1
PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS DARI EUCLID
{{ Sumardyono, M.Pd. }}
PENDAHULUAN Teorema apa yang pertama kali dikenal siswa di sekolah? Ya, Teorema Pythagoras. Walaupun banyak dalil yang dikenal siswa di sekolah namun dalil dengan nama khusus yang pertama kali dipelajari adalah Dalil Pythagoras. Begitu terkenalnya teorema ini sehingga banyak pula buku-buku serta portal-portal di internet yang mengulas mengenai teorema ini beserta pembuktiannya. Buku The Pythagorean Proposition, karya Elisha Scott Loomis, merupakan salah satu buku yang mengulas teorema Pythagoras dengan memuat 256 bukti teorema Pythagoras. Walaupun teorema ini sesungguhnya telah dikenal jauh sebelum Pyhagoras, misalnya di Mesir Kuno lewat tali 3-4-5 yang dipergunakan untuk menentukan sudut siku-siku, namun pemberian nama Pythagoras karena diketahui bahwa ia-lah (atau pengikutnya yang mengatas namakan Pythagoras) yang pertama kali memberi bukti teorema tersebut. Salah satu pembuktian Teorema Pythagoras yang kali ini akan dibahas adalah pembuktian dari Euclid. Bukti dari Euclid ini termasuk bukti yang unik dan menarik.
SKEMA PEMBUKTIAN DARI EUCLID Pandang segitiga siku-siku ABC, dengan C sudut siku-siku. Tarik garis dari titik C sejajar AP atau BQ sehingga memotong AB di D dan PQ di E, maka jika BC = a dan AC = b dapat ditunjukkan bahwa: Luas BDEQ = a 2
dan
Luas ADEP = b2 Q
R
E
B
P D S
C
A
T
U
2
Apa yang menarik dari pembuktian Pyhagoras di atas? Ternyata kita dapat menentukan dua “partisi” persegi berbentuk persegipanjang pada hipotenusa, yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku dari segitiga siku-siku yang diberikan. Jika kita dapat membuktikan bahwa luas BDEQ = a2 dan luas ADEP = b 2 diperoleh
maka
a2 + b 2 = luas BDEQ + luas ADEP = luas ABQP = c2
BUKTI LENGKAP UNTUK SKEMA DARI EUCLID Sekarang, bagaimana membuktikan bahwa luas BDEQ = a2 dan luas ADEP = b2 ? Ada banyak cara untuk membuktikannya, beberapa di antaranya diberikan di bawah ini. (1) Bukti I Perhatikan gambar di bawah ini. c B ( ii ) (i)
a x C
b
A
Berdasarkan kesebangunan segitiga, maka diperoleh: Sehingga diperoleh
x=
x b = b c
b2 c
b2 c = b2 c Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan
Dengan demikian
Luas (i) = xc =
Luas (ii) = a2 Sehingga,
a2 + b2 = luas (i) + luas (ii) = c2
3
(2) Bukti II Q
R
E
B
P D K S
C
A
N M
L
T
U
Mudah ditunjukkan jika BC = a dan ac = b maka diperoleh Luas DBQE = luas NKBD = luas MKBC= luas SRBC = a2 Luas ADEP = luas LNDA = luas LMCA = luas UTCA = b2 Padahal,
c2 = luas ADEP + luas DBQE = b2 + a2
Jadi, a2 + b2 = c2 . Selain secara aljabar di atas, bukti serupa di atas dapat dilakukan menggunakan prinsip kesamaan luas bangun, sehingga tampak seperti pergeseran bayangan (transformasi bangun datar), seperti gambar di bawah ini.
Bukti bayangan di atas, menggunaakan perubahan bentuk bangun datar karena strain ( peregangan) dan translasi yang keduanya tidak mengubah luas bangun datar. Berturut-turut perubahan yang terjadi adalah strain-translasi-strain.
4
(3) Bukti III
strain
strain
Gbr. 1
Translasi/refleksi
Gbr. 2
Gbr. 3
Gbr. 4
Bukti pada gambar di atas, mirip dengan bukti sebelumnya, namun tanpa bantuan gambar tambahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. Selain itu, transformasi yang terjadi berturut-turut strain-strain-translasi/refleksi. Perhatikan bahwa jajargenjang pada gambar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang yang bersesuaian pada gambar ke-1. Lalu, persegi pada gambar ke-3 sama luasnya dengan jajargenjang yang bersesuaian pada gambar ke-2. Terakhir persegi pada gambar ke-4 sama luasnya dengan persegi yang bersesuaian pada gambar ke-3. Ini dikarenakan transformasi strain, translasi, dan refleksi tidak mengubah luas bangun datar. Pembuktian yang lebih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama lewat rumus luas bangun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajargenjang sama dengan lebar l pada persegipanjang, sehingga luas kedua bangun sama. (4) Bukti IV Perhatikan gambar di bawah ini. Q
R
E
B
P D S
C
T
A
U
5
Karena alas dan tingginya sama, maka Luas segitiga BCQ = 1/2 × Luas persegipanjang BDEQ. Dengan teorema S-Sd-S, dapat ditunjukkan bahwa segitiga BCQ kongruen dengan segitiga BRA, sehingga Luas segitiga BRA = luas segitiga BCQ Selanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, maka Luas segitiga BRA = 1/2 × Persegi SCBR. Jadi, 1/2 × Luas persegipanjang BDEQ = 1/2 × Persegi SCBR , atau Luas persegipanjang BDEQ = Luas persegi SCBR .... (i) Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa: Luas persegipanjang DAPE = Luas persegi ACTU .... (ii) Dari (i) dan (ii), diperoleh Luas persegi SCBR + luas persegi ACTU = Luas BDEQ + luas DAPE
a2 + b2 = luas persegi BAPQ a2 + b2 = c2 .
PUZZLE BUKTI TEOREMA PYTHAGORAS Menariknya bukti teorema Pythagoras dari skema Euclid di atas, mendorong penulis untuk membuat rancangan sebuah alat peraga berupa puzzle pembuktian Teorema Pythagoras berdasarkan bukti dar Euclid tersebut. Berikut puzzle yang berhasil dibuat.
c b b b
a
6
Siswa diminta memindah keping-keping dari diagram gambar sebelah kiri ke diagram gambar sebelah kanan, atau sebaiknya. Dengan dapat dipindahkannya keping-keping yang menutupi kedua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga siku-siku ke persegi pada hipotenusa, maka terbukti Teorema Pythagoras. Berikut ini cara membuat diagram permainan puzzle di atas. Pandang segitiga siku-siku sebarang ABC dengan siku-siku di C. Persegi-persegi penyiku adalah BSRC dan ACQP, sedang persegi hipotenusa adalah ABTU. U
A
P
L
I
M
E
J
K
Y
T
N
D Q
C G R
H F
B W S
Untuk persegi BSRC. Mula-mula tarik garis dari R tegak lurus AB (yaitu RW). Lalu tarik garis dari S sejajar AB (yaitu SF). Untuk persegi ACQP. Tarik garis dari Q tegak lurus AB (yaitu QE). Tarik garis sejajar AB (yaitu PD). Lalu tarik garis tegak lurus AB dan berjarak FS terhadap RB (yaituGH). Untuk persegi ABTU. Tarik garis-garis dari Usejajar AC, dari A sejajar BC, dan dari T sejajar BC. Ketiga garis berpotongan di dua titik yaitu I danK. Tarik garis tegak lurus AB melalui K (yaitu YL). Lalu, tarik garis dari B sejajar AC (yaituBJ). Dan akhirnya, tarik garis MN sejajar ACdan berjarak BC (atau a) terhadapBJ. Apakah diagram potongan ketiga persegi tersebut berlaku umum untuk setiap segitiga siku-siku? Jawabnya, ya. Namun dalam paper ini, pembuktiannya tidak dibahas. Silakan pembaca untuk membuktikan sendiri, kebenaran diagram puzzle pada pembuktian Teorema Pythagoras di atas. Gunakan konsep perbandingan segitiga (similar dan kongruen), dan sifat sudut pada segitiga.
7
Bahan bacaan: anonim. - . The Pythagorean Proposition: A Theorem for All Ages. Bogomolny, Alexander. 2010. Pythagorean Theorem. dalam http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml diakses 16 Juni 2012 Jimloy. 2011. The Pythagorean Theorem. dalam http://www.jimloy.com/geometry/ pythagz.htm diakses 16 Juni 2012 Posamentier, Alfred S. 2003. Math Wonders to Inspire Teachers and Students. Virginia: ASCD. Spark, John C. 2008. The Pythagorean Theorem, Crown Jewel of Mathematics. Indiana: AuthorHouse.
