TEOREMA PYTHAGORAS Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku yang merupakan buku matematika berbahasa Cina. Diperkirakan buku tersebut berasal dari tahun 1.100 SM. Pada buku tersebut, terdapat sebuah diagram yang dinamakan Hsuan-thu. Diagram tersebut menunjukan hubungan antara hipotenusa dan sisi yang lain pada segitiga siku-siku.
A. Teorema Pythagoras 1. Kuadrat dan Akar Kuadrat Bilangan Teorema pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Akar kuadrat dari
(dilambangkan dengan √ negatif yang jika dikuadratkan sama dengan . Perhatikan definisi berikut !
) adalah suatu bilangan tak
Jika x2 = 𝑎 dan x ≥ 0, maka √𝑎 = x Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut. 1. 122 2. 232 3. 352 Hitunglah nilai akar kuadrat bilangan-bilangan berikut. 5. √
√
Penyelesaian 1. 122 = 12 x 12 = 144 2. 232 = 23 x 23 = 529 3. 352 = 35 x 35 = 1225 4. √ = 2 5. √ 6. √
=8 = 22
6. √
Ingat Kembali Bentuk kuadrat dari 𝑎,
𝑎2 = 𝑎 𝑥 𝑎
TEOREMA PYTHAGORAS 2. Prinsip Teorema Pythagoras Teorema pythagoras merupakan sebuah teoremayang berhubungan dengan segitiga siku-siku. Perhatikan bagian-bagian dari sebuah segitiga siku-siku disamping. Sisi-sisi yang membentuk sudut siku-siku (sisi AB dan BC) dinamakan sisi siku-siku. Adapun sisi depan sudut siku-siku merupakan sisi terpanjang dan dinamakan hipotenusa. Seperti apakah Teorema Pythagoras itu?
Ingat Kembali Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya 900
Perhatikan uraian berikut. Misalnya kamu memiliki 3 persegi yang disusun seperti pada gambar di samping. Maka kamu dapat memperolah : Luas persegi A adalah 3 x 3 = 9 satuan Luas persegi B adalah 4 x 4 = 16 satuan Luas persegi C adalah 5 x 5 = 25 satuan Dengan kata lain, Luas persegi C = Luas persegi A + Luas persegi B. Perhatikan definisi berikut.
Teorema Pythagoras Pada ∆ABC yang siku-siku di B berlaku :
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
TEOREMA PYTHAGORAS B. Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku Kamu telah mengetahui bahwa pada sebuah segitiga siku-siku ABC dengan AB sebagai hipotenusanya berlaku hubungan 2 = 2 + 2 . Hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam berbagai cara yang saling ekuivalen sebagai berikut.
Contoh Hitunglah panjang setiap ruas garis pada gambar di bawah ini. F
1 cm E
2 cm D
2 cm C
1 cm B
4 cm Penyelesaian ∆ABC siku-siku di B sehingga AC2 = AB2 + BC2 = 42 + 1 2
=16 + 1 AC = √ ∆ABD siku-siku di B sehingga AD2 = AB2 + BD2 = 42 + 32 =16 + 9 AD = √ =5 ∆ABE siku-siku di B sehingga AE2 = AB2 + BE2
A
TEOREMA PYTHAGORAS = 42 + 52 =16 + 25 AE = √ ∆ABF siku-siku di B sehingga AF2 = AB2 + BF2 = 42 + 6 2 =16 + 36 AF = √ C. Panjang Sisi Berbagai Jenis Segitiga Teorema pythagoras dapat juga digunakan untuk menentukan apakah sebuah segitiga merupakan siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul. Bagaimana caranya? Perhatikan definisi berikut. Misalnya, sisi c adalah sisi terpanjang pada ∆ABC.
B
Jika 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku. Jika 𝑎2 + 𝑏 2 > 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan segitiga lancip. Jika 𝑎2 + 𝑏 2 < 𝑐 2 , maka ∆ABC merupakan A segitiga tumpul.
c
a
C
b
Contoh Tentukanlah jenis segitiga berikut. B 9 cm
6 cm
C
10 cm
A
TEOREMA PYTHAGORAS Penyelesaian Urutkanlah panjang sisi segitiga tersebut mulai dari yang terpendek. Kemudian bandingkan antara kuadrat sisi terpanjang dan jumlah kuadrat sisi lainnya. BC = 6 cm, BA= 8cm, dan AC = 10 cm. 62 + 92 ... 102 36 + 81 ... 100 111 > 100 Maka ∆ABC merupakan segitiga lancip. D. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku Istimewa Segitiga siku-siku istimewa terdiri atas dua jenis, yaitu segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 450 dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 600. 1. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 450 Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 450 maka sudut yang lain adalah 450. Jadi segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga siku-siku sama kaki. Bagaimanakah perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki?
Perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki ABC dengan a sebgai hipotenusanya
450
adalah a : b : c = √ ∶ 1 : 1 450
2. Segitiga Siku-Siku yang Salah Satu Sudutnya 600 Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 600 maka sudut yang lain adalah 300. Jadi segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga siku-siku sama kaki. Bagaimanakah perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki?
TEOREMA PYTHAGORAS
300 Perbandingan sisi-sisi pada segitiga sama kaki ABC dengan a sebgai hipotenusanya
adalah a : b : c = 2 : √ ∶ 1 600
Contoh Tentukan panjang sisi yang belum diketahui pada segitiga berikut ini. 1.
1.
2. 5 cm
450
0 0 3030
12 cm
Penyelesaian 1. ∆ABC siku-siku di A dan
2. ∆ABC siku-siku di A dan
∶
.
TEOREMA PYTHAGORAS AB : AC = √ : 1 AB = √ x AC =√ x5 = 5√ cm
AC : BC = 1 : 2 BC = 2 x AC =2x5 = 10 cm
E. Teorema Pythagoras dalam Kehidupan Kamu telah mempelajari konsep-konsep Teorema Pythagoras pada bahasan yang lalu. Teorema Pythagoras sering kamu temukan dalam keseharianmu. Langkahlangkah untuk menyelesaikan soal-soal terapan yang berhubungan dengan Teorema Pythagoras dapat kamu lihat pada diagram berikut. Soal terapan
Hasil Perhitungan
Buat sketsa gambar Segitiga siku-sikunya Perumusan masalah
Perhitungan
Contoh Sebuah tiang listrik, agar dapat berdiri tegak ditahan oleh tali kawat baja. Jika jarak dari tarik pengikat terhadap tiang listrik adalah 8 m dan tinggi tiang listrik adalah 6 m, tentukan panjang tali kawat baja yang dibutuhkan ? Penyelesaian Buatlah sketsa permasalahan seperti tampak pada gambar di bawah ini.
TEOREMA PYTHAGORAS Menurut teorema pythagoras : BC2 = AB2 + CA2 6m
= 82 + 62 = 64 + 36 8m
= 100 m
Latihan Soal 1. Jika panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 12 cm dan 9 cm. Berapakah panjang diagonalnya? 2. Diberikan ∆ABC sama kaki, dengan AC = BC dan AB = 10 cm. Jika panjang garis tinggi yang di tarik dari C adalah 12 cm. Berapakah keliling segitiga tersebut? 3. Seorang tukang kayu membuat segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 300. Panjang sisi depan sudut 300 tersebut adalah 40 cm. Tentukan panjang hipotenusanya! 4. Sudut yang dibentuk oleh diagonal sebuah persegi panjang dan sisi terpendeknya adalah 600. Tentukan luas persegi panjang tersebut jika panjang diagonalnya 8 cm. 5. Seorang nahkoda kapal melihat puncak mercusuar yang berjarak 120 m dari kapal. Jika diketahui tinggi mercusuar 40 m, tentukan jarak nahkoda dari mercusuar!
