ini menghasilkan xN. Ini menunjukkan bahwa KfN. Sebaliknya, jika yN, maka f(y) = Ny, dan karena yN, maka menurut Lemma 2.11 f(y) = N, dengan demikian yKf. Ini menunjukkan bahwa N  Kf, yang melengkapi pembuktian bahwa kernel dari f adalah N. Berikut ini adalah lemma yang memberikan jaminan bahwa kernel dari suatu homomorfisma dari grup G ke dalam G bukan himpunan kosong. 4.5. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G ke dalam G , maka (1) f(e) = e , dimana e unsur identitas dalam G . (2) f(x-1) = f(x)-1, untuk setiap xG. BUKTI. Untuk membuktikan (1), perhatikan bahwa untuk setiap xG kita mempunyai f(x) e = f(x) = f(xe) = f(x)f(e). Dengan menggunakan sifat pencoretan dalam G , kita peroleh f(e) = e . Sementara itu, untuk membuktikan (2), perhatikan bahwa untuk setiap xG berlaku f(x)f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e , dan f(x-1)f(x) = f(x-1x) = f(e) = e . Ini membuktikan bahwa f(x-1) = f(x)-1. Lemma 4.5 di atas, mengatakan bahwa e merupakan unsur dalam kernel dari sebarang homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain. Jadi,

55

kernel dari homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain bukan himpunan kosong. 4.6. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G kedalam G dengan kernel K, maka K merupakan subgrup normal dari G. BUKTI. Terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa K merupakan subgrup dari G. Sifat K   segera dipenuhi dengan jaminan Lemma 4.5(1), tinggal kita tunjukkan bahwa K memenuhi sifat ketertutupan terhadap operasi dalam G, dan keberadaan unsur invers dari semua unsur dalam K yang harus juga terdapat dalam K. Untuk ini, misalkan x,yK sebarang. f(xy) = f(x)f(y) = e e = e , dan f(x-1) = f(x)-1 = e -1 = e , yang keduanya berturut-turut menyatakan bahwa xyK dan x-1K. Jadi, K merupakan subgrup dari G. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa K subgrup normal dari G. Perhatikan bahwa untuk sebarang gG dan kK, berlaku f(gkg-1) = f(g)f(k)f(g-1) = f(g) e f(g-1) = f(g)f(g)-1 = e . Dari sini, kita peroleh bahwa gkg-1K. Jadi K merupakan suatu subgrup normal dari G. Oleh karena K merupakan subgrup normal dari grup G sebagaimana hasil Lemma 4.6, maka berdasarkan Teorem 3.6 dan Lemma 4.4, diperoleh bahwa kita pasti memiliki G/K yang merupakan peta homomorfisma dari grup G. 4.7. DEFINISI. Misalkan G dan G grup-grup, f suatu homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel, K. Jika g  G maka kita definisikan

56

himpunan semua peta invers (inverse image) dari g dibawah f, ditulis If-1( g ), sebagai {xGf(x) = g } 4.8. LEMMA. Jika G dan G grup, f suatu homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel, K dan misalkan pula g  G . Maka If-1( g ) = Kx dimana x peta invers tertentu yang sebarang dari g oleh f dalam G. BUKTI. Jika g = e (unsur identitas dari G ), maka menurut Definisi, If1

( g ) = K berlaku secara trivial. Jika g  e , misalkan xG sebuah peta invers

dari g oleh f, yaitu f(x) = g . Kita klaim bahwa If-1( g ) = Kx. Untuk membuktikan ini, misalkan yKx sebarang. Maka y = kx untuk suatu kK. Karena itu f(y) = f(kx) = f(k)f(x) = e f(x) = g . Ini menunjukkan bahwa y If1

( g ) dengan demikian Kx  If-1( g ). Sebaliknya, misalkan z If-1( g ) sebarang maka f(z) = g = f(x).

Karenanya e = f(z)(f(x))-1 = f(z)f(x-1) = f(zx-1). Mengikuti ini, diperoleh zx-1K yang berarti zx-1 = k1 untuk suatu k1  K. Dari sini z = k1xKx. Jadi If-1( g )  Kx. Ini melengkapi pembuktian klaim kita. 4.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dibawah operasi perkalian pada bilangan real dan G = {-1,1} dengan operasi perkalian. Pandang fungsi f : G  G dengan f(x) = 1 jika x bilangan real positif dan f(x) = -1 jika x bilangan real negatif. Menurut Contoh 4.3(f), f merupakan suatu homomorfisma dengan kernel, K = {xGf(x) = 1} = {xG x bilangan real positif}. Berdasarkan Lemma 4.8 di atas, diperoleh If1

(1) = K dan If-1(-1) = {xG x bilangan real negatif} = Ky dimana y bilangan

real negatif. 57

a b 

 , (b) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk  0 d 

sedemikian sehingga ad  0, dengan operasi perkalian matriks-matriks dan G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan real. Sekarang pandang suatu pemetaan

f dari G ke dalam G dengan

 a b  a b    = ad untuk setiap   G. Sebagaimana pada Contoh 4.3(i), f 0 d   0 d 

f  

merupakan suatu homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel  p K = 

 q    G p, q bilangan real, p  0  .  0 1 p  

Selanjutnya, misalkan g = 2  G , maka f –1(2) =

 a b    a  b    G ad  2 =   a,b bilangan real dan a  0 .   0 d    0 2 / a  

Menurut Lemma 4.8, dengan memisalkan a = p dan b = 2q, maka diperoleh f – 1

1 0 1 0  , karena   G yang merupakan suatu peta invers dari 2   0 2  0 2

(2) = K 

G . Dapat juga kita memisalkan a = 2p dan b = -p + q, untuk memperoleh f 1

–

 2  1  2  1  , karena   G juga merupakan suatu peta invers dari 2 1 0 1 

(2) = K  0

G. 4.10. DEFINISI. Suatu homomorfisma f dari G ke dalam G dikatakan suatu isomorfisma jika f pemetaan satu-satu (one-to-one mapping). Sebagai contoh untuk isomorfisma dari suatu grup ke grup yang lain, antara lain telah kita peroleh pada Contoh 4.3(b), (c), (e) dan (h).

58

4.11. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup G dengan kernel K. f merupakan suatu isomorfisma jika dan hanya jika K = (e). BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 4.8 diperoleh bahwa jika K = (e), maka untuk sebarang g  G , If-1( g ) = (e)x = {x} dengan demikian f suatu fungsi satu-satu. Sebaliknya, jika f pemetaan satu-satu, maka untuk sebarang xK, f(x) = e = f(e). Karena f satu-satu, maka x = e. Ini membuktikan bahwa K(e). Sebaliknya, secara trivial berlaku (e)  K, karena K merupakan subgrup dari G. Dari sini disimpulkan bahwa K = (e). 4.12. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup G dengan kernel K, maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K ke dalam G .

BUKTI. Misalkan f fungsi dari G pada G dengan pengaitan f : x  f(x) untuk setiap xG, dan g fungsi G kedalam G/K dengan pengaitan g : x  Kx untuk setiap xG. Telah ditunjukkan bahwa g bersifat pada (Lemma 4.4) dan kernel dari g adalah K. Sekarang bangun fungsi h dari G/K ke dalam G , dengan pengaitan h : Kx  f(x) untuk setiap xG. Perhatikan diagram berikut. f G

G

g h G/K

Pengaitan untuk f, g, dan h digambarkan seperti diagram berikut.

59

f x

f(x)

g h Kx

Akan ditunjukkan bahwa h suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K ke dalam G . Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa h merupakan suatu pemetaan, dalam arti bahwa kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx  f(x) terdefinisi dengan baik (well-defined). Untuk itu, misalkan x1, x2  G sebarang, sedemikian sehingga Kx1 = Kx2. Karena itu x1 = kx2 untuk suatu kK, dan akibatnya h(Kx1) = f(x1) = f(kx2) = f(k)f(x2) = e f(x2) = f(x2) = h(Kx2). Ini mengatakan bahwa pengaitan untuk h well-defined. Selanjutnya, misalkan Kx1 dan Kx2 unsur-unsur dalam G/K. h((Kx1)(Kx2)) = h(K(x1x2)) = f(x1x2) = f(x1)f(x2) = h(Kx1)h(Kx2). Jadi h merupakan suatu homomorfisma. Sekarang untuk membuktikan bahwa h suatu isomorfisma, tinggal menggunakan Teorema Akibat 4.11 dengan menunjukkan bahwa kernel dari h adalah (K). Untuk itu misalkan Kh kernel dari h. Jika XKh sebarang, maka X = Kx untuk suatu xG dan h(X) = h(Kx) = e . Di pihak lain, h(Kx) = f(x), yang mengakibatkan f(x) = e , dan dengan demikian xK (kernel dari f). Menurut Lemma 2.11, X = Kx = K(K), jadi Kh(K). Sebaliknya, jika Y = K(K), maka h(Y) = h(K) = h(Ke) = f(e) = e unsur identitas dalam G , sehingga dengan demikian YKh. Jadi (K)Kh, dan ini melengkapi pembuktian bahwa kernel dari h adalah (K). Karena K unsur identitas di G/K,

60

maka menurut Teorema Akibat 4.11, h merupakan isomorfisma dari G/K ke dalam G . 4.13. DEFINISI. Dua grup G dan G dikatakan isomorfik jika terdapat isomorfisma dari G pada G . Dalam kasus ini, ditulis G  G . 4.14. LEMMA. Jika G sebarang grup, maka G  G. BUKTI. Apabila kita memilih fungsi f : G  G sebagaimana pada Contoh 4.3(b), yaitu f(x) = x untuk setiap xG, maka kita mempunyai suatu isomorfisma dari G pada G. Ini membuktikan bahwa G  G. 4.15. LEMMA. Misalkan G dan G dua grup sebarang. Jika G  G , maka G  G. BUKTI. Misalkan f : G  G suatu isomorfisma dari G pada G . Definisikan  : G  G, dengan (y) = f -1(y) untuk setiap y G . Jelas ini suatu pemetaan karena sifat dari f sebagai isomorfisma. Kita akan menunjukkan bahwa  merupakan suatu isomorfisma dari G pada G. Sekarang, misalkan a,b G sebarang f((ab)) -1

= f(f -1(ab)) = (ff -1)(ab) = id G (ab) = ab = id G (a) id G (b) = (ff

)(a)(ff -1)(b) = f(f -1(a))f(f -1(b)) = f((a))f((b)) = f((a)(b)).

Karena f suatu isomorfisma, maka (ab) = (a)(b). Jadi  merupakan suatu homomorfisma. Selanjutnya, misalkan a,b G sebarang, dengan (a) = (b). Maka a = id G (a) = (ff -1)(a) = f(f -1(a)) = f((a)) = f((b)) = f(f -1(b)) = (ff -1)(b) =

61

id G (b) = b. Ini membuktikan bahwa  suatu pemetaan yang bersifat injektif (1

– 1). Akhirnya, misalkan xG sebarang, maka kita mempunyai f(x) G , sehingga (f(x)) = f-1(f(x)) = (f-1f)(x) = idG(x) = x. Ini membuktikan bahwa  bersifat surjektif, yang melengkapi pembuktian bahwa  suatu isomorfisma dari G pada G. Jadi G  G. 4.16. LEMMA. Jika G, G , dan G grup-grup sebarang. Jika G  G dan G  G , maka G  G .

BUKTI. Misalkan f suatu isomorfisma dari G pada G , dan g suatu isomorfisma dari G pada G . Sekarang, definisikan h : G  G , dengan h(x) = g(f(x)) untuk setiap xG. Jelas, h merupakan suatu pemetaan. Selanjutnya, misalkan a,bG sebarang, maka kita peroleh h(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = h(a)h(b). Ini menujukkan bahwa h suatu homomorfisma. Untuk membuktikan bahwa h bersifat injektif, misalkan a,bG dengan h(a) = h(b). Dari sini berarti g(f(a)) = g(f(b)) dan oleh karena g suatu isomorfisma, maka f(a) = f(b). Mengikuti ini, karena f suatu isomorfisma, maka a = b. Ini menunjukkan bahwa h suatu injeksi. Terakhir, untuk membuktikan bahwa h bersifat surjeksi, misalkan z G sebarang. Karena g suatu surjeksi, maka terdapat y G sehingga g(y) = z, dan karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sehingga f(x) = y. Dengan demikian kita mempunyai xG sehingga h(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

62

Ini membuktikan bahwa h suatu surjeksi. Jadi kita telah membuktikan bahwa h suatu isomorfisma dari G pada G , yang melengkapi pembuktian G  G . 4.17. LEMMA AKIBAT. Relasi isomorfik, , pada himpunan grup-grup merupakan relasi ekivalen. BUKTI. Lemma Akibat 4.17 ini merupakan rangkumam dari Lemma 4.14, Lemma 4.15, dan Lemma 4.16. 4.18. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G pada grup G dengan kernel K, maka G  G/K. BUKTI. Pada Teorema 4.12 kita telah membuktikan bahwa terdapat isomorfisma h dari G/K ke dalam G dengan pengaitan h : Kx  f(x) untuk semua xG. Disini kita tinggal menunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi apabila f suatu surjeksi

Untuk keperluan ini, misalkan y G

sebarang. Karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sedemikian sehingga y = f(x). Pilih KxG/K, sehingga diperoleh h(Kx) = f(x) = y. Ini membuktikan bahwa h bersifat pada, dan sekaligus melengkapi pembuktian bahwa G/K  G , dan menurut Lemma 4.15 ini membuktikan juga bahwa G  G/K.

4.19. LEMMA. Misalkan G, G grup-grup, f homomorfisma dari G ke dalam G dengan kernel K. Jika H subgrup dari G , maka H = f-1( H ) = {xG  f(x) H } merupakan subgrup dari G yang memuat K. Lebih dari itu, jika H subgrup normal dari G , maka H juga merupakan subgrup normal dari G. BUKTI. Jelas KH, karena jika xK, maka f(x) = e  H , dengan demikian xH. Selanjutnya, jelas juga bahwa H  , sebab f(e) = e  H ,

63

yang berarti bahwa eH. Kemudian, jika x,yH sebarang, maka f(x) H dan f(y) H , dengan demikian f(xy) = f(x)f(y) H , dan f(x-1) = (f(x))-1 H , yang berturut-turut, membuktikan bahwa xyH dan x-1H. Jadi, H = f-1( H ) merupakan subgrup dari G yang memuat K. Tinggal kita membuktikan bahwa H subgrup normal dari G jika H subgrup normal dari G . Untuk keperluan ini, misalkan gG dan hH sebarang. f(ghg-1) = f(g)f(h)f(g-1) = f(g)f(h)(f(g))-1. Karena H subgrup normal dari G , maka f(g)f(h)(f(g))-1 H , yang diikuti oleh ghg-1H. Perlu dicatat bahwa menurut Teorema 4.18, G  G/K. Karena KH, maka f : H  H juga pemetaan dari H pada H , yang secara jelas mempunyai kernel K. Akibatnya, H  H/K. 4.20. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup G , dengan kernel K. Misalkan pula L subgrup dari G yang memuat K. (1) Jika L0 = L, maka f(L0) = f(L). (2) Jika L = f(L) = {f(x)  xL} yaitu peta dari L oleh f, maka L merupakan subgrup dari G . Jika L subgrup normal dari G, maka L juga merupakan subgrup normal dari G . (3) Jika T = {xG  f(x) L }, maka T = L. BUKTI. (1) Jelas, karena untuk setiap yf(L0) juga merupakan unsur di f(L), demikian sebaliknya. Karena itu f(L0) = f(L).

64

(2) Jelas L = f(L)  , karena eL yang menghasilkan f(e) L . Selanjutnya, jika y1,y2 L , maka terdapat x1,x2L sehingga f(x1) = y1 dan f(x2) = y2 . y1y2 = f(x1)f(x2) = f(x1x2), dan y1-1 = f(x1)-1 = f(x1-1). Karena L subgrup dari G maka x1x2L dan x1-1L, dengan demikian y1y2 L dan y1-1 L . Jadi, L subgrup dari G . Sekarang jika L subgrup normal dari G yang memuat K, misalkan g  G , l  L sebarang, maka terdapat gG dan lL sehingga f(g) = g dan

f(l) = l . Karena itu -1

-1

-1

g l g 1 = f(g)f(l)(f(g)) = f(g)f(l)f(g ) = f(glg ).

Karena L subgrup normal dari G, maka glg-1L. Akibatnya, g l g 1  L . Jadi, L merupakan subgrup normal dari G .

(3) Karena L merupakan subgrup dari G , maka menurut Lemma 4.19, T merupakan subgrup dari G yang memuat K. Selanjutnya, jelas bahwa LT, karena untuk sebarang lL, f(l) L , yang berarti juga lT. Sebaliknya, misalkan tT sebarang, maka f(t) L . Karena itu terdapat l0L sehingga f(t) = f(l0) yang diikuti f(tl0-1) = f(t)f(l0)-1 = e  L . Dengan demikian tl0-1KL. Akibatnya, tLl = L. Dari sini disimpulkan bahwa TL. Karena kita telah mempunyai LT, maka T = L. 4.21. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup G , dengan kernel K. Maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan

semua subgrup dari G yang memuat K dengan himpunan subgrup dari G . BUKTI. Misalkan  menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang memuat K dan  menyatakan himpunan semua subgrup dari G . Definisikan 65

suatu fungsi f dari  ke dalam , dengan pengaitan f(H) = f(H) = {f(h) G hH}, yaitu peta dari H oleh f, untuk setiap H. Menurut Lemma 4.20(1), pengaitan ini well-defined atau dengan kata lain, pengaitan tersebut mendefinisikan suatu pemetaan. Berdasarkan Lemma 4.20(3) pemetaan f suatu injeksi, dan menurut Lemma 4.19, f merupakan suatu surjeksi. Dengan demikian, f merupakan suatu korespondensi satu-satu antara  dan . Lemma 4.21 mengatakan bahwa, jika f suatu pemetaan dari grup G pada grup G dengan kernel K, maka banyaknya subgrup dari G yang memuat K sama dengan banyaknya subgrup dari G . 4.22. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup G dengan kernel K. Misalkan pula N subgrup normal dari G , dan N = {xG f(x) N }. Maka G/N  G N . Secara ekivalen, G/N  G K  N K  . BUKTI. Perhatikan diagram berikut. G



G/N

f

h



G 

G/N

Definisikan pengaitan untuk f, h, , , dan  seperti pada diagram berikut.

66

f

x

f(x) 

h



Nx



Nf(x)

Dengan pengaitan seperti diagram di atas, telah ditunjukkan bahwa  dan  well-defined. Berdasarkan diagram pengaitan di atas pula, kita disarankan mendefinisikan suatu pengaitan h dari G ke dalam G N dengan h : x  N f(x), untuk setiap xG. Pertama-tama kita harus tunjukkan bahwa h well-

defined. Untuk itu, misalkan x1,x2G sebarang dengan x1 = x2. Karena itu kita mempunyai f(x1) = f(x2), dengan demikian h(x1) = N f(x1) = N f(x2) = h(x2). Jadi, h well-defined. Selanjutnya,

akan

ditunjukkan

bahwa

h

merupakan

suatu

homomorfisma. Karena itu, misalkan x1,x2G sebarang. h(x1x2) = N f(x1x2) = N (f(x1)f(x2)) = ( N f(x1))( N f(x2)) = h(x1)h(x2). Ini membuktikan bahwa h suatu homomorfisma. Kemudian akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi. Untuk ini, misalkan Y  G N sebarang, dengan Y = N y untuk suatu y  G . Karena f suatu fungsi dari G pada G , maka kita mempunyai yG sehingga f(y) = y . Dari sini, h(y) = N f(y) = N y = Y . Jadi, h suatu surjeksi. Terakhir kita tinggal menunjukkan bahwa kernel dari h, Kh = N. Sekarang misalkan xKh sebarang, maka h(x) = N f(x) = N , karena N unsur identitas dalam G N . Dari sini berarti f(x) N dan karena itu xN. Jadi, Kh  67

N. Sebaliknya, misalkan yN sebarang, maka f(y) N . Karena itu h(y) = N f(y) = N . Akibatnya yKh, dengan demikian N  Kh. Ini melengkapi

pembuktian bahwa Kh = N. Kesimpulan bahwa G/N  G N segera kita peroleh dengan menggunakan Lemma 4.19. Kemudian, karena G/K  G , dan N/K  N , maka secara ekivalen kita mempunyai G/N  G K  N K  . SOAL – SOAL: 1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan homopmorfisma? kemukakan.

Jika

Buktikan

kebenaran

pemetaannya

setiap

merupakan

jawaban suatu

yang

anda

homomorfisma,

tentukanlah kernelnya! a. G adalah grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, 2

G = G, dan f(x) = x untuk semua xG.

b. G, G sebagaimana pada (a), dan f(x) = 2x untuk semua xG. c. G adalah grup semua bilangan real terhadap operasi penjumlahan, G = G, dan f(x) = x + 1 untuk semua xG. d. G, G sebagaimana pada (c), dan f(x) = 13x untuk semua xG. e. G sebarang grup komutatif, G = G, dan f(x) = x5 untuk semua xG. 2. Misalkan G sebarang grup dan g suatu unsur tertentu dalam G. Didefinisikan fungsi f : G  G dengan f(x) = gxg-1 untuk semua xG. Buktikan bahwa f merupakan isomorfisma dari G pada G. 3. Misalkan V himpunan semua bilangan real, dan untuk bilangan real a, b, dan a  0 misalkan ab : V  V didefinisikan oleh ab(x) = ax + b. Misalkan G = {aba,b bilangan real, a  0} dan N = {1bG}. Buktikan

68

bahwa N subgrup normal dari G dan G/N  grup bilangan real tak nol dengan operasi perkalian. 4. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian dan misalkan N himpunan bilangan kompleks yang modulusnya 1. Tunjukkanlah bahwa G/N isomorfik dengan grup semua bilangan real positif dibawah operasi perkalian. 5. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian,  a

b

 dimana a dan b tidak dan G grup matriks real yang berbentuk   b a

keduanya 0 dibawah operasi perkalian matriks. Tunjukkanlah bahwa G dan G isomorfik. 6. Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan dan N subgrup dari G yang memuat semua bilangan bulat. Buktikanlah bahwa G/N isomorfik dengan grup semua bilangan kompleks yang modulusnya 1 dibawah operasi perkalian bilangan kompleks.

69

BAB V AUTOMORFISMA

Pada Bab IV, kita telah mengenal banyak hal tentang homomorfisma dari suatu grup ke grup lain. Kasus yang cukup menarik adalah pembahasan tentang homomorfisma dari sutu grup pada grup lain. Lebih khusus lagi, pada bab ini kita akan mengenal isomorfisma (homomorfisma satu-satu) dari suatu grup pada grup itu sendiri. Sebagai contoh sederhana, misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, dan didefinisikan pemetaan idG : G  G dengan pengaitan idG(x) = x untuk semua xG. Pada Contoh 4.3(b), idG ini merupakan suatu isomorfisma dari G pada G, dan kemudian idG ini kita mengenalnya dengan nama homomorfisma identitas. Untuk pembahasan kita selanjutnya, kita mengawalinya dengan definisi berikut. 5.1. DEFINISI. Misalkan G grup sebarang. Pemetaan f : G  G dikatakan automorfisma, jika f suatu isomorfisma dari G pada G. 5.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang. Homomorfisma identitas, idG merupakan isomorfisma dari G pada G (Contoh 4.3(b)), dengan demikian idG suatu automorfisma dari G. (b) Misalkan G grup komutatif dan g : G  G dengan g(x) = x-1 untuk setiap xG. Jelas g merupakan suatu homomorfisma, karena jika x1,x2G sebarang, maka g(x1x2) = (x1x2)-1 = x2-1x1-1 = x1-1x2-1 = g(x1)g(x2). Selanjutnya, jika x1,x2G dengan g(x1) = g(x2), maka x1 = (x1-1)-1 = g(x1)-1 = g(x2)-1 = (x2-1)-1 = x2. 70

Ini menunjukkan bahwa g suatu injeksi. Kemudian, apabila yG sebarang, maka y-1G, dan g(y-1) = (y-1)-1 = y. Dengan demikian g suatu surjeksi. Karena itu, g merupakan suatu automorfisma dari G. (c) Misalkan G grup sebarang, aG, dan misalkan a : G  G suatu pemetaan dengan a(x) = axa-1 untuk setiap xG. Jika x1, x2G sebarang, maka a(x1x2) = a(x1x2)a-1 = (ax1a-1)(ax2a-1) = a(x1)a(x2), dengan demikian a merupakan suatu homomorfisma. Sekarang, misalkan kernel dari a adalah K. Jika xK, maka e = a(x) = axa-1, yang diikuti oleh a = ea = ax. Dengan sifat kanselasi pada G, diperoleh x = e<e>. Dengan demikian kita mempunyai K<e>. Sebaliknya, secara trivial, karena a suatu homomorfisma, maka <e> K. Dengan demikian K = <e>. Karena itu, menurut Teorema Teorema 4.11, a suatu isomorfisma. Selanjutnya, misalkan yG sebarang, maka dengan memilih x = a-1yaG, kita peroleh a(x) = axa-1 = a(a-1ya)a-1 = y, dengan demikian a suatu surjeksi. Karena itu, a suatu isomorfisma dari G pada G, dengan demikian a automorfisma dari G. Pada contoh ini, a dinamakan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan a. Sekarang kita misalkan G sebarang grup. Jika kita mengumpulkan semua automorfisma dari G, maka kita akan mempunyai himpunan semua automorfisma dari G, kita namakan saja Aut(G). Dari fakta-fakta pada Contoh 5.2, maka kita dapat simpulkan bahwa Aut(G)  . Perlu dicermati bahwa Aut(G)  A(G) himpunan dari semua korespondensi satu-satu antara G dan G. Lemma berikut menjelaskan tentang struktur aljabar dari Aut(G).

71

5.3. LEMMA. Jika G grup, dan misalkan Aut(G) himpunan semua automorfisma dari G, maka dibawah operasi komposisi fungsi, Aut(G) membentuk grup. BUKTI. Untuk menyimpulkan bahwa Aut(G) sebagai grup dibawah operasi komposisi fungsi-fungsi, cukup kita tunjukkan bahwa Aut(G) merupakan subgrup dari A(G), karena kita telah ketahui bahwa dengan operasi ini A(G) membentuk grup. Sehubungan dengan itu, sekarang misalkan 1 dan 2 unsur-unsur dalam Aut(G) sebarang, dan untuk setiap x,yG, berlaku 1(xy) = 1(x)1(y), dan juga 1(xy) = 2(x)2(y). Oleh karena itu, 21(xy) = 2(1(xy)) = 2(1(x)1(y)) = 2(1(x))2(1(y)) = 21(x) 21(y). Ini membuktikan bahwa 21 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Selanjutnya, karena 1,2Aut(G)A(G), maka jelaslah 21A(G), dengan demikian 21Aut(G). Akibatnya, dibawah operasi dalam A(G), Aut(G) bersifat tertutup Selanjutnya, karena 1Aut(G)  A(G), maka terdapat 1-1A(G) sedemikian sehingga 11-1 = idG = 1-11. Akibatnya, 1-1(xy) = 1-1(idG(x)idG(y)) = 1-1(11-1(x)11-1(y) = 1-1(1((1-1(x)1-1(y))) = 1-11((1-1(x)1-1(y)) = idG(1-1(x)1-1(y)) = 1-1(x)1-1(y), dengan demikian 1-1 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Karena 1-1A(G) juga, maka berarti 1-1Aut(G). Ini melengkapi pembuktian bahwa Aut(G) suatu subgrup dari A(G). Akibatnya, dibawah operasi komposisi fungsi-fungsi, Aut(G) membentuk grup. 72

5.4. LEMMA. Terdapat automorfisma non-trivial dari sebarang grup G. BUKTI. Misalkan G grup sebarang. Jika G grup komutatif, maka perhatikan kembali Contoh 5.2(b), yang meperlihatkan bahwa fungsi g suatu automorfisma dari grup abelian G. Jika terdapat x0G sedemikian sehingga x0  x0-1, maka g(x0) = x0-1  x0, dengan demikian g  idG. Apabila G grup nonabelian, maka perhatikan pula Contoh 5.2(c) yang telah memperlihatkan kepada kita bahwa a merupakan automorfisma dari G yang bersesuaian dengan suatu aG. Karena G non-Abelian, maka terdapat a,bG sedemikian sehingga ab  ba, dengan demikian a(b) = aba-1  b, yang mengakibatkan a  idG. Dari kedua kasus tersebut di atas, maka kita peroleh fakta bahwa untuk sebarang grup G (baik abelian maupun non-abelian) selalu terdapat automorfisma

non-trivial

dari

G,

yaitu

autoforfisma

yang

bukan

homomorfisma (yang pada akhirnya automorfisma) identitas 5.5. LEMMA. Misalkan Autd(G) = {aAut(G) aG}, yaitu himpunan semua automorfisma dalam dari G yang besesuaan dengan aG, a. maka Autd(G) merupakan subgrup dari Aut(G). Autd(G) ini disebut grup automorfisma dalam dari G. BUKTI. Telah diperlihatkan pada Lemma 5.4, bahwa Autd(G)  . Sekarang, misalkan a,bAutd(G) sebarang. Untuk setiap xG berlaku (ab)(x) = a(b(x)) = a(bxb-1) = a(bxb-1)a-1 = (ab)x(b-1a-1) = (ab)x(ab)-1 = ab(x). Ini menunjukkan bahwa ab = abAutd(G), dengan demikian Autd(G) tertutup terhadap operasi dalam Aut(G). Selanjutnya, perhatikan bahwa a1

Aut(G). Untuk setiap xG, berlaku aa-1(x) = a(a-1(x)) = a(a-1x(a-1)-1) = a(a-1x(a-1)-1)a-1 73

= (aa-1)x((a-1)-1)a-1 = x = idG(x), dan juga  a 1 a(x) =  a 1 (a(x)) =  a 1 (axa ) = a (axa )(a ) -1

-1

-1

-1 -1

= (a-1a)x((a-1)(a-1)-1) = x = idG(x), dengan demikian (a)-1 =  a 1 Autd(G). Ini melengkapi pembuktian Lemma 5.5. 5.6 LEMMA. Misalkan G sebarang grup, Autd(G) grup semua automorfisma dalam dari G, dan Z center dari G. Maka Autd(G)  G/Z. BUKTI. Bangun suatu pengaitan  dari G ke dalam Autd(G) dengan  : x  x, untuk setiap xG. Jika x1,x2G, sedemikian sehingga x1 = x2, maka untuk setiap xG berlaku (x1)(x) =  x1 (x) = x1xx1-1 = x2xx2-1 =  x2 (x) = (x2)(x). Ini menunjukkan bahwa (x1) = (x2), dengan demikian berarti bahwa  suatu pemetaan. Sekarang, pandang pemetaan  : G  Autd(G), dengan pengaitan (x) = x, untuk semua xG. Misalkan x1,x2G sebarang. Untuk semua gG berlaku ((x1)(x2))(g) =  x1  x2 (g) =  x1 (x2gx1-1) = x1(x2gx2-1)x1-1 = (x1x2)g(x2-1x1-1) = (x1x2)g(x1x2) =  x1 x2 (g) = (x1x2)(g). Ini mengatakan bahwa (x1x2) = (x1)(x2), karena itu  merupakan homomorfisma. Selanjutnya, misalkan YAutd(G) sebarang, misalkan Y = b untuk suatu bG. Pilih a = bG, sehingga untuk setiap xG berlaku 74

(a)(x) = a(x) = axa-1 = bxb-1 = b(x) = Y(x), dan ini mengatakan bahwa  suatu surjeksi. Terakhir, misalkan kernal dari  adalah K. Jika yK, maka untuk setiap gG berlaku (y)(g) = idG(g) = g. Di pihak lain, (y)(g) = y(g) = ygy-1, dengan demikian g = ygy-1. Dari sini kita mempunyai gy = yg untuk semua gG, yang memberikan arti bahwa yZ, karena Z center dari G dan akibatnya KZ. Sebaliknya, apabila zZ, maka berarti zg = gz untuk semua gG, dengan demikian untuk setiap gG, diperoleh (z)(g) = z(g) = zgz-1 = gzz-1 = g = idG(g). Ini menunjukkan bahwa (z) = idG, mengikuti ini diperoleh bahwa zK. Dengan demikian ZK Kesimpulannya, Z = K. Kesimpulan bahwa G/Z  Autd(G) diperoleh setelah menerapkan Teorema 4.18. 5.7. LEMMA. Misalkan G suatu grup dan f automorfisma dari G. Jika aG dengan o(a) = n untuk suatu bilangan bulat positif n, maka o(f(a)) = o(a). BUKTI. Misalkan a unsur dalam grup G, dengan o(a) = n. Karena f automorfisma, maka (f(a))n = f(an) = f(e) = e. Sementara itu apabila (f(a))m = e untuk suatu bilangan bulat sedemikian sehingga 0 < m < n, maka f(am) = (f(a))m = = e = f(e). Karena f suatu isoomorfisma, maka am = e. Hasil ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa an = e, dimana n bilangan bulat positif, dengan demikian maka haruslah o(f(a)) = o(a).

SOAL-SOAL

75

1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan automorfisma dari grup yang diberikan? Buktikan kebenaran setiap jawaban yang anda kemukakan. a. G, grup semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, dan T(x) = - x untuk semua xG. b. G, grup semua bilangan rel positif terhadap operasi perkalian, dan T(x) = x2 untuk semua xG. c. G, grup siklik orde 12, dan T(x) = x3 untuk semua xG. d. G = S3, dan T(x) = x-1 untuk semua xG. 2. Misalkan G grup, gG, dan  : G  G suatu pemetaan dengan (t) = g1

tg untuk setiap tG. Tunjukkan bahwa

a.  merupakan automorfisma dari G. b.  bukan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan g. Selanjutnya berikanlah syarat perlu sehingga  menjadi automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan g. 3. Misalkan G grup, dan H subgrup dari G,  suatu automorfisma dari G. Jika (H) = {(h) hH}, maka buktikanlah bahwa (H) subgrup dari G. 4. Misalkan G grup, T suatu automorfisma dari G, dan N subgrup normal dari G. Jika T(N) = {T(n)  nN}, maka buktikanlah bahwa T(N) merupakan subgrup normal dari G. 5. Buktikan bahwa jika G = S3, maka G  Autd(G). 6. Misalkan G grup. Buktikanlah bahwa Autd(G) merupakan subgrup normal dari Aut(G). 7. Misalkan G grup orde 4, G = {e, a, b, ab}, a2 = b2 = e, ab = ba. Tentukanlah Aut(G).

76

8. Misalkan G grup dan Z center dari G. Jika  automorfisma dari G, buktikanlah bahwa (Z) Z. 9. Misalkan G grup dan  suatu automorfisma dari G. Jika untuk aG, N(a) = {xG xa = ax}, buktikanlah bahwa N((a)) = (N(a)).

77