Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Buku Kerja 6

Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN

Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss

URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu: Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green Teorema Gauss Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan. Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss. Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah

Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah

Jadi,

Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 142 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 6

Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Berikut definisi dari Teorema Gauss. Definisi Teorema Gauss Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka

Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah

dan S adalah

di mana

permukaan kubus yang dibatasi oleh

.

Penyelesaian 1

0 1 1

Menurut teorema divergensi

Maka,


Buku Kerja 6


Jadi Contoh 2 Hitunglah

di mana S adalah suatu permukaan tertutup

Penyelesaian Menurut teorema divergensi,

di mana V adalah volume benda yang dibatasi S.


Buku Kerja 6


LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitung

untuk

pada daerah

yang dibatasi oleh

Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini

Menurut teorema divergensi

Maka


Buku Kerja 6


Latihan 2 Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V dan

, maka buktikan bahwa

.

Penyelesaian Menurut teorema divergensi

Maka,

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah

di mana F

i

j

dan S adalah


Buku Kerja 6


(a) permukaan balok yang dibatasi oleh (b) permukaan daerah yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 2 Hitung

di mana F

dibatasi oleh tabung parabol

i

j

dalam daerah pejal S yang dan bidang-bidang

.

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 3 Buktikanlah bahwa

untuk suatu permukaan tertutup S.

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 4 Buktikan

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 5 Hitung oleh silinder

melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi ,

jika

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2 Latihan 2 : 4/3 Latihan 5 : 18 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Buku Kerja 6


Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes

URAIAN MATERI Teorema Stokes Coba Anda perhatikan gambar di samping! Apa yang Anda lihat? Pada gambar tampak seorang ibu dan bapak sedang mendorong mobil. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3. Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan teorema Stokes. Berikut definisi Teorema Stokes Teorema Stokes Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka

Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.


Buku Kerja 6


CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah

dengan menggunakan teorema Stokes jika , dimana S adalah separuh dari bagian atas dan C batasnya.

diketahui permukaan bola

Penyelesaian

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah . Berdasarkan teorema Stokes

dimana . Maka

berdasarkan teorema Stokes


Buku Kerja 6


Jadi,

.

Contoh 2 Buktikan

Penyelesaian Misalkan Maka

Karena

dalam teorema Stokes, di mana C sebuah vektor konstan.

vektor

C

vektor

konstan

sebarang

maka

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Gunakan teorema Stokes untuk menghitung yang dibatasi oleh

dengan

, dimana S adalah permukaan paraboloida dan C sebagai batasnya


Buku Kerja 6


Penyelesaian Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah

dimana

. Berdasarkan teorema Stokes

.

Maka,

Latihan 2 Hitunglah bidang

di mana

dan C adalah perpotongan

dengan silinder

Penyelesaian Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan teorema Stokes, yaitu

.


Buku Kerja 6


Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka permukaan S terlihat pada gambar berikut

yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh silinder Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah


Buku Kerja 6


Jadi

...

Latihan 3 Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung

dengan

danC berupa kurva segitiga pada gambar berikut

z (0,0,2)

C

(0,1,0)

y

(1,0,0) x

Penyelesaian Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu . Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah


Buku Kerja 6


Jadi

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Misalkan S bagian dari permukaan bola bidang , dan misalkan

di bawah . Gunakan teorema Stokes

untuk menghitung

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 2 Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk paraboloid dengan lingkaran batasnya.

jika S adalah sebagai

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 3 Periksa kebenaran teorema Stokes untuk di mana S adalah permukaan kubus bidang

di atas

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 4 Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh yang termasuk dalam bidang .

di mana S

Penyelesaian


Buku Kerja 6



Buku Kerja 6


Kunci Jawaban Latihan 1: Latihan 2 : Latihan 3 : - 4 Latihan 4 : 32/3

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Buku Kerja 6


Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green

URAIAN MATERI TEOREMA GREEN Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya. Sedangkan, teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan menggunakan teorema Green dalam bidang. Nah, berikut definisi Teorema Green. Definisi Teorema Green Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka

Jika

menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana ,

maka

adalah usaha

yang dilakukan

dalam

menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu

Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah


Buku Kerja 6


Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema Green.

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu koordinat memotong C paling banyak pada dua titik

Penyelesaian

Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh

Sehingga diperoleh


Buku Kerja 6


Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF berturut-turut adalah dan Maka

Sehingga diperoleh

Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat

Contoh 2 Periksa teorema Green pada bidang untuk dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh

dan

Penyelesaian Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar


Buku Kerja 6


Sepanjang

integral garisnya sama dengan

Sepanjang

integral garisnya sama dengan

Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30 Dengan menggunakan teorema Green

Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green. Contoh 3 Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C , dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh

Penyelesaian Misalkan

dan terapkan teorema Green


Buku Kerja 6


LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 di mana C adalah suatu bujur

Hitunglah

sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0)

Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut

(0,2)

(2,2)

(0,0)

(2,0)

Berdasarkan teorema Green

Maka

Jadi,


Buku Kerja 6


Latihan 2 Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan persamaan parameter

Penyelesaian

Latihan 3 Hitunglah

di sekeliling suatu segitiga

pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan arah dengan jarum jam.

Penyelesaian Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut y

x

Berdasarkan teorema Green

Maka


Buku Kerja 6


Jadi,

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0)

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 2 Hitunglah didefinisikan oleh teorema Green

mengelilingi batas daerah yang dan

(a) secara langsung, (b) menggunakan

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Latihan 3 Hitunglah

sepanjang jajar genjang yang

memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1).

Penyelesaian


Buku Kerja 6


Kunci Jawaban Latihan 1 : 64 Latihan 2 :128/5 Latihan 3 : -6

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Recommend Documents