Sistem Bilangan Riil
Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu.
Kalkulus Dasar
2
Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai berikut : Bilangan Riil
Bilangan rasional
Bilangan pecahan
Bilangan Irrasional
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Asli
Bilangan Cacah
Bilangan nol
Kalkulus Dasar
3
Pendahuluan Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. [ Purcell] Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m n
m,n bilangan bulat, dengan n ≠ 0.
Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang ? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Kalkulus Dasar
4
Pendahuluan Kita lihat sebuah segitiga siku-siku :
1
2
1
2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi 2 bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah bialngan irrasional. Kalkulus Dasar
5
Pendahuluan Contoh bilangan irrasional yang lain adalah 3 , 5 , dan lain-lain. Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada suatu garis bilangan.
Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai berikut : Kalkulus Dasar
6
Pendahuluan Definisi {x x < a}
Notasi (- , a )
{x x a} {x a < x < b} {x a x b} {x x > b} {x x b} {x x }
(- , a]
(a, b) [a, b] (b, )
[b, )
(, ) Kalkulus Dasar
7
Pendahuluan • Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Kalkulus Dasar
8
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A(x ) D(x ) < B( x ) E ( x )
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 Kalkulus Dasar
9
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Cara menyelesaikan pertidaksamaan : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( x) <0 Q( x)
, dengan cara :
Kalkulus Dasar
10
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat 3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Kalkulus Dasar
11
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 2 x - 3 5 13 3 2 x 5 3 16 2 x 8
8 x4 4 x8 Hp = [4,8]
4 Kalkulus Dasar
8 12
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2
- 2 < 6 - 4x 8 -8 < -4 x 2 8 > 4x 2 2 4x < 8
1 x<2 2
1 ,2 2
Hp
1
Kalkulus Dasar
2 2
13
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3 2 x - 5x - 3 < 0 2
(2 x 1)(x - 3) < 0 1 Titik Pemecah (TP) : x 2 ++
--
-
1
dan
x3
++ 3
2
1 Hp = - ,3 2 Kalkulus Dasar
14
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x - 4 6 - 7 x 3x 6 2 x - 4 6 - 7 x dan 6 - 7 x 3x 6
2 x 7 x 6 4 dan - 7 x - 3x -6 6 9 x 10 dan 10 x dan 9 10 dan x 9
- 10 x 0 10 x 0
x0 Kalkulus Dasar
15
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 10 Hp = - , [0, ) 9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
10 Hp = 0, 9 Kalkulus Dasar
16
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 < 5. x 1 3x - 1 1 2 <0 x 1 3x - 1
--1
( 3x - 1) - (2 x 2) <0 (x 1)(3x - 1) 3x - 1 - 2 x - 2 <0 (x 1)(3x - 1) 1 ,3 TP : -1, 3
++ -1
--
++ 3
3
1 Hp = (- ,-1) - ,3 3
Kalkulus Dasar
17
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x 1 x 2- x 3 x
x 1 x 0 2- x 3 x
( x 1)(3 x ) - x(2 - x ) 0 (2 - x )(3 x ) 2x 2 2x 3 0 (2 - x )(x 3) Kalkulus Dasar
18
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++
-3
Hp =
--
2
(,-3) (2, ) Kalkulus Dasar
19
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
x ,x 0 x - x , x < 0
Kalkulus Dasar
20
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1
x x2
x a, a 0 - a x a 3 x a, a 0 x a atau x -a 4 x y x2 y 2 2
5
x x y y
6. Ketaksamaan segitiga
x y x y
x- y x - y Kalkulus Dasar
21
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x - 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
-3 < 2 x - 5 < 3 5 - 3 < 2x < 3 5 2 < 2x < 8 1< x < 4 Hp = (1,4)
1 Kalkulus Dasar
4 22
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
(2 x - 5) < 9 4 x 2 - 20 x 16 < 0 2
4 x 2 - 20 x 25 < 9 2 2 x - 10 x 8 < 0
(2 x - 2)(x - 4) < 0
++
--
1
++
4
Hp = (1,4)
TP : 1, 4 Kalkulus Dasar
23
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi 3. 2 x 3 4 x 5 Kita bisa menggunakan sifat 4
(2 x 3) (4 x 5) 2
2
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25 -12 x 2 - 28x -16 0 2 3x 7 x 4 0 TP :
4 , -1 3 Kalkulus Dasar
24
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
--4
3
++ -1
Hp = - 4 , (- ,-1] 3
Kalkulus Dasar
25
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4.
x 7 2 2
x 7 2 2 x -5 2
x -10
atau atau atau
x 7 -2 2 x -9 2
x -18
Hp = [- 10, ) (- ,-18]
-18
-10
Kalkulus Dasar
26
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x - 2 - x 1 -2 Kita definisikan dahulu : x 1 x -1 x 1 - x - 1 x < -1
x - 2 x 2 x-2 2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I (- ,-1)
II
III
[- 1,2) -1
[2, ) 2 Kalkulus Dasar
27
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < -1
atau
(- ,-1)
3 x - 2 - x 1 -2 3(2 - x ) - (- x - 1) -2
6 - 3x x 1 -2 7 - 2 x -2 -2 x -9
2x 9 9 x 2
atau
9 - , 2 Kalkulus Dasar
28
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = - , (- ,-1) 2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1) sehingga Hp1 = (- ,-1)
Kalkulus Dasar
29
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval - 1 x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x 1 -2
3(2 - x ) - (x 1) -2 6 - 3x - x - 1 -2 5 - 4 x -2 -4 x -7
4x 7 7 x 4
7 atau - , 4 Kalkulus Dasar
30
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = - , [- 1,2)
-1
4
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7 bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
- 1, 4
7 sehingga Hp2 = - 1, 4 Kalkulus Dasar
31
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval
x 2 atau [2, )
3 x - 2 - x 1 -2 3(x - 2) - (x 1) -2
3x - 6 - x - 1 -2
2 x - 7 -2 2x 5 5 x 2
atau
5 2 , Kalkulus Dasar
32
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = 5 , [2, )
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga 2 , 5 Hp3 = ,
2
Kalkulus Dasar
33
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp2 Hp3 7 5 Hp (- ,-1) - 1, , 4 2 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Kalkulus Dasar
34
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian
-1
7
4
2
5
-1
7
-1
7
Jadi Hp =
5
4
4
5
2
2
7 5 -, 4 2 , Kalkulus Dasar
35
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x 2 1- x 4 - 2x
x - 2 x 1 2 2 x x3
3 2 - x 3 - 2x 3 4 x 1 2 2 x 2 2 5 2x 3 4x 5 6 x 3x 2 Kalkulus Dasar
36
