1
TEOREMA PYTHAGORAS A.
Siapa Pythagoras Pythagoras adalah seorang ahli matematika murni pertama. Lahir sekitar 569 SM di Sámos - Yunani dan meninggal sekitar 500-475 SM di Metapontum Lucania – Italia.
Ayahnya bernama Mnesarchus adalah seorang
pedagang permata dan ibunya bernama Pythais. Sekitar 518 SM Pythagoras menetap di Crotona, sebuah koloni Yunani di Italia Selatan. Dia mendirikan sebuah sekolah filsafat dan agama. Pythagoras sendri adalah guru masyarakat,
pengikutnya
berkelompok
dalam
komunitas yang disebut Pythagorean, mereka
suatu hidup
dengan aturan-aturan yang ketat. Pythagoras memberikan kontribusi besar terhadap pemahaman kita tentang sudut, segitiga, daerah, proporsi, poligon, dan polyhedra. -------------------------------------- ( sumber: http://www.mathopenref.com ) B.
Teorema Pythagoras Pythagoras berhasil membuktikan kebenaran teori bahwa “ dalam segitiga siku – siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi – sisi lainya (for a right-angled triangle the square on the hypotenuse is equal to the sum of the squares on the other two sides )”. Pembuktian tersebut sangat penomenal dan dikenal dengan Teorema Phytagoras. Pada gambar di samping, jika sisi miring ( hyptonesa ) = a, dan sisi – sisi lainya adalah b dan c. Maka akan diperoleh :
a 2 = b2 + c 2 Penulisan tersebut disebut Rumus Pythagoras. Matematikawan
memandang
bahwa
Teorema
Pythagoras
merupakan
landasan
matematika, dan pembuktiannya terus berkembang dan menarik. Sampai saat ini hampir lebih dari 400 pembuktian yang berbeda termasuk bukti asli oleh Presiden Garfield.
2
C.
Bukti Teorema Pythagoras Penjelasan berikut merupakan salah satu pembuktian tentang Teorema Pythagoras dengan menggunakan diagram. Diagram termasuk salah satu bukti yang mudah dipahami, cukup melihat dan mencermati diagram tanpa harus menyertakan tulisan ( proof without words ). Gambar,
Segitiga – segitiga pada gambar 1 dan gambar 2 semuanya kongruen, sehingga lua daerah yang tidak diarsir pada gambar 1 sama dngan luas daerah yang tidak diarsir pad gambar 2. Luas daerah yang tidak diarsir pada gambar 1 adalah c2, sedangkan luas daerah yang tidak diarsir pada gambar 2 adalah a2 + b2. Jadi : a2 + b2 = c2 -------- ( dapat ditunjukkan ). Latihan Latihan berikut merupakan beberapa
cara lain untuk membuktikan Teorema
Pythagoras. 1.
Perhatikan gambar 1 di atas. a.
Tentukan luas persegi, dengan anggapan bahwa persegi tersebut panjang sisinya ( a + b ).
b.
Tentukan luas persegi, dengan memandang bahwa persegi tersebut dibentuk oleh empat segitiga siku – siku yang kongruen dan sebuah persegi dengan panjang sisi c.
c.
Sederhanakan hubungan hasil a dengan hasil b di atas.
d.
Dari jawaban a, b, dan c. Apakah terbukti kebenaran Teorema Pythagoras.
3
2.
Bukti berikut adalah pembuktian yang sudah dilakukan oleh Bhaskara
(matematikawan India, sekitar abad X). Diketahui sebuah persegi dengan panjang sisi c, di dalamnya dibuat empat segitiga siku – siku yang kongruen dengan panjang sisi a, b, dan c ( sebagai sisi persegi ). Perhatikan gambar berikut,
Dengan konstruksi bangun di atas, tunjukkan kebenaran Teorema Pythagoras. D.
Kebalikan Teorema Pythagoras Kita pahami kembali Teorema Pythagoras, perhatikan gambar 4 berikut.
Segitiga ABC siku – siku, maka akan berlaku a2 + b2 = c2 Selanjutnya, apakah jika a2 + b2 = c2 maka segitiga ABC siku – siku ? Penjelasan berikut merupakan salah satu pembuktian Kebalikan Teorema Pythagoras. Pada segitiga ABC siku – siku di B dengan panjang sisi a, b dan c sehingga berlaku a2 + b2 = c2, akan dibuktikan bahwa segitiga DBC siku-siku di B.
4
DB = AB = a, dan BC = b adalah sisi sekutu. a2 + b2 = c2 …(1) Di lain pihak, diketahui bahwa a2 + b2 = x2 … (2) maka dari (1) dan (2) diperoleh x2 = c2 atau x = c. AB = DB BC = sisi sekutu AC = DC Maka segitiga ABC dan segitiga DBC kongruen. Sehingga
ABC =
DBC = siku – siku.
Jadi, terbukti bahwa jika pada suatu segitiga berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi – sisi yang lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku – siku. Jika Teorema Pythagoras dan Kebalikan Teorema Pythagoras digabung maka akan diperoleh teori : “Pada setiap segitiga siku – siku berlaku a2 + b2 = c2. Dan sebalikna, jika pada segitiga berlaku a2 + b2 = c2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku – siku”. Perlu dipahami bahwa sudut siku – siku selalu di depan sisi miring. Perhatikan gambar 6,
5
E.
Tripel Pythagoras Rangkaian atau susunan tiga bilangan asli yang mmenuhi Rumus Pythagoras disebut Tripel Pythagoras. Perhatikan gambar 7. Rumus Pythagoras : a2 + b2 = c2. Nilai a, b, c merupakan Tripel Pythagoras, ditulis ( a, b, c )
Secara umum, Tripel Pythagoras dapat ditentukan dengan rumus : 2m, (m – 1)2 , (m + 1)2 dimana m adalah bilangan asli. Contoh. Tentukan Tripel Pythagoras dimana salah satu bilangannya adalah 24. Alternatif pembahasan, Diketahui 2m = 24. Rumus : 2m , (m2 - 1) , (m2 + 1) : 2m = 24 m = 12 : (m2 – 1) = (144 – 1) = 143 : (m2 + 1) = (144 + 1) = 145 Diperoleh tripel Pythagoras ( 24, 143, 145 ) F.
Penerapan Teorema Pythagoras 1.
Tentukan nilai x dan y pada gambar berikut,
6
Alternatif pembahasan, Segitiga ABC siku – siku, x adalah hypotenuse x2 = 52 + 12 x= x=
... ( untuk x positif )
pada segitiga CAD siku – siku, 6 adalah hypotenuse 62 = x2 + y2 y2 = 62 – x2 y2 = 36 – (
)2
y2 = 36 – 26 y= jadi, x = 2.
... ( untuk y positif ) cm dan y =
cm
Pada gambar berikut, berapakah keliling belah ketupat. Alternatif pembahasan, x adalah hypotunese suatu segitiga. x2 = 32 + 42 x2 = 25 x= x=5 Keliling belah ketupat = 4x = 4 (5) = 20 Jadi, keliling belah ketupat 20 cm
3.
Tentukan panjang jari – jari lingkaran pada gambar berikut, Alternatif pembahasan, D adalah hypotunese segitiga dalam lingkaran d2 = 52 + 122 d2 = 169 d= d = 13 Jari – jari lingkaran = r = d = (13) = 6,5 Jadi, panjang jari – jari lingkaran adalah 6,5 cm
7
Beberapa masalah di atas merupakan contoh enerapan Teorema Pythagoras dalam menyelesaikan masalah pada bidang lain. Berikut, kita lihat beberapa masalah dalam kehidupan sehari – hari yang dapat diselesaikan dengan Teorema Pythagoras. Contoh 1, Sebidang tanah berbentuk trapesium, seperti tampak pada gambar berikut :
Berapa luas tanah tersebut ?
Alternatif Pemecahan Masalah Misalkan trapesium tersebut ABCD, Maka luas tanah
= luas trapesium ABCD = = = =
Menentukan CE, perhatikan segitiga siku – siku BEC. Dengan rumus pythagoras CE2 = BC2 – BE2 CE2 = 262 – (AB – AE)2 CE2 = 676 – (36 – 12)2 CE2 = 676 – 242 CE2 = 676 – 576 CE2 = 100 CE = CE = 10 Maka luas trapesium ABCD
=
= = 2400 Jadi, luas tanah adalah 2400 m2
8
Contoh 2, Sebuah kapal nelayan bertolak dari pelabuhan untuk menangkap gerombolan ikan tuna yang biasanya berkumpul di suatu titik dilepas pantai. Agar dapat menangkap ikan lebih banyak, kapal nelayan tidak langsung menuju tempat tersebut, melainkan berlayar melewati jalur baru yakni 12 km ke barat kemudian 35 km ke selatan. Berapa selisih jarak yang ditempuh kapal dengan menggunakan jalur baru dengan jarak yang ditempuh jika melewati jalur lurus? Alternatif Pemecahan Masalah Ilustrasi gambar, Berdasarkan ilustrasi gambar dapat diperoleh jarak yang harus ditempuh kapal dengan menggunakan jalur baru menuju kerumunan ikan yaitu: 12 + 35 = 47 km Dengan menggunakan teorema Pythagoras dapat diketahui panjang jalur lurus yang bisa ditempuh untuk menuju kerumunan ikan, yakni : = = = 37 km Jadi selisih jarak yang ditempuh kapal dengan menggunakan jalur baru dengan jarak yang ditempuh jika melewati jalur sebenarnya adalah 47 – 37 = 10 km. Contoh 3, Ahmad mau memetik mangga yang ada di kebun kakeknya, karena ia tidak bisa memanjat pohon lalu ia menggunakan tangga dan disandarkan kepohon dari jarak 3m dari pohon. Jika panjang tangga 5 m, berapa ketinggian Ahmad dari tanah agar bisa memetik mangga. Alternatif Pemecahan Masalah Ilustrasi gambar, t = tinggi pohon = = = = 4 Jadi, dari ketinggian 4 m Ahmad baru bisa memetik mangga.
