Teorema Pemetaan Buka

Outline Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

Teorema Pemetaan Buka J.M. Tuwankotta

J.M. Tuwankotta

Teorema Pemetaan Buka


Teorema Pemetaan Buka dan Lemma Schwarz

Konvers dari Teorema Cauchy: Teorema Morera

J.M. Tuwankotta



Teorema Pemetaan Buka Peta dari sebuah himpunan buka terhadap pemetaan analitik yang tidak konstan senantiasa buka.

Misalkan f : C −→ C suatu fungsi analitik yang tidak konstan. Misalkan pula bahwa U ⊂ C adalah sebuah himpunan buka. Maka himpunan: V = f (U) = {f (z)|z ∈ U} juga merupakan himpunan buka.

J.M. Tuwankotta



Lemma Schwarz

Misalkan f analitik di cakram satuan, dan f 1 di sana dengan f (0) = 0. Maka: 1. |f (z)| ≤ |z| 2. |f 0 (0)| ≤ 1. Kesamaan terjadi jika dan hanya jika f (z) = e iθ z

J.M. Tuwankotta



Bukti Lemma Schwarz

Pandang fungsi: g (z) = Perhatikan bahwa

f (z) z f 0 (0)

0 < |z| < 1 z =0

f (z) 1 ≤ . |g (z)| = z r

pada lingkaran berjari-jari r . Jika r → 1, maka Lemma terbukti.

J.M. Tuwankotta



Pemetaan Bilinear

Fungsi analitik di cakram satuan dan terbatas oleh satu di sana dapat dinyatakan oleh pemetaan bilinear: Bα (z) =

z −α , 1 − αz

dengan |α| < 1. Misalkan B = {Bα (z) | |α| < 1}.

J.M. Tuwankotta



I

Perhatikan bahwa |α| < 1 berakibat |1/α| > 1 ≥ |z|. Jadi 1 − αz 6= 0. Jadi Bα analitik di seluruh |z| ≤ 1

J.M. Tuwankotta



I

Perhatikan bahwa |α| < 1 berakibat |1/α| > 1 ≥ |z|. Jadi 1 − αz 6= 0. Jadi Bα analitik di seluruh |z| ≤ 1

I

Perhatikan pula bahwa: z −α z −α 2 |Bα | = = 1, 1 − αz 1 − αz jika |z| = 1.

J.M. Tuwankotta



Contoh 1 Misalkan f adalah fungsi analitik yang terbatas oleh 1 di cakram satuan dengan f ( 12 ) = 0. Kita ingin mencari batas untuk |f ( 34 )|. Pandang: h(z) = f (z)(1 − 12 z). Misalkan  1   h(z) − h( 2 ) z − 12 g (z) =   0 1 h (2)

z 6=

1 2

z=

1 2

Misalkan pula: B1 = 2

J.M. Tuwankotta

z − 12 . 1 − 12 z



Dalam f :

 f (z)   z 6= B 1 (z) g (z) = 2   3 0 1 f 4 (2) z =

1 2 1 2

Maka g analitik di |z| ≤ 1 dan |g | ≤ 1. Jadi z−1 2 |f (z)| ≤ . 1 1 − 2z Jadi:

f 3 ≤ 2 . 4 5

J.M. Tuwankotta



Contoh 2:

Misalkan f adalah fungsi yang analitik dan terbatas oleh satu di cakram satuan. Maka nilai max |f 0 ( 13 )| f ∈B

dicapai oleh f yang memenuhi: f ( 13 ) = 0.

J.M. Tuwankotta



Jawab

Andaikan f ( 13 ) 6= 0. Pandang: g (z) =

f (z) − f ( 13 ) 1 − f ( 13 )f (z)

.

Jika |ω| = 1, maka v ω − f (1) u u ω − f (1) ω − f (1) 3 3 3 · = 1. =t 1 − f ( 1 )ω 1 − f ( 13 )ω 1 − f ( 1 )ω 3 3

J.M. Tuwankotta



I

Perhatikan bahwa jika |z| < 1 maka |f | < 1, sehingga: baik f dan g keduanya fungsi analitik yang terbatas oleh satu pada cakram satuan.

J.M. Tuwankotta



I


I

Jika kita turunkan f 0 ( 13 ) 1 g = 3 1 − |f ( 13 )|2 0

sehingga dipenuhi: |g 0 ( 13 )| > |f 0 ( 13 )|.

J.M. Tuwankotta



I


I

Jika kita turunkan f 0 ( 13 ) 1 g = 3 1 − |f ( 13 )|2 0

sehingga dipenuhi: |g 0 ( 13 )| > |f 0 ( 13 )|. I

Jadi kita telah menemukan sebuah fungsi lain yaitu g yang modulus turunannya lebih besar dari modulus turunan f di 31 . Kontradiksi, haruslah f ( 31 ) = 0.

J.M. Tuwankotta



Contoh 3: I

Dari Contoh 2 tadi, kita tahu bahwa: nilai max |f 0 (α)| f ∈B

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0.

J.M. Tuwankotta



Contoh 3: I


I

dicapai oleh f yang memenuhi: f (α) = 0. Dari Contoh 1 kita tahu bahwa f yang seperti itu memenuhi: |f (z)| ≤ |Bα (z)|

J.M. Tuwankotta



Contoh 3: I


I


I

Tunjukkan bahwa f 0 (α) B 0 (α).

J.M. Tuwankotta



Contoh 3: I


I


I

Tunjukkan bahwa f 0 (α) B 0 (α).

I

Jadi max |f 0 (α)| = Bα0 (α). f ∈B

J.M. Tuwankotta



Teorema Morera

Theorem Misalkan f fungsi kontinu pada sebuah himpunan buka D. Jika Z f (z)dz = 0, Γ

dengan Γ adalah himpunan batas dari sebarang daerah persegi panjang tutup di D, maka f analitik di D.

J.M. Tuwankotta



Definition Misalkan {fn } barisan fungsi yang terdefinisi pada D dan f adalah fungsi yang terdefinisi pada D. fn dikatakan konvergen secara uniform pada kompakta jika fn → f secara uniform pada setiap himpunan kompak K ⊂ D.

Theorem Jika fn konvergen secara uniform pada kompakta dan fn analitik, maka f analitik.

J.M. Tuwankotta


Teorema Pemetaan Buka

Recommend Documents