Jurnal Gradien Vol.2 No.1 Januari 2006 : 139-143
Bentuk Umum Perluasan Teorema Pythagoras Mulia Astuti, Buyung Keraman, Ulfasari Rafflesia Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Indonesia Diterima 1 September 2005; disetujui 20 Desember 2005
Abstrak - Penelitian ini membahas perluasan teorema Pythagoras melalui pendekatan hubungan kesetaraan pada luas daerah. Secara matematis luas daerah diukur berdasarkan variabel-variabel yang terkait dan kesetaraan pada luas daerah dikembalikan pada kesetaraan fungsi-fungsi yang mengacu pada variabel tersebut. Perluasan teorema Pythagoras di R2 dengan pendekatan hubungan kesetaraan pada luas daerah dapat menjelaskan hubungan luas daerah yang berkaitan dengan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Fokus dari penelitian ini adalah membahas perluasan teorema Pythagoras di R n . Kata Kunci : Hubungan Kesetaraan; Teorema Pythagoras.
1. Pendahuluan
2.
Makalah ini akan membahas bentuk umum perluasan teorema Pythagoras yaitu di R n , dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah, pada persamaan dengan bentuk umum : x12 = x2 2 + x3 2 + ... + xn 2 + g ( x1 , x2 ,..., xn )
(1)
atau pada persamaan dengan bentuk umum 2
2
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = x1 + x 2 + ... + x n Dalam hal ini (a1 , a 2 ,..., a n ) ,
2
(2)
ai > 0, 1 ≤ i ≤ n
3.
Dalam mendefinisikan hubungan kesetaraan, diperlukan notasi-notasi berikut: 1. Notasi f a ( x ), g a ( x ), Fa ( x ), Ga ( x ), φ a ( x ), γ a ( x ) menyatakan fungsi kontinu untuk suatu konstanta a > 0, a ∈ R dan x ∈ [0 , a ]
Notasi R( fa (x), ga (x)) menyatakan daerah di bidang kartesian yang dibatasi oleh: (i) Fungsi f a (x) dan fungsi
g a ( x ) ≤ f a (x) ∀ x ∈ [0 , a ]
4.
g a (x ) dengan
(ii) Garis vertikal x = 0 dan x = a . Notasi A( f a ( x ), g a ( x )) menyatakan luas daerah R( f a (x ), g a (x )) .
Definisi 2.1 (Hubungan kesetaraan pada selang) [3] Dua selang dikatakan setara jika kedua selang tersebut mempunyai panjang yang sama. Misalnya : 1. Selang setara dengan selang 0 ≤ t ≤ x1
x 0 ≤ 2 t ≤ x2 , untuk x1 ≠ 0 x1
merupakan solusi persamaan (1) atau persamaan (2). 2. Hubungan Kesetaraan [4]
f −a ( x), g−a ( x), F−a (x), G−a (x),φ −a (x),γ −a (x)
menyatakan fungsi kontinu untuk suatu konstanta a > 0, a ∈ R dan x ∈ [− a , 0 ]
Ausri [3] telah menyelidiki perluasan teorema Pythagoras di R2 dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah yang berkaitan dengan sisi segitiga siku-siku. Hasil yang diperoleh adalah penjumlahan luas daerah yang berkaitan dengan sisi siku-siku sama dengan luas daerah yang berkaitan dengan sisi miringnya.
Notasi
2.
Selang 0 ≤ t ≤ 4 setara dengan selang 6 ≤ t ≤ 10 .
Definisi 2.2 (Hubungan kesetaraan pada fungsi) [3] (i) Fungsi
f a (x ) dikatakan setara dengan Fb (x ) ,
ditulis f a (x ) π Fb (x ) , jika: Fb (x ) =
b a f a x ∀x ∈ [0, b ] a b
Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143
140
(ii) Fungsi
f −a (x )
dikatakan
setara
dengan
F−b (x ) ditulis f −a (x ) π F−b (x ) , jika: F−b (x ) =
a 2 sin θθ sin ββ b 2 sin θθ sin ββ + = 2 sin αα 2 sin αα
b a f −a x ∀x ∈ [− b, 0] . a b
Misalnya : Fungsi f a (x) = a 2 − x 2 0 ≤ x ≤ a setara dengan fungsi Fb (x) = b2 − x 2 0 ≤ x ≤ b .
Definisi 2.3 (Hubungan kesetaraan pada luas daerah) [3]
(i) Daerah R( f a (x ), g a (x ))
setara
dengan
R(Fb (x ), Gb (x )) ,
ditulis jika
f a (x ) π Fb (x ) dan g a (x ) π Gb (x ) Luas
R( f a (x ), g a (x ))
daerah
A( f a (x ), g a ( x) )
A( f a (x), g a ( x)) =
dihitung
c 2 sin θθ sin ββ 2 sin αα
Jika pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang tidak beraturan, maka teorema 3.1 memperlihatkan hubungan antara luas daerah yang terdapat pada masing-masing sisi segitiga siku-siku.
daerah
R( f a (x ), g a (x )) π R(Fb (x ), Gb (x ))
(ii)
Misalkan segitiga itu membentuk sudut-sudut α,β dan θ. Hubungan luas ketiga segitiga setara di atas adalah:
namakan dengan:
Teorema 3.1 [4] Misalkan a dan b adalah panjang sisi siku-siku dan c adalah sisi miring segitiga siku-siku. Misalkan daerah R( f a (x), g a (x)), R(Fb (x ), Gb (x )) dan R(φ c (x ), γ c (x )) setara maka: A( f a (x), g a (x)) + A(Fb (x), Gb (x)) = A(φc (x), γ c (x))
a
Akibat 3.2 [4] Misalkan a ,b dan c masing-masing adalah panjang sisi
0
segitiga sebarang, dengan sisi c berlawanan dengan sudut
∫ ( f a (x) − ga (x)) dx .
Definisi 2.4 [2] Misalkan n adalah bilangan bulat positif, n-tupel terurut didefinisikan sebagai urutan n bilangan riil
(a1 , a 2 ,…, a n ) . Himpunan semua n-tupel terurut dinamakan Ruang-n Euclidis dan dinotasikan dengan R n 3. Contoh Perluasan Teorema Pythagoras di R 2 Perluasan teorema Pythagoras di R 2 menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah yang berkaitan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku. Berikut contoh perluasan teorema Pythagoras di R 2 . 1. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah beraturan yang berbentuk bujur sangkar. Hubungan luas bujur sangkar tersebut adalah a2 + b2 = c2. 2. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan berbentuk setengah lingkaran dengan diameter sama dengan sisi segitiga siku-siku. Hubungan antara luas setengah lingkaran π π π tersebut adalah: a 2 + b 2 = c 2 8 8 8 3. Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan berbentuk segitiga yang setara.
θ . Misalkan daerah R( f a (x ), g a (x )) , R(Fb (x ), Gb (x ))
dan R(φ c (x ), γ c (x )) setara. Maka:
A(φ c (x ), γ c (x )) = A( f a (x ), g a (x )) + A(Fb (x ), Gb (x )) −
2 ab cos θ c2
A(φ c (x ), γ c (x ))
4. Bentuk Umum Perluasan Teorema Pythagoras Bentuk umum perluasan teorema Pythagoras, yaitu di ruang-n Euclidis, dilakukan dengan memperluas pasangan terurut (a, b) a > 0, b > 0 di R 2 yang merupakan solusi persamaan lingkaran f ( x, y ) = x 2 + y 2 = c 2 , menjadi n-tupel terurut ( a1 , a 2 ,..., a n ) , ai > 0, 1 ≤ i ≤ n di R n yang merupakan solusi persamaan (1) atau merupakan solusi persamaan (2). Sehingga bentuk umum perluasan teorema Pythagoras ini, diperoleh dengan memperluas Teorema 3.1 menjadi teorema 4.2 dan Akibat 3.2 menjadi teorema 4.1 yaitu sebagai berikut :
Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143
a1
=
Teorema 4.1 Persamaan
(1).
Misalkan
R ( f a1 , g a1 ), R ( f a2 , g a2 ),..., R ( f an , g an )
setara,
0
maka berlaku:
=
∫ ( fa2 ( x) − ga2 ( x))dx + ... +
Sehingga Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai: (3)
A( f a2 , g a2 ) + ... + A( f an , g an ) = a12 − g ( a1,a2 ,...,an ) a12
∫ ( fan ( x) − gan ( x))dx....... 0
karena daerah R( f a1 , g a1 ), R ( f a2 , g a2 ),..., R ( f an , g an )
=
setara,
berdasarkan Definisi 2.2 dan Definisi 2.3 (i), maka Persamaan (3) ditulis sebagai:
a a a2 fa ( 1 x) − ga ( 1 x)dx+ ...+ 1 1 a1 a2 a2
A( f a1 , g a1 )
= A( f a1 , g a1 ) −
g ( a1,a2 ,...,an ) a12
+
Persamaan
ui =
perubahan
variabel
yaitu:
a1 x, i = 1,..., n − 1 maka Persamaan (4) dapat ai +1
pula ditulis sebagai: A( f a2 , g a2 ) + ... + A( f an , g an ) = a1
∫ (
0 a1
∫ ( 0
)
a2 a f a (u1) − g a1 (u1 ) 2 du1 + ... + a1 1 a1
)
an a f a (un −1 ) − g a1 (un −1 ) n dun −1....... a1 1 a1
A( f a1 , g a1 )
g (a1 , a 2 ,..., a n ) a1 2
A( f a1 , g a1 )
Misalkan ( a1 , a 2 ,..., a n ) , ai > 0, 1 ≤ i ≤ n adalah solusi
0
melakukan
0
Teorema 4.2
∫ a1n fa1(a1n x) − ga1(a1n x)dx.......
Dengan
∫ ( f a1 ( x) − g a1 ( x))dx
a12 − g ( a1, a2 ,..., an ) a12
(4)
a
a1
Dengan demikian diperoleh persamaan: A( f a1 , g a1 ) = A( f a2 , g a2 ) + ... + A( f an , g an )
A( fa2 , ga2 ) + ...+ A( fan , gan ) =
a
(5)
0
a 2 2 + a3 2 + ... + a n 2 = a12 − g (a1 , a 2 ,..., a n ).
0 an
a
∫ ( f a1 ( x) − g a1 ( x))dx
a12 = a 2 2 + a3 2 + ... + a n 2 + g (a1 , a 2 ,..., a n )
a2
0 an
a1 2
a1
maka diperoleh:
A( f a2 , ga2 ) + ... + A( f an , gan ) =
∫
a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2
Karena ( a1 , a 2 ,..., a n ) adalah solusi Persamaan (1),
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.3 (ii) diperoleh:
a2
an 2
∫ a12 ( fa1 ( x) − ga1 ( x))dx.......
daerah
A( f a1 , g a1 ) = A( f a2 , g a2 ) + ... + A( f an , g an ) g (a1 , a 2 ,..., a n ) + A( f a1 , g a1 ) a1 2
a 2
∫ a122 ( fa1 ( x) − ga1 ( x))dx + ... +
0 a1
Misalkan ( a1 , a 2 ,..., a n ) , ai > 0, 1 ≤ i ≤ n adalah solusi
141
(2).
Misalkan
daerah
R ( f a1 , g a1 ), R ( f a2 , g a2 ),..., R ( f an , g an )
maka : n
∑ A( f a j , g a j ) = j =1
f ( a1, a2 ,..., an ) A( f a i ai 2
, g ai ).
Jika A( f ai , g ai ) ≠ 0 maka a2
f ( a1 , a 2 ,..., a n ) = A( f i , g ) ai ai
n
∑ A( f a j , g a j ). j =1
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.3 (ii) diperoleh:
setara,
Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143
142
n
a2
∑ A( f a j , g a j ) =A( f a1 , g a1 ) + ... +
f (a1 , a 2 ,..., a n ) = A( f i , g ) ai ai
j =1
n
∑ A( f a j , g a j ). j =1
a1
A( f an , g an ) =
∫ ( f a1 ( x) − g a1 ( x))dx + ... +
(6)
0
an
∫ ( f an ( x) − g an ( x))dx....... 0
karena daerah setara,
R( f a1 , g a1 ), R( f a2 , g a2 ),..., R ( f an , g an )
berdasarkan Definisi 2.2 dan Definisi 2.3 (i), maka Persamaan (4.6) ditulis sebagai: a1
n
∑ j =1
∫
A( fa j , ga j ) =
0 an
+ ... +
∫ 0
Dengan uj =
a1 a a fa ( i x) − ga ( i x) dx i a ai i a1 1
perubahan
Misalkan (a1 , a 2 ,..., a n ) , ai > 0, 1 ≤ i ≤ n adalah solusi Persamaan
(4.2).
Misalkan
daerah
R( f ak , g ak ) 1 ≤ k ≤ n semuanya setara. Luas daerah R ( f ak , g ak ) yaitu A( f ak , g ak ) = 0 jika dan hanya n
jika
∑ A( f a j , g a j ) =0 . j =1
Bukti: A( f ak , g ak ) = 0 .
(⇒) Misalkan n
(7)
Teorema 4.2,
an a a fa ( i x) − ga ( i x) dx i i an an ai
melakukan
Akibat 4.3
variabel
∑ A( f j =1
aj
Maka
menurut
dan
andaikan
, g a j ) =0 .
n
yaitu:
ai x, j = 1,..., n − 1 maka Persamaan (7) dapat aj
(⇐) Misalkan
j =1
A( f ak , g ak ) ≠ 0 untuk suatu k dengan 1 ≤ k ≤ n .
Maka
pula ditulis sebagai:
∑ A( f a j , g a j ) =0
menurut
Teorema
4.2
haruslah
f (a1 , a2 ,..., an ) = 0 hal ini bertentangan dengan n
ai
j =1
0 ai
Persamaan
∑ A( fa j , ga j ) = ∫ a1i ( fai (u1) − gai (u1)) a1i du1 + ... +
a
a
=
ai
a12
an2
∫ ai2 ( fai (x) − gai (x))dx + ... + ∫ ai2 ( fai (x) − gai (x))dx 0
0
=
2
a1 + ... + a n ai 2
karena
itu
haruslah
a
0
ai
Oleh
A( f ak , g ak ) = 0 .
∫ ani ( f ai (un ) − gai (un )) ani dun a
(2).
2 ai
∫ ( f ai ( x) − g ai ( x))dx
(8)
0
Karena ( a1 , a 2 ,..., a n ) adalah solusi Persamaan (2), maka: f (a1 , a 2 ,..., a n ) = a12 + a 2 2 + ... + a n 2 . Dengan demikian Persamaan (4.8) dapat dituliskan sebagai: n
f ( a ,a ,...,a ) A( f a j , g a j ) = 1 22 n A( f ai , g ai ). ai j =1
∑
Jelas bahwa, bila A( f ai , g ai ) ≠ 0 maka:
Akibat 4.4 Misalkan (a1 , a 2 ,..., a n ) , a i > 0, 1 ≤ i ≤ n adalah solusi Persamaan (2). Misalkan daerah R( f a j , g a j ) 1 ≤ j ≤ n semuanya
setara.
A( f ai , g ai ) ≠ 0 untuk
A( f ak , g ak ) ≠ 0
Jika
sebarang a2
i,k
dan dengan
a 2
(1 ≤ i ≤ n,1 ≤ k ≤ n maka A( f i , g ) = A( f k , g ) ai ai ak ak
Bukti: Misalkan A( f ak , g ak ) ≠ 0 untuk 1 ≤ k ≤ n dan daerah R ( f a j , g a j ) semuanya setara untuk 1 ≤ j ≤ n maka
menurut Teorema 4.2 berlaku:
Mulia Astuti / Jurnal Gradien Vol. 2 No. 1 Januari 2006 : 139-143
a 2
f ( a1 , a 2 ,..., a n ) = A( f k , g ) ak ak
n
j =1
=
(9)
f (a1 , a 2 ,..., a n ) =
ai 2 A( f a , g a ) i i
ak 2 A( f ai , g ai ) A( f a , g a ) k k ak 2 A( Fai , Gai ) A( Fa ,Ga ) k k
ai 2 =
∑ A( f a j , g a j ).
dengan cara yang sama berlaku pula:
143
Dengan demikian diperoleh:
n
∑ A( f a j , g a j ). (10)
A( f a , g a ) i i A( Fa ,Ga ) i i
j =1
A( f a , g a )
= A( F k , G k ) . a k ak
Dari Persamaan (9) dan (10) diperoleh: 5. Kesimpulan ai 2 A( f ai , g ai )
n
∑ A( fa j , ga j ) =
1.
Telah diperoleh hasil perluasan teorema Pythagoras
2.
di R 2 dengan menggunakan hubungan kesetaraan pada luas daerah. Hasil yang diperoleh dari penggunaan hubungan kesetaraan tersebut adalah : Jika pada setiap sisi segitiga siku-siku terdapat daerah yang beraturan maupun yang tidak beraturan dan setara, maka terdapat hubungan diantara luas daerah tersebut dengan persamaan teorema pythagoras, yaitu:luas daerah yang terkait dengan sisi miring segitiga siku-siku, namakan sisi c merupakan penjumlahan dari luas daerah yang terkait dengan panjang sisi siku-siku, namakan sisi a dan sisi b. Dari hasil perluasan teorema Pythagoras di
j =1
ak 2 A( f a , g a ) k k
n
∑ A( fa j , ga j ) j =1
Dengan demikian diperoleh: ai 2 A( f a , g a ) i i
a 2
= A( f k , g ) ak ak
Akibat 4.5 Misalkan (a1 , a 2 ,..., a n ) , ai > 0, 1 ≤ i ≤ n adalah solusi Persamaan (4.2). Misalkan daerah R ( f a j , g a j ) dan daerah R( Fa j , G a j ) setara untuk 1 ≤ j ≤ n . Jika A( f ak , g ak ) ≠ 0 dan A( f a , g a ) i i A( Fa ,Ga ) i i
A( Fak , G ak ) ≠ 0 maka
R 2 diperoleh bentuk perumusan umum perluasan
teorema Pythagoras, yaitu di R n seperti dijelaskan dalam teorema 4.1 dan teorema 4.2.
A( f a , g a )
= A( F k ,G k ) untuk sebarang i,k dengan ak ak
Daftar pustaka
(1 ≤ i ≤ n,1 ≤ k ≤ n .
Bukti: Misalkan A( f ak , g ak ) ≠ 0 untuk 1 ≤ k ≤ n dan daerah
R( f a j , g a j )
setara untuk 1 ≤ j ≤ n maka menurut
Akibat 4.4 diperoleh: ai 2 A( f a i , g a i )
=
ak 2 A( f a k , g a k )
(11)
Misalkan A( Fak , G ak ) ≠ 0 untuk 1 ≤ k ≤ n dan daerah
R( Fa j , G a j )
setara untuk 1 ≤ j ≤ n maka menurut
Akibat 4.4 diperoleh: ai 2 A( Fa ,Ga ) i i
a 2
= A( F k , G ) ak ak
Dari Persamaan (11) dan Persamaan (12) diperoleh:
(12)
[1] Anton, H., Calculus with Analytic Geometry, 1988, John Wiley. New York [2] Anton, H., Aljabar Linier Elementer, Edisi kelima, 1994, Erlangga, Jakarta [3] Ausri, A., Pengembangan Sifat Pythagoras dengan Menggunakan Hubungan Kesetaraan, 1997, Jumpa 6 : 83-90 [4] Clay, James R and Yuen Fong, Generalization of Pythagorean Theorem, 1995, Sea Bull. Math. 19:19-26 [5] Herstein, I.N., 1975. Topics In Algebra. 2thed. 1975, John Wiley. New York
