Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Kalkulus Dasar - Kimia Mohammad Mahfuzh Shiddiq Universitas Lambung Mangkurat
September 13, 2016
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
1 / 20
Sistem Bilangan
Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · }
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
2 / 20
Sistem Bilangan
Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · } Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · }
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
2 / 20
Sistem Bilangan
Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · } Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q = ba a, b ∈ Z, b 6= 0
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
2 / 20
Sistem Bilangan
Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · } Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q = ba a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
2 / 20
Sistem Bilangan
Bilangan Asli; N = {1, 2, 3, · · · } Bilangan Bulat; Z = {· · · , −1, 0, 1, 2, · · · } Bilangan Rasional; Q = ba a, b ∈ Z, b 6= 0 Bilangan Riil ; R Bilangan Kompleks ; C
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
2 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil 1
Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil 1
Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx
2
Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x(yz)
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil 1
Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx
2
Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x(yz)
3
Distributif, x(y + z) = xy + xz
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil 1
Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx
2
Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x(yz)
3
Distributif, x(y + z) = xy + xz
4
Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x1 = x
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Aljabar Bilangan Riil
Sifat Aljabar Bilangan Riil 1
Komutatif,x + y = y + x dan xy = yx
2
Asosiatif, x + (y + z) = (x + y ) + z dan (xy )z = x(yz)
3
Distributif, x(y + z) = xy + xz
4
Elemen identitas, Terdapat bilangan riil berbeda 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x1 = x
5
Invers, Setiap bilangan riil x mempunyai invers penjumlahan, yaitu −x, yang memenuhi x + (−x) = 0. dan juga mempunyai 1 1 invers perkalian, yaitu x , yyang memenuhi x x = 1.
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
3 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan 1
Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku x < y atau x = y atau x > y
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan 1
Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku x < y atau x = y atau x > y
2
Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan 1
Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku x < y atau x = y atau x > y
2
Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z
3
Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan 1
Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku x < y atau x = y atau x > y
2
Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z
3
Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z
4
Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Sifat Urutan Bilangan Riil
Sifat Urutan 1
Trikotomi, Jika x dan y bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku x < y atau x = y atau x > y
2
Transitif; Jika x < y dan y < z maka x < z
3
Penjumlahan; x < y jika dan hanya jika x + z < y + z
4
Perkalian; z positif dan x < y jika dan hanya jika xz < yz. Jika z negatif, x < y jika dan hanya jika xz > yz
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
4 / 20
Ketaksamaan
Persamaan vs Ketaksamaan
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
5 / 20
Ketaksamaan
Persamaan vs Ketaksamaan Persamaan; 3x + 6 = 18
M.Mahfuzh S. ()
atau
kalkulus dasar
x 2 − 6x + 5 = 0
September 13, 2016
5 / 20
Ketaksamaan
Persamaan vs Ketaksamaan Persamaan; 3x + 6 = 18
atau
x 2 − 6x + 5 = 0
atau
x 2 − 6x + 5 > 0
Ketaksamaan; 3x + 6 < 18
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
5 / 20
Ketaksamaan
Solusi Ketaksamaan
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
6 / 20
Ketaksamaan
Solusi Ketaksamaan Mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
6 / 20
Ketaksamaan
Solusi Ketaksamaan Mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama Menjumlahkan Mengalikan
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
6 / 20
Ketaksamaan Example (1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x − 7 < 3x + 5 !
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
7 / 20
Ketaksamaan Example (1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x − 7 < 3x + 5 ! Penyelesaian. Berdasarkan sifat urutan diperoleh 4x − 7 < 3x + 5 4x − 7 + 7 < 3x + 5 + 7 4x 4x − 3x x
< 3x + 12 < 3x + 12 − 3x < 12
Jadi himpunan penyelesaian adalah { x ∈ R| x < 12} M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
7 / 20
Ketaksamaan - Interval
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
8 / 20
Ketaksamaan - Interval
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
8 / 20
Ketaksamaan - Interval
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
9 / 20
Ketaksamaan - Interval
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
9 / 20
Ketaksamaan
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
10 / 20
Ketaksamaan Example (2) Tentukan himpunan penyelesaian dalam interval dari x 2 + x − 6 > 0
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
10 / 20
Ketaksamaan Example (2) Tentukan himpunan penyelesaian dalam interval dari x 2 + x − 6 > 0 Penyelesaian Dengan memfaktorkan diperoleh x2 + x − 6 > 0 (x + 3)(x − 2) > 0 Titik 2 dan −3 adalah titik pemecah yang memecah bilangan riil menjadi tiga selang (−∞, −3), (−3, 2) dan (2, ∞). Dengan menggunakan titik uji diperoleh himpunan penyelesaian adalah (−∞, −3) ∪ (2, ∞) M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
10 / 20
Nilai Mutlak
Definisi
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
11 / 20
Nilai Mutlak
Definisi Nilai mutlak suatu bilangan riil x, |x|, didefinisikan dengan x, jika x ≥ 0 |x| := −x, jika x < 0
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
11 / 20
Nilai Mutlak
Sifat Nilai Mutlak
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
12 / 20
Nilai Mutlak
Sifat Nilai Mutlak 1 2
|ab| = |a| |b| a |a| = b
|b|
3
|a + b| ≤ |a| + |b|
4
|a − b| ≥ ||a| − |b||
5
|x| < a jika dan hanya jika −a < x < a
6
|x| > a jika dan hanya jika x < −a atau x > a
7
|x| < |y | jika dan hanya jika x 2 < y 2
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
12 / 20
Nilai Mutlak
Example (3) Tentukan penyelesaian dari |x + 1| < 4 x − 2 ≤ 6 3 1 − 3 > 6 x
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
13 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
14 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
14 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
15 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
15 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
16 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
16 / 20
Sistem Koordinat Kartesius Jarak antar titik
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
17 / 20
Sistem Koordinat Kartesius Jarak antar titik
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
17 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
18 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
Rumus Jarak Jarak antara titik P(x1 , y1 ) dan titik Q(x2 , y2 ) adalah q d(P, Q) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
18 / 20
Sistem Koordinat Kartesius Persamaan Lingkaran
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
19 / 20
Sistem Koordinat Kartesius Persamaan Lingkaran
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
19 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
Persamaan Umum Lingkaran
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
20 / 20
Sistem Koordinat Kartesius
Persamaan Umum Lingkaran q r = (x − h)2 + (y − k )2
M.Mahfuzh S. ()
kalkulus dasar
September 13, 2016
20 / 20
